广东梅州市2026届高三下学期3月总复习质检数学试卷

试卷类型：A 梅州市高三总复习质检试卷(2026.3) 数 学 本试卷共6页.满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答 题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.在复平面内，复数(1+(m-2)对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是 A.（-∞，-2) B.（-2,0) C.(0,2) D.(2,+oo) 2.已知{an}为等差数列，a3=2,a4=6,则a5+a6= A.36 B.24 C.18 D.12 3.为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩X(单位：次)近似服从正态 分布N(160,σ，且P(120<X<160)=0.45,则该校2000名学生中约有()人一分钟 跳绳超过200次. A.100 B.150 C.200 D.250 高三数学试卷“第1页共6页 4.已知全集U=AUB={1,2,3,4,5),An(CuB)={2,4},则下列结论不，定成立的是 A.{2,4}∈A B.(CuA)B C.{1,3,5}≤B D.{1,3}≤CuA 5.已知椭圆c: 2+上=1与双曲线「：x上=1有着公共的焦点F、F,椭圆C与双曲线r 9 m m 的一个交点为Q,则△FQF2的面积为 A.3 B.4 C.5 D.6 6.甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录， 每局甲赢的概率为 乙赢的概率为二，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未 能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲 分得奖金()元. A.3600 B.3800 C.4000 D.4200 7.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：cm)与时间t(单位：s)之间的关系为 y=10 sin,则当位移y=6cm时，弹簧振子的瞬时速度大小为()cms. 2 A.4π B.5π C.6π D.8π 8已知实数a和6（共中b>D满足方程：专+2加b=a+片则下列不等式成立的是 A.e>b2 B.a2>e C.a>2b D.a>Inb 高三数学试卷第2页共6页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关 性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下： 车型与地区 100% 80% 60% 40% 20% 0% 甲地 乙地 日燃油车口新能源车 题9图 根据此统计图，下列结论正确的是 A.在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B.在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C.根据小概率值a=0.001的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D.从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 附： n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' n=a+b+c+d. a 0.05 0.01 0.001 c 3.841 6.635 10.828 高三数学试卷第3页共6页 10.关于函数fx)=sinx·sin3x,以下结论正确的有() A.fx)是轴对称图形 B.fx)的最大值为1 C.fx)是以π为一个周期的周期函数 D.fx)在[0，上有4个零点 I1.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC,AD⊥CD,EC⊥平面ABCD, AD=CE=2,BC=CD=1,M、N分别为棱DE、CE上的动点，设DM=DE(0≤1≤1)， C=uCE(0≤4≤1)，则 A.当H=O时，存在2，使得MN∥平面ABE B.当4=O时，存在L,使得AN⊥BM C当A=,且AN与BW相交时，A-名 3 D 题11图 D.三棱锥E-BCD的外接球在底面ABCD上的截痕长为√ 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、 广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备 种不同的车票， 13.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(-1,1)，点Q为圆C:(x-2)+y2=2上的动点， 则0丽.00的最小值为 14.数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列{α} 经过n次扩充后的新数列记为{a},项数记为P,所有项的和记为S·现若扩充规 则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列{a,b,c}经过一次扩充后得到数列 {a}={a,a+b,b,b+c,c},P1=5,S,=2a+3b+2c.已知初始数列{a}={-3l,3},则 P= ；Sn= 高三数学试卷‘第4页共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)如图，F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，P是抛物线C在第一象限上的一点， ∠OFP=60°，PH=2. (1)求抛物线C的方程： (2)求抛物线C在点P处的切线方程. F(o) 题15图 16.(15分)如图，在斜三棱柱ABC-A1BC,中，侧面ABB1A1⊥底面ABC,△ABC是等腰直 角三角形，AC⊥BC,△ABA1是边长为2的等边三角形. B (1)求点A到平面A,BC的距离； C (2)求二面角A-AB-C的正弦值. 题16图 17.(15分)在△ABC中，角4B,C所对的边分别为a,hc,已知b=5 -csin A+acosC. 3 (1)求角A的大小： (2)若D为边BC上一点，满足BD=2CD,且AD=2,求△ABC的面积最大值. 高三数学试卷第5页共6页 18.(17分)(1)求函数f)=xx在区间5,3)上的值域： （2)设函数g倒=-x号 -xlnx. ①求证：当a=0时，gx)有唯一零点； ②若x1,2分别是gx)的两个不相等的极值点，求证：x1+x2>a+2. 19.(17分)(1)一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随 机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用X表示停止时摸出红球的次数， ①求X的分布列和数学期望； ②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过02的概率. (2)某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目 参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选 定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参 加者是否更换选择。 问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊，） 高三数学试卷第6页共6页梅州市高三总复习质检（2026.3) 数学参考答案与评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A D B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 BCD ACD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.30 13.-4 14.Pn=2”+1;Sn=3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 解：(1)以题意知，抛物线C:y2=2px(p>0)的准线1：x=- 2 ….1分 如图，过P作PM⊥OF,垂足为M, 过P作PN⊥I,垂足为N, 设P(x,y),x>0y。>0, 由抛物线定义知，PN=x,+号=PF=2,.3分 2 在Rt△PMF中，PF=2,∠PFM=60°， 所以MF=1, F(50) 即有x,=-1, 2 .4分 于是有（-小号-2. 解得：p=3, …….5分 因此抛物线C的方程为y2=6x. ………….6分 2)由1)得x=号-1= 2 2 代入抛物线C的方程得=6x号，%-5。 所以吃： .7分 可设抛物线C在点P处的切线方程为”-V5=x …….8分 联立方程y-5=( 2 ….9分 y2=6x 显然切线不平行x轴，故其斜率k≠0， 将0-号代入，消去，整理用：少- (65-3=0, (k 因为相切有4=(-女 -3)=0 ……10分 即有：36-24V3k+12k=12(k-√3)=0， …….11分 因此k=√5， ……….12分 所以抛物线C在点P处的切线方程为y-5=5-为，即2V5x-2y+5=0. ..13分 16.(本小题满分15分) 解：(1)取AB中点O,连接CO,AO 由题意，易得C0LAB,AOLAB,AO=√5， ….2分 法一：因为侧面ABB,A⊥底面ABC,侧面ABB,A∩底面ABC=AB, 所以AO⊥平面ABC.所以A,O是三棱锥A-ABC的高 .3分 又因为在Rta4OC中，A,C=VA02+0C2=2, 而AB=2,BC=V2, ………4分 所以△ABC为等腰三角形，且边BC上的高等于 .5分 √万2 ………6分 记点A到平面ABC的距离为h, 3 时9a台生少 于是得，= 2√21 7 ….9分 法二：以O为原点，分别以OC,OB,OA所在直线为x,y,z轴，建立坐标系O-z, 易知O(0,0,0),B(01,0),A(0,-1,0),C(1,0,0),A,(0,0,5),B1(0,2,V3),.3分 所以BA=(0,-1,V5),BC=4,-1,0),...4分 设平面ABC的法向量为=(x,为，1)， i:4B=-y+V32,=0 所以 BC==0 ……6分 令y=V3,得x=√5，，=1， 得到平面ABC的一个法向量=(3，V3,1),.7分 又因为A4=(0,1,V3), 所以点A到平面ABC的距离等于14·= 252W21 ….9分 | V3+3+17 (2)法一：设点A在平面ABC上的投影为H,AB的中点为M,连结AM和M, 因为△ABA是边长为2的等边三角形， 所以AM⊥AB,且AM=V3,...11分 而AH1平面ABC,所以HM⊥AB，.12分 因此∠AMH为二面角A-AB-C的平面角，.13分 在Rt△AHM中， 2w5 sin∠AMH= AH、 hV万2万. ……….15分 AM33 > 法二：易知OC=1,0,0)为平面A4B的一个法向量， …11分 又由(D知平面4BC的法向量为元=亿23)， 所以co8<元，OC= i.OC V21 OC V+1+11 7, ...13分 因此二面角A-AB-C的正弦值为 即为3V分 7 .15分 17.(本小题满分15分) 解：(1)因为6= -c sin A+acos C, 由正弦定理，得：2R5nB=52Rs血CsnA+2 Rsin AcosC,1分 所t以snB=Y5 sin Csin+sin AcosC, 3 .2分 而B=元-(A+C), 即有sin(4+c)= -sin Csin A+sin AcosC, 3 …….3分 所以sin AcosC+cos AsinC=y3g -sin Csin A+sin AcosC, 3 ………4分 所以cos4sinc=5 sin Csind, 3 又0<C<π，所以sinC≠0， 于是cosA=5sinA,所以anA=5, 3 …………5分 又因为0<A<元， 故4=号 …6分 (2)因为D为边BC上，满足BD=2CD, 所以BD=2DC, 7分 所以AD-AB=2(AC-AD, 于是ADc。 …….8分 所以d号4c号证4c, ………9分 即有hd-d+号Ad+号aCcos号 即2：=1c2+4b+4cb.c0 9 9°9 3 ……10分 所以4=c+46+c≥2x5×22c6-c 9 9 339 3 ……………12分 所以4≥2bc,即bc≤6， .13分 当且仅当S_2乃时，即c=2b=2√5时，取等号， .....14分 33 SAABC bc sinA-bcsinbes -×6= 2 2 34 4 2 ……….15分 △4BC的面积最大值为3V5. 2 18.(本小题满分17分) (1)解：对函数f(x)求导，得f(x)=nx+1. 由f(x)=0,得x=1 …….1分 当xe卡)f(x)<0,)在8)上单调递藏： 当x23}>0,在已3}上卓调港指， ….2分 所以f-f日)-日 …….3分 图w3)-3周)=9 所以f(x)x=f(3)=3血3 .4分 故[传习件恤装为灯[n …..5分 2》证明：0当a-0啡g- 2 -xnx,x∈(0，+∞）， 则g(x)=x-nx-1. ……………….6分 令M0-g(.x=0,-,则- 由h(x)=0,得x=1, 当x∈(0,1)时，H(x)<0,h(x)单调递减： 当x∈(1，+∞)时，(x)>0,h(x)单调递增， .7分 所以h(x)≥h(1)=0,即g(x)≥0， .8分 因此g(x)在(0，+∞）上单调递增. .9分 面g0-1-分1xn1=0, 当x∈(0,1)时，g(x)<g(1)=0:当x∈(1，+∞)时，g(x)>g(1)=0: 所以g(x)在(0，+∞)上有唯一零点x=1. .10分 ②对函数g(x)求导，得g'(x)=x-lnx-1-a,x∈(0，+∞) 由①，得g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞）上单调递增， g(x)≥g(1)=-a. …….11分 因为x→0，g(x)→+∞；x→+∞，g(x)→+∞， 所以要使得g(x)有两个不等的极值点，即g(x)有两个不等的零点， 则g(1)=-a<0,即a>0. ,12分 不妨设0<x<1<x2,则x-lnx-a-1=0,x2-lnx2-a-1=0 -Inx=a+1,x-Inx,=a+1. 要证x+x2>a+2,即证x2>a+2-x1=1-nx. ….13分 下证：x2>a+2-x=1-nx 令p(x)=g'(x)g(1-lnx)）=x-1+ln(1-mx),x∈(0,1)，.....14分 则p(x=1- 1x(1-mx)-1 x(1-nx）x(1-nx） 令(x)=x(1-nx)-1,x∈(0,1)，则t(x)=-lnx>0, 所以t(x)在(0,1)上单调递增，则t(x)<t(1)=0,即p(x)<0, 所以p(x)在(0,1)上单调递减， 则p(x)>p(1)=0,即g'(x)>g'(1-nx). 因为x∈(0,1)，所以g(x)>g'(1-nx), .15分 即g(x2)=0=g'(x)>g(1-1nx): …………16分 因为g(x)在(1，+∞)上单调递增，且x,1-nx∈(1，+∞)， 所以x,>1-nx, ……….17分 即证得x+x2>a+2. 19.(本小题满分17分) 1 解：(1)①每次有放回的抽取，每次抽到红球的概率为p= ………1分 所以X~8(6宁 即PX=)=Cr-,k=0123,45, ……….3分 得到X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 32 80 80 40 10 1 243 243 243 243 243 243 .5分 期望为E(X)=p=5× 1_5 33 ……6分 ②软盟应，样本比倒为子现医求号北02。 …………….7分 得了r<骨X-12, .8分 所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过0.2的概率为 =1)+PX=2)=80+80 243243243 ....10分 (2)记A表示初始选择时选得汽车的事件，B表示更换选择后选得汽车的事件，.·11分 则P-}PR④-子 ….12分 所以P(B|A)=0,P(BA=1, ….13分 则P(B)=PA)P(B1A)+P④-P(BA=x0+2×1= 2 3 3 ….14分 因此不换们选汽车的质牵是P0-} ………….15分 2 换门选中汽车的概率是P(B)= 3 ......16分 故而得结论：当主持人开启剩余之山羊门后，节目参加者换门更好，因为此时其获得 汽车的概率是不换门的两倍。 …17分