精品解析：陕西省西安市莲湖区联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期第二次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知，和分别是边、的对应高线．若，则与的相似比是（） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ） A. 先变短后变长 B. 由长逐渐变短 C. 由短逐渐变长 D. 始终不变 4. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和顶点均在格点上，则位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 下列关于投影与视图的说法正确的是（　　　） A. 平行投影中的光线是聚成一点的 B. 线段的正投影还是线段 C. 三视图都是大小相同的圆的几何体是球 D. 正三棱柱的俯视图是正三角形 6. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（ ） A. B. 12 C. 8 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（    ） A B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 台灯下笔筒的影子属于_______投影．（填“平行”或“中心”） 10. 身高的小明发现自己影子有，同一时刻地上影长为的旗杆高度为______． 11. 据了解，某展览中心8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数为万人．设8月份至10月份参观人数的月平均增长率为，则可列方程为___________． 12. 在如图所示的正方形网格中有和，已知，则______． 13. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米． 14. 如图，已知正方形的边长为6，，分别在，上，且，于点， 则的长的最小值为_______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 画出如图所示的几何体的三视图． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似，点的对应点分别是点，且与的相似比为，并写出点的坐标． 18. 三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 19. 已知，如图，在矩形中，点、在线段上，且．求证：． 20. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 21. 如图，阳光明媚的一天，在离建筑物的处有一棵树（即），在某一时刻，高的标杆垂直地面放置，其影长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子的高为，已知，，，点、、、在同一条直线上，求这棵树的高度． 22. 如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． （1）由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） （2）求该几何体体积．（结果保留） 23. 如图，中，，延长至点，使得，延长至点，连接，且． （1）求证：； （2）若，求与的周长比． 24. 如图，有一路灯杆（底部不能直接到达），在灯光下，小华在点处测得自己的影长，接着小军站在小华影子的顶端处，测得影长．已知小华和小军的身高均为（即），，点、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求路灯杆的高度． 25. 如图，在中，点在的延长线上，连接交于点． （1）求证：； （2）若面积为9，，求的面积． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，，点D在上，于点若，，，则的长为______． 问题解决 （2）如图2，有一块三角形试验田，面积为为了扩大试验规模，试验组决定将这个试验田扩建，考虑土壤、光照、温度、湿度、水源等诸多因素，最终扩建为三角形试验田经实际测量可得，，，，求扩建后三角形试验田的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期第二次阶段性作业 九年级数学 （建议完成时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知，和分别是边、的对应高线．若，则与的相似比是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质；根据相似三角形的对应高线之比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵，和分别是边、的对应高线， ∴相似比， 故选：A． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左面看得到的图形即可得出，熟练掌握三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，几何体的左视图为， 故选：D． 3. 如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ） A. 先变短后变长 B. 由长逐渐变短 C. 由短逐渐变长 D. 始终不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了投影的性质，熟练掌握相关概念与性质是解题关键． 由题意易得，某同学离光源是由近到远的过程，根据中心投影的特点，得到身影的变化特点即可解答． 【详解】解：某同学在路灯下由近及远向，离路灯越来越远，其影子应该逐渐变长． 故选：C． 4. 如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 5. 下列关于投影与视图的说法正确的是（　　　） A. 平行投影中的光线是聚成一点的 B. 线段的正投影还是线段 C. 三视图都是大小相同的圆的几何体是球 D. 正三棱柱的俯视图是正三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据排除法判断即可； 【详解】平行投影中的光线是是平行的，而不是聚成一点的，故A错误； 线段的正投影不一定是线段，比如光线平行于线段时，正投影是一点，故B错误； 三视图都是大小相同的圆的几何体是球，故C正确； 正三棱柱的俯视图不一定是正三角形，要看它如何放置，如水平放置，它是矩形，故D错误； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了投影的相关知识点，准去判断是解题的关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（ ） A. B. 12 C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，，则，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，根据以原点为位似中心的位似图形的性质，即位似图形对应点的坐标比等于位似比，由此即可得出，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的顶点坐标分别为，．与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为， ∴位似比为， ∴点的坐标为，即， 故选：B． 8. 如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若， ，则值为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案． 【详解】解：、，， ∴， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴， 点是的中点， ，， ， 同理：， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 台灯下笔筒的影子属于_______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查投影，投影分为平行投影和中心投影，区别的关键是看光线是由一点发出的，还是平行的．熟练掌握由一点发出的光线，形成的投影是中心投影；由平行发出的光线，形成的投影是平行投影是解题的关键． 【详解】解：∵台灯是点光源， ∴台灯下笔筒影子属于中心投影， 故答案为：中心． 10. 身高的小明发现自己影子有，同一时刻地上影长为的旗杆高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，根据同一时刻平行光线下，物长和影长成正比，列出比例式即可求解，掌握平行投影的性质是解题的关键． 【详解】解：设旗杆高度为， 由题意得，， 解得， ∴旗杆高度为， 故答案：． 11. 据了解，某展览中心8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数为万人．设8月份至10月份参观人数的月平均增长率为，则可列方程为___________． 【答案】（答案形式不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 利用该展览中心10月份的参观人数=该展览中心8月份的参观人数×月平均增长率，可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意，从8月份到10月份，参观人数经过两个月的月平均增长，因此有． 故答案为：． 12. 在如图所示的正方形网格中有和，已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是数形结合．根据相似三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点， 则， 设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽长度为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 14. 如图，已知正方形的边长为6，，分别在，上，且，于点， 则的长的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，两点之间，线段最短，作出合适的辅助线是解本题的关键． 延长交的延长线于点，连接，证明，可得，当，，三点共线时最短，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，连接， ， ． 又, ． 又，， ． ． ， ． 正方形的边长为6， ． 当，，三点共线时最短， 此时． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程． 【详解】解：原方程化为：， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 画出如图所示的几何体的三视图． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画简单几何体的三视图，根据从正面，上面和左面看到的图形画出对应的三视图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，以原点为位似中心，在轴右侧画出的位似，点的对应点分别是点，且与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】图见解析，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，熟练掌握位似图形的性质得出对应点位置是解答本题的关键． 先连接原点和的三个顶点，再根据位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比，结合网格的特点，分别找出点、、，再依次连接，得，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示即为所求： 由图可知，点的坐标为． 18. 三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】图见解析 【解析】 【分析】本题考查中心投影，连接并延长，交点即为光源的位置，连接，作，交于点，即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求，线段即为所求． 19. 已知，如图，在矩形中，点、在线段上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质和全等三角形的判定与性质，通过矩形的性质证明即可得出． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， ， 又， ， ， 20. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 21. 如图，阳光明媚的一天，在离建筑物的处有一棵树（即），在某一时刻，高的标杆垂直地面放置，其影长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子的高为，已知，，，点、、、在同一条直线上，求这棵树的高度． 【答案】这棵树的高度为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，构造相似三角形并利用相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 过点作于点，易得，，由阳光平行，得，结合垂直条件，证，根据相似三角形对应边成比例得，代入已知数据求出，再相加即得． 【详解】解：如图，过点作于点，易得，， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． 答：这棵树的高度为． 22. 如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全一样． （1）由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个___________；（填几何体的名称） （2）求该几何体的体积．（结果保留） 【答案】（1）圆柱 （2） 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，求几何体的体积， （1）由三视图可知，该几何体是长方体，中间是空心圆柱体，即可解答． （2）由三视图可知，长方体的长宽高分别为4，4，3，圆柱体直径为2，高为3，再结合体积公式解答即可． 【小问1详解】 解：由三视图可知，该几何体是在长方体中间挖去一个圆柱． 故答案为：圆柱． 【小问2详解】 解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为4、4、3，圆柱体的底面圆的直径为2，高为3， ∴该几何体的体积为． 23. 如图，在中，，延长至点，使得，延长至点，连接，且． （1）求证：； （2）若，求与的周长比． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角可得，再由平角的定义得出，结合即可得证； （2）由相似三角形的性质周长的比等于相似比计算得出结论即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴与的周长比为． 24. 如图，有一路灯杆（底部不能直接到达），在灯光下，小华在点处测得自己的影长，接着小军站在小华影子的顶端处，测得影长．已知小华和小军的身高均为（即），，点、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求路灯杆的高度． 【答案】路灯杆的高度是 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质；证出∽，∽，得到，再求出，即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴∽，∽， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得． 答：路灯杆的高度是． 25. 如图，在中，点在的延长线上，连接交于点． （1）求证：； （2）若的面积为9，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形基本性质，相似三角形的证明及性质，熟练掌握相似三角形的证明是解题关键； （1）通过平行四边形的基本性质得到，进而得证，从而可证得相似； （2）先证明，然后再通过比例性质得到相似比，最后可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 问题提出 （1）如图1，在中，，点D在上，于点若，，，则的长为______． 问题解决 （2）如图2，有一块三角形试验田，面积为为了扩大试验规模，试验组决定将这个试验田扩建，考虑土壤、光照、温度、湿度、水源等诸多因素，最终扩建为三角形试验田经实际测量可得，，，，求扩建后三角形试验田的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】先求出，，证明和相似得，由此可得出的长； 过点C作于点F，过点A作交的延长线于点H，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，根据的面积为得，则，在中，分别求出，，再证明和相似得，则，进而得，然后再根据三角形的面积公式可求出的面积． 【详解】解：在中，，，，， ， 由勾股定理得：， 于点E， ， 又， ， ， ， 故答案为：； 过点C作于点F，过点A作交的延长线于点H，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， 中，，，， ， ， 由勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $