精品解析：陕西省西安市莲湖区曲江第二学校2025-2026学年上学期九年级1月阶段性检测数学试卷

2025-2026学年上学期九年级1月阶段性检测数学试卷 一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）的函数关系式是．飞机着陆后滑行（ ）秒才能停止 A. 18 B. 20 C. 40 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 飞机停止滑行时，滑行距离达到最大值，对应二次函数顶点处的时间，利用对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵函数关系式为，为二次函数，顶点处时间，其中，， ∴． 因此，飞机着陆后滑行20秒停止． 故选：B． 2. 如图所示几何体，从左面看是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从左面看到的是左面位置上下三个正方形，右面的下方一个正方形，由此得出答案即可． 【详解】解：从左面看共有两列，从左到右小正方形的个数分别为3、1． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 3. 已知正方形的对角线长为，则该正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，解题关键是掌握正方形的对角线相等且垂直，且当四边形的对角线互相垂直时面积等于对角线乘积的一半，比较容易解答． 根据正方形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴正方形的面积， 故选：B． 4. 如图，四边形是某护坡大坝的横截面，，坝顶宽为5米，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，坡长米，则坝底宽约为( ) A. 13.8米 B. 15.8米 C. 16.3米 D. 11.3米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F， ∵， ∴四边形是矩形， ∵斜坡的坡角为， ∴是等腰直角三角形， ∵米， ∴， ∴， ∵斜坡的坡度为， ∴， ∴坝底宽(米)． 故选：C． 5. 在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（ ） A. 10个 B. 20个 C. 30个 D. 40个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在其概率附近．已知摸到蓝色球的频率稳定在左右，因此蓝色球的数量等于总球数乘以概率． 【详解】解：由题意，总球数为50个，摸到蓝色球的概率约为． 因此，蓝色球的数量为：（个）， 故选：B 6. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， 方程的一个近似根的范围是， 故选：C． 7. 如图，把放置在菱形中，使得顶点E，F，P分别在线段，，上．已知，，，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，于，证明，再利用直角三角形的性质结合勾股定理计算即可求解． 【详解】解：过点P作于M，于N， 四边形是菱形， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，，， ， ∴由勾股定理得：， 同理， ． 8. 已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．先求出顶点坐标为 ，可得当时，该函数的最小值为，再由二次函数的性质可得当时，函数取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为 ， ∵，即抛物线开口向上， ∴最小值为， ∴当时，该函数的最小值为， ∵， ∴当时，函数取得最大值，为， ∵当时，该函数的最大值与最小值的差是， ∴， 解得：． 故选：C． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 已知，那么的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 根据已知等式 ，通过比例性质直接求解  的值． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 将代入中即可得出答案． 【详解】解∶关于的一元二次方程的一个解是， ， ， 故答案为∶． 11. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查平行投影，与是位似图形，求出位似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：由平行投影可知与是位似图形， ， ， 与的位似比为， ， ， 故答案为：． 12. 已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均相等．将一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是__________．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点，解决问题的关键是作辅助线构造出全等三角形． 过点作于D，过点作于，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答. 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．设间的距离为1． 在和中， 在Rt中，， . 故答案为： 13. 点，都在反比例函数的图像上，则______．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比较反比例函数值或自变量的大小，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．先分别将点的坐标代入解析式求出，的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， 故将，代入，得，， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，已知长方形中，，点为上的一点，且，点为上的动点，将沿折叠得到，点为的中点，点，点分别为上两个动点，且，连接，则的最小值是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，过点作，使，过作于点，连接，则，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，由勾股定理得，根据，得的最小值为，即得的最小值是． 【详解】解：长方形中，， ，点为的中点， ∴， 作点关于的对称点，过点作，使，过作于点，连接，则， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵，由折叠知，， ∴的最小值为， ∴的最小值是． 三．解答题（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练记忆并准确代入特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入、、、的具体值，再通过四则运算和分母有理化逐步计算，最终化简得到结果． 【详解】解：原式 ． 16. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查用公式法求一元二次方程的解．利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a、b及c的值，然后当时，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴原方程的解为． 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由，得，然后代入化简即可． 【详解】由，得， ∴． 18. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】画图见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，尺规作图，涉及尺规作图作垂线，将题中要求转化为尺规作图作垂线是解决问题的关键． 根据题中要求，从而将题目要求转化为过点作垂线，按照做垂线的尺规作图法作图即可得到答案， 【详解】解：由题意可知，过点作垂线，如图所示：点D即为所求． 如图，根据作图可得， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握菱形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意利用菱形的性质以及全等三角形的判定先证得，进而证得四边形为正方形． 【详解】证明：四边形为矩形，四边形为菱形， ， 在和中， ， ， ， ， ， 四边形为正方形． 20. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及二人所选金属均能置换出氢气的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，选到的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）列表如下： （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） （,） 共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），（,），共9种， ∴二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 21. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． （1）求证：∽； （2）若，且，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，8月份销售256袋．9、10月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，10月份的销售量达到400袋．设9、10这两个月月平均增长率不变． （1）求9、10这两个月的月平均增长率； （2）为迎接双“十一”，11月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店11月份获利4250元？ 【答案】(1)、25%；(2)、5元. 【解析】 【分析】(1)设9、10这两个月的月平均增长率为x，根据题意列出方程，从而求出x的值得出答案；(2)设当每袋降价m元时，根据题意列出方程，求出m的值得出答案. 【详解】(1)设9、10这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2=400，解得：x1=，x2=-（不合题意舍去）． 答：9、10这两个月的月平均增长率为25%； (2)设当每袋降价m元时，根据题意可得：（40-25-m）（400+5m）=4250， 解得：m1=5，m2=-70（不合题意舍去）． 答：当每袋降价5元时，获利4250元 考点：一元二次方程的应用 23. 某校数学兴趣小组借助无人机测量芦河某段的宽度，如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方该段芦河的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方该段芦河右岸处的俯角为，此时点恰好在左岸处的正上方．求芦河该段的宽度．（参考数据：，，） 【答案】芦河该段的宽度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，连接，根据题意可得：，米，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 由题意得： ，米，， ， 在中，， 米， 在中，米， 芦河该段的宽度约为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根． （1）求点、点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，则可得到，据此可得答案； （2）先求出，进而利用勾股定理得到，则，过点E作轴于点，如图，可证明，利用相似三角形的性质得到，，则，可得的坐标是．利用勾股定理求出；由待定系数法求出直线的解析式是，则，可利用勾股定理求出，再分时， 时两种情况，根据相似三角形的性质建立比例式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵线段的长是一元二次方程的两根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ∴． ∴， 过点E作轴于点，如图， ∴， ∴， ，即 ，， ∴， ∴的坐标是． ∵， ∴， ∴； 设直线的解析式是， ∴， 解得：， 则直线的解析式是； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，如图， 则，即， 解得：， ∴ ∴的坐标是； 当时，如图， 则，即， 解得：， ∴， ∴的坐标是． 综上所述，的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 25. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能进行测试，刹车距离s（单位：m）与车速v（单位：）之间存在二次函数关系，测得部分数据如表： 车速v（） 0 30 60 90 120 刹车距离S（m） 0 （1）直接写出刹车距离S与车速v之间的函数关系； （2）某路段实际行车的最高限速为，若要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的2倍，求安全车距应超过多少米？ （3）在某路段上，若要求该型汽车的刹车距离不超过，请问车速应该控制在什么范围内？ 【答案】（1） （2） （3）车速应该控制不超过范围内 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法解求二次函数解析式，由函数的函数值求自变量的运用，解答时求出函数的解析式是关键． （1）根据表格中数据猜想刹车距离s与车速v之间的函数关系是二次函数，然后设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）由表格中数据得出根据表格可得车速为时，刹车距离是，进而可得答案； （3）先求出时，v的值，再根据函数的性质求取值范围． 【小问1详解】 解：设刹车距离s与车速v之间的函数关系式为， 把，；，代入解析式， ，解得： 刹车距离S与车速v之间的函数关系为：； 【小问2详解】 当车速为时，刹车距离， ∴， 答：安全车距应超过； 【小问3详解】 当时，，解得，（舍去）， ∴当时，， ∴车速应该控制不超过范围内． 26. 如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． （1）当时，求的长； （2）证明：在运动过程中，点D是线段的中点； （3）在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3）线段的长不变，恒为6，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，以及平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，得到，则，设，进而得到，，列方程求解即可； （2）过作交于点，，得到，，推出，由题意得，则，证明，得到，即可得证； （3）由题意可得，由（2）知，得到，根据是等边三角形，，得到，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：是边长为的等边三角形， ，， 又， ， ∵、同时出发，速度相同，即 ∴可设， ，， 在中，， ，即， 解得， 当时，； 【小问2详解】 证明：如图，过作交于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴，， 是等边三角形， ， 、同时出发，速度相同，即， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点； 【小问3详解】 解：线段的长不变，恒为6，理由如下： 是边长为的等边三角形， ， 由（2）知， ， 是等边三角形，， ， ，即的长不变． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期九年级1月阶段性检测数学试卷 一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）的函数关系式是．飞机着陆后滑行（ ）秒才能停止 A. 18 B. 20 C. 40 D. 72 2. 如图所示几何体，从左面看是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正方形的对角线长为，则该正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是某护坡大坝的横截面，，坝顶宽为5米，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，坡长米，则坝底宽约为( ) A. 13.8米 B. 15.8米 C. 16.3米 D. 11.3米 5. 在一个不透明的布袋中装有蓝色、 白色两种小球共50个，小球除颜色外其他完全相 同．小明通过很多次摸球试验后，发现其中摸到蓝色球的频率稳定在左右，则口袋中蓝色球个数最接近（ ） A. 10个 B. 20个 C. 30个 D. 40个 6. 已知二次函数的变量x，y的部分对应值如表： 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是( ) A. B. C. D. 7. 如图，把放置在菱形中，使得顶点E，F，P分别在线段，，上．已知，，，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 9. 已知，那么的值是____． 10. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是_____． 11. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是______． 12. 已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均相等．将一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是__________．     13. 点，都在反比例函数的图像上，则______．（填“”或“”或“”） 14. 如图，已知长方形中，，点为上的一点，且，点为上的动点，将沿折叠得到，点为的中点，点，点分别为上两个动点，且，连接，则的最小值是__________ ． 三．解答题（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算：． 16. 解一元二次方程：． 17. 已知，求的值． 18. 如图，在中，．请用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在矩形中，菱形的三个顶点E，G，H分别在矩形的边，，上，．求证：四边形为正方形． 20. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到的概率为 ； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 21. 如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． （1）求证：∽； （2）若，且，求线段的长． 22. 江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份．我市某村为了将当地农产品外销，建立了淘宝网店．该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品．当商品售价为每袋40元时，8月份销售256袋．9、10月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，10月份的销售量达到400袋．设9、10这两个月月平均增长率不变． （1）求9、10这两个月的月平均增长率； （2）为迎接双“十一”，11月份起，该网店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/每袋，销售量就增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，该淘宝网店11月份获利4250元？ 23. 某校数学兴趣小组借助无人机测量芦河某段的宽度，如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方该段芦河的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方该段芦河右岸处的俯角为，此时点恰好在左岸处的正上方．求芦河该段的宽度．（参考数据：，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根． （1）求点、点的坐标； （2）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由． 25. 由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能进行测试，刹车距离s（单位：m）与车速v（单位：）之间存在二次函数关系，测得部分数据如表： 车速v（） 0 30 60 90 120 刹车距离S（m） 0 （1）直接写出刹车距离S与车速v之间的函数关系； （2）某路段实际行车的最高限速为，若要求该型汽车的安全车距要大于最高限速时刹车距离的2倍，求安全车距应超过多少米？ （3）在某路段上，若要求该型汽车的刹车距离不超过，请问车速应该控制在什么范围内？ 26. 如图，是边长为12的等边三角形，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动，（Q不与B重合），过P作于点E，连接交于点D． （1）当时，求的长； （2）证明：在运动过程中，点D是线段的中点； （3）在运动过程中线段的长度是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $