课时分层检测(55)向量法求空间角-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

课时分层检测（五十五） 向量法求空间角 一、单项选择题 1.如图，在长方体ABCD一 D A1B1C1D1中，AB=AA1= E 2,BC=8,E,F,G分别为 A B1C1,A1B1,BB1的中点，则 D 图1 图2 异面直线A]E与FG所成角 B 的余弦值为 ( A② 2 B③ C.③ 6 D③ 2 A细 B写 c n号 二、多项选择题 7.(2025·承德模拟)如图，在四 2.(2025·汕头模拟)已知AO为平面α的一条斜 棱锥S-ABCD中，平面SAB 线，O为斜足，OB为OA在平面a内的射影，直： ⊥平面ABCD,底面ABCD为 线OC在平面a内，且∠AOB=∠BOC=45°，则： 平行四边形，AB=AD=BD= ∠AOC的大小为 A.30° B.45 C.60° D.90 2,SA=SB,∠ASB=90°，点 D 3.(2025·九江模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1: E,F分别为棱SB,CD的中点，则下列说法正确 中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面 的是 ABCD夹角的余弦值为 ( ) A.SD与平面ABCD所成的角为30 B.AB⊥SD A. B号 c号 D C.当sMi=号sD时，SD1平面ABM 4.(2025·武汉模拟)如图，矩形AB CD是圆柱的轴截面，若E,F分别 D.EF∥平面SAD AB为与线段BC的中点，圆柱的 8.如图，在矩形AEFC中，AE=2√3，EF=4,B为 母线长为4，侧面积为8π，则异面 EF中点，现分别沿AB,BC将△ABE,△BCF翻 直线EF与AC所成角的余弦值为 折，使点E,F重合，记为点P,翻折后得到三棱锥 P一ABC,则 B 16 6 C.30 6 0.6 5.(2024·郑州模拟)如图，已知 AB是圆柱底面圆的一条直 A.三棱锥P-ABC的体积为42 3 径，OP是圆柱的一条母线，C 为底面圆上一点，且AC∥OB, B.直线PA与直线BC所成角的余弦值为 6 OP=AB=√2OA,则直线PC 与平面PAB所成角的正弦 C直线PA与平面PBC所成角的正弦值为号 值为 A.00 B.5 c品 D.三棱锥P-ABC外接球的半径为22 2 10 三、填空题 6.若正方形ABCD的边长为a,E,F分别为CD,9.在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面 CB的中点（如图1），沿AE,AF将△ADE, ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°，若直线 △ABF折起，使得点B,D恰好重合于点P(如图 2),则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 AB,与直线A,C所成角的余弦值是专，则棱AB ) 的长度是 324 10.(2025·丽水模拟)如图所示， :14.(2024·天津卷)如图，已知直 A D 正四面体V-ABC的高VD 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， N 的中点为O,VC的中点为M, AD⊥AB,AB∥CD,AA1=2, A 则DM和AO所成的角的大 AB=2AD=2,DC=1,N是 小为 B1C1的中点，M是DD1的 B 11.二面角a一l一B的棱上有两个点A,B,线段BD: 中点. 与AC分别在这个二面角的两个半平面内，并： (1)求证D1N∥平面CB1M; 且垂直于棱I,若AB=4,AC=6,BD=8,CD= (2)求平面CB,M与平面BB,C1C夹角的余 2√17，则平面a与平面3的夹角为 弦值； 12.在正方体ABCD-A1B1C1D D H (3)求点B到平面CB,M的距离. 中，E,F,G,H,K,L分别是 棱AB,BB1,B1C1,C1D1, A D1D,DA的中点，则直线 A1C与平面EFGHKL所成 角的大小为 若P, Q是六边形EFGHKL边上两个不同的动点， 设直线D1B与直线PQ所成的最小角为0，则 sin0的值为 四、解答题 13.（2024·新课标Ⅱ 卷)如图，平面四边 形ABCD中，AB= 8,CD=3,AD= A D 5W5,∠ADC=90°， ∠BAD-30,点E.F满足症=号Ad.A=号A成. 将△AEF沿EF翻折至△PEF,使得PC=4√5. (1)证明：EF⊥PD; (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的 正弦值. 325所以BD⊥AA1,即BD⊥AA1. (2)解假设在直线CC1上存在，点P, 使BP∥平面DA1C1, 设CP-ACC1,P(x,y,z), 则(x,y-1,)=a(0,1,√3)， 从而有P(0,1十入，3)， 则BP=(-√5,1+A,3λ)， 又A1C1=(0,2,0),DA1=(5,0,3), 设平面DA1C1的一个法向量为n1=(x1, y121）, 则m·A1G=0 则2y1=0, 取 1·DA1=0,3x1十√31=0， 1=(1,0,-1), 因为BP∥平面DA1C1,所以n1⊥BP, 即m1·BP=一√5-√3入=0，解得A=-1, 即点P在C1C的延长线上，且CP=CC1 15.AB[由向量的加法运算得到A1A十 A D+A B1-AC,AC=3AB, A1C=3A1B12,故A正确；A1B1 A1A=AB1,AB1⊥A1C,.A1C·AB1 0,故B正确；，△ACD1为等边三角形， ∠AD1C=60°，又A1B∥D1C,.异面直 线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量 AD1与向量A1B的夹角是120°，故C错误； AB⊥AA1,.AB·AA1=0,故|AB· AA1·AD=0,故D错误.故选A、B.] 16.2√5-1「如图， 建立空间直角坐标 A. 系，则C(0,2,0), B D1(0,0,2),B(2,2, 0),设E(x,2,),x∈ [0,2],z∈[0,2]， r 所以D1E=(x,2,x 2),CE=(x,0,2), 因为DE⊥CE,所以DE·CE=x2十（之 2)=0.即x2+(2-1)2=1,x∈[0,2]，之∈[0,1 2],则动点E的轨迹为以(0,2,1)为圆心， 1为半径的半圆， 将其放到平面直角坐标 系中如图所示，则B(2, 0),M(0,1),N(0,2), 所以|BM|=√/12+22 =5,所以|BEmn=5 显然当点E在点N处 (即立体图形中的C点)时，BE|取得最 大值，BElmax=√2+22-2√2， 因此，BE|的最大值为2√②，最小值为 √5-1.] 课时分层检测（五十五） 1.A[如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1 所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 标系， 则A1(8,0,2),E(4,2,2), D C F(8,1,2),G(8,2,1), .A1E=(-4,2,0),FG E A =(0,1,-1), ·cos(A1E,FG)= 2 ./10 B 25×2 =10 故异面直线A1E与FG所成角的余弦值 为 2.C[由结论可知有cos∠AOB·os∠BOC cos∠AOC.因为∠AOB=∠BOC=45°，则 os∠A0C-cos45°.cos45°=2X2- 2 2 合，则∠A0C=60故选C] 3.B[以A为坐标原点建立 如图所示的空间直角坐标 系A一xyz,设棱长为1，则 A1(001),E1.0） D D(0,1,0),A1D=(0,1, -1),AE= 1,0, ),设平面AED的一个法向量为 m1=(1y,e),则m·AD=0, {m1·A1E-0, （y-=0， 1 ）1- 2=0. ··3一之··.n1=(1.2,2).又平面ABCD的： 一个法向量为n2=(0,0,1),.c0s(1,12〉 一子.即平面AED与平面ABCD 2 .2 夹角的余弦值为号] 4.C[如图，分别取AB,CD 的中点O,M,连接OE,OM, 因为矩形ABCD是圆柱的 轴截面，E为AB的中点，所 以OE⊥平面ABCD,易知 OM⊥AB,以O为坐标原，点， OE所在直线为x轴，OB所 在直线为y轴，OM所在直 线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标 系.设底面圆的半径为r,则2πr×4=8π，所 以r=1,则E(1,0,0),F(0,1,2),A(0,-1, 0),C(0,1,4),可得EF=(一1,1,2)，AC= (0,2,4),设异面直线EF与AC所成的角 为0，则cos0= |cos(EF,AC〉|= |EF·AC 10 √30，故 IEFILACI √6×2√5 6 选C.] 5.A [,AB是圆柱底面 圆的一条直径， .∠AOB=90°， ∠ACB=90°， .OP=AB=√2OA, ∴.∠BAO=45°， B CTOB. .∠OAC=90°， ∴.四边形OACB为正方形，设AB=2, 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(√2， 0,0),B(0,√2,0)，P(0,0,2),C(√2,2,0)， AB=(-√2,0)，AP=(-√2,0,2) 设平面PAB的法向量为n=(x,y,x), 则{”·A正=0脚{-Ex+Ey=0, n·AP=0, -√Ex+2x=0, 取x=E,则n=(W2w2,1), 又PC=(2,√2，-2)， 设直线PC与平面PAB所成的角为0， sin0=|cos(m,P元)|=n·PC nPC 2 √10 5×2VE 10 .直线PC与平面PAB所成角的正弦值 为 .] 10 6.A[由E,F分别是为 CD,CB的中点， 可得EF2=CE2十CF2 =DE2+BF2-PE2 +PE2 则PE⊥PF,由AD⊥DE,AB⊥BF, 可得PA⊥PE,PA⊥PF,所以PA,PF,PE 两两互相垂直，以P为坐标原点，PE,PF, PA分别为坐标轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 504 可得P(0.0,0,E(号0,0）F(0,, 0A(0,0,a), 设C(x,y,z),由AC=VEa,CE=CF=g, fx2+y2+(g-a)2=2a2, 得2+（号）+2-， x- )++- 4 a 解得y=3 =- 即得C(号，号，-号) 所以可得P座=（号0,0元-（台， ÷-号) 设平面PCE的法向量为n=(x',y,), …p元-号+g--0， 3 33 则 n…p元=号-0. 2 令y=1,则x=0,2=1, 所以平面PCE的一个法向量为n=(0,1, 1)， 又PA=(0,0,a), 设PA与平面PCE所成的角为0， PA·n 所以sin0=|cos〈PA,n>|= PA 7.ABD[取AB的中点O,连接SO,OD,因 为SA=SB,O为AB的中点，所以SO⊥ AB,因为平面SAB⊥平面ABCD,平面 SAB∩平面ABCD=AB,SOC平面SAB, 所以SO⊥平面ABCD,因为AB=AD= BD=2,则OD⊥AB,以 点O为坐标原点，OA, OD,OS所在直线分别 为x,y,心轴建立如图所 示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B(-1,0, 0),C(-2,√5,0)，D(0, B,0,s(001),E(-z0,2),F(-1, √5,0).对于A选项，SD=(0,5,-1),易 知平面ABCD的一个法向量为a=(0,0, 1),所以cos(SD,a〉= IsDl·lal 故SD与平面ABCD所成的角为30°，A对： 对于B选项，AB=(-2,0,0),则AB·SD =0,AB⊥SD,B对；对于C选项，当SM =号s方时，Ai=A店+号5元=(-1,0,1) +号0-1》-(-1号片以前 ·S方=1-号≠0，所以AM与SD不套直， 所以SD与平面ABM不垂直，C错：对于D 选项，设平面SAD的法向量为n=（x,y, z),AS=(-1,0,1),AD=(-15,0),则 n·A5=一x十0，。取y=1,可得n n·AD=-x+√3y=0, 1周为F应-（分，-尽，号，则 定.n=-尽+=0，所以尼⊥，又 0 因为EF庄平面SAD,所以EF∥平面： SAD,D对，故选A、B、D. 8.BD[由题意可得BP⊥AP,BP⊥CP, 又AP∩CP=P,AP,CPC平面PAC, 所以BP⊥平面PAC, 在△PAC中，PA=PC=25,AC边上的高 为W√(2√3)2-22-22， 1 所以V三校维P-ABC=V三校维B-PAC= 号×4X2E×2-89,故A错： 3 在△PAC中，os∠APC=12+12-16 2×2√5×2V3 3 BC=√/12+4=4， Icos(PA. IPA.BCI IPALBCI PA心-_p成.P元-.成 2√5×4 85 _IIPA1 PCI cos∠APC-O 8W5 25×2×立 8√3 6 所以直线PA与直线BC所成角的余弦值！ 为，故B正确， Sam-PB PC-X2X2-2 设点A到平面PBC的距离为d, 由V三检锥B-PAC=V三检维A-PBC, 得号×264-8g解学4-15. 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦 值为 4 d 32E,故C错误： PA-253 由B知，o∠APC-号则sn∠APC-2. 所以△PAC的外接圆的半径 1 AC 3√2 设三棱锥P一ABC外接球的半径为R, 又因为BP⊥平面PAC, 则R=+(P8)=号+1-是， 所以R=平，即三技维P-ABC外接球 的车径为巴戴D正确.] 9.1[建立如图所示的空间直 角坐标系，设AB=a(a>0), 则A(0,0,0),B1(a,0,2), B A1(0,0,2),C(0,1:0),所以 AB1=(a,0,2),AC=(0,1, -2), 所以|cos(AB1,A1C〉| AB,·A1C IAB IIA CI 4 4 √a2+4×55 解得a=1,所以棱AB的长度是1.] 10.45°[设VA=a,VB=b,VC=c,正四面体 的棱长为1，则历-号a+6十c),DM= D成+i--号(a+b+c)+号c- 号(-2a-2b+c).a0-i-i-号元- 对-言b+c- 5a),.|DM|= = √（合o+e-5a）-竖，D成.访- 合（-2a-2b+c·合6+c-5a)=7 4 设DM与AO所成的角是0，.cos0= DM·AO |DM·|AO1 学，0∈(0,907， .0=45.] 11.60°[设二面角a一L一3的大小为0， 因为AC⊥AB,BD⊥AB, 所以CA·AB-0,BD·AB=0, 由题意得CD=CA+AB+BD, 所以CD12=1CA+AB+BD12=|CAI2+ ABI+BDI2+2 CA.AB+2 CA.BD+ 2AB·BD =|CA12+1AB12+1BD12+2CA.BD =36+16+64+2×6×8×cos(180°-) =(2√17)2， 所以c0s(180°-0)=-立， 即cos0= 1 所以0=60°，则平面a与平面B的夹角 为60°.] 12.90° 3 [如图，以点 D D为坐标原点，以DA, DC,DD1的方向分别为 x,y,之轴的正方向建立 空间直角坐标系，设正 方体的棱长为2，则A1 (2,0,2),E(2,1,0),C(0,2,0),F(2,2,1), G(1,2,2), ∴A1C=(-2,2,-2),EF-(0,1,1), EG=(-11,2), .A1C.EF=0+2-2=0, A1C.EG=2+2-4=0, .A1C⊥EF,A1C⊥EG, 'EG∩EF-E,EG,EFC平面EFGH KL, A1C⊥平面EFGHKL, .直线A,C与平面EFGHKL所成角的 大小为90° 又D1(0,0,2),B(2,2,0),DB=(2,2,-2), 由题意知AC-(一2,2，-2)为平面EF GHKL的一个法向量， 设直线D1B与平面EFGHKL所成的角： 为a,则 ID,B·AC sin a=l cosD B.AC) ID BIA CI 4 1 √12X√123' ,直线PQC平面EFGHKL ,直线D1B与直线PQ所成的角最小时 即为直线D1B与平面EFGHKL所成的！ 1 角，sin0=3门 3.解(1)第1步：证明EF⊥AE 由题，AE=号AD=25,AF=号AB=4, 又∠BAD=30°，所以由余弦定理得EF2=! AE2+AF2-2AE·AF·cos30°=4，故I EF=2. 又EF2十AE2=AF2,所以EF⊥AE. 505 第2步：证明EF⊥PD 由EF⊥AE及翻折的性质知EF⊥PE,EF ⊥ED, 又ED∩PE=E,ED,PEC面PED, 所以EF⊥面PED. 又PDC面PED,所以EF⊥PD (2)第1步：证明PE⊥面ABCD 如图，连接CE,由题，DE=3√5，CD=3, ∠CDE=90°， 故CE=√DE2+CD2=6. 又PE=AE=2√3，PC=4√3， 所以PE2+CE2=PC2,故PE⊥CE. 又PE⊥EF,CE∩EF=E,CE,EFC面 ABCD, 所以PE⊥面ABCD. 第2步：建立空间直角坐标系，得到相关向 量的坐标 EF,ED,PE两两垂直，故以E为原点， EF,ED,PE所在直线分别为x,y,之轴建 立空间直角坐标系， 则P(0,0,2√3)，D(0,3√5,0)，F(2,0,0), A(0,-23,0).C(3,35.0), A… D 连接PA,则PD=(0,3√3，-25)，DC (3,0,0), AP=(0,23,2√5)，AF=(2,25,0). 第3步：求面PCD和面PBF的法向量 设面PCD的法向量为n1=(x1,y1,之1)， 则m·PD-3,-25,=0 可取 (m1·DC=3x1=0 1=(0,2,3). 设面PBF即面PAF的法向量为n2 (x2,y2,22）, 则：·A-22+25=0 (m2·AF-2.x2+2V32=0 可取n2=(3,-1,1). 第4步：求面PCD与面PBF所成二面角 的余弦值的绝对值 n1·2 |cos(n,2|=T·n2√65 1 第5步：利用同角三角函数的基本关系求 得结果 故面PCD与面PBF所成二面角的正弦值 为厂-8厘 65 4.解(1)第1步：建立空 间直角坐标系，写出相关 点和向量的坐标 以A为坐标原点，以 B AB,AD,AA1所在直线 分别为x轴、y轴、之轴建 立如图所示的空间直角 坐标系， 依题意得，B(2,0,0),C(1,1,0),D(0,1, 0), B1(2,0,2),C1(1,1,2),D1(0,1,2) 则Mo1.N(合2 所以DN= -1,2),CM=(-1,0,1). 第2步：求平面CB1M的法向量n 设平面CB1M的法向量为n=(x1,y1, 1), 则m·C日-0 (n·CM-0 即21一1+21=0 (一x1十1=0 取x1=1,得之1=1，y1=3,则n=(1,3,1). 第3步：证明DN⊥n,从而得到线面平行！ D.n=(,-0）1.31) 3 3-3=0, 22 所以D,N⊥n,显然D,N平面CB,M,所 以D1N∥平面CB1M. (2)第1步：求平面BBCC的法向量 易知CB1=(1,-1,2),BC=(-1,1,0), 设平面BBC1C的法向量为m=(x2,2,2), im…B元-0，/3为+2-0 则m·CB,-0 1-x2+y2=0 取x2=1,得3%=1，鸡=0，则m=(1,1,0). 第2步：求两平面夹角的余弦值 设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角： 为0， 则cos0=cos(n,m)=hm= 4 2√/22 T×√211厂 所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的· 余弦值为2V②2 11 (3)第1步：求BB 易知BB1=(0,0,2). 第2步：求点到平面的距离 设点B到平面CB1M的距离为d, 则d=BB·m-22正 n √111 所以点B到平面CB1M的距离为2工 11 课时分层检测（五十六） 1.解(1)如图所示，建立 空间直角坐标系，则D D (0,0,0),A(1,0,0),C A (0,1,0),B(1,1,0),A (1,0,1),D1(0,0,1), C1(0,1,1),B1(1,1,1), A E(0,21）F(0.1. ) A=(1,-3）-(-1山，) 则E到直线AF的距离d EA)2- 、A 6 (2)由(1)可得AE-（-1,,0）AB- (0,1,-1), 设n=（x,y,之)为平面A1BE的一个法 向量， (n·A1B=0, (y一之=0， =1, 得平面A1BE的一个法向量为n=(1,2, 2). 又A1B1=(0,1,0),得B1到平面A1BE的 距离为d=1AB,·n2 n 31 2.(1)证明连接A1B, :AA1⊥平面ABC, AB,ACC平面ABC, B. ∴.AA1⊥AB,AA11 AC,而AB⊥AC,故建 立如图所示的空间直 角坐标系，设A1M= a,a∈[0,1]， 则A(0,00),A1(0,0,1),B(1,0,0),C(0, 1,0),B1(1,0,1),M(0,a,1), BM=(-1,a,1),AB1=(1.0,1). BM·AB1=0,∴.BM⊥AB1,.BM⊥AB1. (2)解设平面BCM的法向量n=(x,y,! ), 由(1)知BM-(-1,a,1),BC=(-1,1,0), AB1=(1,0,1), m·i=-x+ay+=0, {n·BC=-x+y=0, 取x=1,得n=(1,1,1-a), ”直线AB,与平面BCM所成的角为至， 六sin至-cos(AB,m=AB·n AB, |2-a √2 √2·√2+(1-a)2 ,解得a= 2 ÷n=（1.1,号）A店=1,0，-1… ∴，点A1到平面BCM的距离 1 d=AB·n_立上 3 3 3. 解如图，设DE的中点为O,BC的中点 为F, 连接OP,OF,OB,则OP⊥DE, 因为平面PDE⊥平面BCDE,平面PDE∩ 平面BCDE=DE, 所以OP⊥平面BCDE. 因为在△ABC中，点D,E分别为AC,AB 边的中点， 所以DE∥BC. 因为DE￠平面PBC,BCC平面PBC, 所以DE∥平面PBC.又OF⊥DE, 所以以点O为坐标原 P 点，OE,OF,OP所在 直线分别为x轴、y 轴、之轴建立如图所示 E 的空间直角坐标系， 则0(0,0,0)，P(0,0, √3)， B(2,√5,0)，C(-2,√5,0)，F(0W5,0), 所以PB=(2,√5，一√3)，CB=(4,0,0) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,), 由{n·P5-2x+y-5=0, (n·CB=4.x=0, 得{x=0, 1y=, 令y=2=1,所以n=(0,1,1). 因为OF-(0W5,0), 设点O到平面PBC的距离为d, 则d=1OF:m=E6 n 因为点O在直线DE上， 所以直线DE到平面PBC的距离等于E 4.(1)证明如图，过点C,D分别作CP⊥ AB,DQ⊥AB,垂足分别为P,Q,则四边形 CDQP为矩形，PQ=1. 在Rt△BCP中，可知 ∠CBP=60°， 则BP=BC=，同理 可得AQ= -,AB=2. 在△ABC中，由余弦定理，得AC2=12+22 -2×1×2×c0s60°=3， ,AC+BC2=AB2,∠ACB=90°， ∴.AC⊥CB. 又，平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩ 平面ABCD=AC,∴.BC⊥平面ACFE. (2)解存在.以C为原点，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则A(5,0,0),B(0,1,0),AB=(-√5,1,0) 506 设M(a,0,1),则MB=(-a,1,-1). 设平面MAB的法向量为m=(x,y,之)， :遮{ m·MB=0, 取m=(1W3,W3-a). 取平面FCB的一个法向量为n=(1,0,0) 故cos(m,n)= m·n mn√1+3+(W3-a)2 由题意可得 1 -5,a∈[05] √4+(W5-a)2 ∴.a=√5-1. 因此在线段EF上存在点M(√一1,0,1) 使得eos0=5光时FM=厅-1 5.解建立如图所示 的空间直角坐标系， D 根据题意设，点P(0, t,2),0t2,则 E(1,1,0),F(2,2, 1),C(0,2,0), (1)PE=(1,1-t, A -2),EF=(1,1,1). CF=(2,0,1), 设平面EFC的法向量为m=(x,y,之)， 则m·EF-x+y+=0, (m·CF=2x+之=0， 令x=1,得=-2，y=1,.m=(1,1,-2), 若存在满足题意的，点P,则PE∥m, .1二1-1,1=0，满足0≤1≤2，即P与 1 D1重合时，PE⊥平面EFC,此时C1P=2. (2)易知平面BCC1B1的一个法向量为n= (0,1,0), 设平面PEF的法向量为r=(x0,y0,0), 又PF=(2,2-1,-1),EF=(1,1,1), ·P-2x+(2-0%-=0, r·EF=x0十y0十0=0， 令=1，则x0=3 -1,20= 3 -(-11 设平面BCC1B1与平面PEF的夹角为0， 则cos0=|cosn,r〉 1 √（台-）+1+() =,02, (- + ∴，当t= √6 3 ,(sin )min 31 此时GP-2-号-号 =21 6.(1)证明AB∥CD,AB庄平面PCD CDC平面PCD,.AB∥平面PDC (2)解四边形ABCD是直角梯形，AB∥ DC,ADDC,AB=5,AD=4,DC=3, ∴.BC=W42+(5-3)2=2√5，又PB PC=3, ∴.，点P到直线BC的距离为√32一5=2， ,平面PBC⊥平面ABCD, .点P到平面ABCD的距离为2. 以D为原点，以DA,DC及平面ABCD过 D的垂线分别为x轴、y轴、之轴建立空间直 角坐标系（图略）. .A(4,0,0),B(4,5,0),C(0,3,0),P(2,4,2), .PB=(2,1,-2),AB=(0,5,0),CB (4,2,0), 设平面APB的法向量为m=(x1,y1,之1)，