第六章 单元2 平面向量基本定理及坐标表示 A卷 基础观固&B卷 能力提升-【金试卷】2025-2026学年高一数学必修第二册同步单元双测卷（人教A版）

第六章 平面向量及其应用 单元2平面向量基本定理及坐标表示 A卷 基础巩固 建议用时：60分钟满分80分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 密 1.若e1,e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量 的基底的是 封 1 樂 A.e1-e2,e2-e1 B.2e-e2e-e2 塑 C.2e2-3e1,6e1-4e2 D.e1+e2,e1-e2 2.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且AD=2AB-3BC,则点D 昂 的坐标为 灯 内 A.(2,16) B.(-2,-16) C.(4,16) D.(2,0) 不 3.已知两点A(4,1),B(7,-3),若AB+AC=0,则点C的坐标是 () 如 准 A.(1,5) B.(-3,4) C.(-1,-5) D.(4,-3) 4.已知平面向量a=(1一x,3十x),b=(2,1十x),若a·b=4,则a 答 与b的夹角为 () A. B c D.8 题 萄 5.如图，在4×4方格中，向量a,b,c的始点和终点均为小正方形的 顶点，则下列说法不正确的是 丝 邻 A.a=b B.a⊥b C.a·c=b·c D.2b-cl=c 6.向量PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k),若A,B,C三点共 线，则的值为 () A.-2 B.11 C.-2或11 D.2或11 二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 7.已知点A(4,6),B(-3,),与向量AB平行的向量的坐标可以是 A.(传3) B(,》 c.(-4,-3) D.(7,9) 8.下列各式正确的是 A.若a=(-2,4),b=(3,4),则a一b=(1,0) B.若a=(5,2),b=(2,4),则b-a=(-3,2) C.若a=(1,0),b=(0,1),则a十b=(0,1) D.若AB=(1,2),点A(3,4),则点B的坐标是(4,6). 9.已知向量a=(1,-2),|b=4|a,a∥b,则b的坐标可能是 A.（4,8) B.(4,-8) C.(-4,-8) D.（-4,8) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10.已知A(2,0),B(0,2),若AC=号AB,则点C的坐标是 11.若向量a=(2,x+1),b=(x十2,6)，a,b的夹角为锐角，则实数 x的取值范围为 12.已知向量a=(1,3),b=(3,m).若向量a,b的夹角为石，则实 数m= 四、解答题（本题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 13.(10分)已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点A(-1,-2). (1)求线段BD的中点M的坐标； (2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线，求y的值. 14.(10分)如图，已知在平面直角 坐标系中不重合的四点A,B, A C,D满足以下条件：AB=(6, 0 1),BC=(k,-1),CD=(-2, -3). (1)若BC∥DA,求k的值； (2)若AC⊥BD,求四边形ABCD的面积 第一部分单元、阶段检测卷3 第六章平面向量及其应用 单元2平面向量基本定理及坐标表示 B卷 能力提升 建议用时：60分钟满分80分 一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.平面向量a=(1,m),b=(-1,3),且a-b|=a+bl,则a= () A.23 3 R号 C.3 D.3√3 2.已知非零向量OA,OB不共线，且2OP=xOA十yOB,若PA=入 AB(入∈R),则x,y满足的关系是 () A.x+y-2=0 B.2x+y-1=0 C.x+2y-2=0 D.2x+y-2=0 3.平面上有A(2,1),B(-1,4),D(一2,3)三点，点C在直线AB 上，且AC=2BC,连接DC并延长DC至E,使C龙=号CD, 则点E的坐标为 () A.(-5,9) B.（-3,9) C.(-1,4) D.(-3,7) 4.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),c=5,若(c-b)·a=15 则a与c的夹角为 () A.30° B.60° C.120° D.150° 5.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正 三角形除去内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正 六角星以原点O为中心，其中x,y分别为原点O到两个顶点A, F的向量OA,OF.若将原点O到正六角星12个顶点的向量都写 成ax十by的形式，则a十b的最大值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 4第一部分单元、阶段检测卷 6.设向量a=(1,一3)，b=（一2,4)，c=(-1,一2)，若表示向量4a, 4b一2c,2(a一c),d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d () A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 二、多项选择题（本题共3小题，每小题5分，共15分，在每小题给 出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的 得2分，有选错的得0分) 7.已知向量a=(1,一2)，b=(-1,2),则下列结论正确的是() A.a∥b B.a与b可以作为基底 C.a+b=0 D.b一a与a方向相反 8.中国象棋是中国发明的一种古老的棋类游戏，是中华文明非物质 文化的经典产物.如图，棋盘由边长为1的正方形方格组成，已知 “帥”“炮”“馬”“兵”分别位于A,B,C,D四点，“馬”每步只能走 “日”字，图中的“馬”走动一步到达点C,则AD·BC的值可能为 () 兵 炮 帥 馬 A.-10 B.-12 C.-11 D.-14 9.在△ABC中，AB=(2,3),AC=(1,k),若△ABC是直角三角形， 则k的值可能为 () A-号 R号 C.3±/13 2 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 10.已知A(7,2),B1,4),直线y-ax与线段AB交于C,且AC =CB,则实数a等于 11.在四边形ABCD中，AB=2,单位向量CD与向量AB平行，P是 BC的中点，AP与DC相交于点Q,若在AB、BC、AD、DC中选 两个作为基底表示向量AQ,则AQ 12.根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三 条边为边长作正方形，从斜边上作出的正 方形的面积正好等于从两直角边作出的 正方形面积之和.现在对直角三角形 D30 CDE按上述操作作图后，得如图所示的 图形，若AF=xAB十yAD,则x-y= 四、解答题（本题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 13.(10分)在平面直角坐标系x0y中，已知向量m一（号，-号》n =(sinx,cosx),z∈(0，)： (l)若m⊥n,求tanx的值； (2)若m与n的夹角为5，求x的值. 14.(10分)已知点O(0,0),A(2,1),B(1,2). (1)若O户-0OA+O店，求点P的坐标， (2)已知OQ=λOA十uOB ①若点Q在直线AB:y=一x十3上，试写出λ，μ应满足的数量 关系，并说明理由； ②若△QAB为等边三角形，求λ，4的值.13.解(1)由(2a-3b)·(2a+b)=4a2-3b2-4a·b=4X16-3X9-4a·b=61, 解得a·b=一6， .|a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,.a+b|=√13. (2)设a与a十b的夹角为0， .a·(a+b)=a2+a·b=10,∴.cos0= 10 5 4×√132√13 则a在a+b方向上的授影向量的模为1lac0sgl=4X,5-10y丽 2√13 13 14,解(I)证明：平行四边形ABCD中，BM=号BC,AN=3AB,E为AM的中，点， :A应-Ai-店+B而=合（停+号）=号A+号Aò， 又号+号-1，点D,EN共线 (2)设DC=|AB1=x>0,|BC1=|AD1=y>0,根据∠DAB=60°，AB.AD 合，可得y=1,1A2=(+B2=(a+号)°=2+号y×合+号y =2++号>w叶号=2。 3 当且仅当x=号具y=1,即-号-时取等号，故脑的流小准为区，长 时市的值为。 第六章平面向量及其应用 单元2平面向量基本定理及坐标表示 A卷基础巩固 1.D选项A,B,C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底.故选D. 2.A设0为坐标原点，AD=2AB-3BC,.OD=OA+2AB-3BC=(-1.2)+2 (3,1)-3(1,一4)=(2,16)，则点D的坐标为(2,16).故选A. 3.A设C(x,y),则AC=(x-4,y-1). 又AB=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),AB+AC=0, 8,-+6-4-10=0,000,六c1,5以遂 4.B由a·b=4,可得2(1-x)十(3+x)(1十x)=4,即x2十2x十1=0， 解得x1=x2=-1,所以a=（2,2),b=(2,0), a·b 42 所以cos(a,b〉=1a·1b-22×22' 又(a,b)∈[0，π]，所以a与b的夹角为无.故选B. 5.A建立如图所示的平面直角坐标系，设小正方形的 边长为1， 则a=(-1,2),b=(2,1),c=(1,3), 显然a≠b,∴.A选项中的说法不正确； .a·b=-1×2十2×1=0，.a⊥b,.B选项中的说 法正确； a·c=-1×1+2×3=5,b·c=2×1+1×3=5, ∴.a·c=b·c,∴.C选项中的说法正确； ,|2b-c|=|(3,-1)1=√9+1=√10，cl=√1+9 =√/10， .2b-c=|cl,∴D选项中的说法正确.故选A 6.CAB=PB-PA=(4-k,-7),BC=PC-PB=(6,k-5),由题知AB∥BC, 故(4-k)(k-5)-(-7)×6=0,解得k=11或k=-2.故选C. 7.ABC由点A(4,6,B(-3,）,得A立=(-7，-8） 选项A.-7X3-(-号)×普=0，所以选项A符合题意， 54参考答案 选项B,-7×号-(-号)X7=0,所以选项B特合题意： 选项C.-7X(-3)-(一号）×(-普)=0，所以选项C特合题意： 选项D,-7Xg-(仁号)X7≠0，所以选项D不特合题意. 故选ABC 8.BD根据向量加减法，易知A,C不正确，B正确； 对于选项D,设点B的坐标为(x,y). 则A弦=(x-3-0=1,2.二3)解得x二4， (y-4=2,1 y=6. 点B的坐标是(4,6)，则D正确.故选BD. 9.BD设b=(x,8), 因为a=(1,-2),a∥b,所以-2x-y=0,即y=-2x,① 因为b|=4a,所以W√x2+y2=4X√2+（-2)2，即x2+y2=80.② 由D网群得8 所以b的坐标可能是(4，一8)，也可能是（一4,8）.故选BD. 10.答案 (告号) 解析设C(x,y),则AC=(x-2,y),AB=（-2,2), 所以x-2)=(号，号），得x=号y=号，即c(告，号)】月 11.答案 (-号2u2,+∞) 解析因为向量a=(2,x十1)，b=(x十2,6)，a,b的夹角为锐角， 所以a·b=2(x十2)+6(x十1)=8x+10>0,且a与b不共线， 即2×6-(x+1)(x+2)≠0.解得/2>3 ,/8x+10>0, x≠2且x≠-5， 所以实数x的取位范国为（号2U(2,十∞）. 12.答案√3 解析因为a=(1,w3),b=(3,m),所以a=2,b|=√9十m2,a·b=3十√3m 又ab的夫商为音，片以a:。=as吾即Bg-9 2vW9+m22’ 所以3+m=√9十m2,解得m=3. 13.解(1)设B(x1y1),D(x2y2),点M(xoyo). 因为AB=(4,3),A(-1,-2),所以(x1十1，y1十2)=(4,3)， 所以士=4所以3，所以B3,1.同理可得D-4,一3》， y1+2=3, y1=1, 又点M为线段BD的中点0=士=一合0=如2=-1 2 2 因此中点M的坐标为（一合，一1小 (2)PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 因为PB,D三点共线，所以P店/BD,所以-4十71-》=0，所以y= 14.解(1)易知AD=AB+BC+CD=(k+4,-3), :BC=(k,-1),且BC∥DA,.-3k十十4=0，解得k=2. (2)易知AC=AB+BC=(k+6,0),BD=BC+CD=(k-2,-4), :AC⊥BD,.(k十6)(k-2)=0,解得k=-6或k=2. 当k=一6时，AC=(0,0),A、C两点重合，不满足条件，舍去， 当k=2时，AC=(8,0),BD=(0,-4), 1AG=8,B励=4，Sm装5A8cD=合×8X4=16. B卷能力提升 1.A由a-b=a十bl,可得a-b2=|a+b2,即(a-b)2=(a+b)2, 化简整得ab0,1X(-1)十m×,5=0,解得m-写， a-(,）a2+(得-2该 2.A由PA=入AB,得OA-OP=λ(OB-OA),.OP=(1+X)OA-AOB, 又20=x0A+y0方，且0与0品不共线，1+入=受且-入=学， 因此受十之=1，即x十y一2=0.故选A 3.A因为点C在直线AB上，且AC=2BC, 2 所以B为AC的中点，又A(2,1),B(-1,4), 所以C(一4,7)， 因为连接DC并延长DC至E,使C=2C可， 所以c2=-cd, D B 设E0,则x+4y-7)=-2,-0, A 中中释5 y=9, 所以点E的坐标为（一5,9）.故选A. 4.C由a=(1,2),b=（-2,-4),得a·b=-10,故(c-b)·a=c ·a-b·a=c·a十 10=号a=- 5 设a与c的夫角为0，到as0一日治后X后 2 21 又0°≤0≤180°，.0=120°.故选C. 5.D因为想求a十b的最大值.所以只需考虑图中原点O分别 到6个顶，点的向量OA,OB,OC,OD,OE,OF即可. (1)因为OA=x,所以(a,b)=(1,0); (2)因为OB=OF+FB=y十3x=3x十y,所以(a,b)=(3,1); (3)因为OC=OF+FC=y+2x=2x十y,所以(a,b)=(2,1); (4)因为OD=OF+FE+ED=y+x+OC=y+x+y+2x= 3x+2y,所以(a,b)=(3,2)； (5)因为OE=OF+FE=y十x=x十y,所以(a,b)=(1,1); (6)因为OF=y,所以(a,b)=(0,1). 综上，a十b的最大值为3十2=5.故选D. 6.D设d=(x,y),易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,∴.d=4c-4b-6a,又a=(1,- 3),b=(-2,4),c=(-1,-2),.d=4(-1,-2)-4(-2,4)-6(1,-3)=(-2, 6).故选D. 7.ACD因为a=(1,-2),b=(-1,2),所以a=-b, 则a∥b,a十b=0,a与b不可以作为基底， b-a=(一2,4)=一2a,所以b-a与a方向相反.故选ACD. 8.ACD建立如图所示的平面直角坐标系， 5 则A(0,0),B(-3,2),D(-2,3),C(3,0), 由题意可知C1(1,1)或C(2,2)或C(4,2), D 3 若C1(1,1),则AD·BC1=(-2,3)·(4,-1) B 2 =-11,若C1(2,2),则AD·BC1=(-2,3)· C (5.0)=-10, -5-4-3-2-1A12345x 若C1(4,2),则AD·BC1=(-2,3)·(7,0)= -14. 综上，AD·BC1的值可能为-10或-11或-14，故选ACD. 9.ABCAB-=(2,3),AC-(1,k),BC=AC-AB=(-1,k-3). 若∠A=90,剥A店：AC=2X1十3A=0k=-号： 若∠B=90,则A店.B心=2X(-1)+3(k-3)=0,k=号： 若∠C=90,则AC.BC-1X(-1)+k(-3)=0,k=3±国 2 故所求质的值为-号或号浅生yE,故选ABC 3 2 10.答案号 解折设点C(o合4）由于Ad-。 所以(x0-7,2ax0-2）=(1-04-2ax0) x0-7=1-x0, x0=4, 分00-2=4，海之得 则1 1.答案2AB+BCA+3D心A+3A店4D心+BC4A市-3BC(任选一个即可) 解析：P为BC的中点，AB∥CD,∴.P D 为AQ的中点，AB=CQ, 选择AB、BC, AQ-2AP-2(AB+BP)-2AB+BC. 选择AD、DC. AQ=AD+DQ=AD+3 DC 选择AB、AD, A夜=Aò+D成=Aò+号A店. 选择BC,DC AQ-2 PQ=2(PC+CQ)-BC+2X2DC-BC+4DC 选择BC、AD :A=AD+DC+C苏=A+2A店-B元，∴A店=2(AD-BC), :AQ=AD+号A店=AD+3×2A-BO=4Ai-3BC. 12,答案一日 解析如图，以A为原，点，AB,AD的方向分别为x轴， y轴的正方向建立平面直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为2a,则正方形DEHI的边长K E 为√3a,正方形EFGC的边长为a. 2 易知A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(√3+1)a, D 30° 则xr=(W3+1)a·cos30°，yr=(√3+1)a·sin30°+ 2a即(25. 又a=店+yA.(5。,)=x2a0) 2 +y(0,2a)=(2ax,2ay), 2ax3+5 2a (2ay=5tv3 化简整里得一y=- 2a 1.解(1D因为m=(停，-号）a=(sinx,cosx),mLn, 所以m·n=0,即 sinx-2。 2 cosx=0,所以sinx=cosx,所以tanx=1. (2图为m=m=1,所以m·n=os音-子，中9n一。 所以sin(e-吾）=2， 因为0<受，所以-<x-至<晋，所以工一子-名，即x-受 14.解(1)由题意得0i=(2,1D,0成=1,2)0°=号0i+o房=(2,2)， “点P的坐标为(2，号)： (2)设Q(s,t),由OQ=λOA十μOB,得s=2λ十4，t=1十24. ①λ十4=1.理由如下：把(2λ+十，λ+2)代入y=-x十3，得入十2μ=一(2入十)+ 3,即λ十=1. ②由△QAB为等边三角形，得QA=|QB=AB1,.QA2=|QB2=AB2, .(s-2)2+(t-1)2=(s-1)2+(t-2)2=(2-1)2+(1-2)2=2, 六5=1,22-6s十3=0，解得5=3±5， 2 又9=2x十4,1=X+24,A=4=3+5或=4=3-图 6 6 第六章平面向量及其应用 单元3平面向量的应用 A卷基础巩固 1.D:A花.Bd=0,∴AC1BD.“四边形ABCD的面积S=号|AC1Bd=号× √/10×2√10=10.故选D. 2.A由已知得∠MAN=30°，∠NAB=∠NBA=30°，则∠ANB=120°，又AB=30 30 米，所以在△NAB中，设NA=x米，则由正弦定理可得n20一sn30,解得x 10,即NA=10,5米，在直角△MNA中，MN=NA.tan30°=10,5×号-10来. 故选A. 13.D由6a=4h=3c,得c=2a,b三多a,c0sB=a2+2-6=Ta4a11 2ac 4a2 16 故选D. 4.D:b2=ac,B=60°，由余弦定理b=a2十c2-2ac·cosB,得a2十c2-ac=ac,即 (a-c)2=0,∴a=c.又B=60°，△ABC为等边三角形.故选D. 5.A在锐角△ABC中，由余弦定理得2b2-2a2-2c2=-4 accos B,3a2-3b2-3c2= SA,结合题嘉可得6ac十3，--4 aceos B,-2c十4C—6 bccos 禁理得6-4c0sB=积，1-3cosA-2的， 又r为△ABC外接圆的半径.'.6-4cosB=3sinA,1-3cosA=4sinB, 故4cosB+3sinA=6,4sinB+3osA=1,两式分别平方，相加可得sinC=, 又0°<C<90°，.C=30°.故选A. 6.A设∠OAD=0,.AD=1,∴.OA=AD·cos0=cos0,OD=AD·sin0=sin0, :∠BAD=受∠BAx=受-0， 易知xB=c0s0+co(受-0）=cos0+sin0,ya=sin(受-0）cos0, ..OB=(cos 0+sin 0,cos ) 同理可得C(sin0,cos0+sin),∴.OC=(sin0,cos0+sin), ..OB.OC=(cos 0+sin 0)sin 0+cos 0(cos 0+sin 0)=sin20+cos20+2sin 0cos 0=1 +sin 20, :0∈(0，受）20e(0,x),…当sin20=1,即20=受时，0成.0心取得最大值，为 2.故选A. 7.BD由3a=√3b=12,得a=4,b=4√3，利用余弦定理可得a2=b2+c2一2 bccos A, 即16=48+c2一12c,解得c=4或c=8.故选BD. 8.ABC对于A,根据余弦定理，可得a2=b2+c2-2 bccos A,故A正确； 对于B,根据正弦定理边角互化，可得asin B=bsin A台ab=ab,故B正确； 对于C,根据正弦定理，得a=bcos C十ccos B→sinA=sin Bcos C十sin Ccos B=sin (B+C)=sinA,故C正确； 对于D,根据正弦定理的边角互化可得，sin Acos B十sin Bcos C=sinC=sin(A十B) =sin Acos B+cos Asin B, 即sin Bcos C=cos Asin B, 又sinB≠0，所以cosC=cosA,当A=C时，等式成立，故D不正确.故选ABC. 9.BC因为asin AB=csin A, 2 所以结合正弦定理得sin AsinA十B=sin Csin A, 2 又因为snA≠0，所以m”2C=sinC,所以cosS-2sin号c0s号， 易知0号<受所以m号≠0， C 所以sin 号-号所以号-登所以C=音所以A错送 设△ABC的外接园半径为R,易得C-2R,即 2一=2R,解得R=,所以C正确 由c2=a2+b2-2 abcos C得4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab, 当且仅当a=b时取等号，所以ab的最大值为4， 所以S的最大值为号×4X号-5。 所以B正确； 由正弦定理得a b 2=43 sin A sin B sin C sin 3 3 sin A,6=413: 所以a=4 3 sin B, 所以a+b=4y5(sinA十sinB)=4g[smA+sin(质-A)] 3 -4g(号mA+原osA)=(停nA+2asA)=4sm(A+晋）： 因为0<A<警片以看<A+音<受， 所以2<sin(A+看)≤1，所以2<4sin（A+若)≤4，所以2<a+b≤4， 所以4<a十b十c≤6，所以L的最大值为6.无最小值，所以D错误.故选BC. 10.答案号5 解析肉a2+6-2=a6,得cosC-+。-合，Ce0对C-吾 2ab 由正孩定理a=c,得Q=加片=26 C sin C 3 2 11.答案2√13 解析在△ABM中，由余弦定理得AM=AB2+BMP-2AB·BM·cosB,即12 =4+BMP-2X2XBMX?.巷理可得BMP-2BM-8=0,解得BM=4或BM= 一2（舍去）， 所以BC=2BM=8, 所以在△ABC中，由余弦定理可得AC=√AB2十BC2-2AB·BC·cOsB= √2+82-2×2×8×=2v1B. 参考答案55