专题06 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题06 共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三种模型 目录 题型一：“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 1 题型二：“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 11 题型三：“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 22 题型一：“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠AFD。 1．（25-26八年级上·北京·月考）如图，在中，，，，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等边对等角，平行线的性质． （1）由，可得，结合已知即可证得结论； （2）由等边对等角可得，由三角形全等的性质可得，由平行线的性质可得，可得，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·甘肃平凉·期中）如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)等边三角形，见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键 （1）利用证明，即可得； （2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：∵， ， 在中，， = ， 在中， ； （3）解：为等边三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等边三角形． 3．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）（1）【问题背景】如图1，和中，，，且，连接，，求证：． （2）【尝试运用】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到（1）中的模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． （3）【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线在BC的下方，仍在射线上取点，使，求证：． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据已知条件可知，采用“边角边”的方法证明； （2）通过等腰三角形等边对等角的性质，先证，再利用“边角边”证明，推出，即，由此得出； （3）在的延长线上找一点E，使，设，同（2）的证明方法得出，推出，，由此得出+=180°． 【详解】（1）证明：， ，即， 在△和△中，， △△； （2）解：△中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在△和△中，， △△， ， ， ； （3）证明：如图，在的延长线上找一点，使，设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在△和△中，， △△， ， ， ． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ (3)如图，，，，，则的长度？ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】由，得出，由证得，即可得出结论； 连接，先证是等边三角形，再由垂直平分，得出，由，得出，，得出，，由勾股定理即可得出结果； 将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于，则，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 由可知：， ，， ， ， ； （3）解：将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于， 则， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ． 5．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． (1)如图1，在“手拉手”图形中，，若，则 (2)如图2，和是等边三角形，连接，交于点O，求的度数； (3)如图3，，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)40 (2) (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，进而证明，再根据全等三角形的性质和三角形内角和求解即可； （3）延长到P，使，先证明是等边三角形，再证明，进而证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：40； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，延长到P，使， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合．则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图3-1，与都是等腰三角形，其中，则（边角边）． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边，交于点Q，求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角和中，，，，连接交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：，证明见解析；拓展延伸：，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 初步把握：先证明，再利用“”证明即可； 深入研究：由等边三角形的性质可得，，，再证明，进而证明，得出，即可得解； 拓展延伸：证明，得出，，即可得解． 【详解】解：初步把握：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； 拓展延伸：，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型二：“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 7．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，分别以的边，向外作等边三角形和等边三角形，线段与相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的综合运用． （1）根据等边三角形性质得出，，，求出．根据证即可． （2）根据全等求出，在中根据三角形的内角和定理和即可求出答案． （3）过点分别作，，垂足为点，．根据三角形的面积公式求出，根据角平分线性质求出即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 在中， ． （3）证明：过点分别作，，垂足为点，． 由（1）知：， ， ， 点在的平分线上， 即平分． 8．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究之间的数量关系． (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形内角和定理即可得到； （3）在上取点F．使得，连接，证明是等边三角形，再推出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下： 在上取点F．使得，连接． 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)等边三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定及性质，解题的关键是通过角的等量代换证明三角形全等，进而推导边或角的关系． （1）利用等边三角形性质得边和角相等，通过角的和差推得，再用证，得结论； （2）由全等得，结合内角和求，再利用外角性质得； （3）由全等及中点得，用证，得且，判定为等边三角形． 【详解】（1）证明：、都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中 ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． （3）解：是等边三角形，理由为： ， ． ，、分别是、的中点， ， 在和中 ， ，， ． 是等边三角形． 10．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）问题情境：在等边 中，E为边中线 上的一动点，连接，在的下方作等边 (1)如图1， 当时， 连接． 的度数为 ； ②猜想与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，是否有最小值，若有请求出此时 的度数；若没有请说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)有最小值， 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，即可求解； ②根据等边三角形的性质可得，再由三线合一得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，即可求解； （2）连接,可得，作点D关于的对称点G，连接、、、，则，当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵、是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②，理由如下: ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∵是等边三角形， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴, ∴, ∴； （2）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、、、，则， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，最小， ∵轴对称， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 11．（25-26八年级上·安徽安庆·期末），是等边三角形，点在直线上，，交直线于点． (1)当点在边上时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上时，如图②，猜想线段的数量关系并证明． (3)若，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形，直角三角形的性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论； （2）连接，根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论； （3）根据题意分两种情况分析，代入数据即可得到结果． 【详解】（1）解：连接， ，是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图②，， 连接， ，是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图， ∵，， ∴，， ， ； 如图，连接， ，是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ∵，， ， ． 故答案为：或． 12．（25-26八年级上·山东德州·期末）综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型．两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组成的图形叫手拉手模型． （1）如图1，已知和都是等边三角形，连接，．求证：； 【模型应用】 （2）如图2，已知和都是等边三角形，将绕点A旋转一定的角度．当点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】 （3）如图3，已知和都是等边三角形．当点D在射线上时，过点E作于点F．直接写出线段，与之间存在的数量关系． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，即可得证； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再证明，得出，，再由，得出，求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型三：“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 13．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，与相交于点，交于点． (1)求证：； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质，结合对顶角相等，三角形的内角和定理，求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·重庆·期末）已知和是等腰直角三角形，连接和． (1)如图1：请问和有什么位置关系？并说明理由； (2)如图2：相交于点和与相交于点，，求的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)7 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，含角的直角三角形的性质． （1）延长，交于点F，证明，得到，从而可得，因此，得到； （2）求出，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长，交于点F， ∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴，即． （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理可得，即， ∴． 15．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）【初步感知】（1）如图1，和都是等边三角形，点在内部，连接．求证：； 【类比探究】（2）如图2，当和都为等腰直角三角形时，且点三点共线，求的度数； 【综合应用】（3）为等腰直角三角形且，在直线上取一点，使得，连接，过作，且，使得直线和交于，则______．（请直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）利用等边三角形的边、角性质，通过角的等量代换得到，再用证明，从而推出对应边相等． （2）由等腰直角三角形的性质得到、，推导出，用证明，得到；结合共线的条件，计算的度数，进而求出 （3）分点在线段上和延长线上两种情况；先证明，得到，结合推出；再分别计算的长度，最后代入三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形 ，，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：和都是等腰直角三角形且， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 点共线， ， ， ； （3）解：情况1：当点在线段上时，连接， 是等腰直角三角形，， ，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ，即， ， ， ， ； 情况2：如图，当点在线段的延长线上，连接， ， ， 同理可证，，， ． 故答案为：或． 16．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知中,，点D为直线上的一动点(点D不与点重合)，以为边作，连接． 【发现问题】 （1）如图1，当点D在线段上时． ①和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：． 【尝试探究】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上且其他条件不变时，请写出之间存在的数量关系并说明理由． 【答案】（1）①；②见解析；（2）；理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段的和差关系，解题的关键是通过角的等量代换证明，从而得到线段和角的对应关系，进而推导线段间的数量与位置关系． （1）①先根据等腰直角三角形的性质得，推出；再结合、，用证，得，；最后由，得； ②由，结合线段和差，推导得． （2）同理证得，结合线段和差，推导得． 【详解】解：（1）①∵在中，，在中，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②由（1）①知：， 又∵， ∴； （2）；理由如下： ∵在中，，在中，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在和中，，且三点共线，与交于点F． (1)①如图1，直接写出线段与线段的数量关系________； ②如图2，若点G是中点，且，连接，求证：； (2)若，在直线上取一点D，使得，连接，过A作，且，使得直线和交于F，则________． 【答案】(1)①；②见解析 (2)6或10或18或50 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，分类讨论的思想方法和类比的方法，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论的方法解答是解题的关键． （1）①证明即可得到结论；②延长到H，使，连接，证明，得到，，可证明，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）分点D在线段上和点D在的延长线上两种情况，每种情况又分在右侧和在左侧两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②延长到H，使，连接，如图， ∵点G是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：分以下四种情况讨论： ①当点D在线段上，在的右侧时，如图， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当点D在线段上，在的左侧时，如图， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴， ∴； ③当点D在的延长线上，在的右侧时，如图， ∴， ∵， ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ④当点D在的延长线上，在的左侧时，如图， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴， ∴． 综上，或10或18或50． 故答案为：6或10或18或50． 18．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）在中，，点在内部，，，交于点． (1)如图1，求证：； (2)当三点在同一直线上时． ①如图2，求的度数； ②如图3，作交于点，若是的中点，探究线段与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据“”证明即可； （2）①根据等腰三角形的性质得出，求出，根据，得出，最后求出结果即可； ②证明，得出，根据，得出，从而得出，证明，得出，证明，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 根据（1）可知：， ∴， ∴； ②；理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26八年级上·吉林长春·期末）【问题发现】如图，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接，猜想与的数量关系为______，______． 【类比探究】和均为等腰直角三角形，，如图，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图，当，，则的值是______． 【答案】【问题发现】，；【类比探究】，理由见解析；【拓展延伸】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质结合角的等量代换可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． （2）根据等腰直角三角形的性质结合角的等量代换可证得，可得，，从而可证得，在中，由勾股定理即可得出结论． （3）连接，根据等腰直角三角形的性质结合角的等量代换可证得，可得，，从而可证得，在中，由勾股定理即可得解． 【详解】解：【问题发现】和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，． 故答案为：，． 【类比探究】，理由如下： 和均为等腰直角三角形，， ，，，， 即， 在和中， ， ， ，； ； 在中，由勾股定理，得：， ； 【拓展延伸】如图所示，连接， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理，得：． 故答案为：． 20．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：与都是等腰直角三角形，，且点在直线上，连接． (1)如图1，点在射线上，求证：； (2)如图2，点在上，交于点，且，求证：； (3)如图3，点在射线上，交于点，且，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质(边相等、角为或)，三角形全等的判定()及性质(对应边、对应角相等)，三角形内角和定理与外角性质的应用，同时结合了线段等量代换、面积公式的设元求解，是几何中“全等模型+等腰直角：三角形性质”的综合运用． （）利用等腰直角三角形的边相等()，通过角的和差推得，证，进而得到，结合，算出，证明垂直； （）先借助等腰直角三角形的边相等和角的差量关系，用证，得出，将待证式转化为；再通过三角形外角性质与等腰直角三角形的角，推得，结合等条件证，得到，又因故；最后把代入，即可证得； （）先通过角的差量关系和证，推出，结合等腰直角三角形的角度算出，再由得，进而推出，即；设，则，代入的面积公式，求出，得到；最后利用等腰直角三角形的性质，结合三角形面积公式算出相关边长，最终确定的长度． 【详解】（1）证明：如图， 在等腰直角中， ∵， ∴， 又∵， ∴， 同理， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图， ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，∴， 令，则， ∵， ∴， ∴（舍去）， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 令，则，， ∵， ∴， ∴（舍去）， ∴，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题06共顶点的等腰三角形“手拉手”模型的三种模型 题型归纳 目录 题型一：“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型… .1 题型二：“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型… .11 题型三：“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型… .22 题型专练 题型一：“手拉手”模型之共顶点双等腰三角形模型 条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠ACM=∠BFM;④CF平分∠AFD。 1.(25-26八年级上北京·月考)如图，在ABC中，AB=AC,∠DAE=∠BAC,AD=AE,连接 BD,CE. B D (I)求证：△ABD≌△ACE; (2)若AC∥BD,求证：LACE=2LACB 2.(25-26八年级上·甘肃平凉期中)如图①，CA=CB,，CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD,BE交于点M, AD,BC交于点O,连接CM. B 图① 图② (I)求证：BE=AD; (2)用含的式子表示∠AMB的度数； 1/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)当a=60°时，分别取AD,BE的中点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图②所示，判断△CP2的形状，并加以 证明. 3.(25-26八年级上湖北荆门期末)(1)【问题背景】如图1，ABC和△DAE中，AB=AC,AD=AE, 且∠BAC=∠DAE,连接BE,CD,求证：△ABE≌△ACD. (2)【尝试运用】如图2，ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，以B为端点引一条与腰AC相交的射线，在 射线上取点D,使∠ADB=∠ACB,求∠BDC的度数.小亮同学通过观察，联想到(1)中的模型，在BD上 找一点E,使AE=AD,最后使问题得到解决.请你帮他写出解答过程。 (3)【拓展延伸】如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC为任意角度，若射线BD在BC的下方，仍在射线 上取点D,使∠ADB=∠ACB,求证：∠BAC+∠BDC=180° 图1 图2 图3 4.(24-25八年级上·浙江杭州阶段练习)已知，在△ABC中，AB=AC. 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ADE中，若AD=AE,且LDAE=∠BAC,求证：CD=BE; (2)如图2，在△ADE中，若∠DAE=LBAC=60°，且CD垂直平分AE,垂足为H,AD=6,CD=8,求 BD的长度？ (3)如图3，∠BAC=90°，LADB=45°，AD=√2，BD=4,则BC的长度？ 5.(2425八年级上·云南玉溪期中)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的 底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形。 2/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 图1 图2 图3 (1)如图1，在“手拉手"图形中，AC=AB,AD=AE,∠BAC=∠DAE,若∠AEC=40°，则∠ADB=_。 (2)如图2，ABC和△AED是等边三角形，连接BD,EC交于点O,求∠BOC的度数； (3)如图3，AB=BC,LABC=LBDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系. 6.(25-26八年级上·湖南邵阳·期末)综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角 形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两 个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合.则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条 边，可以形象地看作两双手，所以通常称为手拉手模型”，如图3-1，ABC与ADE都是等腰三角形，其 中LBAC=∠DAE,则△ABD≌△ACE(边角边). 【初步把握】如图2，ABC与ADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,请直接 写出图中的一对全等三角形. 【深入研究】如图3，已知ABC,以AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE,BE,CD交于点 Q,求∠DQB的大小，并证明：BE=CD. 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角ABC和ADE中，AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°， 连接BD,CE交于点P,请判断BD和CE的关系，并说明理由. 图1 图2 图3 图4 题型二：“手拉手”模型之共顶点双等边三角形模型 条件：如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-=AD:③∠AFM=∠BCM=6O°；④CF平分∠BFD。 3/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级上山东德州期末)如图，分别以ABC的边AB,AC向外作等边三角形ABD和等边三 角形ACE,线段BE与CD相交于点O,连接OA. B (I)求证：BE=DC; (2)求∠BOD的度数： (3)求证：OA平分∠D0E. 8.(25-26八年级上·贵州铜仁·月考)小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，△ABC,△ECD 均为等边三角形，AC与BE交于点M,AD与CE交于点N,AD与BE交于点P,连接CP,探究 AP、CP、BP之间的数量关系. M 图1 备用图 (I)求证：△BCE≌aACD; (2)求证：∠APM=60°； (3)试探究AP,CP,BP之间的数量关系，并说明理由. 9.(25-26八年级上海南省直辖县级单位期中)如图1，△ABD,△BCE都是等边三角形，点A、B、C在 同一直线上，AE和CD交于点P D D B 图1 图2 (I)求证：AE=CD; (②)求∠APD的度数： 4/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，M,N分别是AE,CD的中点，试判断aBMN的形状，并证明你的结论 10.(25-26八年级上辽宁抚顺期末)问题情境：在等边ABC中，E为边BC中线AD上的一动点，连 接BE,在BE的下方作等边△BEF. E B B 图1 图2 (1)如图1，当BD=DE时，连接CF. ①∠ABE的度数为_-； ②猜想CF与AC的位置关系，并说明理由； (②)如图2，连接DF,BF+DF是否有最小值，若有请求出此时∠DBF的度数；若没有请说明理由 11.(25-26八年级上·安微安庆期末)ABC,△AEF是等边三角形，点F在直线BC上，ED⊥AB,交直 线AB于点D B 图① 图② 图③ (I)当点F在边BC上时，如图①，求证：AC-BF=2BD; (②)当点F在BC的延长线上时，如图②，猜想线段AC,BF,BD的数量关系并证明. (3)若AB=4,S。MBC=4S。ABF，则BD= 12.(25-26八年级上山东德州期末)综合与实践 【模型感知】 手拉手模型是初中数学里三角形全等知识点考察的重要模型.两个有公共顶点且顶角相等的等腰三角形组 成的图形叫手拉手模型. (I)如图1，已知ABC和ADE都是等边三角形，连接BE,CD,求证：BE=CD; 5/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D B D 图1 图2 图3 【模型应用】 (2)如图2，己知ABC和ADE都是等边三角形，将ADE绕点A旋转一定的角度.当点D在CB的延 长线上时，求证：AB+BD=BE; 【类比探究】 (3)如图3，已知ABC和ADE都是等边三角形.当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F,直 接写出线段AB,BF与BD之间存在的数量关系. 题型三：“手拉手”模型之共顶点双等腰直角三角形模型 条件：如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠ANM仁∠BCM-90°；④CN平分∠BND。 线 13.(25-26八年级上·四川泸州·期末)如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°， BE与CD相交于点F,BE交AC于点M· 5 (I)求证：BE=CD; (2)试判断BE与CD的位置关系，并说明理由， 14.(25-26八年级上·重庆·期末)已知ABC和ADE是等腰直角三角形，连接BD和CE. 6/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1：请问BD和CE有什么位置关系？并说明理由； (2)如图2：BD,CE相交于点F,BA和CE与相交于点G,BC=14,∠ACF=15°，求BF的长度. 15.(25-26八年级上安徽合肥期末)【初步感知】(1)如图1，ABC和ADE都是等边三角形，点D在 ABC内部，连接BD,CE,求证：CE=BD: 【类比探究】(2)如图2，当ABC和ADE都为等腰直角三角形时，∠BAC=∠DAE=90°且点B,D,E三 点共线，求∠BEC的度数； 【综合应用】(3)ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°，BC=7,在直线BC上取一点D,使得CD=3, 连接AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD,使得直线AC和ED交于F,则S。BDE=·(请直接写出答 案) B B 图1 图2 备用图 16.(25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末)已知Rt△ABC中，AB=AC,点D为直线BC上的一动点（点D不 与点B,C重合)，以AD为边作Rt△ADE,AD=AE,连接CE, 【发现问题】 (1)如图1，当点D在线段BC上时. ①BD和CE之间的数量关系为_，位置关系为_； ②求证：CE+CD=BC. 【尝试探究】 (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上且其他条件不变时，请写出BC,CE,CD之间存在的数量关系并 说明理由， 7/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图1 图2 17.(25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔期末)综合与实践 在ABC和ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,B、D、E三点共线，AC与DE交于点F. D 图1 图2 备用图 (I)①如图1，直接写出线段BD与线段EC的数量关系 ②如图2，若点G是BE中点，且∠DAF=∠ABD+∠AEF,连接AG、CD,求证：CD=2AG; (②)若∠BAC=90°，BC=8,在直线BC上取一点D,使得CD=2,连接AD,过A作AE⊥AD,且AE=AD ,使得直线AC和ED交于F,则S.BDE= 18.(25-26八年级上·湖北襄阳·期末)在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在ABC内部，AD=AE ,∠DAE=90°，DE交AC于点F. 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△ABD≌△ACE; (2)当B,D,E三点在同一直线上时. ①如图2，求∠BEC的度数； ②如图3，作CG∥AE交DE于点G,若D是BG的中点，探究线段BD与FG的数量关系， 19.(25-26八年级上·吉林长春·期末)【问题发现】如图①，点D为等边ABC边BC上一动点，以AD为 边作等边ADE,连接CE,猜想BD与CE的数量关系为 ，∠ACE= 【类比探究】ABC和ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，如图②，若点D为线段BC上 一动点，试判断BD、DC、DE存在什么数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】在(2)的基础上，若点D为线段BC延长线上一动点，如图③，当BC=2,DC=3,则DE 的值是· 8/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 图① 图② 图③ 20.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)已知：ABC与ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠EAD=90°，且点D在直线BC上，连接BE. E B G D B D 图1 图2 图3 (I)如图1，点D在射线CB上，求证：EB⊥BC; (2)如图2，点D在BC上，DE交AB于点F,且DF=DA,求证：AB+BE=BC; (3)如图3，点D在射线BC上，AE交BC于点G,且BE=AC,若S△DEG=4,求BG的长， 9/9