6.1.3　相等向量与共线向量 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1.3　相等向量与共线向量 【学习目标】 　　1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量(共线向量)的意义和两个向量相等的含义. 　　2.能够在熟悉的实际问题情境中,理解平面向量的几何表示和基本要素. ◆ 知识点一　向量的概念 1.向量:既有　　　　又有　　　　的量叫作向量.   2.数量:只有　　　　没有　　　　的量称为数量.   ◆ 知识点二　向量的几何表示 1.有向线段 (1)有向线段:具有　　　　的线段叫作有向线段.  (2)表示方法:以A为起点,B为终点的有向线段记作,如图. (3)有向线段的长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作||. (4)有向线段包含三个要素:　　　　　　　　.  2.向量的表示方法 (1)向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的　　　　表示向量的大小,有向线段的　　　　表示向量的方向.如,.  (2)向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母a,b,c,…表示,书写时,用带箭头的小写字母,,,…表示. 3.向量的相关概念 (1)向量的模:向量的大小称为向量的　　　　(或称模),记作　　　　.  (2)零向量:长度为　　　　的向量叫作零向量,记作　　　　.  (3)单位向量:长度等于　　　　　　的向量叫作单位向量.   【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有向线段可以表示向量. (　 ) (2)在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是半径为1的圆. (　 ) 2.在如图的方格纸上,每个小正方形的边长为1,则||=　　　　.  3.0与0有什么区别和联系? ◆ 知识点三　相等向量与共线向量 1.平行向量:方向　　　　　　的　　　　叫作平行向量.向量a与b平行,记作　　　　.规定:零向量与任意向量平行.   2.相等向量:长度　　　　且方向　　　　的向量叫作相等向量.向量a与b相等,记作a=b.   3.共线向量:任一组　　　　都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫作　　　　.   【诊断分析】 如图所示,已知四边形ABCD与四边形ABDE都是平行四边形. (1)图中与向量共线的向量有　;  (2)图中与向量相等的向量有　　　　　　.  ◆ 探究点一　向量的基本概念 例1 (1)[2025·天津宝坻区九中高一月考] 下列说法中正确的是 (　 ) A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 (2)给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中是向量的有　　　　　　.(填序号)  变式 (多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.向量与向量长度相等 B.起点相同的单位向量,终点必相同 C.向量的模可以比较大小 D.任一非零向量都可以平行移动 [素养小结] 解决与向量概念有关问题的方法 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度;零向量的核心是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任意向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. ◆ 探究点二　向量的几何表示 例2 如图是中国象棋的半个棋盘示意图,“马走日”是象棋中“马”的走法,“马”可从A跳到A1,也可从A跳到A2,用向量,表示“马”走了“一步”,试在图中画出: (1)“马”从A处走到B处的一种情况; (2)“马”在C处走了“一步”的所有情况. 变式 [2025·滨州高一期中] 如图,某人从点A出发,向西走了200 m后到达点B,然后沿北偏西一定角度的某方向行走了100 m后到达点C,最后向东走了200 m后到达点D,发现点D在点B的正北方向. (1)作出,,,; (2)求的模. [素养小结] 在画图时,向量是用有向线段来表示的,用有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.应该注意的是有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段. ◆ 探究点三　相等向量与共线向量 例3 下列说法正确的是 (　 ) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点且长度相等的向量,它们的终点相同 C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 例4 如图所示,点O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中: (1)分别写出与,相等的向量. (2)写出与共线的向量. (3)写出与的模相等的向量. (4)向量与是否相等? 变式 如图所示,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形. (1)与向量相等的向量有　　　　;  (2)与向量相反的向量有　　　　;  (3)与向量的模相等的向量有　　　　　　.(填图中所画出的向量)  [素养小结] 判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.判断一组向量是否共线,只需判断它们是否同向或反向. 　　　　　　　参考答案 【课前预习】 知识点一 1.大小　方向　2.大小　方向 知识点二 1.(1)方向　(4)起点、方向、长度 2.(1)长度　方向 3.(1)长度　||　(2)0　0　(3)1个单位长度 诊断分析 1.(1)√　(2)√　2.3 3.解:区别:0与0不同,0表示数量,0表示零向量.联系:|0|=0. 知识点三 1.相同或相反　非零向量　a∥b 2.相等　相同　3.平行向量　共线向量 诊断分析 (1),,,,,,　(2)和 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)②③④⑤　[解析] (1)对于A,根据向量的概念,可知零向量的模为零,故A错误;对于B,根据单位向量的定义,可知单位向量的模为1,方向为任意方向,所以单位向量有无数个,故B错误;对于C,向量的大小与方向没有关系,故C正确;对于D,向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小,故D错误.故选C. (2)是向量的有②③④⑤,是数量的有①⑥⑦. 变式　ACD　[解析] 和长度相等,方向相反,故A正确;单位向量的方向不确定,故起点相同时,终点不一定相同,故B错误;向量的长度可以比较大小,即模可以比较大小,故C正确;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故D正确.故选ACD. 探究点二 例2　解:(1)“马”从A处走到B处的一种情况如图所示(答案不唯一). (2)“马”在C处走了“一步”的情况一共有8种,如图所示. 变式　解:(1)根据题意可知,点B在坐标系中的坐标为(-200,0).因为点D在点B的正北方向,点C在点D的正西方向, 所以BD⊥AB,CD⊥BD. 又||=100,||=200,所以||=300,即D,C两点在坐标系中的坐标分别为(-200,300),(-400,300). 作出,,,如图所示. (2)由勾股定理得DA==100,则||=100. 探究点三 例3　A　[解析] 因为||=||,所以向量与向量的长度相等,故A正确;对于两个有共同起点且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同,故B错误;当b=0时,a与c可能不平行,故C错误;若两个单位向量平行,它们也可能反向,则这两个单位向量不相等,故D错误.故选A. 例4　解:(1)=,=. (2)与共线的向量为,,. (3)与的模相等的向量为,,,,,,. (4)不相等. 变式　(1)　(2),　(3),,,, [解析] (1)因为四边形AOCD为平行四边形,所以AD∥OC,且AD=OC.由图可知,与向量相等的向量有. (2)由已知可得,OA∥CD,且OA=CD,OA∥BE,且OA=BE,所以与向量相反的向量有,. (3)因为O是正三角形ABC的中心,所以OA=OB=OC,又OA=CD=BE,OC=AD,所以与向量的模相等的向量有,,,,. 学科网（北京）股份有限公司 $