课时分层检测(68)圆锥曲线中常见结论及应用&课时分层检测(69)圆锥曲线中求值与证明问题-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

课时分层检测（六十八）圆锥曲线中常见结论及应用 一、单项选择题 6.已知下为椭圆C:号+号-1的右焦点，点A是 1.过抛物线y2=4x焦点F的直线交抛物线于A,B 两点，若AF|=3,则|BF的值为 直线x=3上的动点，过点A作椭圆C的切线 AM,AN,切点分别为M,N,则|MF|+|NF|一 A号 B.2 |MN|的值为 A.3 B.2 C.1 D.0 双曲线C无-1Q>0,b>0)的左 二、多项选择题 7.(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y= 焦点分别为F1,F2,直线I:y=kx(k≠0)与C交 -√3(x-1)过抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点， 于M,N两点，且四边形MF1NF2的面积为8a2 且与C交于M,N两点，L为C的准线，则( 若点M关于点F,的对称点为M,且|MN= A.饣=2 |MN|,则C的离心率是 A.√5 B.√5 RMN1=号 C.3 D.5 C.以MN为直径的圆与L相切 3.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，过点F作两： D.△OMN为等腰三角形 条相互垂直的直线l1,12,直线11与C相交于A, y2 8.(2024·广州模拟)已知双曲线C:三石=7 B两点，直线2与C相交于D,E两点，则|AB +|DE的最小值为 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右 A.16 B.14 顶点分别为A1,A2,P为双曲线的左支上一点， C.12 D.10 且直线PA1与PA2的斜率之积等于3，则下列 说法正确的是 知双曲线C:号一方=1(Q>0,6>0)的左石 A.双曲线C的离心率为2 焦点分别是F1、F2,P是双曲线右支上一点，且 B.若PF⊥PF2,且S△PF,E,=3,则a=2 PF2⊥FF2,I和G分别是△PF1F2的内心和重 C.以线段PF1,A1A2为直径的两个圆外切 心，若IG与x轴平行，则双曲线的离心率为 D.若点P在第二象限，则∠PF1A2=2∠PA2F1 三、填空题 A.√3 B.2 9.(2025·贵阳摸底)已知抛物线C:y2=2x(p>0) C.3 D.4 的焦点F,过点F且斜率为√3的直线交C于A,B 5.直线1过抛物线C:y2=6x的焦点F,交抛物线： (A在上方)，且|AF=6,则|BF= 于A,B两点且S△0=35，过A,B分别作抛10.已知椭圆C:千+y2=1.如 物线C的准线的垂线，垂足分别为A',B,则四 图，设直线1与圆O:x2+y2 边形ABB'A'的面积为 ( =R2(1<R<2)相切于点 A.43 B.8√3 A,与椭圆C相切于点B,则 C.163 D.32√3 |AB的最大值为 346 课时分层检测（六十九） 圆锥曲线中求值与证明问题 …0知识过关0…。 0 能力拓展0…。 1.(2025·北京四中阶段测试)已知抛物线C:y2= 3.2025·南京、盐城模拟)已知双血线C:名尼 2px(p>0)过点P(1,1).过点(0,2)作直线1与 =1(a,b>0)的离心率为√2，直线l1:y=2x十 抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴 4√3与双曲线C仅有一个公共点！ 的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O: (1)求双曲线C的方程； 为原点 (2)设双曲线C的左顶点为A,直线l2平行于11， (1)求抛物线C的标准方程，并求其焦点坐标和： 且交双曲线C于M,N两点，求证：△AMN的垂 准线方程； 心在双曲线C上. （2)求给的值。 2.(2025·四省联考)已知双曲线C. y2 a2 b2 =1 4.(2022·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C,-y (a>0,b>0)过点A(4√2,3)，且焦距为10. 1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程 (1)求双曲线C的方程； 为y=土√3x (2)已知点B(4√2，-3)，D (1)求C的方程； (2√2,0)，E为线段AB上一 (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A, 点，且直线DE交双曲线C G B两点，点P(x1y1),Q(x2y2)在C上，且x1> 于G,H两点，求证：0-0 x2>0,y1>0.过P且斜率为一√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M.从下面①②③中选 取两个作为条件，证明另外一个成立. ①M在AB上；②PQ∥AB;③|MA|=|MB|. 347又因为直线1的斜率为2，所以号 -2X 第3步：证明n=y1 .MF2NF1为矩形， -0 所以1一为=2x2一5 -3y2 -3y2 y12(ty2+40-5 S△NF,E,=4a2, -y1 又S△NF,E,= 62 =4a2, 得a2=b2,即a2=c2-a2, -2ty1y2-3(y1+y2) an 所以C的离心率e=二=区.] 2ty2+3 即b2-4a2,c2-a2=4a2, -21×36+3×24 13.解(1)解法一（直接法）第1步：构造关 3r2+4T3r2+4 即2=5a2,e=9=5.] 于a,b,c的方程组 2ty2+3 =0, !3.A[如图，设直线L1的 层+品 1 所以n=y1,所以AQ⊥y轴。 由题意知 14.解(1)依题意，c=2, 领斜角为0.0c(0,受) c=1 所以a2+b2=4, a2=b2+c2 则直线2的倾斜角为 2 则双曲线C的方程为后 y2 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 =1(0 4-a2 a2<4), 由抛物线的焦，点弦弦长公式知 得{b=, AB-=2 sin20 sin2 DE- 2p (c=1 将点P62网代入上式得行 =1, 所以黄圈C的方程为号+号-1 解得a2=50(舍去)或a2=2, m2(受+0） 解法二 第1步：构造关于a,b,c的方 故所求双自线的方报为号-苦-1。 3y2 4 cos0 程组 (2)依题意，可设直线L的方程为y=k.x十 IMFI-3 1AB|+1DE1=量)+cO0 由题意知 2 2,代入双曲线C的方程并整理，得(1一k2) x2-4kx-6=0. 4 c=1 因为直线！与双曲线C交于不同的两，点 16≥16， sin2 Ocos20 sin2 20 a2=b2+c2 A,B, 第2步：求解方程组，并写出椭圆方程 a=2 所以1一20， 当且仅当in20-1,即0=不时，等号成立， 即|AB|十|DE的最小值为16.] 得{b=尽， {(-4k)2+24(1-k2)>0, (c=1 解得≠土1， 4.B[如图所示： (兴) 所以城圈C的方程为号+苦 {-5<k<5 =1. 设A(x1y),B(x22), 解法三（巧用椭圆的定义） 4k 则x1十x2= 设F为C的左焦点，连接MF, 1-k2x19= 6 1-k2 则MF=,FF1=2. 所以AB引=√1+区·√（十2）-4c1x2= 在Rt△MFF'中， √+e.2EX3 1一 IMF|-√MF+FFP +2 又原，点O到直线L的距离d= √1+k2 5 所以S△0AB=立d·|AB|=立 由题高（一0，,0.P(）则 由椭圆的定义知2a=|MF|+|MF|=4, V千京X+.2Ex自-2 2 2c=FF=2, c(台) 1-k2 所以a=2,c=1, 由圆的切线长定理和双曲线的定义得 又a2=b2+c2,所以b=√5， 22×√3-k2 |AF1-|AF2|=2a 所以菊围C的方程为号+苦-1. 1-k21 所以A(a,0),又：IF2平分∠PF2F1, .AF2=|IA,则I(a,c-a), (2)第1步：联立方程，消元得出关于y的 又SA0A-2E,即Y3-E 11一k2 =1, 因为IG与x轴平行， 一元二次方程，写出根与系数的关系 所以k4一k2一2=0，解得k=士√2，满足 02 分析知直线AB的斜率存在， 所以1=，3a=c-a,则B=3ac-3u2, (*). 易知当直线AB的斜率为0时，AQ⊥y轴. 故满足条件的直线【有两条， .∴.c2-3ac+2a2=0, 当直线AB的斜率不为0时，设直线AB: .(c-a)(c-2a)=0,∴.c=a(舍去)或c= x=y+4(1≠0)，A(1,y1),B(x22), 其方程分别为y=√2x十2和y=一√2x十2. Q(1,n), 课时分层检测（六十八） 2a,e-合-2，放造B.] x=iy+4 5.C[不妨令直线1的倾斜 1.C [设∠AFx=0,0∈(0，x)及|BF|=n, 联立方程得{ 角为0， (4+3=1 2 9 消去x得(32+4)y2+24y+36=0, 则S△Ao=2sn0-2n0 △>0， 35, B' -24t 36 则1十归3+41”-3+4 .'sin 0= 9取0-60， 第2步：将三点共线代数化，建立关于n的 则点A到准线l:x=一1的距离为3. 代数式 小AF=1=6os06,BF=1+6os02. 因为N的线段FP的中点，F(1,0),所以 得3=2+3cos0台cos0= 3,又n=2+ ∴.|AB=8,|AA'|=6,|BB|=2, N(号o) 2 3 mcos(x-》台m=1+os0号，故接C.] |A'B'|=1 AB sin0=4√3， 由N,Q,B三点共线，得kN=kQ' 2.B[如图，由对称性知 14 S四连形ABA=之(BB|十|AA'1)· 即 MN与F1F2互相平分， A'B' 5 ∴.四边形MF2NF1为 x2-2 平行四边形， -÷×2+6x15-16.] ,F2为MM的中点， M 6.D[由已知可得F(1,0), 且IMN|=IMNI, 设M(x1y1),N(x2,y2),A(3,t), 一3y2 .NF2⊥MF2, 则切线AM,AN的方程分别为 得n22-5 518 号+-1，+-1， yo yo 2 又tan∠PF1A2= ro +e xo+2a 所以抛物线C的焦点坐标为(0)，准线 因为切线AM,AN过，点A(3,t), Vo 1 tan∠PA2F1= xo-a 方程为x= 所以十罗-1+学=1 2yo (2)由题知，直线1的斜率存在， 所以直线MN的方程为x十号-1， xo-a 所以tan2∠PA2F1= 设直线1的方程为y=kx十豆（≠0）， 因为F1.0),所以1+0-1， 1- yo 设点Mx1y),N(x22),x1≠0,2≠0. 2 ro-a 所以点F(1,0)在直线MN上， -2yo (xo-a) -2yo(xo-a) 由y虹+立'消去x得2ky2-2+1=0, 所以M,N,F三，点共线， (x0-a)2-y (x0-a)2-2 2=x, 所以|MF+|NF|-|MN|=0.] △=(-2)2-4×2k×1=-4(2k-1)>0,则 7.AC[对于A,因为直线y=一√5(x一1)经 -2yo(xo-a) 过抛物线C的焦点，且直线与x轴的交点 (x-a)2-3a2 A<号且k0. 为(1,0)， 所以抛物线C的焦，点坐标为(1,0)， 2yo (xo-a) 由根与系数的关系得十为=方·归一 所以号-1，即力=2，所以A正确： (x0-a)2-3(x号-a2) 2k yo 对于B,不妨设M(x1,y1),N(x2,y2), xo+2a =tan∠PF1A2, 直线OP的方程为y=x,由y二工，得点 x1<x2, x=x1, 联立方程得-(x-1), 因为2∠PA,F,∈(0，） A(x1,x1), {y2=4x, 所以∠PF1A2=2∠PA2F1,故D正确.] 消去y并整理得3x2-10x十3=0， 直线ON的方粒为y一要， 9.2[由k=3得∠AFx=60°， 因为=x2, 解得x=3x2=3. 1 1 2 AF十BF可-P 所以直线ON的方程为y=1 由抛物线的定义得， 法一利用 y2 1AP+BP1-6 8 |MN1=x1+2十力=9+2=，故B 3 (y= 1 ,1 3 AF>BF, 得点B() 错误： x=x1, 对于C,法一由以上分析易知，1的方程为 解得A=2BFP=子， x=一1，以MN为直径的圆的圆心坐标为 :|AF1=2p=6,p=3, 所以十yB-21=M+ y2 ,-2x1=y1 52W3 3-3 Br-碧-号×8-2 2y = y1+y号-2y业 y2 号+1， 法二由焦半径公式|AF|= D 1 1-cos 0 y(y+y2-2y1y2) -2×2 所以以MN为直径的圆与L相切，故C! 1-c0s60=2p=6,得p=3, y2 y2 正确； =0, 法二由二级结论—一以抛物线焦点弦为 直径的圆与抛物线的准线相切，易知C 小BF到-1+c0s&1+aos60 2 3p=2.] 则yA十yB=2yA, 因此，A为线段BM的中点， 正确： :10.1[连接OA,OB,如 所以4 1 MB=2 对于D由B知M(，) 图所示.设B(x0,), ,V(3, 所以过点B与椭圆相 329 -2√3)， 切的直线方程为0+ 2.(1)解由题意可得 a22-1, 4 所以由两，点间距离公式可得 (2√a2+b2=10, yoy=1,即x0x+4y0y-4=0 故a=4,b=3, 1oM-年.oN-, 又R2=|OA2= 16 是+16 所以C的方程为二一。 又MN1=16,故D错误] R为圆的半径，R∈(1,2)， (2)证明设E4V2,t),GM),H22), 8.ACD[对于A,由p4,·r,=号-3， |AB12=|OB12-R2=x号+号- 16 ,32-y2 a2 当x-4E时，6-芳-1 号+168' 解得y=士3，则|t<3. =2,故A正确： 3 a a2 又牙+6-1，所以后-《-4 双曲线的渐近线方程为y=土子x, 对于B,因为PF1⊥PF2, 4 当直线DE与渐近线平行时，直线DE和双 b2 所以△PF1F2的面积 =2=3, 所以AB12=4-36一36+ 曲线仅有一个交，点， tan 元 4 =5-(3y%+1)- 36+7≤5-2M-1, 此时直线DE的方程为y=士寻(x 62 =3,所以a-1,故B错误： -22) 对于C,设PF1的中点为O1,O为原点 当且仅当3喝+1一3+ 令=4E,则y=士3y2,故1≠3 即哈-子后-受时：等号成立， 2 2 因为OO1为△PF1F2的中位线， 所以00，=号1PF,=号PR+2a)- 所以|AB|max=1, 则直线DE:y= 6红-2@. 16 合PE,十a,则可知以我段PFAA为 此时R2= =2,即R=√2∈(1， x号+16y% y-2) 直径的两个圆外切，故C正确： 2), 对于D,设P(x0,y%),则xo<一a,yo>0. 故当R=√2时，|AB|max=1.] 16-9=1, 因为e=2,所以c=2a,b=√3a, 课时分层检测（六十九） 得(9-212)x2+822x-162-144=0, 则渐近线方程为y=士√3x, 所以十-兰出 8E2 1.解(1)将点P的坐标代入抛物线C的方！ 所以∠PA,E,∈(0，）∠PF,A∈(0， 程得2力=1，解得力=令， GD.HE-GE.DH-(2). 因此抛物线C的标准方程为y2=x (42-x2,1-2)-(42-x1,1-y)· (x2-2W2,y2) 519 =2x1x2+2y12-6W2(x1+x2)-t(y1+ =(-5).m216-4+2m). 4） 故M为AB的中点，即|MA|=|MB| )+32 3 若选择①③： 8016 -(+)(9+6)+ 3-m2 当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F 3 3 x2)+4+32 m2-80+16m+8m2 80 16 (2,0),此时M不在直线y=令x上，矛盾： 3 3 3 3 3 当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的 =4(2+8)(2+9)42(32+24) +42十 n2=0, 斜率不为0， 22-9 2t2-9 所以MH⊥AN. 设直线AB的方程为y=m(x一2)(n≠0)， 32=0. 又因为AH⊥MN,所以H为△AMN的 A(AA).B(IBB), 所以GD.H正=GE.Di, 垂心， 不妨令点A在直线y=√5x上， 所以GD11H正1·cos0=GE1|Di 因为H在双曲线C上， 所以△AMN的垂心在双曲线C上. 则由VA=m(xA-2), cos 0, 4.(1)解由题意得c=2. ① 品-0 yA=3A HD 因为双曲线的渐近线方程为 解得xA=2n 3.(1)解因为双曲线C的离心率为√2， y=士么x=士x, a m-√5 所以√小+-E,即a-6, 所以么=尽 ②1 同理可得xB= 2m m+√3 又c2=a2+b2, ③ 因为M在AB上，且MA|=|MB引， 故双曲线C的方程为x2一y2=a2。 所以联立①②③得a=1,b=5, 由{2-2x十45得3r2+165z+48十 所以xM-4十B-2n2 2 2 x2-y2=a2, 所以双曲线C的方程为x?- 3 =1. 6m a2=0. (2)证明由题意知直线PQ的斜率存在且 n2-3 因为直线41：y=2x十45与双曲线C仅有 不为0， 一个公共，点， 设直线PQ的方程为y=kx十t(k≠0)， 又点M在直线y=冬x上， 将直线PQ的方程代入C的方程， 所以△=(16√3)2-12×(48+a2)=0, 整理得(3-k2).x2-2ktx-2-3=0, 所以6m 解得a2=16, 2k1 则十-3g西= 2+3☑0， 3-k2 解得k=m,因此PQ∥AB. 因此双曲线C的方程为行着一， 若选择②③： 所以3-k2<0, (2)证明因为直线2平行于， 因为PQ∥AB, 所以x1-x2=√(x1十x2)2-4x1x2 所以设l2:y-2x十m(n≠士45). 所以直线AB的方程为y=k(x一2)， 设M(x1y1),N(x22 -23(2+3-2) 设A(xAyA),B(xByB), /2 k2-3 不妨令点A在直线y=x上， 由61消去y, 设，点M的坐标为(xMyM) 则{M一y=-(xM-）, 则由yA=k(xA-2), （y=2.x+m, A=3A 得3.x2+4mx十m2+16=0, yM-y2=√5(.xM-x2), 2k 23k 所以工1十x2=- ,1-m+16 两式相减，得1一2-25M一（工十）， 解得xA 3 3 又为-为=(k红1+)-(kx2+)=k(x k-4- 2k 由题意知△=16m2-12(m2+16)>0, ), 同理可得B十万，形B级 解得m-4√3或m>4√5. 所以23xM=k(x-)十3(x1十x2), 如图，过点A与L2垂直的直线为L3:y= 解得rM-V十3-E-红 设AB的中点为C(xC,yc), 1 k2-3 x-2, 则r=A十=22 2 k2-31 两式相加，得2yM一（y十2)=5(x1 2), yc= yA十yB=6k 2 又y1十y2=(kx1十t)+(kx2十t) k2-3 =k(x1+x2)十2t, 因为|MA=|MB|, 所以2yM-k(x1十x2)十√5(x1-x2)+21, 所以M在AB的垂直平分线上， 解得yM= 3W2+3-k2-3L_ 3 k2-3 x 即点M在直线y-yc=一 (x-e 设与双曲线C交于另一点H 因此，点M的轨迹为直线y= 3 x,其中k (= 2x-2, 为直线PQ的斜率。 3 2k2 x2 消去y, 与y= 若选择①D②： x联立，得xM一3 （16i6=1, 因为PQ∥AB, 6k 得3.x2-8x-80=0, 所以直线AB的方程为y=k(x-2), yM-133-yc 设A(xAyA),B(xB,yB), 即点M恰为AB的中点，故点M在AB上。 解得x= 婴我x=一4（合去），所以H( 不妨令点A在直线y=√x上， 则由A=k(xA-2), 课时分层检测（七十） ) yA=3A 下证：MH⊥AN 2k 解得xA= 2√3k k 1.解 (1)由题意可得 3, 因为Mi.A衣- 16 k一尽 6 3 同理可得xB 2k 2√3k (x2+4,y2) k十5期 k+5 又a2=b2+c2,解得a=3,b=√5. 20 16 4k2 12k -x1x2-4x1一33-y1 所以xA十xB= e-3A十n23 所以药圆C的方程为号+苦-1 20 16 (2)设A(y),B(x22), 3 (2x2+m) (M=k(xM-2), 点M的坐标满足 当直线【的斜率存在时，设I:y=kx十， (2x1十m)(2x十m) (y=kx+t, 80 2k2 A+B,yM- 6k 联立 -5.x1x2-（4+2m)(x1+x2)+ 3 得M=2-3 2 k2-3 yA+yB 消去y得(1十3k2)x2+6k1x+32-9=0, 2 △=12(3+9k2-1)>0, 520