2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 导学案 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系 学习目标　 1.知道匀速直线运动的位移与v－t图像中矩形面积的对应关系。 2.体验利用极限思想推导位移与时间关系式的方法。 3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关问题。 4.理解匀变速直线运动的速度与位移关系，并会分析有关问题。 知识点一　匀变速直线运动的位移 1.如图为匀速直线运动的v－t图像，图中阴影部分的面积与物体在0～t1时间内的位移在数值上是否相等？ 提示　相等 2.如图甲是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v－t图像。试推导匀变速直线运动的位移与时间的关系。 甲 提示　物体做匀变速直线运动的图像如图甲所示。 (1)可将物体的运动按时间分成若干小段，将每一小段内的运动看成是匀速直线运动，其速度用这一小段起始时刻的瞬时速度表示。这样匀变速直线运动转变成了匀速直线运动的问题。 如图乙中5个小矩形的面积之和近似地代表物体在整个运动过程中的位移。 乙 (2)为了精确一些，把运动过程划分更多的小段，如图丙所示，用所有这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程的位移，会更准确一些。 (3)如果把整个过程划分的非常非常细，很多很多的小矩形就看不出来了，如图丁所示，梯形的面积就能代表整个过程的位移。 v－t图线与坐标轴围成的梯形的面积为 x＝(v0＋v)t① 又v＝v0＋at② 联立①②式可得x＝v0t＋at2。 1.匀变速直线运动位移与时间的关系式 x＝v0t＋at2。 当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)，此时x∝t2。 2.适用条件：仅适用于匀变速直线运动。 3.公式的矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀加速直线运动时，a取正值。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正、负表示其方向。 4.在v－t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负。 　位移与时间关系式的应用 例1 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s2，求： (1)物体在2 s内的位移； (2)物体在第2 s内的位移； (3)物体在第二个2 s内的位移。 答案　(1)2 m　(2)1.5 m　(3)6 m 解析　(1)物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式得物体在2 s内的位移 x2＝at＝2 m。 (2)第1 s末的速度(第2 s初的速度) v1＝v0＋at1＝1 m/s 故物体在第2 s内的位移 xⅡ＝v1t1＋at＝1×1 m＋×1×12 m ＝1.5 m。 (3)第2 s末的速度 v2＝v0＋at2＝0＋1×2 m/s＝2 m/s 也是物体在第二个2 s的初速度 故物体在第二个2 s内的位移 x2′＝v2t2′＋at2′2＝2×2 m＋×1×22 m ＝6 m。 应用位移—时间公式解题的一般步骤 (1)规定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。 (2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。 (3)根据位移与时间的关系式或其变形式列式、求解。 (4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。　　 训练1 一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为 0.5 m/s2，求： (1)物体在前3 s内的位移； (2)物体在第3 s内的位移。 答案　(1)12.75 m，方向与初速度的方向相同 (2)3.75 m，方向与初速度的方向相同 解析　(1)取初速度方向为正方向，则v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2，物体在前3 s内的位移为 x3＝v0t3＋at ＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m 方向与初速度的方向相同。 (2)同理，物体在前2 s内的位移为 x2＝v0t2＋at＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m＝9 m 因此第3 s内物体的位移 x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m 方向与初速度的方向相同。 　利用v－t图像求位移 例2 A、B两车在平直公路上行驶，t＝0时刻两车处于同一位置，两车运动的 /v－t图像如图所示。则关于两车的运动情况，下列说法正确的是(　　) A.5 s内A车的位移为100 m B.2 s时A、B两车的加速度方向相同 C.2 s时B车在A车的前方 D.0～2 s内A车的平均速度大于B车的平均速度 答案　D 解析　v－t图线与时间轴所围图形的面积表示位移，则5 s内A车的位移x＝(v0＋v5)t5＝150 m，A错误；v－t图像的斜率大小表示物体的加速度大小，正负表示方向，由题图可知，2 s时A车的加速度为负，B车的加速度为正，两车加速度的方向相反，B错误；v－t图像中图线与坐标轴所围的面积表示物体运动的位移大小，由题图可知0～2 s内A车的位移大于B车的位移，故2 s时A车在B车的前方，C错误；由＝可知0～2 s内A车的平均速度大于B车的平均速度，D正确。 知识点二　速度与位移的关系 试由x＝v0t＋at2和v＝v0＋at，消去时间t，推导速度与位移的关系式。 提示　由v＝v0＋at得t＝ 代入x＝v0t＋at2得v2－v＝2ax。 1.匀变速直线运动速度与位移的关系式：v2－v＝2ax。 2.适用条件：仅适用于匀变速直线运动。 3.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先规定正方向，一般取v0方向为正方向。 (1)若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值。 (2)若计算结果x>0，表明位移的方向与初速度方向相同，x<0表明位移的方向与初速度方向相反。 (3)若计算结果v>0，表明速度的方向与初速度方向相同，v<0表明速度的方向与初速度方向相反。 例3 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为49 t，以54 km/h的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s2(不超载时则为5 m/s2)。 (1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？ (2)若超载货车刹车时正前方25 m处停着一辆小轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。 答案　(1)45 m　22.5 m　(2)10 m/s 解析　(1)设货车刹车时速度为v0，加速度为a，末速度为v，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得 x＝ 由题意知v0＝54 km/h＝15 m/s，v＝0， a1＝－2.5 m/s2，a2＝－5 m/s2 代入数据得，超载时x1＝45 m 不超载时x2＝22.5 m。 (2)超载货车与轿车碰撞时，由v′2－v＝2a1x′知 相撞时货车的速度大小 v′＝ ＝ ＝10 m/s。 训练2 若某高速列车在行驶过程中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s的过程中位移为30 m，则当它的速度由15 m/s增加到25 m/s的过程中，位移是(　　) A.60 m B.120 m C.140 m D.160 m 答案　D 解析　列车做匀加速直线运动，由v2－v＝2ax可得102－52＝2a×30，252－152＝2ax，解得x＝160 m，故D正确。 知识点三　刹车类问题 汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。 (1)如果t0<t，加速度的大小为a，则不能用题目所给的时间t求解位移，此时运动的最长时间为t0＝，最大距离为x0＝。 (2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。 例4 以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(制动3 s时汽车未停止)。求汽车的加速度及制动后5 s内发生的位移大小。 答案　4 m/s2，与初速度方向相反　40.5 m 解析　初速度v0＝18 m/s，时间t＝3 s，位移x＝36 m 根据x＝v0t＋at2 得a＝ ＝＝－4 m/s2 则加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反。 根据v＝v0＋at，汽车停止运动的时间 t′＝＝＝4.5 s 故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等 x′＝|a|t′2＝40.5 m。 刹车类问题末速度为零时，可采用逆向思维法，将汽车匀减速到零的运动看成反向的初速度为零的匀加速直线运动，从而使问题的解答更简便。 训练3 一辆以v0＝90 km/h的速度做匀速运动的汽车，司机发现前方的障碍物后立即刹车，刹车过程可看成匀减速直线运动，加速度大小为2.5 m/s2，从刹车开始计时，求： (1)汽车第4 s内的位移； (2)汽车运动120 m所用的时间； (3)前15 s内汽车的位移大小。 答案　(1)16.25 m　(2)8 s　(3)125 m 解析　(1)由题意得v0＝90 km/h＝25 m/s 由于汽车做匀减速直线运动，所以a＝－2.5 m/s2 设刹车时间为t0，则 0＝v0＋at0 解得t0＝10 s 前4 s内的位移x4＝v0t4＋at ＝m＝80 m 前3 s内的位移 x3＝v0t3＋at＝m＝63.75 m 因此第4 s内的位移 Δx＝x4－x3＝(80－63.75)m＝16.25 m。 (2)由x＝v0t＋at2知，当x＝120 m时 解得t＝8 s或t＝12 s(舍)。 (3)由t0＝10 s＜15 s可知，15 s时车已停下，故前15 s内的位移大小为刹车过程前10 s内的位移x′＝v0t0＋at＝125 m。 随堂对点自测 1.(位移与时间关系的应用)一物体以2 m/s的初速度做匀加速直线运动，4 s内位移为16 m，则(　　) A.物体的加速度为2 m/s2 B.4 s内的平均速度为6 m/s C.4 s末的瞬时速度为6 m/s D.第2 s内的位移为6 m 答案　C 解析　物体做匀加速直线运动的位移与时间的关系式为x＝v0t＋at2，代入数据解得a＝1 m/s2，故A错误；4 s内的平均速度为＝＝4 m/s，故B错误；由速度与时间公式可得4 s末的瞬时速度为v4＝v0＋at4＝6 m/s，故C正确；第2 s内的位移为x2＝v0t2＋at－＝3.5 m，故D错误。 2.(v2－v＝2ax的应用)一个小球从斜面的顶端由静止开始沿斜面匀加速滑下，经过斜面中点时速度大小为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度大小为(　　) A.4 m/s B.5 m/s C.6 m/s D.3 m/s 答案　D 解析　设斜面长为x，根据速度与位移的关系式v2－v＝2ax知，小球经过斜面中点时有2a·＝v2－v，小球到达底端时有2a·＝v2－v2，代入数据得v＝3 m/s，D正确。 3.(刹车类问题)汽车以20 m/s的速度在平直的公路上做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5 m/s2，那么开始刹车后2 s内的位移与开始刹车后6 s内的位移之比为(　　) A.1∶1 B.3∶5 C.5∶9 D.3∶4 答案　D 解析　汽车从开始刹车到停止的时间t0＝＝4 s，则汽车开始刹车后2 s内的位移为x1＝v0t1－at＝30 m，汽车开始刹车后6 s内的位移等于4 s内的位移，x2＝＝40 m，所以＝，故D正确，A、B、C错误。 学科网（北京）股份有限公司 $