精品解析：2026年江苏省南京市两校联盟南京市弘光中学等校一模数学试题

初三第一次模拟考试 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. 81 C. D. 2. 去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000．将2430000用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 计算：___________． 8. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 9. 若，化简______． 10. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 11. 如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________． 12. 如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在边上，连接，，，且，以的中点为圆心，长为半径画圆，交边于点，交于点． （1）连接， ___________度; （2）若，则的长为___________． 13. 如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为_________m． 14. 抛物线的顶点坐标为，则的最大值为____． 15. 玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 16. 如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 已知，，均为实数，求的值． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 20. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）连接，在（1）的条件下，求的长度． 21. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 22. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 23. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，； （1）求证：与相切； （2）在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． （1）求的值； （2）若，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． （2）若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 26. 如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． （1）如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）设四边形面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 27. 在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： （1）图中的度数为______°； （2）求的长（精确到）； （3）请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第一次模拟考试 一、单选题（每小题2分，共12分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. 3 B. 81 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：，且算术平方根本身为非负数， 的算术平方根是． 2. 去年，江苏省城市足球联赛热度空前，赛事全程吸引现场总观众人数超2430000．将2430000用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：2430000用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数值，直接把代入中进行求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 故选：C． 4. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 5. 下列各式计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方． 根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选：C． 6. 如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出x即可． 【详解】解：连接， 设， ∵是的弦，半径于点D．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 解得（舍去）， ∴． 故选：C． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7. 计算：___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂．利用零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】分式有意义的条件是分母不为零． 本题考查了分式的性质，熟知分式的分母不为零是解题关键． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母 ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 9. 若，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10. 图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数． 【详解】解：如图，延长，交于点， ， ， ∵是正边形纸片， ∴， 即正多边形的一个外角为， ． 【点睛】重点掌握正多边形和外角的关系． 11. 如图，在平行四边形中，点为边上任意一点，点，点分别是，的中点，若，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据中点的定义判定是的中位线，利用三角形中位线定理计算即可.  【详解】解：四边形是平行四边形， ； 点，点分别是，的中点， 是的中位线；  .  12. 如图，是等边三角形，点在的延长线上，点在边上，连接，，，且，以的中点为圆心，长为半径画圆，交边于点，交于点． （1）连接， ___________度; （2）若，则的长为___________． 【答案】 ①. 75 ②. 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求出，再利用直径所对圆周角为直角得到，从而求出，最后结合等边三角形的外角，计算出的度数． （2）连接，利用直径所对圆周角为直角得到，在中求出的表达式，再根据求出，最后在中计算的长度． 【详解】解：（1）如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是圆的直径， ∴， 在中，，， ∴， ∴； （2）连接，设是等边三角形，边长为， ∵是圆的直径， ∴， ∵是等边三角形，边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， 故答案为：①；②． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、圆的性质（直径所对的圆周角是直角）、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握通过线段和差建立方程求解边长的方法是解题的关键． 13. 如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为_________m． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，利用时间路程速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】解：设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为， 根据题意得：， 即， 解得：， 小明到站之间的距离最大为． 故答案为：． 14. 抛物线的顶点坐标为，则的最大值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和最值，由顶点坐标可得抛物线的顶点式，从而表示出和关于的表达式，代入得到关于的二次函数，求其最大值即可． 【详解】解：的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， 展开得， ，． 则． 此为关于的二次函数，开口向下，当时取得最大值， 最大值为； 故答案为：3． 15. 玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 16. 如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质； 过点B作，且，连接、、，求出，证明和全等，可得，把求的最大值转换为求的最大值即可． 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵， ∴， 即的最大值为． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 已知，，均为实数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性求出、的值,代入代数式即可求解． 本题考查了二次根式的基本性质，掌握二次根式的非负性是解题关键． 【详解】解：∵， ∴, ∴ ∴ 原式． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．根据分式的混合运算法则化简，然后把x的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 某市道路改造中，需要铺设一条长为1200米的管道，为了尽量减少施工对交通的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了25%，结果提前8天完成任务，那么原计划每天铺设管道多少米？ 【答案】30米 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设米，根据“提前8天完成任务”列分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天铺设管道x米， ， 化为整式方程，得：， 解得， 检验，当时，， 即是原分式方程的解． 答：原计划每天铺设管道30米． 20. 如图，在中，，，，D是的中点． （1）求作：使圆心O在上，且经过B、D两点，与交于点E；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）连接，在（1）的条件下，求的长度． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，相似三角形的性质与判定，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）点O一定在线段的垂直平分线上，而圆心O在上，则点O为的中点，据此作线段的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画弧交于点E即可； （2）由（1）可知，为的直径，则；由勾股定理可得的长，证明，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）可知，为的直径， ∴； ∵在中，，，， ∴； ∵D是的中点， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 21. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 22. 某校随机对部分学生“整理错题的行为习惯”进行问卷调查．问卷主题是：“作业或考试中做错的题目你及时纠错解疑吗？”，设置的选项有：A：偶尔，B：较少，C：较多，D：一直．将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图如图． 请根据图中信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查人数是_____，请补全条形统计图； （2）扇形统计图中选项“较少”占的百分比中_____，选项“较多”对应的圆心角是_____度； （3）若该校共2400名学生，请根据统计结果估计“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有多少名？ 【答案】（1）200， 补全条形统计图，如图所示： （2）；108 （3）“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的应用，计算扇形统计图中的占比和圆心角，用样本估算总体，掌握好相关知识是关键． （1）用“偶尔”的人数除以占比求得抽样调查的人数，作差求出“较多”的人数，然后补全条形统计图即可； （2）用“较少”的人数除以抽样调查的人数求出占比，同样方法算出“较多”的占比，再乘以得出“较多”对应的圆心角； （3）计算出“一直”在样本中的占比，再乘以全校学生数即可． 【小问1详解】 解：对比两个统计图可知，“偶尔”的人数为人，占比， ∴本次抽查的人数为（人）， ∴“较多”的人数为（人）， 【小问2详解】 解：“较少”的百分比为， ∴， “较多”对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：“一直”对错题进行纠错解疑的学生约有840名． 23. 如图，点在的直径的延长线上，点在上，连接．已知，； （1）求证：与相切； （2）在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 点，点在上， ∴ ，， ∴ ， ∴ 与相切． （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，特殊角的三角函数，求扇形的面积，解题的关键是：熟练掌握相关定理． （1）连接，由，，得到，，由，得到，进而得到，即可求证； （2）作，根据特殊角三角函数求出，，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，过点作于， ∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴，即， ∴ ， ∴ ，， ∴ ． 24. 如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，完全平方公式，证明是解题的关键． （1）根据题意可得，，则可利用证明，得到，再由线段的和差关系可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则可求出，结合勾股定理可得答案． 【小问1详解】 解：∵，，直线、之间的距离为7， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若，求证：抛物线与轴一定有两个交点． （2）若，点在抛物线上，其中， ①若的最小值是，求函数的表达式； ②若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：当时，抛物线方程化为， ∵ 抛物线与轴一定有两个交点； （2）①，②或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，理解二次函数与不等式的关系是解题的关键． （1）把代入抛物线方程，根据抛物线与一元二次方程的关系求解即可； （2）把代入抛物线方程，得，①根据抛物线的开口向上，且顶点为最低点列方程求出m的值即可；②先求出当和时的函数值，比较后，根据最大函数值小于列不等式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，抛物线方程化为， 抛物线的顶点为，开口向上， ①抛物线开口向上，对称轴为且， 当时，抛物线的最小值为，即顶点纵坐标， ， ， 故函数表达式为； ②当时，， ∵抛物线开口向上，在内的最大值出现在区间端点离对称轴更远的点， 若对于，都有成立，需保证在取值范围内，两端点的函数值均小于， 当时，， 当时，， ， 化简，得， 解得：或， 的取值范围为或． 26. 如图，四边形中，，，，，于点．线段沿以每秒1个单位的速度向点运动，点从点出发沿以每秒2个单位的速度向点运动．连接交于点，连接，设运动时间为秒． （1）如图1，连接、，当为何值时，四边形为平行四边形？ （2）设四边形面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一个时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，四边形为平行四边形 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、相似三角形的性质与判定、三角形面积公式以及角平分线的性质，解题的关键是根据运动时间表示出相关线段的长度，再结合几何性质建立方程或函数关系； （1）根据四边形为平行四边形，得出，建立方程求解即可； （2）先证明出，再利用性质建立等式表示出的面积，再根据即可求解； （3）过点作于点，证明出，表示出，，，根据平分，进一步证明出，利用性质建立关于的方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：四边形为平行四边形 ， ， 解得：， 当时，四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：由题意得：， 由（1）知：， ， ， ， 因此，与之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：过点作于点 ， ， ． 平分， 解得： 当，平分． 27. 在新书发布现场，常会将一些新书按一定造型摆放，如图1某数学书籍发行现场，将四本新书按着如图2方式摆放在书架的一个格挡中（图中4个完全相同的矩形是书的侧面），最左侧的书贴边垂直摆放，其他三本书倾斜摆放，且，最右侧书的一角S恰好落在格挡边沿．若已知书的高度，宽，解决下列问题： （1）图中的度数为______°； （2）求的长（精确到）； （3）请直接写出格挡的宽度的大小（精确到）（参考数据：，，，，） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）延长交于点，易得，则减去的度数即为的度数； （2）延长交于点，根据的余弦值可得的长度，根据的正切值可得的值，则，加上的长度即为的长度； （3）延长，交于点，作于点，分别求出，，，，的长度，再加上和的长度，即为的大小． 【小问1详解】 解：延长交于点X， 由题意得：、， 、是的外角 故答案为：； 【小问2详解】 解：延长交于点Y， ， 、、 由（1）知， 的长约为； 【小问3详解】 解：延长，交于点Z，与于点， 由（1）知 、 作于点，则 根据题意可得 在中，由勾股定理得： 由题意得：， 的长约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，利用所给长度的线段和角度构造合适的直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $