6.3平面向量基本定理及坐标表示单元过关检测卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3平面向量基本定理及坐标表示单元过关检测卷 一、单选题 1．已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数乘的运算法则可得答案. 【详解】. 故选：B． 2．与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解． 【详解】，， 所以所求单位向量为：， 所以与平行的单位向量为：或。 故选：D 3．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】，，， ，， 是线段上一点，三点共线， ，解得. 故选A. 4．已知平面向量，，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量平行坐标运算可得或，再由充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】若，则，解得或， 因为能推出，但不一定能得，所以甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件. 故选：A. 5．在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，设 ，写出对应点坐标，根据平面向量数量积坐标运算建立等式计算即可求解；方法二：由极化恒等式列式计算即可. 【详解】方法一：以 为原点，射线 为 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示：    ，则 ， 设 ，其中 ，则 ， ， 当 时， 取得最小值为 . 方法二：极化恒等式 设 的中点为 ，则 ， 当 为 中点时， 取得最小值为 . 故选：B. 6．在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标表示，代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，，， 由条件可知， 所以，即，即. 故选：A 7．已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角为锐角，得到向量数量积大于零且向量不共线，列出不等式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，的夹角为锐角， 所以且不存在实数使得，即，不共线. ①，因为，所以，解得. ②，不共线，若，共线，则， 整理得，解得或，所以且，综上，且. 故选：D. 8．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求向量的模长及模长的平方，再根据向量垂直的条件得到数量积为零，展开数量积表达式，代入已知模长计算，最后解方程求出向量的数量积. 【详解】因为，，所以，， 又因为，所以， 所以，即， 则，解得：， 又因为，且 ，，， 则. 故选：B. 二、多选题 9．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据平面向量的坐标运算可判断A，根据两向量垂直的坐标表示可判断B，根据模长的坐标表示可判断C，根据两向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A，，所以，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，解得，故B错误； 对于C，，解得，故C正确； 对于D，因为，所以，解得，故D错误； 故选：AC. 10．已知向量，则下列结论正确的是（ ） A．的单位向量为 B．若，则实数的值为 C． D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】对于A，利用单位向量的定义计算可判断；对于C，利用向量共线的坐标表示列方程求解判断；对于A，利用向量的模的坐标公式计算即得；对于D，利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判断. 【详解】对于A，与共线的单位向量，故A错误； 对于B，因，则， ，由可得， 解得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因，则， 由与的夹角为锐角，可得：，解得且，故D错误. 故选：BC. 11．下列命题中正确的是（    ） A．若，则向量在向量方向上的投影向量为 B．两个非零向量，若，则与共线且反向 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若为的外心，，则为的垂心 【答案】ABD 【分析】对于A根据已知坐标及投影向量的定义求投影向量的坐标；对于B应用向量数量积的运算律和定义化简条件得判断；对于C由向量数量积的定义确定夹角余弦值符号，即可判断；对于D根据已知得，再应用向量数量积的运算律和垂直表示得，同理有判断. 【详解】对于A：若，则，所以向量在向量方向上的投影向量为，A正确； 对于B：将两边平方，化简得，所以，结合向量夹角的范围得夹角为，B正确； 对于C：因为，即，所以向量与的夹角为钝角或平角，C错误； 对于D：因为为的外心，， 则， 所以， 所以，同理可得，故为的垂心，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．已知向量，，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据向量的线性坐标运算求得，，然后利用垂直的坐标运算列式计算求解即可. 【详解】由，可得，， 由可得，所以，解得. 故答案为：4 13．如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    【答案】 【分析】设，利用基底表示，利用算两次思想以及平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可得，， 因为三点共线，所以设， 则， 则， 由平面向量基本定理可得，，得. 故答案为： 14．在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】易得，以点为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】由，，， 所以， 所以，所以， 如图，以点为原点，建立平面直角坐标系， 则，设， 则， 故，， 所以， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 【分析】（1）求出的坐标，再根据向量的坐标运算求出，最后根据可得； （2）设，根据模长以及向量平行的坐标运算列出方程组求解. 【详解】（1）由题意得，，则， 又，所以，得； （2）设，则，即① 因为，，所以，即， 把代入①式得：或， 故向量的坐标为或. 16．已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为4， (1)求点的横坐标； (2)O为坐标原点，求向量在向量上的投影向量． 【分析】(1)根据向量共线定理可得解; (2)利用投影向量公式即可求解. 【详解】（1）由题可设点的坐标为， 因为，，三点共线，所以， 由于,,则, 解得：,所以点的横坐标为; （2）由(1)可得,所以, 则,, 向量在向量上的投影向量为 即向量在向量上的投影向量为 17．在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若求的最小值. 【分析】（1）设，然后用表示，根据三点共线求出的值； （2）根据，用表示，再将条件与代入，根据三点 共线求出的关系，结合基本不等式求解. 【详解】（1）因为，所以,,设 . 因为E，P，F三点共线，    所以解得：， 即：. （2）依题意： 由（1）知：, 因为E，P，F三点共线，    所以 ,即，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 18．如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，．    (1)把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； (2)用、表示、； (3)若，，求． 【分析】（1）设点，由题意得出，结合平面向量的坐标运算可得出、的值， 即可得出点的坐标； （2）利用平面向量的线性运算可得出、关于、的表达式； （3）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）设点，由得， 即，解得，，即点. （2）, , （3）由已知，，所以， 所以. 19．已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 【分析】（1）设点的坐标为，，，由，可得出，结合，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）化简得到，根据得到，再结合三角形相似可得到答案. 【详解】（1）因为、，所以. 设点的坐标为，，，则. 由，得，解得， 因为点在第一象限，所以，，则，解得. 故实数的取值范围是. （2）,. 设, , 由得， 即， , 又, ,消去解得:, . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3平面向量基本定理及坐标表示单元过关检测卷 一、单选题 1．已知 ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 2．与向量平行的单位向量是（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．在等腰梯形 中， ，， 是线段 上的动点，则 的最小值为（     ） A． B． C． D．0 6．在平面直角坐标系 中，已知点 ，，，若向量，在的投影向量相等，则 的值是（    ） A．0 B． C． D．3 7．已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知向量，则下列结论正确的是（ ） A．的单位向量为 B．若，则实数的值为 C． D．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 11．下列命题中正确的是（    ） A．若，则向量在向量方向上的投影向量为 B．两个非零向量，若，则与共线且反向 C．若，则向量与的夹角为钝角 D．若为的外心，，则为的垂心 三、填空题 12．已知向量，，若，则 ． 13．如图：在平行四边形中，、分别为边、上的点，且，，连接，交于点，若，则 .    14．在中，已知，，，为线段的中点，为线段上一动点，则的最小值为 . 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，，设． (1)若，求的值； (2)若向量满足，且，求向量的坐标． 16．已知，，三点共线，且，，若点的纵坐标为4， (1)求点的横坐标； (2)O为坐标原点，求向量在向量上的投影向量． 17．在中，点P满足，直线l过点P与边AB，AC所在直线分别交于点E，F. (1)若，求的值； (2)若求的最小值. 18．如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，．    (1)把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； (2)用、表示、； (3)若，，求。 19．已知四边形的顶点坐标为、、，且。 (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $