第一章 《三角形的证明》单元复习卷 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第一章《三角形的证明》单元复习卷 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边∆ABC的边长为4，点E是边的中点，且，则的长为（   ） A．1 B．1.2 C．1.5 D．2 3．如图，在∆ABC中，，若是∆ABC的高，是∆ABC的角平分线，与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在∆ABC中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 6．如图，在∆ABC中，，，，点D在边上，，将沿折叠，的对应边为，连接．则的长为（　　） A．5 B．2 C． D． 7．如图，∆ABC是等边三角形，，点在上，，点在上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，则的长是（    ） A． B． C．3 D． 8．如图，在∆ABC中，，，，点为上一点，点，分别是点关于、的对称点，则的最小值是 （    ） A． B． C． D．2 9．如图，点是∆ABC内一点，连接，，，且满足．若，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，分别以∆ABC的边为腰向外作三个等腰直角三角形：，，∆CAF，其中，连接交于点，连接．若与∆CAF的面积之和等于的面积，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．如图，在中，，D是延长线上的点，于E，若，，则的长为 ． 12．两面镜子按如图所示的位置摆放，入射光线经过镜子两次反射后的反射光线平行于，若，则的度数是 ． 13．如图，在直角三角形中，，∆ABC的角平分线、相交于点，过点作交BC的延长线于点F，交AC于点G，若，，则 ．    14．如图，在∆ABC中，与的垂直平分线交于点P，连接，，，若，则的度数为 ． 15．如图，在∆ABC中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接．若，，则点到的距离为 ． 16．如图，在∆ABC中，，点D为中点，过点D作的垂线，交于点E，连接，作的平分线，与的延长线交于点F，则的度数为 ． 17．如图，∆ABC是三边都不相等的三角形，平分，平分，且是三边垂直平分线的交点．当点，同时在∆ABC的内部，且时，的度数为 ． 18.在∆ABC中，，，点在边上，如图1，若，则的最小值为 ；如图2，将沿折叠，点的对应点恰好落在∆ABC的角平分线上．于，若，则的长为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）如图，已知，，． (1)求证：； (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 20．（8分）如图，是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，是连接弹簧和伞骨的支架，且． (1)求证：； (2)若，雨伞在开合过程中，当时，的长度是多少？ 21．（10分）如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 22．（10分）如图，在△ABC中，，是△ABC的高线，是△ABC的角平分线，和交于点． (1)求证：． (2)若． ①求证：． ②求线段的长． 23．（10分）（1）如图，在四边形中，平分，，． ①如图1，当时，请判断线段与线段的数量关系并证明； ②如图2，当时，①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （2）如图3，在等腰∆ABC中，，，平分交边于点．若，求线段的长度． 24．（12分）在∆ABC中，平分交于点，平分交于点，，相交于点． (1)如图1，当时， ①求______； ②证明：； (2)如图2，当时，若，， ①求的值； ②直接写出______． 参考答案 一、选择题 1．D 解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∵， ∴∠BDC=∠A+∠ACD=36∘+45∘=71∘， ∴∠CDE=71∘， 故选：D． 2．A 解：如图，作交于点，则， ∵等边∆ABC的边长为4， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A． 3．B 解：∵，， ∴， ∵平分, ∴， ∵是∆ABC的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．B 解：延长交于点M， 因为，， 所以． 因为，，与交于F， 根据“三角形的三条高线交于一点”，可得也是∆ABC的一条高，即， 所以， 所以． 故选：B． 5．C 解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 6．B 解：过点E作于点F，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， 根据折叠的性质可得，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 故选：B． 7．B 解：如图，过点作于点，延长交于点． ，∆ABC是等边三角形， ，． ，， ，， ，． 在中，． 由旋转的性质可知，，， ， ， 在和中 ， ， ． 故选：B． 8．B 解：连接， ∵点分别是点关于的对称点， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点为上一点， ∴当取得最小值时，则,此时取得最小值， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 9．C 解：设 ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ A. 不一定等于，故该选项不正确，不符合题意； B. ，， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. 没有条件得出，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 10．C 解：∵，，∆CAF均为等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，，， ∵与∆CAF的面积之和等于的面积， ∴， ∴， ∴， ∴∆ABC为直角三角形， ∴， 如图，过点作交于，连接， ， 则， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在∆ABC和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设点到的距离为， ∵， ∴， ∴点到的距离为， 故选：C． 二、填空题 11． 解：∵于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与∆ABC中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 解：由光的反射原理可知，， ∵，若， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．11 解：的角平分线、相交于点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为：11． 14． 解：与的垂直平分线交于点P， ，， 则， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 15． 解：如图，过点作交于点， 由翻折可知，， 是边的中点， ， 又∵， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ， ，即点到的距离为， 故答案为：． 16． 解：∵， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 17． 解：连接，如图． 平分，平分， ，， ． 是∆ABC三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ． ， ， ． 故答案为：． 18． 解：①如图，由垂线段最短可知，当时，取得最小值， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作，垂足为，连接， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点落在∆ABC的角平分线上，，， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）解：．理由如下： 如图，延长交于点M，交于点N． ， ． 由（1）得． 又， ， ， ． 20．（1）证明：在和中，（已知） （已知）（公共边） ∴． （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 21．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 22．（1）解：∵是的高线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． （2）解：①过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， ∴为等腰三角形，， ∴为中点， 即， ∴，结合，， ∴， ∴． ②∵， ∴， 又∵， ∴， 即在中，， ∴, 结合勾股定理可得 故线段的长为． 23．解：（1）①． 证明：∵，平分， ∴； ②成立．理由如下： 过点D作交延长线于点E，作于点F， 则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵在等腰∆ABC中，，， ∴， ∵平分， ∴， 过点D作交于点E，作于点F，作交延长线于点G， 则，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（1）①解：， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：60； ②证明：如图，在上截取， 平分，平分， ，， 在和中， ， ， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：①设点F到距离为，点F到距离为，点A到距离为h， 平分， ， ， ， ，， ； ②在上取一点G使得，在上取点H使得， 在与中， ， ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ∵∠GFH=45∘， 平分， 由（2）①， ， ，． 学科网（北京）股份有限公司 $