课时分层检测(82)概率与统计的综合问题&课时分层检测(83)概率、统计与其他知识的交汇问题-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

课时分层检测（八十二） …0知识过关 0 1.(2025·广州模拟)某高校为调查学生性别与是 否喜欢排球运动的关系，在 1.0 全校范围内采用简单随机抽 0.8 样的方法，分别抽取了男生 0.6 和女生各100名作为样本， 0.4 0.3 经统计，得到了如图所示的 0.2 等高堆积条形图. 0.0 男生女生 (1)根据等高堆积条形图，填☐不喜欢☐喜欢 写下列2×2列联表，并依据α=0.001的独立性 检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢 排球运动有关联； 是否喜欢排球运动 性别 是 男生 女生 (2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中 随机抽取50名学生，设其中喜欢排球运动的学 生的人数为X,求使得P(X=k)取得最大值时的 k值. n(ad-bc)2 附：X2=a+b十0a+c)+dD,其中n=a +b+c+d,x0.0o1=10.828. 概率与统计的综合问题 2.(2025·长沙调研)随着生活水平的提高，人们对 水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需 求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的 “湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低 酸爽口深受市民的喜爱.某“闹闹”水果店对某品 种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据， 如下表所示： 试销单价x(元) 3 4 6 7 产品销量y件 20 16 15 12 6 (1)经计算相关系数r≈一0.97，变量x,y线性相 关程度很高，求y关于x的经验回归方程； (2)用(1)中所求的经验回归方程来拟合这组成 对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2 时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成 对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中 “次数据”个数X的分布列和数学期望， 参考公式：线性回归方程中b,a的最小二乘法估 计分别为b= 2(x-x)(y:一 -,a=y-bx. 2(x,-)2 10 3.(2025·西安调研)某市为了解本市初中生周末 运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们 的周末运动时间，制成如图所示的频率分布直 方图. ↑频率 组距 0.03 0.02 0.015 0.01 0 30405060708090时间(1) (1)按照分层随机抽样，从[40,50)和[80,90)中 随机抽取了9名学生.现从已抽取的9名学生中 随机推荐3名学生参加体能测试.记推荐的3名 学生来自[40,50)的人数为X,求X的分布列； (2)由频率分布直方图可认为：周末运动时间t服 从正态分布N(4,o2),其中，4为周末运动时间的 平均数t,o近似为样本的标准差s,并已求得s≈ 14.6.可以用该样本的频率估计总体的概率，现 从本市所有初中生中随机抽取12名学生，记周 末运动时间在[43.9,87.7]之外的人数为Y,求P (Y=3)(精确到0.001). 参考数据1：当t~N(,o2)时，P(u一<1≤u十o) ≈0.6827，P(4-2o<t≤4+2o)≈0.9545， P(-3o<1≤μ+3o)≈0.9973. 参考数据2：0.81869≈0.1651,0.18143≈ 0.0060. 371 …0能力拓展0… (2024·葫芦岛模拟)某地相继爆发了甲型 H1N1流感病毒（甲流）和诺如病毒感染潮，为了 了解感染病毒类型与年龄的关系，某市疾控中心 随机抽取了部分感染者进行调查.据统计，甲流 患者数是诺如病毒感染者人数的2倍，在诺如病 毒感染者中60岁以上患者占号，在甲流患者中 60岁以上的人数是其他人数的一半， (1)若根据小概率值α=0.005的独立性检验，能 认为“感染病毒的类型与年龄有关”，则抽取的诺 如病毒感染者至少有多少人？ (2)研究发现，针对以上两种病毒比较有效的药 物是奥司他韦和抗病毒口服液，并且发现奥司他 韦治疗以上两种病毒有效的概率是抗病毒口服 液的2倍.现对两种药物进行临床试验，对抗病 毒口服液共进行两轮试验，每轮试验中若连续2 次有效或试验3次时，本轮试验结束；对奥司他 韦先进行3次试验，若至少2次有效，则试验结 束，否则再进行3次试验后方可结束，假定两种 药物每次试验是否有效均相互独立，且两种药物 的每次试验费用相同.请结合以上针对两种药物 的临床试验方案，估计哪种药物的试验费用 较低？ n(ad-bc)2 附：X2=(a+ba十C)c+d06+d(其中n=a +b+c+d). 令 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 Ca 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 课时分层检测（八十三） 概率、统计与其他知识的交汇问题 1.(2025·日照模拟)根据社会人口学研究发现，若：2.(2021·新高考Ⅱ卷)假设开始时有一个微生物 一个家庭有X个孩子，则X的概率分布列如下表： 个体（称为第0代），该个体繁殖的若干个个体， 所示（取一个家庭有4个及以上孩子的概率为0）. 形成第1代，第1代的每个个体繁殖的若干个个 X 0 2 3 体，形成第2代…假设每个个体繁殖的个体数 相互独立且分布列相同，记第1代微生物的个体 P a(1-p)2 a(1-p) 总数为X,X的分布列为P(X=i)=:>0,i= 其中0<α<<1.为了调控未来人口结构，需要 0,1,2,3. 对参数p进行宏观调控，研究表明力的值受到各 (1)若p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求 种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗 E(X). 福利的增加等). (2)以p表示这种微生物最终消亡的概率.已知 (1)若希望P(X=2)增大，如何调控p的值？ i, p是关于.x的方程p0十p1x十p2x2十p3x3=x的 (2)是否存在D,使得E(X)=号？请说明理由. 最小正根.证明：当E(X)≤1时，p=1;当E(X) >1时，p<1. (3)说明(2)的结论的意义. 372子人修择纪生品实胜筑施务整 「设先抽取2道题中多选题的题数为 余棋手人数为Y:设选择与甲送行比赛的业 X,则X的可能取值为0,1,2， 余棋手人数为，则选择与乙进行比赛的业 余棋手人数为32一m. 可得P(X=0)=C-7 X所有可能的取值为0,1,2，…，1， 则XB(a,)EX)=： p(x-1)=CC-4 C7， Y所有可能的取值为0,1,2，…，32一1， P(X=2)=C=7' 则YB(2,宁）En=32. 所以最后抽取到的题为多选题的概率 41 所以获胜的业余棋手总人数的均值 P=P(X=0)X号+PX=IDX号+PX= BX+W=E0+ED-号+32”- 2)× 2 4 ×+号×+ 2× n+96≥10，解得n≥24.] 2 4 12 6.B[由题意知X,Y均服从超几何分布，且· X+Y-4.Z-2X+Y.P(X-8)-CC [设X表示解答正确的习题的个数，！ C。 由题意知X服从超几何分布，由超几何分！ (k=0,1,2,3,4).从而P(Z-6|1)= 布的概率公式可得，他能及格的概率是P P(5≤Z7)=1-P(Z=4)-P(Z=8)=1 (X≥2)-P(X=2)+P(X=3)-C3C+ -P(X=0)-P(X=4)=1-C9C_C4C8 C Cio 97 c8c-↓. 4 C 5 品，故选项A正确：E(X)=4× 11. 243 g,EY)-4-EX)=号，D(X)-D4 256 [由题意得该产品能销售的概率为！ Y)=D(Y),故选项B错误，C正确：E(Z)= (-)(-品)-，易知x的所有 2E(X)+B0)-,或选项D正确.] 可能取值为一320，一200，-80,40,160，设 :表示一箱产品中可以销售的件数，则 7.BD[由正态分布的对称性可知 3 P(7)=P(≥9)=0.2， B4, ）,所以P(=k)=( () 故P(7<<9)=1-0.2X2=0.6,故A 错误； 1)所以P(X=一80)=P(=2D XB(3,0.6),故E(X)=3×0.6=1.8,故 B正确； E(e)=8,E(5X)=5E(X)=5×1.8=9, (号)广()‘-器px-4o 27 故E()E(5X),故C错误； 因为X一B(3,0.6), P(=3)= ()'()'-器Px- 所以P(X=0)=Cg(0.6)0×(0.4)3= 0.064, 160)=P(=4)= ()() 故P(X≥1)=1-0.064=0.936>0.9，故D 正确，] 256,故P(X≥-80)=P(X=-80)+ 81 8.ABC[对于A,由概率的基本性质可知 a十b=1,故A正确： P(X=40)+P(X-160)= 对于B,当一号时，离款梨随机文量X服12.97.7%[周为100个数据 从二项分布B(,号） Lx,=2 x1m的平均数一00习 方差2=0习 1 则P(X=k) c()(-) ( 100x2) 0,1,2,3,…,1), 10×[100×(722+36)-100×722] 所以a (2）(cg+cg+c+…) =36, 所以4的估计值为=72，。的估计值为 -(）×21- 0=6. 设该市高中生的身体素质指标值为X, 由P(4-2oX4+2o)≈0.9545， =(合）广C+g++…) 得P(72-12X72+12)=P(60X 84)≈0.9545， 1 -(合)×21- P(X>84)=P(X>4+2a)=P(X<4 所以a=b,故B正确； 2a)-1-Pu-2g≤X≤2+2a 2 对于C,D,a=Cp1(1-p)”-1+C8p3(1 ≈1-0.9545 p)-3+… =[(1-p)+p]"-[(1-p)-]m 所以P(X≥60)=P(60X84)+P(X84) ≈0.9545+z×(1-0.9545)=0.97725 1-(1-2p)n ≈97.7%.] 2 当0<p<合时a=1022p为正项， 13.解(1)由题意，知A恰好答对2个问题 且a随着n的增大而增大，故C正确； 的率为P=- 当立<1时，1-2p)正负文普故D B恰好答对2个问题的概率为 不正确.门 B=C(号)（台）-告 531 (2)X的可能取值为1,2,3， 则p(X=1)=-C4C=⊥ P(X=2)= P(X-3)= CiC 1 所以BX0)=1X吉+2X号+3 1=2, 5 DX0-(1-2×吉+(2-29×号 (3-2)2×1=2 5=5 所以E(Y)=3X3 =2,D(Y)=3X 2 2 因为E(X)=E(Y),D(X)D(Y), 所以A与B答题的平均水平相当，但A比 B更稳定.所以选择学生A. 4.解(1)由样本频率分布直方图得，样本平 均数的估计值：=35×0.006×10十45× 0.012×10+55×0.018×10+65× 0.034×10+75×0.016×10+85×0.008 ×10十95×0.006×10=64，则所有参赛学 生的成绩X近似服从正态分布N(64, 152). 因为4十0=79， 所以P(X>79)≈-0.，6827-0.15865， 2 故参赛学生中成绩超过79分的学生人数 为0.15865×10000≈1587. 1 (2)由4=64，得P(X>64)=2, 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生， 该生竞赛成绩在64分以上的概率为？， 所以随机支量一(3，受）】 所以P(=0)=CX () 8 P(=1)=CX (合)i =8 P(-2)=C号× ()×- P(=3)=C×（ 所以随机变量：的分布列为 0 1 2 3 P 38 8 所以期望为E()=0×日十1×十2× 8 +3×= 1 3 立（E()=3× 课时分层检测（八十二） 解 (1)由等高堆积条形图知，2×2列联 表为 是否喜欢排球运动 性别 是 否 男生 30 70 女生 60 40 零假设为H,:性别与是否喜欢排球运动 无关， 根据列联表中的数据 X-200X40X30-60X702≈18.182> 100×100×110×90 10.828=x0.001' 依据α=0.001的独立性检验，可以推断H。! 不成立，即性别与是否喜欢排球运动有· 关联 (②)由(1)知，喜欢排球运动的频率为00！ 901 .9 所以随机变量XB(50,易) 则-=c(品)广(-易) (0≤k50,k∈N),令 ()(）(）（) ()(）(）() 韩将”<盟 20 因为k∈N,所以当k=22时，P(X=k)取得！ 最大值 2.解1)由已知，得元-3+4十5+6+7-5， 5 20+16+15+12+6-13.8, 5 含xy4-313,2-135。 刚i=习4)(y二 2,-5可 2(x,-)2 2.r4-5x 313-5×5×13.832 135-5×52 10 =-3.2, 所以a=y-ir=13.8-(-3.2)×5=29.8, 所以y=-3.2x十29.8. (2)当x=3时，y=20.2；当x=4时， y=17: 当x=5时y=13.8;当x=6时，y=10.6； 当x=7时，y=7.4. 因此该样本的残差绝对值依次为0.2,1，： 1.2,1.4,1.4, 所以“次数据”有2个 “次数据”个数X可取01,2. P(X=0)= -0P0X-1)- C95 P(X=2) CC号3 C10 所以X的分布列为 0 2 P 10 10 则数学期望E(X)=0×6十1X号+2X 36 105 3.解(1)运动时间在[40,50)的人数为3000 ×0.02×10=600. 运动时间在[80,90)的人数为3000×0.01 ×10=300.按照分层随机抽样共抽取9人， 则在区间[40,50)内抽取的人数为6，在区 间[80,90)内抽取的人数为3. ∴.随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3， P(X-0)-CC 1 P(X-1)-C 3 141 詈会x9 CgC95 P(X=2)= C21' 所以随机变量X的分布列为 0 2 3 (2)假设存在p,使得E(X)-&+2a+3a(1 p-号，又日--3++3 (2)=t=35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 则将上选两式相桌，可得+5-3p-52 65×0.15+75×0.15+85×0.1=58.5, 0=s≈14.6. 十5，化简得5p-6p2+2=0. 5p十3p .43.9=58.5-14.6=4-6, 设h(p)=5p3-6p2+2,0<p<1,则h'(p) 87.7-58.5+14.6×2=u+2a. =15p2-12p=3p(5p-4) ∴，P(43.9≤t≤87.7)=P(4-o≤t≤4十 2a1≈0.68270.9545-0.8186. 则(p)在(0，号)上单调递减，在（合，1 2 ,∴.P(t<4-o或t>4+2a)≈1-0.8186= 上单调递增， 0.1814, h(p)的最小值为（） 18 >0 ,∴.YB(12,0.1814). ∴.P(Y=3)=C2×0.18143×0.81869 .不存在p∈(0,1)使得h(p)=0,即不存 ≈220×0.0060×0.1651≈0.218. 在p,使得E(X)=3 解(1)设感染诺如病毒的患者为x人，则 感染甲流的患者为2x人， 2.解(1)由题意得P(X=0)=p0=0.4, 感染两种病毒的60岁以上的患者人数均为 P(X=1)=p1=0.3, P(X=2)=p2=0.2,P(X=3)=p3=0.1, 故E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3× 由题意必有X≥7.879 0.1=1. (2)证明由题意得po十p1十p2十P3=1 3x. 4 3.x 31 (p≥0，i=0,1,2,3), ≥7.879， 5 所以方程p十p1x十p2x2十p3x3=x有实 3x·3x·x·2x 根1. 所以x≥26.26，又因为x为整数，故抽取的 方程Px+p2x2十(p1-1)x十p=0可转化 诺如病毒感染者至少有27人 为p3x3+p2x2一(pn十2十3)x十p=0, (2)设抗病毒口服液治疗有效的概率为p, 即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-po]=0. 每次试验花费为，则奥司他韦治疗有效的 令f(x)=p3x2+(p2十p3)x-po· 概率为2p<1,故0<p<2, E(X)=0×p,+1×1+2Xp2+3×pg 设抗病毒口服液试验总花费为X,X的所有 p1+2p2+3仍=22+3的+(1-p0-p仍 可能取值为4m.5m,6m. 3)=p2十2p一po十1. P(X=4n)=p, 若p妇=0，则E(X)=p2一p十1.此时有如 P(X=5m)=2(p2-p), 下情况： P(X=6m)=(1-p2)2, ①由E(X)≤1，得p2-p+1≤1，则≤p. 故E(X)=4np+10n(p2-p4)+6n(p4 当p2=0时，f(x)=一po· 2p2+1)=-2np2+6m, 当pm=0时，方程po+1x十2x2十p3x3=x 设奥司他韦试验总花费为Y,Y的所有可能 无最小正实根，所以≠0；当≠0时x=1 取值为3m,6m, 是方程p十p1x十2x2十p的x3=x的唯一实 P(Y=3m)=C(2p)2(1-2p)+(2p)3= 根，所以p=1. 12b2-16p3, 当p2≠0时，p0≠0，此时f(x)=p2x一po: P(Y=6m)=1+16p3-12p2, 所以E(Y)=48np3-36np2+6m, 令2x二0=0，得x=0≥1，所以p=1. 1 由0<<立， ②由E(X)>1,得p2-p,+1>1,则p2> 所以E(Y)-E(X)=2mp2(24p-17)<0, ,所以<1，此时x-e<1,所以p<1 所以E(Y)E(X), 若p3>0,则f(x)的图象为开口向上的抛 所以奥司他韦试验的平均花费较低， 物线. 课时分层检测（八十三） 易知f(0)=一pn≤0. 若E(X)≤1，则p2十2p 解(1)由a1-D)2+号十a+a1-)- -po0,即f(1)≤0. 可作出f(x)的大致图象 1,得 a=p2-3p+ 3 如图(1). 图(1) 故方程p3x2+(p2十p3)x 设函数f(p)=p2一3p十 1 -+3,0<p<1,1 p -po=0有两个根x1,x2,且x10,x2≥1. 则f(p)=2p3-3p2-1 故当E(X)≤1时，p=1. D2. 同理，当E(X)>1时，f(1)>0. 设g(p)=2p3-3p2-1,0<p<1,则g'(p) 作出f(x)的大致图象 =6p2-6p=6p(p-1)<0, 如图(2)，可知方程有 ∴.g(p)在(0,1)上单调递减，∴g(p)<g(0) 两个根x1,x2,且x1 =2X03-3×02-1=-1,.g(p)<0,即 0x2<1 f(p)<0,∴.f(p)在(0,1)上单调递减， 故p1. (2) (3)E(X)表示1个微生物个体繁殖下一代 “增大力的值，会减小，则。会增大，即 个数的平均数.若E(X)1,则该微生物多 P(X=2)会增大. 代繁殖后会濒临灭绝；若E(X)>1,则该微 .要使P(X=2)增大，应增大p的值， 生物会多代繁殖下去 532