精品解析：2026年江苏省南京市协作体南湖第二中学等校一模数学试题

九年级学生学情调研暨一模 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 是（　　） A. B. C. D. 2. 已知地球的半径约为，将地球赤道的周长（用四舍五入法取近似值，精确到）用科学记数法表示，其结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（　　） A. B. C. D. 4. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点 处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. =_________ 8. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 9. 设，是方程的两个根，则等于_______． 10. 已知正多边形的一个外角为 ，则该正多边形的边数是________． 11. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点 落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若 ，则的长为__________． 12. 如图， 是的内接三角形，，直径与边交于点 ，点 是的中点.若 ，则的半径为_____． 13. 某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售价低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ______． 14. 某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 15. 把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，则一面涂色的小正方体有_________块. 16. 如图，已知点O是等腰直角三角形的重心，过点O作于点D，于点E，则的值是________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 化简：． 19. 铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 20. 如图，是 的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． （1）求证：； （2）连接，若为直径，， ，求的半径． 21. 从3名男生和2名女生中随机抽取志愿者． （1）若抽取1名志愿者，恰好是女生的概率为______． （2）若抽取2名志愿者，用树状图或列表法求恰好是1名男生和1名女生的概率． 22. 甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各随机抽取10袋，测得其实际质量（单位：g）分别如下： 甲 202 203 202 196 199 201 200 197 201 199 乙 201 199 200 204 200 202 196 195 202 201 （1）通过计算判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定； （2）若向甲包装机对应的数据中再添加一个大小为200g的数据，重新统计后，这11个数据的平均数、方差会如何变化？直接写出变化情况，无需解释． 23. 如图，在 中， ，，． （1）尺规作图：作，使得圆心 在边上，经过点 并且与边相切；（不写作法，保留痕迹） （2） 是边上一点（点 不与点 重合），若以为直径的圆与边有两个公共点，则长的取值范围是________． 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． （1）点______（填“是”或“否”）“完美点”； （2）若点， ，求a的值并判断点B是否为“完美点”； （3）若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 25. 已知二次函数（其中 、为常数）． （1）若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； （2）若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． （3）若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标． 26. 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数的图像为直线l，已知两点、． （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得 ．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标为______； （3）点P在x轴上， 的最小值为______． 27. 如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点 是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面．测得．． （1）在图2中，_____； （2）靠背绕点 旋转至与小桌板支架重合的位置，如图3所示，杯托 处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托 处（与 重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背的距离不得小于． ①_____； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学生学情调研暨一模 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根；根据算术平方根的定义，表示 的算术平方根，结果为 ． 【详解】解：∵表示 的算术平方根，且 ， ∴ ． 故选：A． 2. 已知地球的半径约为，将地球赤道的周长（用四舍五入法取近似值，精确到）用科学记数法表示，其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 利用科学记数法进行表示即可，科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，为整数．确定的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数． 【详解】解：∵， ∴， ∵精确到，百位数字为， ∴舍去，得， ∴， 故选：B． 3. 下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答． 【详解】解：A．当时，，故此选项不符合题意； B．当时，，故此选项不符合题意； C．当时，，故此选项符合题意； D．当时，，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查函数值，函数的概念．准确熟练地进行计算是解题的关键． 4. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方． 根据积的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：≠，故A选项错误； ≠，故B选项错误； ≠，故C选项错误； ，故D选项正确； 故选：D． 6. 水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点 处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径 为，点到水面的距离为，则水面宽度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 作，，作，设，先说明四边形 是矩形，得到，再利用“ ”说明，得到，根据勾股定理列出方程，求出 ， ，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作、交 于点 、 ，作于点， 设， ，，， ， 四边形 是矩形， ，， 点到水面的距离为， ，则， 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ， ， 又，即， ， 在和 中， ， ， ， 在 中，， 则，即，解得， ， 或， ， 点 是 的中点，即， 或． 故选：D． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. =_________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：根据绝对值的定义；数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数绝对值， 即，|-2|=2， 故答案为：2． 8. 若分式有意义，则满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 设，是方程的两个根，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，，掌握知识点是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，得到 ，，再计算的值，然后利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：． 10. 已知正多边形的一个外角为 ，则该正多边形的边数是________． 【答案】十 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角，根据正多边形的外角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：； ∴该正多边形的边数是10； 故答案为：十． 11. 如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点 落到 边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若 ，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作 于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到 ，在 中，利用勾股定理可得 的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作 于点P，则， 根据题意得：， ， ∴， ∵ ， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴ ， 在 中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 12. 如图， 是 的内接三角形，，直径与 边交于点 ，点 是的中点.若 ，则 的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ， ，证明，，利用正弦函数解答即可． 【详解】解：连接 ， ∵点 是的中点， ∴ ∴ ∵是 的直径， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 故 的半径为． 13. 某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买101（包括101）件以上的按批发价结算．已知批发价每件比零售价低2元，某人原预购商品若干件，需按原零售价结算付a元，但若多买21件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的应用，读懂题意找准等量关系，根据题意求出 的取值范围是解本题的关键． 设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元，根据题意列出方程，根据 ，得出，即可得出答案． 【详解】解：设零售价为x件，则批发为件，每件零售价为y元，则批发价为元， 根据题意得：， 即：， ∵为正整数， ∴ 为2的倍数， 根据题意知： ， ∴， 则， 解得：，且 为2的倍数 ∴ 时， ， ∴． 故答案为： ． 14. 某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元．试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件．设每件商品降价元时，日盈利为元．据此规律，在上述条件不变的情况下，求每件商品降价___________元时，超市的日盈利最大？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用， 根据销售规律，建立日盈利w与降价x的二次函数关系，通过求二次函数最大值确定最优降价金额． 【详解】解：降价后每件盈利为元，日销售量为件， 故， 因二次项系数 ， 故函数有最大值， 当时，w最大． 故答案为：． 15. 把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，则一面涂色的小正方体有_________块. 【答案】72 【解析】 【分析】首先明确一面涂色的在长方体中间的面上,再对原长方体进行切割,切割后长有8块,宽有5块,高有4块,拿走四周的小正方体,剩下的就是一面涂色的. 【详解】解：一面涂色的在长方体中间的面上, 长16÷2=8,8-2=6,宽10÷2=5,5-2=3,高8÷2=4,4-2=2, ∴一面涂色的小正方体=2×（6×3+6×2+3×2）=72（块） 故答案是72 【点睛】本题考查了长方体的性质,属于简单题,考查了空间想象力. 16. 如图，已知点O是等腰直角三角形的重心，过点O作于点D，于点E，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了重心的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．作 于点，证明A、O、D在同一条直线上， 是等腰直角三角形，设，则，求得，据此求解即可． 【详解】解：作 于点， ∵等腰直角三角形， ， ∴， ∵点O是等腰直角三角形的重心， ∴点O在上，且点D与点重合， ∴A、O、D在同一条直线上， ∵等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴ 是等腰直角三角形， 设， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），； （2）， 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，正确掌握求解方法是解题关键． （1）利用配方法求解即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 在数轴上表示略； 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算；根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ． 19. 铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． （1）求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 （2）工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【解析】 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【小问1详解】 解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； 【小问2详解】 解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 20. 如图， 是 的外接圆，是 的切线，且，连接 交 于点E． （1）求证：； （2）连接，若为直径，， ，求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接 并延长交 于点F，连接，如图： 是 的切线， ， ， 点在 的垂直平分线上， ， 点 在 的垂直平分线上， 是 的垂直平分线， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接 并延长交 于点F，连接，切线的性质得到，，再得到是 的垂直平分线，再得出，即可得出结论； （2）连接，得到是的中位线，求出 ，设 ，在和 中，由勾股定理得，即，，即，从而得到，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图： 由（1）可得， ∵ ， ∴是的中位线， ， 设 ，在和 中，由勾股定理得： ，即， ，即， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴ 的半径为 ． 21. 从3名男生和2名女生中随机抽取志愿者． （1）若抽取1名志愿者，恰好是女生的概率为______． （2）若抽取2名志愿者，用树状图或列表法求恰好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好是1名男生和1名女生的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有 名志愿者，其中有2名女生， ∴抽取1名志愿者，恰好是女生的概率为； 【小问2详解】 解：用A、B、C分别表示3名男生，用D、E分别表示两名女生，列表如下： 由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中恰好是1名男生和1名女生的结果数有12种， ∴恰好是1名男生和1名女生的概率为． 22. 甲、乙两台包装机同时包装质量为200g的糖果，从中各随机抽取10袋，测得其实际质量（单位：g）分别如下： 甲 202 203 202 196 199 201 200 197 201 199 乙 201 199 200 204 200 202 196 195 202 201 （1）通过计算判断哪台包装机包装糖果的质量比较稳定； （2）若向甲包装机对应的数据中再添加一个大小为200g的数据，重新统计后，这11个数据的平均数、方差会如何变化？直接写出变化情况，无需解释． 【答案】（1） 甲包装机包装糖果的质量比较稳定 （2） 平均数不变，方差变小 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的计算及意义，解题的关键是掌握平均数和方差的计算公式，利用方差判断数据的稳定性； （1）的关键步骤是分别计算甲、乙两组数据的平均数和方差，比较方差大小； （2）的关键步骤是根据添加数据后的总和与平方和，重新计算平均数和方差，判断其变化情况． 【小问1详解】 解： ∵， ∴甲包装机包装糖果的质量比较稳定． 【小问2详解】 解：原10个数据的平均数， 新数据总和：， 新平均数， ∴平均数不变． 原方差， 原数据与平均数差的平方和：， 新数据与平均数差的平方和：， 新方差， ∵， ∴方差变小． 23. 如图，在 中， ，，． （1）尺规作图：作 ，使得圆心 在边 上， 经过点 并且与边 相切；（不写作法，保留痕迹） （2） 是边 上一点（点 不与点 重合），若以 为直径的圆与 边有两个公共点，则 长的取值范围是________． 【答案】（1） 解：如图， （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线、作垂直平分线、切线的判定、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及勾股定理，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）作 的角平分线，交 于 ，作的垂直平分线，交 于 ，以 为圆心， 为半径画圆，则 即为所求； （2）当与 相切时，利用勾股定理求出 ，设 ，根据 得出 ，根据相似三角形的性质可求出的值，当点 与点重合时，根据圆周角定理可得点在，即可得答案． 【小问1详解】 解：如图，作 的角平分线，交 于 ，作的垂直平分线，交 于 ，以 为圆心， 为半径画圆，则 即为所求． ∵点 是垂直平分线与 的交点， ∴ ，点 在 上， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是 的切线． 【小问2详解】 解：如图所示： 当与 相切时，与 有一个交点， ∵ ，，， ∴ ， 设 ，则， 由（1）可知， ， ∴ ， ∴，即， 解得：， ∴， 当点 与点重合时， ∵， 为直径， ∴点在上，与 有两个交点，符合题意， ∴ 长的取值范围是 ． 24. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数时，称点P为“完美点”． （1）点______（填“是”或“否”）“完美点”； （2）若点， ，求a的值并判断点B是否为“完美点”； （3）若n为整数，点，求证：点C为“完美点”． 【答案】（1）是 （2），点B是“完美点”； （3） 证明：∵， ∴点到原点的距离为 ， ∵为整数， ∴ ，均为整数， ∴点到轴的距离为，到 轴的距离为，到原点的距离为 ，均为整数， ∴点C为“完美点”． 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据勾股定理求出的值，再根据新定义进行判断即可； （3）根据新定义进行证明即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴点到轴的距离为3，到 轴的距离为4， ∴点到原点的距离为 ， ∴点分别到x轴、y轴和坐标原点的距离均为整数， ∴点是“完美点”； 【小问2详解】 解：由题意，， 解得， ∴， ， ∴点 到轴的距离为12，到 轴的距离为5，到原点的距离为13，均为整数， ∴点B是“完美点”； 【小问3详解】 略 25. 已知二次函数（其中 、为常数）． （1）若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； （2）若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． （3）若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线 于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标． 【答案】（1）二次函数的图象与轴有 个公共点； （2）； （3）点横坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）利用判别式 判断即可； （2）开口向上的抛物线，点距离对称轴的距离越大函数值越大； （3）设，则，则PH的中点为，根据等腰直角三角形的性质可得或，将点代入函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴二次函数的图象与轴有 个公共点； 【小问2详解】 ∵的对称轴为， ∴，， ∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小， 又∵， ∴； 【小问3详解】 将点和代入， 得， 解得 ，， ∴， ∵设直线 的解析式为：， 将点和代入，得：， 解得， ， ∴ ， ∵设， 轴，点在直线 上， ∴， ∴的中点为， ∵为斜边，根据等腰直角三角形的性质，点在直线上，点到的距离， ①当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴当时，， 解得(舍)或； 当时，， 当时， 解得 或(舍)； 当 时，， ②当 时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴或， 当时，， 解得(舍)或(舍)； 当时， 解得 (舍)或(舍)； 综上所述：点横坐标为或． 26. 如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数的图像为直线l，已知两点、． （1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得 ．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； （2）直接写出点C的坐标为______； （3）点P在x轴上， 的最小值为______． 【答案】（1） 点即为所求， （2） （3）10 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，一次函数图象上的点的坐标特征，最短路径问题，两点之间的距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）作线段 的垂直平分线交直线于点即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义得，点 是线段 的中点，轴，可得点 的坐标 ，再将 代入，即可得点的坐标； （3）作点 关于轴的对称点，连接 交轴于点，则当、、三点共线时，的值最小，即 的值最小，最小值为 的长度，由此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作线段 的垂直平分线交直线于点即为所求， ∵是线段 的垂直平分线， ∴， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵是线段 的垂直平分线， ∴点 是线段 的中点，轴． ∵、， ∴，即． 将 代入得，， 解得， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，作点 关于轴的对称点，连接 交轴于点， ∴， ∴要使 的值最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为 的长度． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ 的最小值是10． 故答案为：10． 27. 如图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架 连接靠背 和小桌板，点 是杯托处，此时靠背 垂直于地面，小桌板平行于地面．测得．． （1）在图2中，_____； （2）靠背 绕点 旋转至与小桌板支架 重合的位置，如图3所示，杯托 处凹陷深度为．若乘客水杯竖直放在杯托 处（与 重合，水杯宽度不计），出于安全考虑，水杯顶端点到靠背 的距离不得小于． ①_____； ②求乘客水杯的最大高度．（参考数据：） 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）作，由题意可知，则．结合，可以计算出； （2）①根据平行线的性质可得； ②过G点作 于H点， 交 于M点，过M点作于N点，则，，．在中，利用三角函数的定义可得，则可得，．在中，利用三角函数的定义可得，进而可得杯子的高度为． 【小问1详解】 解：如图，作， 由题意可知， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①∵， ∴． 故答案为：． ②如图，过G点作 于H点， 交 于M点，过M点作于N点， 则，，． ∵，， ∴，， ∵ ， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴乘客水杯的最大高度约为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $