第八章 实数 单元综合能力提升卷-2025-2026学年人教版七年级下学期数学.

第八章 实数单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．的平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的计算，先计算的值，再求该值的平方根，注意平方根有正负两个值． 【详解】解：∵， ∴的平方根为， 故选：C． 2．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根、相反数等知识点，理解相关定义是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义及相反数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：∵正数的平方根有两个，且互为相反数，10是正数， ∴10的平方根是，①说法正确； ∵任何实数都有立方根，负数的立方根是负数，0的立方根是0， ∴“负数和零没有立方根”的说法错误，②说法错误； ∵互为相反数的两个数和为0，， ∴的相反数是，③说法正确． ∵算术平方根是一个非负数的正的平方根，， ∴16的算术平方根是4，④说法正确． ∵， ∴0.008的立方根是0.2，⑤说法正确． 综上，正确的说法有①③④⑤，共4个． 故选：A． 3．已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 4．已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，熟练掌握数轴上点的特点，是解题的关键．根据得出、b异号，根据得出，再结合、b异号，得出，，且，最后进行判断即可． 【详解】解：∵非零实数，满足， ∴， ∴、b异号， ∵， ∴， ∴， ∵、b异号， ∴，，且， 因此四个选项中，只有B选项符合题意． 故选：B． 5．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 6．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根定义与性质，熟记平方根、立方根定义与性质是解决问题的关键．由平方根、立方根定义与性质逐一分析各选项的等式是否成立，即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中左边是两个值，而右边仅取正根，显然不等，故等式不成立，不符合题意； B、，故等式不成立，不符合题意； C、，故等式不成立，不符合题意； D、，故等式成立，符合题意； 故选：D． 7．下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查无理数的识别，需先排除实数范围内无意义的数，再根据无理数（无限不循环小数）的定义逐一判断即可． 识别无理数时，需先排除非实数，再紧扣“无限不循环小数”的定义判断，注意分数和有限小数都属于有理数． 【详解】解：∵的被开方数为负数，在实数范围内无意义，不属于实数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是分数、是有限小数，均为有理数； ∴无理数共有3个， 故选：C． 8．一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式规律，观察代数式变化部分与序号的关系是解决问题的关键． 通过观察给定式子的系数和指数规律，发现系数为，字母的指数为，即可得到答案． 【详解】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子： ； 第4个式子：； … 综上所述，该组式子的规律为：， 故选：B． 9．设 在数轴上对应的点分别是A、B，则A、B两点间的距离是 （     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B两点间的距离是， 故选：B． 10．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的减法，整式的加减． 根据题意得出，因此题干条件可化为，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ 即， 故选：B． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 11．若有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】本题考查了立方根有意义的条件，熟练掌握立方根有意义的条件是解题的关键． 根据立方根的性质，立方根有意义的条件是被开方数可以是任意实数，因此的取值范围没有限制． 【详解】解：∵立方根运算对任意实数都有意义， ∴对于，可以是任意实数， 即的取值范围是任意实数． 故答案为：任意实数． 12．若，为实数，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握平方和算术平方根的非负性是解题关键．根据平方和算术平方根的非负性可求出和的值，再计算乘积即可． 【详解】解： ，，且 ， 且， 解得，， ． 故答案为：． 13．如图，长方形内的两个相邻正方形面积分别为9和3，则两个正方形的边长分别为 和 ，图中阴影部分面积为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，明确题意，求出大小正方形的边长是解题的关键． 根据题意可得小正方形边长为3，大正方形边长为。即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为9，小正方形的面积为3， ∴大正方形边长为 ，小正方形边长为 ， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：3，， 14．设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减．根据题意可得，，从而得到，，可求出a的值，即可求解． 【详解】解：∵，且任意两数之和中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 15．一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的实际应用，关键是熟练应用立方体的体积公式；金属块总体积不变，分成四个相同立方体，每个体积为总体积的四分之一，再根据立方体体积公式求棱长． 【详解】解：设立方体的棱长为， 则，解得． 故答案为：． 16．定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 【答案】83 【分析】此题考查了实数的新定义运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先根据所给的定义，求出的值为，再求出的值即可． 【详解】解：∵ ． ∴ 故答案为：83． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算算术平方根和立方根，再算加减； （2）先算算术平方根和绝对值，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根解方程，解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用平方根解方程，即可作答． （2）先去分母，再去括号，移项，然后合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或 （2）解：∵， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 19．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数： （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是1， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 20．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及平方根的计算，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，列出关于的不等式组，通过解不等式组求出的值； （2）将（1）中求出的值代入原式，求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根． 【详解】（1）解：∵二次根式的被开方数需非负， ∴​， 解得． （2）解：把，代入原式得， 即， 解得 ∴， 的平方根是， 即的平方根是． 21．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 22．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 【答案】(1)三；一 (2)①；②； (3)． 【分析】本题考查的知识点是算术平方根、立方根有关的规律探索问题，解题关键是由题意总结出规律． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】（1）解：结合表格内容得，被开方数的小数点向右（或左）移动三位，其立方根的小数点向右（或左）移动一位， 故答案为：三；一； （2）解：根据总结的规律可得：， ， 故答案为：①；②； （3）解：类比可得，被开方数的小数点移动两位，其平方根的小数点移动一位， ，， ． 23．观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考探索数字规律及立方根的含义，利用平方根的含义解方程，解题的关键是观察阅读材料得到规律，掌握立方根的定义． （1）观察规律，写出一个类似的等式即可； （2）用含、的式子表达规律即可得答案； （3）根据相反数的定义列方程求出的值． （4）根据相反数的定义可得，结合，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：（答案不唯一）； （2）解：当时，则，反之也成立； （3）解：∵与的值互为相反数， 则， 解得． （4）解：与的值互为相反数， ， ， ， ， ， ． 24．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 【答案】(1)10 (2)14 (3)15或或10 【分析】本题考查了整式加减，有理数的混合运算，绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题的关键． （1）根据新运算定义，先判断的奇偶性，再列式计算； （2）先判断的奇偶性，再列式计算； （3）先判断的奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，为偶数， ∴ ． （2）解：∵，为奇数， ∴， ∴， ∵整数a，b，， ∴，， ∴， 整理得， ∴． （3）解：∵一定为偶数， ∴是偶数， 当a为奇数时， ， ①当a为负奇数时得， ∴， 解得舍去； ②当a为正奇数时，得， ∴， 解得； 当a为偶数时， ， ①当a为负偶数时得 ， ∴， 解得， ②当a为正偶数时得 ， ∴， 解得， 综上所述：a的值为15或或10． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数单元综合能力提升卷（人教版） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．的平方根为（     ） A． B． C． D． 2．下列说法：①10的平方根是；②负数和零没有立方根；③的相反数是；④16的算术平方根是4；⑤的立方根是，其中正确的有（    ）. A．4个 B．3个 C．2个 D．5个 3．已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 4．已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 6．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 7．下列各数：，，，，，．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．一组按规律排列的式子：第个式子是（   ） A． B． C． D． 9．设 在数轴上对应的点分别是A、B，则A、B两点间的距离是 （     ） A． B． C． D．或 10．若实数a，b同时满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（每小题3分，共18分） 11．若有意义，则x的取值范围是 ． 12．若，为实数，且满足，则 ． 13．如图，长方形内的两个相邻正方形面积分别为9和3，则两个正方形的边长分别为 和 ，图中阴影部分面积为 ． 14．设实数满足，且任意两数之和共10个数中最小的三个数是32、36、37，最大的两个数是48、51．则 ． 15．一块体积为的金属块熔铸成四个相同的立方体金属块，则该立方体的棱长为 ． 16．定义：对于任意的实数a，b，有．例如：，则 ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．已知． (1)求的值； (2)求的平方根． 21．如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 22．观察下表，并用所得的规律解决问题： (1)发现规律：被开方数的小数点向右（或左）移动___________位，其立方根的小数点向右（或左）移动___________位； (2)应用：①已知，则___________； ②已知，则___________； (3)拓展：根据上述探究过程类比研究一个数的平方根．已知：，计算的值． 23．观察下列式子：①；②；③；④． 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：__________； (2)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若__________，则，反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的值； (4)若与的值互为相反数，且，求a的值． 24．对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”： 当为偶数时，规定； 当为奇数时，规定． (1)当，时，求的值． (2)已知，，求式子的值． (3)已知，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $