浙江Z20+名校联盟2025-2026学年第二学期创新班联考高二数学试题卷

浙江省Z20+名校联盟2025学年第二学期创新班联考 高二数学试题卷 命题学校：三门中学 命题人：董玲飞 审题人：陈鑫 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的取值可以为 A． B． C． D． 2．已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为 A． B． C． D． 3．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知正项等比数列的前项和为，若，则 A．8 B．12 C．14 D．16 6．已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则 A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 7．一个几何体垂直投影到平面上，形成图形，我们就称为在平面上的正投影．在长方体中，，的中点分别是，则长方体在平面上的正投影的面积为 A． B．2 C． D．3 8．已知，则 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计后发现平均数为2，方差为0．8，则 A．一定没有出现点数6 B．中位数可能为2 C．众数可以是1和3 D．可能出现4点 10．已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点满足，下列结论中正确的有 A．若，则的最小值为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最小值为16 11．莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为．则下列说法正确的是 A． B．对正整数， C． D．若且， 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则_____． 13．已知等差数列中，，公差为数列的前项和，则_____． 14．设正实数满足，则_____． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）为了解观看“浙BA”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）对照列联表，根据小概率值的独立性检验，分析关注“浙BA”赛事是否与性别有关； （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民，参加“浙BA”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 附：，其中． 16．（本题满分15分）在中，内角所对的边分别为，已知． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，求． 17．（本题满分15分）如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面底面． （1）若侧面为正三角形，求二面角的余弦值； （2）若，以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 18．（本题满分17分）已知函数． （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明． 19．（本题满分17分）已知椭圆的标准方程为分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一动点，且在轴上方，延长分别交椭圆于点． （1）证明：的周长大于8； （2）若，求直线的方程； （3）求面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省Z20+名校联盟2025学年第二学期创新班联考 高二数学试题卷解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则的取值可以为 A． B． C． D． 【答案】 【解析】，代入选项A：当时，，故A正确； 代入选项都不正确． 故选择：A 2．已知向量满足，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为在上的投影向量，， 所以，所以． 故选择：B 3．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【解析】，设为条件为条件， 当时，，则，则； 当时，因为，则或，直线与的关系不确定，即， 则为的充分不必要条件． 故选择：A 4．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【解析】，则圆上的点到直线的距离为的点为3个， 其中2个为过圆心且与平行的直线与圆的交点， 剩下一个为与平行且与圆相切的直线与圆相切的切点． 故选择： 5．已知正项等比数列的前项和为，若，则 A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【解析】设，则成等比数列，即． 故选择：B 6．已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则 A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】 【解析】，则，则，故错误； ，故错误；． 故选择： 7．一个几何体垂直投影到平面上，形成图形，我们就称为在平面上的正投影．在长方体中，，的中点分别是，则长方体在平面上的正投影的面积为 A． B．2 C． D．3 【答案】 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 于是， 设平面的法向量为，令，可得法向量． 分别取平面的法向量为， 平面的法向量为，平面的法向量为， 于是四边形在平面的正投影面积为， 四边形在平面的正投影面积为， 四边形在平面的正投影面积为， 所以总正投影面积为． 故选择：D 8．已知，则 A． B． C． D． 【答案】 【解析】设， ，在上，，故， ，即，即，故， 另一方面，所以，故， 综上，． 故选择：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计后发现平均数为2，方差为0．8，则 A．一定没有出现点数6 B．中位数可能为2 C．众数可以是1和3 D．可能出现4点 【答案】 【解析】若出现6，则，故正确； 若5次分别为1，1，2，3，3，故正确； 若出现一次6，则，故另外四次只能均为2，则与平均数2矛盾，故错误． 故选择：ABC 10．已知抛物线的焦点为，若上存在个互不重合的点满足，下列结论中正确的有 A．若，则的最小值为4 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最小值为16 【答案】ACD 【解析】A项：当时，易知为焦点弦，所以最小值为通径长度，故A正确； B项：不妨设在第一象限，由焦半径倾斜角公式得， 故，故B错误； 项：当时，易知和为两条互相垂直的焦点弦，不妨设和在第一象限，且在的右侧，由焦半径倾斜角公式得，故，故正确； D项：，同理， ，当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选择：ACD 11．莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数（质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数）的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为．则下列说法正确的是 A． B．对正整数， C． D．若且， 【答案】AD 【解析】A项：，所以，故正确； B项：取，则，故错误； C项：取，则，则 ，故错误； 项：，且，所以，且为偶数，， ，所以，所以，故正确． 故选择：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则_____． 【答案】2 【解析】 故答案为：2 13．已知等差数列中，，公差为数列的前项和，则_____． 【答案】 【解析】，所以，数列的周期为2，且， ，当为偶数时，，当为奇数时，，综上可知，． 故答案为： 14．设正实数满足，则_____． 【答案】 【解析】因为，所以， 构造，令，由余弦定理可知， 同理，，且，即点为三角形的费马点． 由，得， 所以． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）为了解观看“浙BA”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）对照列联表，根据小概率值的独立性检验，分析关注“浙BA”赛事是否与性别有关； （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民，参加“浙BA”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 附：，其中． 【解析】 （1）零假设：关注“浙BA”赛事与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为关注“浙BA”赛事与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过0．001． （2）关注赛事的市民中，男性150人，女性75人， 由分层抽样知，抽取男性市民4人，女性市民2人， 的取值为0，1，2， ， 0 1 2 所以． 16．（本题满分15分）在中，内角所对的边分别为，已知． （1）若，，求面积的最大值； （2）若，求． 【解析】 （1）当时，是的中点，所以， 两边同时平方，得， 即，即． 又由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为． （2）设，则，， 在中，由正弦定理得， 即．① 在中，由正弦定理得， 即．② 当时，， 又，代入①②中，化简得， 所以，得，即． 17．（本题满分15分）如图，已知四棱锥的底面为正方形，平面底面． （1）若侧面为正三角形，求二面角的余弦值； （2）若，以正方形为底面作正方体，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）取中点，记，的交点为，连接． 因为为正方形，所以； 又因为平面底面，平面底面，所以平面，所以． 因为为正三角形，所以，且，所以平面平面， 所以，而，所以二面角的平面角为，所以． （2）以为轴，为轴，过点的平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨设，则，，，． 设，则． 因为，所以．① 由（1）可知，，所以，即．② 以正方形为底面作正方体， 不妨取，则．设平面的法向量为， 因为，所以，取． 设直线与平面所成的角为， 则，平方得， 又因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时可取，符合题意， 故的最大值为． 18．（本题满分17分）已知函数． （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明． 【解析】（1）由条件得，令，则． ①当时，，单调递增，且，所以是的极小值点，无极大值点． ②当时，令，则，在单调递减，在单调递增， （i）当时，，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极大值点，是的极小值点． （ii）当时，，即恒成立，所以无极值点． （iii）当，所以， 而，所以在有唯一零点， 所以是的极小值点，是的极大值点． （2）由（1）得，①当时，在上，，单调递增， 所以，即， 所以在上为增函数，所以，所以时满足条件． ②当时，在上，单调递减， 所以当时，有，即， 在上为减函数，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）由（1）得，当时，，即， 要证不等式，只需证明， 只需证明，只需证， 设，则， 所以当时，恒成立，故在上单调递增， 又，所以恒成立，所以原不等式成立． 19．（本题满分17分）已知椭圆的标准方程为分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一动点，且在轴上方，延长分别交椭圆于点． （1）证明：的周长大于8； （2）若，求直线的方程； （3）求面积的最大值． 【解析】（1）连接，注意到， 故的周长为． （2）设， 由，且，故， 又，即， 因此，故直线的方程为：，即， 联立，得， 则，即，因此， 而，因此， 故直线的方程为：，即． （3）因为点在轴上方，所以直线，斜率不为0， 设直线，直线， 联立，可得，则， 注意到，故， 联立，可得，则， 注意到，故． ，因为， 所以， 则， 设，则， 则单调递增，故，则面积的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $