精品解析：贵州省毕节市梁才教育集团初中集团2025-2026学年上学期九年级上学期第四学月定时训练数学试题

梁才教育集团初中集团初2023级第四学月定时训练 数学科试题 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共36分，请将正确答案规范填涂在答题卡上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此逐一判断即可解答． 【详解】解：A：，未知数x的最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； B：，只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； C：，含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，不符合题意； D：，未知数x的最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：B． 2. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， 根据勾股定理，得：OB＝＝＝4， ∴BD＝2OB＝8， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键． 3. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数上点的特征，判断点是否在函数图象上是解题的关键． 根据反比例函数的图象经过的点满足，因此计算各选项点的坐标判断是否在反比例函数的图象上即可． 【详解】解：对于A：当时，，∴在反比例函数的图象上，∴符合题意； 对于B：当时，，∴不在反比例函数的图象上，∴不符合题意； 对于C：当时，，∴不在反比例函数的图象上，∴不符合题意； 对于D：当时，，∴不在反比例函数的图象上，∴不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，正确掌握正切值的求法是解题的关键． 根据正切的定义解答即可． 【详解】解：在中，，若，， 则． 故选：A． 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移．根据二次函数图象的平移规律“上加下减”，向上平移时，在整个函数表达式后加上平移单位，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线 向上平移2个单位长度， ∴新解析式为， 故选：B． 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是平行四边形 C. 两条对角线相等四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的判定可判断A，由平行四边形的判定可判断B，由矩形的判定可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：两条对角线垂直平分的四边形是菱形，故原说法是假命题，故A不符合题意； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法是假命题，故B不符合题意； 两条对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法是假命题，故C不符合题意； 所以D是真命题，D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形的判定，掌握“平行四边形，矩形，菱形的判定方法”是解本题的关键． 8. 关于的方程，下列说法中正确的有（ ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，根据判别式可判断①②；当时，方程变为，解方程即可判断③；把代入原方程，求出方程左边的值，看方程左右两边是否相等即可判断④． 【详解】解：①若，则该方程没有实数根，原说法正确； ②当时，则，若，则方程无实数根，原说法错误； ③当时，方程变为，即，解得或，原说法正确； ④当时，把代入原方程，方程左边，此时方程左右两边相等，故是原方程的解，原说法正确． 故选：C． 9. 一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在附近，可得摸到红球的概率为，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选：C． 10. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 整个过程中下降的高度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．根据含直角三角形的性质，直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，等边三角形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴整个过程中下降的高度为， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形，故A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意． 故选：D． 11. 如图，长方形纸片中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 5.8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设DE=EB=，在Rt△ADE中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是由四边形EFCB翻折得到， ∴DE=EB， 设DE=EB=， 在Rt△ADE中， ∵∠A=90°，AD=4，DE=EB=，AE=， ∴， 解得：， ∴DE=5.8， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折中的不变量解决问题，学会把问题转化为方程去思考，属于中考常考题型． 12. 如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③直线与轴的交点坐标是．其中正确的结论有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】由点的坐标，根据勾股定理可得①正确，进而可以判断②，由，在抛物线上，得到，结合直线解析式可得，进而判断③． 【详解】解： ， ， ， ， 即， ， 即，故①正确； ，， ， ，故②正确； ，在抛物线上, 设直线的解析式为 将，，代入得， ， ， 把代入得：， 直线与轴的交点坐标是，故③正确； 综上，正确结论有3个． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边的中点，且，则菱形的周长为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质；根据菱形的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵为边的中点，且， ∴， ∴菱形的周长为； 故答案为：24． 15. 小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为的竹竿影长，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示．他测得留在地面部分的影子长，留在墙壁部分的影高，则树的高度为_____． 【答案】##米 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的应用：构造相似三角形进行求解即可． 【详解】解：如图： 为竹竿，为它的影子，， 为树，是树的影子，． 过作于，则由题可知， ， ， ∴四边形是矩形， ∴树高， 故答案为：． 16. 如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，延长交于点，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，可证，，，利用勾股定理可以求出，根据等腰三角形的性质可知，可证，从而可得． 【详解】解：如下图所示，过点作， ， ， 是边上的中线， ， ，， ，，， ， ， ， ，是边上的中线， ， 又， ， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形． 三、解答题（请写出完整的解题步骤，共98分） 17 （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）先将特殊角的三角函数值代入，化简二次根式，然后计算乘法，最后算加减法即可． 【详解】解：（1）， ， ∴或， 解得，； （2） ． 18. 如图．在中，于点D，若． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 19. 为了弘扬中华优秀传统文化，某校组织了一次古诗词诵读比赛，比赛成绩分为A、B、C、D四个等级，随机抽取部分学生的比赛成绩进行调查，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）若该校共有200名学生，请估计比赛成绩为D等级的学生人数？ （4）小光、小明、小红三名同学的成绩属于A等级，学校准备派2名学生参加县级古诗词诵读比赛，请你用列表法或画树状图法，选中小光和小红两名同学参加比赛的概率． 【答案】（1）20人 （2）图见详解 （3）40人 （4） 【解析】 【分析】（1）用的人数除以的百分比即可； （2）求出的人数，即可补全条形统计图； （3）总人数乘以比赛成绩为D等级所占百分比即可； （4）列表，可得到所有情况，即可求解． 本题考查了条形统计图，扇形统计图，列表求概率，掌握知识点是解题关键． 【小问1详解】 解：抽查总人数（人） 故答案为：20； 【小问2详解】 解：等级的人数（人） 【小问3详解】 补全条形统计图如图： 解：等级的学生占比， 估计比赛成绩为D等级的学生人数为：（人） 故答案为：40人； 【小问4详解】 解：根据题意，列表如下： 小光 小明 小红 小光 （小光，小明） （小光，小红） 小明 （小明，小光） （小明，小红） 小红 （小红，小光） （小红，小明） 共有6种可能的结果，其中选中小光和小红两名同学参加比赛有2种情况， 所以选中小光和小红两名同学参加比赛的概率为：． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中， （1）画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； （2）在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； （3）与的周长比为_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的画法与位似图形的性质，解题的关键是掌握位似图形的作图方法及相似图形的周长比与位似比的关系． （1）以点为位似中心，按位似比确定的位置并画图； （2）以原点为位似中心，在第三象限按位似比确定的位置并画图； （3）利用位似图形的周长比等于位似比计算比值． 【小问1详解】 解，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为：． 21. 如图，，是一次函数图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出一次函数的表达式是，然后求出点的坐标是，再根据三角形面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：在反比例函数的图象上， ， 故反比例函数的表达式是． 【小问2详解】 解：当时，，故点坐标是， 根据题意，得， 解得， 故一次函数的表达式是， 在中，令， 解得， 则点的坐标是， ． 22. 如图，某小区内有一条南北方向的小路，某快递员从小路旁的处出发沿南偏东方向行走将快递送至楼，又继续从楼沿南偏西方向行走将快递送至楼，求此时快递员到小路的距离（参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】过B作于D，过C作于E，过B作于F，则四边形是矩形，得到，解直角三角形即可得到结论． 详解】解：如图，过B作于D，过C作于E，过B作于F， 则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， 在中 ，，， ∴， ∴， 答：快递员到小路的距离是． 23. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长是 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识的综合，掌握矩形的判定方法及性质是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合，由矩形的判定方法即可求证； （2）根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到，则，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在中，，即的长是． 24. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利3元，为了尽快减少库存，商场决定降价促销，让利给消费者，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.5元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利1200元，求每张贺年卡应降价多少元？ 【答案】每张贺年卡应降价1.5元 【解析】 【分析】设每张贺年卡降价x元，则每张盈利元，平均每天可售出张，利用每天销售该种贺年卡的利润每张的利润平均每天的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每张贺年卡降价x元，则每张盈利元，平均每天可售出张， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每张贺年卡应降价1.5元． 25. 综合与实践 为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚．处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米．米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式： 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作的垂线，与相交于，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1，不妨设抛物线的解析式为，根据题意，得于是得到，代入解析式解方程组解答即可． （2）利用待定系数法，求得直线的解析式为：，根据抛物线的解析式，结合点M的横坐标为m，可设点，则，则，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得到抛物线的顶点坐标的横坐标为1， 设抛物线的解析式为：， 根据题意，得， 故，， 代入解析式，得，解得， ， 故抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为． 设点，则， 则 ， ， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，函数有最大值，最大值为， 答：线段长度的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梁才教育集团初中集团初2023级第四学月定时训练 数学科试题 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共36分，请将正确答案规范填涂在答题卡上） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　） A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 3. 已知，下列比例式中，正确是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，真命题是（ ） A. 两条对角线垂直的四边形是菱形 B. 对角线垂直且相等的四边形是平行四边形 C. 两条对角线相等的四边形是矩形 D. 两条对角线相等的平行四边形是矩形 8. 关于的方程，下列说法中正确的有（ ）个． ①若，则该方程没有实数根； ②若，则该方程的两个根互为相反数； ③若，则该方程一定有两个实数根； ④若，则一定是这个方程的实数根． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 9 B. 10 C. 7 D. 8 10. 如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，已知，点D为的中点，从A滑行至B的过程中，下列说法错误的是（ ） A. B. 为等边三角形 C. D. 整个过程中下降的高度为 11. 如图，长方形纸片中，，，按如图的方式折叠，使点与点重合，折痕为，则长为（ ） A 4.8 B. 5 C. 5.8 D. 6 12. 如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③直线与轴的交点坐标是．其中正确的结论有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算：_____． 14. 如图，在菱形中，对角线，相交于点，为边中点，且，则菱形的周长为__________． 15. 小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为的竹竿影长，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示．他测得留在地面部分的影子长，留在墙壁部分的影高，则树的高度为_____． 16. 如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，延长交于点，若，则的长为_____． 三、解答题（请写出完整的解题步骤，共98分） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 如图．在中，于点D，若． （1）求的长； （2）求的值． 19. 为了弘扬中华优秀传统文化，某校组织了一次古诗词诵读比赛，比赛成绩分为A、B、C、D四个等级，随机抽取部分学生的比赛成绩进行调查，根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）若该校共有200名学生，请估计比赛成绩为D等级的学生人数？ （4）小光、小明、小红三名同学的成绩属于A等级，学校准备派2名学生参加县级古诗词诵读比赛，请你用列表法或画树状图法，选中小光和小红两名同学参加比赛的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中， （1）画出一个以点为位似中心的图形，使与的位似比为2∶1； （2）在第三象限内，以原点为位似中心，画出，使与的位似比为1∶1； （3）与的周长比为_____． 21. 如图，，是一次函数图象和反比例函数图象的两个交点． （1）求反比例函数的表达式． （2）求面积． 22. 如图，某小区内有一条南北方向的小路，某快递员从小路旁的处出发沿南偏东方向行走将快递送至楼，又继续从楼沿南偏西方向行走将快递送至楼，求此时快递员到小路的距离（参考数据：）． 23. 如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求线段的长． 24. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利3元，为了尽快减少库存，商场决定降价促销，让利给消费者，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.5元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利1200元，求每张贺年卡应降价多少元？ 25. 综合与实践 为践行五育融合，提升学生实践能力，某校开展了“劳动周”主题实践活动．如图是该学校劳动实践园地截面示意图，其中为该园地斜坡坡面所在直线，，分别表示斜坡在竖直平面内的铅直高度和水平宽度．斜坡顶部处有一竖立的喷灌，处喷头可以沿斜坡向下喷水（喷出的水流成抛物线状），用于浇灌园地内种植的植物．当喷灌喷射最远时，喷出的水流正好能喷到坡脚．处，此时水流最高点距的水平距离为1米．现已知米．米，米． 数学建模： （1）如图，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．当喷出的水流刚好喷到坡脚处时，设水流某处距离的高度为米，该处距离的水平距离为米，求与之间的函数表达式： 问题解决： （2）“智慧小组”提出问题：若点为（1）中抛物线上任意一点，过点作垂线，与相交于，设点的横坐标为，求线段长度的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $