1.6.1菱形的性质课件2025-2026学年湘教版数学八年级下册

湘教版 八年级 数学（下） 第1章 四边形 1.6　菱形 1.6.1　菱形的性质 1 情景导入 将一张矩形的纸对折，然后沿着图中的虚线剪下，猜猜看，打开是个什么图形？自己动手做一做. 知识模块一　菱形的定义 自学互研 观察图中的平行四边形，它们有什么特点？ 它们的邻边相等. 平行四边形 菱形 一组邻边相等 菱形：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 菱形作为一种特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还具有哪些特殊性质？ 根据平行四边形如图所标注的角的度数，则一定能判定其为菱形的是 ( ) 练 练 一 B 知识模块二　菱形的性质 菱形的四条边相等吗？ A B D C 菱形的四条边相等. 如图，菱形ABCD中，AD=AB. 由于菱形是平行四边形， 因此 AD=BC，AB=DC， 从而 AD=AB=BC=DC. 菱形的性质定理1： 菱形的四条边相等. 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形. ∴AB=BC=CD=AD. A B D C 1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是 ( ) A．两组对边分别平行 B．两对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 练 练 一 D 2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点， E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF.若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为 ( ) A．4 B．4 C．4 D．28 C 3．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF交AD于点M，交AC于点N，交CD的延长线于点F. (1)试说明AM＝DM； (2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC. 又∵EF⊥AC，易证AE＝AM＝ AB＝ AD， ∴AM＝DM； (2)∵AE＝AM， 3．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF交AD于点M，交AC于点N，交CD的延长线于点F. (1)试说明AM＝DM； (2)若DF＝2，求菱形ABCD的周长． ∴∠AME＝∠AEM. ∵AB∥CD， ∴∠AEM＝∠F，又∠FMD＝∠AEM， ∴∠F＝∠FMD， ∴DF＝DM＝ AD， ∴AD＝4， ∴菱形ABCD的周长是4×4＝16. 由于菱形是平行四边形，因此其对角线互相平分. 除此之外，菱形的对角线还有什么关系？ 菱形的对角线互相垂直. 如图所示，菱形ABCD中， 对角线AC，DB相交于点O. 求证：AC⊥BD. 根据菱形的性质定理 1 得， DA = DC，BA=BC. 根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”得，点 D和点B都在线段 AC 的垂直平分线上. 因此直线DB是线段AC的垂直平分线， 从而DB⊥AC. 如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O. 求证：AC⊥BD. 几何语言： ∵四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥DB. 菱形的性质定理2： 菱形的对角线互相垂直. 15 菱形是中心对称图形，对角线的交点是菱形的对称中心. 由于菱形是平行四边形： 填空：把图中的菱形 ABCD 作关于直线 DB 的轴对称，则 （1）点 A 的像是点C， 点 C 的像是____， 点 D 的像是_____，点 B 的像是_____； （2）边 AD 的像是边CD，边 CD 的像是______， 边 AB 的像是_______，边 CB 的像是_______. 点A 点D 点B 边AD 边CB 边AB 菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 平行四边形的性质 矩形的性质 菱形的性质 对边相等 对角相等 对角线互相平分 对边相等 四个角都是直角 对角线互相 平分且相等 四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 18 如图，菱形 ABCD 的面积S与对角线AC，BD的长有什么关系？将你的想法与同学交流. 因为S菱形ABCD = S△ADC + S△ABC，AC⊥BD， 菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半. 知识模块三　菱形的面积 因为S菱形ABCD = AC·DO＋ AC·BO = AC (DO＋BO) = AC·BD S= AC·BD 例1 菱形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的长度分别为 4 cm，3 cm，如图所示，求菱形 ABCD 的面积和周长. 所以AB =＝＝2.5(cm). 因此，菱形 ABCD 的周长为2.5×4=10 (cm). 解 菱形 ABCD 的面积 在 Rt△ABO 中， 因为S = ×4×4=6(cm2). OA =AC =×4=2(cm)， OB =BD =×3=1.5(cm)， 1.一个菱形的两条对角线长分别是6 cm，8 cm，则这个菱形的面积S等于 ( ) A．48 cm2 B．24cm2 C．12 cm2 D．18 cm2 练 练 一 B 2.已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，试求出菱形两条对角线的长和面积． 解：∵菱形ABCD的边长为2 cm， ∴AB＝BC＝2 cm，AC⊥BD，AC＝2OA，BD＝2OB. ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2 cm， ∴OA＝AC＝1 cm， ∴OB＝＝＝(cm)， ∴BD＝2OB＝2cm， ∴菱形的面积为AC×BD＝×2×2＝2(cm2). 课堂小结 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 1.周长=边长的四倍 2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半 角 对角线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 如图， 两个连接在一起的菱形的边长都是1 cm， 一只甲虫从点 A 开始按 ABCDAEFGABCD······ 的顺序沿菱形的边循环爬行，当甲虫爬行2020 cm 时停下，则它停下的位置是（ ） A. 点 F B. 点 E C. 点 A D. 点 C C 随堂练习 如图， 在菱形 ABCD 中， AB 的垂直平分线 EF 交对角线 AC 于点 F， 垂足为 E，连接 DF. 若∠CDF = 24°， 则∠DAB 等于（ ） A. 100° B. 104° C. 105° D. 110° B 3.菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O. 已知 AB = 5cm，OB = 3cm，求菱形 ABCD 的两条对角线的长度以及它的面积. 【选自教材P35 练习 第1题】 解：如右图所示，在菱形ABCD中，∠AOB=90°. 故 AC = 2OA = 8 cm，BD = 2OB = 6 cm. 故S菱形ABCD = AC· BD =×8×6=24 (cm2). 所以菱形ABCD的两条对角线的长度分别是 8 cm，6 cm，面积为 24 cm2. ∴O＝＝＝(cm). ∵OB=3cm，AB=5cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得 解 ∵ AC 是∠DAB 的平分线， 4. 点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上一点， PE⊥AD 于点 E，PE = 4 cm，如图所示，求点 P 到 AB 的距离. 【选自教材P35 练习 第2题】 ∴点 P 到 AB 的距离等于点 P 到 AD 的距离，故点 P 到 AB 的距离是 4 cm . $