课时分层检测(81)二项分布、超几何分布与正态分布-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

课时分层检测（八十一）二项分布、超几何分布与正态分布 一、单项选择题 二、多项选择题 1.(2025·石家庄模拟)已知随机变量X服从二项：7.“50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目 分布X~B(n,p),若E(X)=5 n)-是则 中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩 (单位：秒)服从正态分布N(8,o2),且P(≤7) p ( ) =0.2.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩 A是 B. c 0.3 中随机抽取3个，其中成绩在(7,9)的个数记为 X,则 ( )》 2.(2025·长沙调研)已知随机变量X,Y分别满足 A.P(7<9)=0.8 B.E(X)=1.8 X~B(8,p),YN(u,o2),且E(X)=E(Y),若 C.E(>E(5X) D.P(X≥1)>0.9 PY≥3)-2，则p ( ):8.(2025·武汉调研)已知离散型随机变量X服从 A. c 二项分布B(n,p),其中n∈N*,0<p<1.记X D. 为奇数的概率为a,X为偶数的概率为b,则下列 3.(2025·济南模拟)为加强体育锻炼，让运动成为 说法中正确的有 ( 习惯，某学校进行一次体能测试，这次体能测试： A.a+6=1 满分为100分，从高三年级抽取1000名学生的测： 试结果，已知测试结果服从正态分布N(70,σ2). B当p=2时，a=b 若在(50,70)内取值的概率为0.4，则在90分 C.当0<p<2时，a随着n的增大而增大 以上取值的概率为 ( A.0.05 B.0.1 D.当2<<1时a随若n的增大而减小 C.0.2 D.0.4 三、填空题 4,已知5件产品中有2件次品，3件正品，检验员从9某市中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识 中随机抽取2件进行检测，记取到的正品数为， 竞赛.参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选 则均值E()为 ) 题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2 A.号 B品 C.1 D. 6 道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为 5.32名业余棋手组队与甲、乙2名专业棋手进行车 多选题的概率为 轮挑战赛，每名业余棋手随机选择一名专业棋手10.(2025·成都段测)数学教师从6道习题中随机 进行一盘比赛，每盘比赛结果相互独立，若获胜 抽3道让学生自我检测，规定至少要解答正确2 的业余棋手人数不少于10名，则业余棋手队获： 道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题， 胜.已知每名业余棋手与甲比赛获胜的概率均为： 则他能及格的概率是 了，每名业余棋手与乙比赛获胜的概率均为 1 11.(2025·湖州质检)为了防止受到核污染的产品 影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市 若业余棋手队获胜，则选择与甲进行比赛的业余： 场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合 棋手人数至少为 ) 格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第 A.24 B.25 C.26 D.27 一轮检测不合格的概率为。，第二轮检测不合 6.(2025·厦门模拟)袋中有10个大小相同的球， 其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记： 格的概率为。，两轮检测是否合格相互没有影 随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为： 响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若 其中黑球的个数.若取出一个白球得2分，取出 产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一 一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总： 得分，则下列结论中错误的是 ) 箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则 A.PZ-61≤1)= P(X≥-80)= 97 B.E(X)>E(Y) 12.某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素 质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从 C.DOX=D(Y D.E(Z)=28 全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值 368 x(i=1,23,,10),经计算号x=7200,芝x14某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该 市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛类 =100×(722十36).若该市高中生的身体素质 奖励规则如下：得分在[70,80)内的学生获得三 指标值服从正态分布N(u,62),则估计该市高 等奖，得分在[80,90)内的学生获得二等奖，得分 中生身体素质的合格率为 (用百分数： 在[90,100]内的学生获得一等奖，其他学生不得 作答，精确到0.1%) 奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，该市随 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(, 机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘 o2),则P(-o≤X≤4十o)≈0.6827，P(-2a 制了样本频率分布直方图，如图所示 ≤X≤4十2o)≈0.9545，P(4-3o≤X≤4十3o) ,频率 ≈0.9973. 组距 四、解答题 0.034 13.(2025·苏北四市调研)为庆祝建军节的到来， 某校举行“强国强军”知识竞赛.该校某班经过 0.018 层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A,B两 0.016 0.012 名学生中产生，该班委设计了一个选拔方案：A, 0.008 0.006 B两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问 030405060708090100成绩/分 题作答.已知这6个问题中，学生A能正确回答 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分 其中的4个问题，而学生B能正确回答每个问 布N(4,2),其中。≈15，u为样本平均数的估计 题的概率均为号A,B两名学生对每个问题回 值，利用所得正态分布模型解决以下问题： 答正确与否都是相互独立的. (1)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估 (1)分别求A,B两名学生恰好答对2个问题的 计参赛学生中成绩超过79分的学生人数（结果 四舍五人到整数)； 概率； (2)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）》 (2)设A答对的题数为X,B答对的题数为Y, 随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在 若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？ 64分以上的学生数为ξ，求随机变量ξ的分布列 请说明理由. 和期望. 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(,o), 则P(-o≤X≤十o)≈0.6827，P(u-2o≤X ≤H+2o)≈0.9545，P(-3o≤X≤十3o) ≈0.9973. 369所以D(=(-2-)×+(0 )×+(2-合)×=. 所以D(2+1)=22D()=11.] 10.2[设P(X=1)=P(X=3)=a,P(X= 2)=b, 则2a十b=1. 于是E(X)=a+2b+3a=2(2a+b)=-2.] 11.(4,9][由随机变量X的分布列知， X2的可能取值为0,1,4,9，P(X2=0)= PX=0)=寸，PX=-ID=PX=-D+ PX--+-合，P-4)- pX-2+Pp(X-2》-立+-÷· PX-9)-P(X-3)-立所以PX≤ 4=因为P(<)=是-号+ 合+宁所以实数上的取位范国是 (4,9].] 12器[若从甲会中随机取到的为红球里版 3 率为5 则X的可能取值为1,2， 则P,(X-1)-CC-1 C =3,P1(X-2)= C3, 若从甲盒中随机取到的为白球且概率！ 为号， 则X的可能取值为0,1,2， 则P(X-0)-g1 C15 --器-品 P2(X=2)= 缩上，P(X=0)-号×PX=0)- 2 POX-I-号×R(X-D+号×P,X 5 PX=2)-号×P(X=2)+号×P,(X= 故E00-0X号+1x器+2×若-器] 13.解(1)记“甲从中一次性摸出2个球，两 个球颜色不相同”为事件A,甲从中一次性！ 摸出2个球共有C号=21种， 两个球颜色不相同有CC十C?=12+ 6=18种， 所以PA)--号 (2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3， 且P(X=0)= -5.P(X-D- 18 351 P(X=2》-CC=35,P(X=3)= 351 所以随机变量X的概率分布列为 X 1 2 P 4 18 12 35 35 35 35 E(X)=0X 4 35 +1×8+2×是+3× 1 连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X,则 35 35 35 X的分布列为 459 3571 3 解(1)第1步：计算甲、乙所在队送入第 二阶段的概率 16 16 1616 1616 设A1=“甲、乙所在队进入第二阶段”， 则P(A1=1-(1-0.4)3=0.784. f1(x)= i6x2+6x+6r+6r 第2步：计算乙在第二阶段至少得5分的 概率 3 +6+6r8, 设A2=“乙在第二阶段至少得5分”， 则P(A2)=1-(1-0.5)3=0.875. 万)=×+品×+品×+言 1 3 4 第3步：计算甲、乙所在队的比赛成绩不等 于5分的概率 +×2+合×+×2-，故B 4 设A?=“甲、乙所在队的比赛成绮不少于 错误，D正确.] 5分”， 则P(A3)=P(A1)·P(A2)=0.686. 16.ABC[由题意可知r十义+2=1，即 (2)(i)第1步：计算甲参加第一阶段比赛 x十y=1,故A正确： 时甲、乙所在队得15分的概率 设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得 E()=0Xx+1×+2×号-，故B 15分的概率为P甲，则P甲=[1一(1一 正确： p)3]·g3=pq·(3-3p十p2). 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙 D)=x(0-)+音（-)+ 所在队得15分的概率 设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得 15分的概率为P元， (2-)=1-)(0-)+ 则P=[1-(1-q)3]·p3=qp3·(3 (1-)°+(2-)- + 3g+q). 第3步：比较P甲与P之的大小 则P甲-P元=pg(3g2-3pg2+p2q2 因为xy≠0，x十y=1,易得0<y<1, 3p2+3p2g-p2g2)=3pq(g-p)·(p+ 而函数f(y)= y十3y的因象开口向 q-pq), 由0<p<q≤1，得q-p>0,p+q- 下，对称轴为y= 27 5 p+q(1-p)>0, 所以P甲一P>0,即P甲>P乙。 27 所以f(y)在（0, 上单调递增，在 27 50 第4步：做决策 故应该由甲参加第一阶段比赛， 1上单调递减， (ⅱ)第1步：计算甲参加第一阶段比赛时 甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望 故f(y)在y= 若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的 品处取得最大位， 比赛成绩X的所有可能取值为0,5， 所以D()随着y的增大先增大后减小， 10,15. 27 P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3]· 当y=品时取得最大值，故C正确，D (1-g)3, 错误.] P(X=5)=[1-(1-p)3]·C·g·(1 课时分层检测（八十一） g)2, 5 P(X=10)=[1-(1-p)3]·C·g2·(1 (np= 4” -q), 1.A [由题意 解得 15 P(X=15)=[1-(1-p)3]·Cg3, np(1-p)= 16 所以E(X)=[1-(1-p)3]·[15g(1- q)2+30g2(1-q)+15g3]-[1-(1-p)3] p=4'故选A.] ·15q=15pq(p2-3p+3). 1=5, 第2步：计算乙参加第一阶段比赛时甲、乙 2.C[由Y~N(4,2)和P(Y≥3)= 得 所在队的比赛成绩的数学期望 若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的！ 4=3, 比赛成绩Y的所有可能取值为0,5， 所以E(X)=E(Y)=3, 10,15. 又XB(8,p),所以E(X)=8p=3, 同理，可得E(Y)=15pg(g2一3g+3) 第3步：比较E(X)与E(Y)的大小 所以力= 8·] E(X)-E(Y)=15pg(p2-3p-g2+3g)= 3.B[服从正态分布N(70,o2),正态 15pq·(q-p)·(3-p-9), 曲线的对称轴是直线x=70,.在(70， 由0<p<g1,得q-p>0,3-p一q= 100)内取值的概率为0.5.，：在(50,70)内 3-(p+q)>0, 取值的概率为0.4，∴.：在(70,90)内取值的 所以E(X)-E(Y)>0,即E(X)>E(Y). 概率为0.4，则：在90分以上取值的概率为 第4步：做决策 0.5-0.4=0.1.故选B.] 故应该由甲参加第一阶段比赛 4.D [的所有可能取值为0,1,2， CD )[因为f(x)=pn+p1x+p2x2+ C号 1 CC pgx3+…十px+…十pnx", 则P(=0)= -0,P(-1)= g(x)=f(x)=p1+2p2x+3p3x+ …十ipx1十…十npnx-1, E(X)=p1+2p2+3p3+…+ip:+… 3 P(=2)= 十npn, Cg=10 当x=1时，E(X)=g(1),故A错误，C 则E)=0X0+1X号+2×品-号.] 3 6 正确： 530 子人修择纪生品实胜筑施务整 「设先抽取2道题中多选题的题数为 余棋手人数为Y:设选择与甲送行比赛的业 X,则X的可能取值为0,1,2， 余棋手人数为，则选择与乙进行比赛的业 余棋手人数为32一m. 可得P(X=0)=C-7 X所有可能的取值为0,1,2，…，1， 则XB(a,)EX)=： p(x-1)=CC-4 C7， Y所有可能的取值为0,1,2，…，32一1， P(X=2)=C=7' 则YB(2,宁）En=32. 所以最后抽取到的题为多选题的概率 41 所以获胜的业余棋手总人数的均值 P=P(X=0)X号+PX=IDX号+PX= BX+W=E0+ED-号+32”- 2)× 2 4 ×+号×+ 2× n+96≥10，解得n≥24.] 2 4 12 6.B[由题意知X,Y均服从超几何分布，且· X+Y-4.Z-2X+Y.P(X-8)-CC [设X表示解答正确的习题的个数，！ C。 由题意知X服从超几何分布，由超几何分！ (k=0,1,2,3,4).从而P(Z-6|1)= 布的概率公式可得，他能及格的概率是P P(5≤Z7)=1-P(Z=4)-P(Z=8)=1 (X≥2)-P(X=2)+P(X=3)-C3C+ -P(X=0)-P(X=4)=1-C9C_C4C8 C Cio 97 c8c-↓. 4 C 5 品，故选项A正确：E(X)=4× 11. 243 g,EY)-4-EX)=号，D(X)-D4 256 [由题意得该产品能销售的概率为！ Y)=D(Y),故选项B错误，C正确：E(Z)= (-)(-品)-，易知x的所有 2E(X)+B0)-,或选项D正确.] 可能取值为一320，一200，-80,40,160，设 :表示一箱产品中可以销售的件数，则 7.BD[由正态分布的对称性可知 3 P(7)=P(≥9)=0.2， B4, ）,所以P(=k)=( () 故P(7<<9)=1-0.2X2=0.6,故A 错误； 1)所以P(X=一80)=P(=2D XB(3,0.6),故E(X)=3×0.6=1.8,故 B正确； E(e)=8,E(5X)=5E(X)=5×1.8=9, (号)广()‘-器px-4o 27 故E()E(5X),故C错误； 因为X一B(3,0.6), P(=3)= ()'()'-器Px- 所以P(X=0)=Cg(0.6)0×(0.4)3= 0.064, 160)=P(=4)= ()() 故P(X≥1)=1-0.064=0.936>0.9，故D 正确，] 256,故P(X≥-80)=P(X=-80)+ 81 8.ABC[对于A,由概率的基本性质可知 a十b=1,故A正确： P(X=40)+P(X-160)= 对于B,当一号时，离款梨随机文量X服12.97.7%[周为100个数据 从二项分布B(,号） Lx,=2 x1m的平均数一00习 方差2=0习 1 则P(X=k) c()(-) ( 100x2) 0,1,2,3,…,1), 10×[100×(722+36)-100×722] 所以a (2）(cg+cg+c+…) =36, 所以4的估计值为=72，。的估计值为 -(）×21- 0=6. 设该市高中生的身体素质指标值为X, 由P(4-2oX4+2o)≈0.9545， =(合）广C+g++…) 得P(72-12X72+12)=P(60X 84)≈0.9545， 1 -(合)×21- P(X>84)=P(X>4+2a)=P(X<4 所以a=b,故B正确； 2a)-1-Pu-2g≤X≤2+2a 2 对于C,D,a=Cp1(1-p)”-1+C8p3(1 ≈1-0.9545 p)-3+… =[(1-p)+p]"-[(1-p)-]m 所以P(X≥60)=P(60X84)+P(X84) ≈0.9545+z×(1-0.9545)=0.97725 1-(1-2p)n ≈97.7%.] 2 当0<p<合时a=1022p为正项， 13.解(1)由题意，知A恰好答对2个问题 且a随着n的增大而增大，故C正确； 的率为P=- 当立<1时，1-2p)正负文普故D B恰好答对2个问题的概率为 不正确.门 B=C(号)（台）-告 531 (2)X的可能取值为1,2,3， 则p(X=1)=-C4C=⊥ P(X=2)= P(X-3)= CiC 1 所以BX0)=1X吉+2X号+3 1=2, 5 DX0-(1-2×吉+(2-29×号 (3-2)2×1=2 5=5 所以E(Y)=3X3 =2,D(Y)=3X 2 2 因为E(X)=E(Y),D(X)D(Y), 所以A与B答题的平均水平相当，但A比 B更稳定.所以选择学生A. 4.解(1)由样本频率分布直方图得，样本平 均数的估计值：=35×0.006×10十45× 0.012×10+55×0.018×10+65× 0.034×10+75×0.016×10+85×0.008 ×10十95×0.006×10=64，则所有参赛学 生的成绩X近似服从正态分布N(64, 152). 因为4十0=79， 所以P(X>79)≈-0.，6827-0.15865， 2 故参赛学生中成绩超过79分的学生人数 为0.15865×10000≈1587. 1 (2)由4=64，得P(X>64)=2, 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生， 该生竞赛成绩在64分以上的概率为？， 所以随机支量一(3，受）】 所以P(=0)=CX () 8 P(=1)=CX (合)i =8 P(-2)=C号× ()×- P(=3)=C×（ 所以随机变量：的分布列为 0 1 2 3 P 38 8 所以期望为E()=0×日十1×十2× 8 +3×= 1 3 立（E()=3× 课时分层检测（八十二） 解 (1)由等高堆积条形图知，2×2列联 表为 是否喜欢排球运动 性别 是 否 男生 30 70 女生 60 40 零假设为H,:性别与是否喜欢排球运动 无关， 根据列联表中的数据