2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 导学案 -2025-2026学年高一上学期物理人教版必修第一册

3　匀变速直线运动的位移与时间的关系 [学习目标]　 1.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系，会用公式x＝v0t＋at2解决匀变速直线运动的问题(重点)。 2.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系式并会应用公式v2－＝2ax解题(难点)。 一、匀变速直线运动的位移 1.物体做匀速直线运动，其v－t图像与t轴围成的矩形面积有什么意义？ 答案　做匀速直线运动的物体在时间t内的位移大小对应着v－t图线与t轴围成的矩形面积，即v－t图像与t轴围成的矩形面积表示物体的位移大小。 2.如图是某物体以初速度v0做匀变速直线运动的v－t图像。 (1)如图甲所示，把物体的运动分成5段，每一段时间内，看成匀速直线运动，试着在图中表示出这5小段的位移之和。 (2)如图乙所示，如果把过程分割为更多的小段，和甲图相比，哪种情形更接近整个过程的位移？ (3)依次类推，如果把过程分割成无数个小段，能否用梯形的面积代表物体在这段时间的位移？ (4)梯形面积为多少？试结合v＝v0＋at推导出位移x与时间t的关系。 答案　(1)位移为图中矩形面积之和，如图所示。 (2)图乙更接近整个过程中的位移。 (3)可以。 (4)S＝t＝t＝v0t＋at2，则x＝v0t＋at2。 1.匀变速直线运动的位移与时间的关系式： x＝v0t＋at2 当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)，此时x∝t2。 2.适用范围：仅适用于匀变速直线运动。 说明：推导匀变速直线运动的位移大小等于v－t图像与t轴围成的面积时用到了微元法。 任意形状的v－t图像与时间轴所围成的面积都等于物体的位移大小。 如果物体做匀减速直线运动，使用x＝v0t＋at2分析问题时要注意什么？ 答案　若以初速度方向为正方向，则加速度代入数据时取负值。 公式的矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。当物体做匀加速直线运动时，a取正值。当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移x的正、负表示其方向。 例1　(2024·曲靖市高一期中)航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。 (1)某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得25 m/s2的加速度在航母跑道上匀加速前进，2 s后离舰升空，飞机匀加速滑行的距离是多少？ (2)飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2 s停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少？ 答案　(1)70 m　(2)40 m/s2　80 m 解析　(1)飞机起飞前做匀加速直线运动，由位移时间关系可得 x1＝v0t1＋a1＝10×2 m＋×25×22 m ＝70 m (2)飞机降落时做匀减速直线运动 a2＝ m/s2＝－40 m/s2，即加速度大小为40 m/s2； x2＝vt2＋a2＝80×2 m－×40×22 m＝80 m 例2　一物体做匀减速直线运动，初速度大小为v0＝5 m/s，加速度大小为0.5 m/s2，求： (1)物体在前3 s内的位移大小； (2)物体在第3 s内的位移大小。 答案　(1)12.75 m　(2)3.75 m 解析　(1)取初速度方向为正方向 v0＝5 m/s，a＝－0.5 m/s2 前3 s内物体的位移x3＝v0t3＋a＝5×3 m＋×(－0.5)×32 m＝12.75 m。 (2)同理，前2 s内物体的位移 x2＝v0t2＋a＝5×2 m＋×(－0.5)×22 m ＝9 m 因此第3 s内物体的位移 x＝x3－x2＝12.75 m－9 m＝3.75 m。 应用位移与时间的关系式解题的步骤： (1)规定正方向(一般以初速度的方向为正方向)。 (2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示。 (3)根据位移与时间的关系式或其变形公式列式、求解。 (4)根据计算结果说明所求量的大小和方向。 二、匀变速直线运动的速度与位移的关系 试由x＝v0t＋at2和v＝v0＋at，消去时间t，推导速度与位移的关系式。 答案　由v＝v0＋at得t＝ 代入x＝v0t＋at2得v2－＝2ax。 1.匀变速直线运动的速度与位移的关系式：v2－＝2ax。 2.适用范围：仅适用于匀变速直线运动。 3.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用解题时一定要先设定正方向，一般取v0方向为正方向。 若是加速运动，a取正值，若是减速运动，a取负值。 例3　某型号航空母舰上装有帮助战斗机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时能获得的最大加速度为5.0 m/s2，当战斗机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问： (1)若要求该战斗机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使战斗机具有多大的初速度？ (2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号战斗机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少应为多长？ 答案　(1)30 m/s　(2)250 m 解析　(1)设弹射系统使战斗机具有的初速度为v0，由速度与位移的关系式v2－＝2ax 可知v0＝＝30 m/s。 (2)不装弹射系统时，战斗机从静止开始做匀加速直线运动。由v2＝2ax'可知该舰身长至少应为x'＝＝250 m。 如果在所研究的问题中，已知量和未知量都不涉及时间t，利用公式v2－＝2ax求，往往会更方便。 三、刹车中的位移问题 一汽车在水平路面上匀速行驶，速度v0＝10 m/s，突然前方出现紧急情况，司机以5 m/s2的加速度刹车，求汽车开始刹车后3 s内的位移。 答案　首先根据v＝v0＋at0 求开始刹车到停止所用时间为 t0＝ s＝2 s，因t>t0， 故x＝v0t0＋a＝10×2 m－×5×4 m ＝10 m。 刹车类问题的分析思路： 汽车刹车、飞机降落后在跑道上滑行等都可简化为单方向的匀减速直线运动，当速度减小到零后，就停止运动，在计算这类运动的位移时，应先计算出速度减小到零所用的时间t0。 (1)如果t0<t，则不能用题目所给的时间t求解位移，此时运动的最长时间为t0＝(加速度的大小为a)，最大距离为x0＝。 (2)如果t0>t，说明经过时间t运动还没有停止，则应用题目所给的时间t直接求解位移。 例4　(来自教材改编)以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m(制动3 s时汽车未停止)。求： (1)汽车的加速度； (2)汽车制动后5 s内发生的位移大小； (3)汽车在最后1 s内位移的大小。 答案　(1)4 m/s2，方向与初速度方向相反 (2)40.5 m　(3)2 m 解析　(1)初速度v0＝18 m/s，时间t＝3 s， 位移x＝36 m 根据x＝v0t＋at2，得a＝ m/s2＝－4 m/s2，则加速度大小为4 m/s2，方向与初速度方向相反。 (2)根据v＝v0＋at， 汽车停止运动的时间t'＝ s＝4.5 s 故汽车在制动后5 s内的位移与4.5 s内的位移相等 x'＝v0t'＋at'2＝(18×4.5－×4×4.52) m＝40.5 m。 (3)最后1 s内速度减为0，可以把这一过程看成一个初速度为0的匀加速直线运动，故最后1 s内的位移x″＝×4×12 m＝2 m。 逆向思维法的应用 刹车类问题末速度为零时，可以采用逆向思维法，将汽车匀减速到零的运动看成是初速度为零的匀加速直线运动，从而使问题的解答更简便。 学科网（北京）股份有限公司 $