课时分层检测(54)空间向量的概念与运算-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

对于C,,CD⊥平面EDP,PDC平 面EDP, ,,PD⊥CD: 又DE⊥CD,∴，二面角P一CD一B的平面 角为∠PDE, PE⊥DE,PE=DE=2.∠PDE=T, 二面角P-CD-B的大小为子，C正确： 对于D,,CD⊥平面EDP, ∴·∠CPD即为直线PC与平面EDP所成{ 的角， CD⊥PD,PD=2√E,CD=2, tan☑CPD-P52z」 CD2=√2 即直线PC与平面EDP所成角的正切值为： 巨，D错误.] 9.CG,DH,EH,FG(任选一个作答)[如图， 结合平面图形还原出正方体， G D 结合正方体性质易知， 棱CG,DH,EH,FG所在的直线与棱ABI 所在的直线是异面直线且互相垂直，] 10.而-2 2 [画出如 图所示示意图， 设底面边长为a,则塔 高EF-51 2, AF=AC- 24, 所以侧棱与底面所成的角∠EAF的正切！ 5-1 EF 值为AF 2 西-E.] a 11.②「①假设AC与 BD垂直，过点A作 AE⊥BD于点E, 连接CE,如图所示 AE⊥BDX→BD⊥ 则BD⊥AC了 平面AEC, 则BD⊥CE,而在平面BCD中，CE与BD 不垂直，故假设不成立，①不正确： ②假设AB⊥CD,,AB⊥AD,CD∩AD=D .AB⊥平面ACD,AB⊥AC, 由AB<BC可知，存在这样的直角三角 形，使AB⊥AC,故假设成立，②正确： ③假设AD⊥BC,,CD⊥BC,AD∩CD=D, ∴，BC⊥平面ACD,.BC⊥AC, 即△ABC为直角三角形，且AB为斜边， 而AB<BC,故矛盾，假设不成立，③不 正确。 12.(0,1][因为C1C⊥平 面ABCD,EDC平面 ABCD,可得C1C⊥ED, 由EC1⊥ED,EC1∩ CC=C1,ECI,CC 平面ECC1, 可得ED⊥平面ECC1, 所以ED⊥EC, 在矩形ABCD中，设AE=a,0≤a≤2， 则BE=2一a, 由∠DEA+∠CEB=90°， 可得tan∠DEA·tan/CEB=AD.CB AE BE a(2-a)=1, 即t2=a(2-a)=-(a-1)2+1, 当a=1时，t2取得最大值1， 即t的最大值为1； 当a=0或2时，t2取得最小值0， 但由于t>0,所以t的取值范国是(0,1].] 3.证明(1)因为PA⊥平面ABCD,BDC平 面ABCD,所以PA⊥BD 因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC. 又PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以BD⊥平面PAC (2)因为PA⊥平面ABCD,AEC平面AB CD, 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°， 且E为CD的中点，所以AE⊥CD. 所以AB⊥AE. 又AB∩PA=A,AB,PAC平面PAB, 所以AE⊥平面PAB. 因为AEC平面PAE, 所以平面PAB⊥平面PAE 14.(1)证明连接 PC,交DE于，点 N,连接MN, M ,四边形PDCE D 为矩形，，N为 PC的中点， 在△PAC中， M,N分别为PA,PC的中点， .∴.MN∥AC, ,'MNC平面MDE,AC中平面MDE, .AC∥平面MDE. (2)解，∠BAD=∠ADC=90,∴.AB∥CD, ∴·∠PBA是直线PB与直线CD所成的角 ,四边形PDCE为矩形，.PD⊥CD, 平面PDCE⊥平面ABCD, 又PDC平面PDCE,平面PDCE∩平面 ABCD=CD,,∴.PD⊥平面ABCD, AD,ABC平面ABCD,,∴PD⊥AD, PD⊥AB, 在Rt△PDA中，AD=1,PD=√2，∴.PA=3, ,∠BAD=90°，∴.AB⊥AD 又PD⊥AB,PD∩AD=D,PD,ADC平 面PAD,·AB⊥平面PAD, PAC平面PAD,,.AB⊥PA, 在Rt△PAB中，AB=1, n∠PBA-器-F.∠PBA 3 从而直线PB与直线CD所成的角为3： (3)解L与平面ABCD垂直，证明如下： 四边形PDCE为矩形， ∴.EC∥PD, ,PDC平面PAD,EC庄平面PAD, ,∴.EC∥平面PAD,ECC平面EBC, ,平面PAD∩平面EBC=I, ∴.EC∥l,则l∥PD, 由(2)可知PD⊥平面ABCD, ,L⊥平面ABCD. 5.ABC[由正方体的性质可得BD⊥平面 ACC1A1,A,CC平面ACCA1,故AC⊥BD, 又BC1⊥平面A1B1CD,A1CC平面 A1B1CD,故A1C⊥BC1,BD∩BC1=B,且 BD,BC1C平面C1BD,故A1C⊥平面 C1BD,故A正确： 设正方体的棱长为1，直线A1C1与平面 ABC1D1的夹角为0，则A1C1=√2，点A1 到平面ABCD,的距高为号AD-号 2 故sin0= 之，所以0=百故B正确： 连接CO,OC1,则∠COC为二面角C1 BD一C的平面角， 到an∠COC-光-，故C正确 设B1到平面C1BD的距离为h, -502 VB-CBD-VD-C BB 1×1×1, -巨，故D错误.门 解得h= 16.23[如图所示， G 延长CG交AD1于点 F,连接BF,则F为 AD1的中点，如图 G 所示， 因为GE∥平面 A D1AB,GEC平面CBF,平面CBF∩平面 DAB=BF, 所以GE∥BF, 因为点G为△D1AC的重心， 所以CG=2GF, 所以CE=2EB,A=2. 取CA的中点O,连接 OB,GB,GO,OD1,则 OB⊥AC, 设正方形ABCD的边 长为2， 因为GE∥BF,GE⊥ D1A,所以BF⊥D1A, 又F为AD1的中点， 所以AB=D1B=2, 在R△ABC中，AC-2E.0B-号AC-E, 同理可得，D1O=√2， 因为D1O2十OB2=D1B2,所以OB⊥D1O, 又AC∩D1O=O,所以OB⊥平面D1AC, 则GO为GB在平面D1AC上的射影， 所以∠OGB或其补角为直线GB与平面 D1AC所成的角， 在Rt△0GB中，G0-号D,0-9, tan∠OGB- 咒-.] 课时分层检测（五十四） 1.D[由题意，是-==6 y=15.7 2· 2.D[,P一ABC为正三棱锥，O为△ABC 的中心，∴，PO⊥平面ABC,△ABC是等边三 角形，∴.PO⊥AO,∴.PO·OA=0,|AO川= 号·AB1·s血60-2，载而·时 3 PO.(PO+0A)=1PO2=AP 2- d=4-号-号故选D] 3.D[因为A(0,0,1),B(0,-1,0),C(-1, 0,1), 所以AB-(0,-1,-1),AC=(-1,0,0). 设平面a的法向量为n=（x,y,x), 则：花-0中{y=0 (n·AC=0,1-x=0, 令z=1,则n=(0,-1,1). 因为a·n=1一1=0， 所以直线L可能在平面α内，或者与平面α 平行，故选D. 4.A[由A(1,0,2),B(-1,1,2),C(1,1, -2),则BA=(2,-1,0),BC=(2,0,-4), 则1BC1=√2+02+4平-25，且点A到直 线BC的距离为d= BA2-（ BA. 6() =四，所以△ABC的面积 √5 是S△r=合X1B花×d=号X25× 2I=√2i.故选A] √5 5.A[在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD, 又EFC平面ABCD, 所以EF⊥DD1, 因为E,F分别为AB,BC的中点， 所以EF∥AC,所以EF⊥BD, 文BD∩DD1=D,BD,DD1C平面BDD1, 所以EF⊥平面BDD1, 又EFC平面B1EF, 所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正确： 如图，以点D为原点， 建立空间直角坐标系， C 设AB=2, 则D(0,0,0),B1(2,2, 2),E(2,1,0),F(1,2, DA 0),B(2,2,0), A1(2,0,2),A(2,0,0), C(0,2,0),C1(0,2,2), 则EF=(-1,1,0),EB1=(0,1,2), DB=(2,2,0),DA1=(2,0,2), AA1=(0,0,2),AC=(-2,2,0), AC=(-2,2,0). 设平面B1EF的法向量为m=(x1,y1心1) 剥m·5-4+y=0, 可取m=(2,2, m·EB1=y1+2≈=0， -1), 同理可得平面A1BD的一个法向量为 1=(1,-1,-1), 平面A1AC的一个法向量为n2=(1,1,0),1 平面A1CD的一个法向量为n3=(1,1,一1)， 则m·n1=2-2+1=1≠0， 所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故B: 错误； 因为m与n2不平行， 所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C 错误： 因为m与n3不平行， 所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故 D错误.] 6.C[由题意，以A为原 点，AB,AD,AP所在直 线分别为x轴、y轴、之 轴，建立空间直角坐标 系，如图所示， 则D(0,4,0),E(4,0,2), X C(4,4,0),P(0,0,4), A(0,0,0),B(4,0,0), 设F(t,0,0),0<1<4,AF=AAB(0<A<1), 则(t,0,0)=(4入，0,0)，.t=4λ，.F(4入，0， 0), DE=(4,-4,2),DF=(4入，-4,0)， PC=(4,4,-4),PE-(4,0,-2), 设平面DEF的法向量为n=(x,y,2), 则m:D应-4-4y+2x-0. n·DF=4x-4y=0, 取x=1,得n=(1,A,2a一2)， 设平面PCE的法向量为m=(a,b,c), 则m·PC-4a+4b-4c=0, {m·PE=4a-2c=0, 取a=1,得m=(1,1,2), ,平面DEF⊥平面PCE .m·n=1+入十2(2x-2)=0,解得！ 7.ACD[对于A,若向量a,b与空间任意向 量都不能构成基底，则a,b为共线向量，即 a∥b,故A正确； 对于B,若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,i 则a与c不一定共线，故B错误； 对于C,若{OA,OB,OC}是空间的一个基 底，且0i=}Oi+子o成+号0心， 则0成-=片o成-ai)+号0花- OA),即A=号A店+子AC, 可得A,B,C,D四点共面，故C正确； 对于D,若{a十b,b十c,c十a}是空间的一1 个基底， 则对空间中任意一个向量d,存在唯一实数 组(x,y,2), 使d=x(a+b)+y(b十c)+z(c十a)=(x十 z)a+(x+y)b+(y+z)c, 则{a,b,c}也是空间的一个基底，故D! 正确， 8.AB由题知，设正方 体棱长为3， C 以D为坐标原点，DA A DC,DD1的方向分别 为工，y,心轴的正方向 EKD 建立如图所示的空间 A 直角坐标系， 因为A正-}AA,C市-号cd, 所以D(0,0,0),A(3,0,0),B(3,3,0),C(0, 3,0),E(3,0,1),D1(0,0,3),B1(3,3,3), C1(0,3,3),F(0,3,2) 对于A,EF=(-3,3,1),DB=(3,3,0), 因为EF·DB=-9十9=0， 所以EF⊥BD,故A正确： 对于B,设平面ABF的法向量为n1=（x· y1,1）, 则m·A店=0， {m1·AF-0, 因为AB=(0,3,0),AF-(-3,3,2), 所以3y=0, -3x1+3y1+2x1=0, 取1=2，可得m1=(2,0,3), 因为EC1=(-3,3,2), 所以EC1·n1=一6+6=0， 所以EC1⊥n1, 又因为EC1庄平面ABF, 所以EC1∥平面ABF,故B正确： 对于C,因为EF-(-3,3,1),CB1=(3,0,3), 所以EF·CB1=-9十3=-6≠0， 故EF与CB1不垂直，即EF不垂直于平面 B1CD1,故C错误： 对于D,连接D1F,BE, 因为D1F=(0,3,-1),EB=(0,3,-1), 所以D1F,EB共线，即D1F∥EB, 所以D1,F,E,B四点共面， 故直线EF与直线BD1共面，故D错误.故 选AB. 9.-3[因为l∥a,所以a=(1,2,1)与n= (2,1,4)垂直故a·n=(1,2,1)·(2,t,4)- 2+2t十4=0，解得1=一3.] 10.(-5,-2,6)[设C(x,y,2), 则AB=(-2,-1,2),AC=(x-1,y-1,) =3AB=(-6,-3,6), (x=6, 503 解得6， 了y=-2, z=6. 故点C的坐标为(-5，-2,6).] 1.- a+b+c[B,i=B,i+号B武 -AA+合B,G-AA+(AG AB)-c+合(b-a)=-a+b 1 +c.] [如图，建立空间 2 直角坐标系，则A(0,一 1,0),B(0,1,0),S(0,0, ,M(0,0,5),设p 2 Y (x,y,0),-1≤x1,- 1≤≤1，则A成=(01,5)M市-( -9.由于AMLMP,所以(01，号)· (x,y,- 3 2 )=0,即y=子，此为P点的轨 迹方程，其在底面圆内的长度为 4 4 3.证明如图所示，建立空间直角坐标系，不 妨设正方体的棱长为2， D C A D A 则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1, 1,2),M1,2,1),N(0,1,1) ∴.EF=(0,-1,1),EG=(1,0,1),HM (0,1,-1),HN=(-1,0,-1). 设m=(x1y1,之1)，n=(x2,y2,2)分别是 平面EFG和平面HMN的法向量， 由m·萨-0， {m·EG=0 得y十名=0， （十1=0， 取x1-1,得m=(1,-1,-1). :新” 取x2=1,得n=(1,-1,-1). 于是有m=n,m∥n,故平面EFG∥平 面HMN, 4.(1)证明设BD与AC交于，点O, 则BD⊥AC, 连接A,O,如图所示， 在△AAO中，AA=2,AO=1,∠A1AO=60°， 所以A1O2=AA号+AO3-2AA1· A0cos60°=3， 所以A02+A102=AA号，所以A10LA0, 由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面 AA1C1C∩平面ABCD=AC,A1OC平 面AA1C1C, 所以A1O⊥平面ABCD, 又BOC平面ABCD,COC平面ABCD, 所以A1O⊥BO,A,O⊥CO, 所以以O为原点，以OB,OC,OA1所在直 线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的 空间直角坐标系， 则A(0,-1,0),B(√5， D 0,0),C(0,1,0), D(-√3,0,0)，A1(0, B 03),C1(0,2,√3)， D 由于BD=(-2√3,0， A 0),AA1=(0,1,√5)， AA,·BD=0X(-23) +1×0+√5×0=0， 所以BD⊥AA1,即BD⊥AA1. (2)解假设在直线CC1上存在，点P, 使BP∥平面DA1C1, 设CP-ACC1,P(x,y,z), 则(x,y-1,)=a(0,1,√3)， 从而有P(0,1十入，3)， 则BP=(-√5,1+A,3λ)， 又A1C1=(0,2,0),DA1=(5,0,3), 设平面DA1C1的一个法向量为n1=(x1, y121）, 则m·A1G=0 则2y1=0, 取 1·DA1=0,3x1十√31=0， 1=(1,0,-1), 因为BP∥平面DA1C1,所以n1⊥BP, 即m1·BP=一√5-√3入=0，解得A=-1, 即点P在C1C的延长线上，且CP=CC1 15.AB[由向量的加法运算得到A1A十 A D+A B1-AC,AC=3AB, A1C=3A1B12,故A正确；A1B1 A1A=AB1,AB1⊥A1C,.A1C·AB1 0,故B正确；，△ACD1为等边三角形， ∠AD1C=60°，又A1B∥D1C,.异面直 线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量 AD1与向量A1B的夹角是120°，故C错误； AB⊥AA1,.AB·AA1=0,故|AB· AA1·AD=0,故D错误.故选A、B.] 16.2√5-1「如图， 建立空间直角坐标 A. 系，则C(0,2,0), B D1(0,0,2),B(2,2, 0),设E(x,2,),x∈ [0,2],z∈[0,2]， r 所以D1E=(x,2,x 2),CE=(x,0,2), 因为DE⊥CE,所以DE·CE=x2十（之 2)=0.即x2+(2-1)2=1,x∈[0,2]，之∈[0,1 2],则动点E的轨迹为以(0,2,1)为圆心， 1为半径的半圆， 将其放到平面直角坐标 系中如图所示，则B(2, 0),M(0,1),N(0,2), 所以|BM|=√/12+22 =5,所以|BEmn=5 显然当点E在点N处 (即立体图形中的C点)时，BE|取得最 大值，BElmax=√2+22-2√2， 因此，BE|的最大值为2√②，最小值为 √5-1.] 课时分层检测（五十五） 1.A[如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1 所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐 标系， 则A1(8,0,2),E(4,2,2), D C F(8,1,2),G(8,2,1), .A1E=(-4,2,0),FG E A =(0,1,-1), ·cos(A1E,FG)= 2 ./10 B 25×2 =10 故异面直线A1E与FG所成角的余弦值 为 2.C[由结论可知有cos∠AOB·os∠BOC cos∠AOC.因为∠AOB=∠BOC=45°，则 os∠A0C-cos45°.cos45°=2X2- 2 2 合，则∠A0C=60故选C] 3.B[以A为坐标原点建立 如图所示的空间直角坐标 系A一xyz,设棱长为1，则 A1(001),E1.0） D D(0,1,0),A1D=(0,1, -1),AE= 1,0, ),设平面AED的一个法向量为 m1=(1y,e),则m·AD=0, {m1·A1E-0, （y-=0， 1 ）1- 2=0. ··3一之··.n1=(1.2,2).又平面ABCD的： 一个法向量为n2=(0,0,1),.c0s(1,12〉 一子.即平面AED与平面ABCD 2 .2 夹角的余弦值为号] 4.C[如图，分别取AB,CD 的中点O,M,连接OE,OM, 因为矩形ABCD是圆柱的 轴截面，E为AB的中点，所 以OE⊥平面ABCD,易知 OM⊥AB,以O为坐标原，点， OE所在直线为x轴，OB所 在直线为y轴，OM所在直 线为之轴，建立如图所示的空间直角坐标 系.设底面圆的半径为r,则2πr×4=8π，所 以r=1,则E(1,0,0),F(0,1,2),A(0,-1, 0),C(0,1,4),可得EF=(一1,1,2)，AC= (0,2,4),设异面直线EF与AC所成的角 为0，则cos0= |cos(EF,AC〉|= |EF·AC 10 √30，故 IEFILACI √6×2√5 6 选C.] 5.A [,AB是圆柱底面 圆的一条直径， .∠AOB=90°， ∠ACB=90°， .OP=AB=√2OA, ∴.∠BAO=45°， B CTOB. .∠OAC=90°， ∴.四边形OACB为正方形，设AB=2, 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(√2， 0,0),B(0,√2,0)，P(0,0,2),C(√2,2,0)， AB=(-√2,0)，AP=(-√2,0,2) 设平面PAB的法向量为n=(x,y,x), 则{”·A正=0脚{-Ex+Ey=0, n·AP=0, -√Ex+2x=0, 取x=E,则n=(W2w2,1), 又PC=(2,√2，-2)， 设直线PC与平面PAB所成的角为0， sin0=|cos(m,P元)|=n·PC nPC 2 √10 5×2VE 10 .直线PC与平面PAB所成角的正弦值 为 .] 10 6.A[由E,F分别是为 CD,CB的中点， 可得EF2=CE2十CF2 =DE2+BF2-PE2 +PE2 则PE⊥PF,由AD⊥DE,AB⊥BF, 可得PA⊥PE,PA⊥PF,所以PA,PF,PE 两两互相垂直，以P为坐标原点，PE,PF, PA分别为坐标轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 504 可得P(0.0,0,E(号0,0）F(0,, 0A(0,0,a), 设C(x,y,z),由AC=VEa,CE=CF=g, fx2+y2+(g-a)2=2a2, 得2+（号）+2-， x- )++- 4 a 解得y=3 =- 即得C(号，号，-号) 所以可得P座=（号0,0元-（台， ÷-号) 设平面PCE的法向量为n=(x',y,), …p元-号+g--0， 3 33 则 n…p元=号-0. 2 令y=1,则x=0,2=1, 所以平面PCE的一个法向量为n=(0,1, 1)， 又PA=(0,0,a), 设PA与平面PCE所成的角为0， PA·n 所以sin0=|cos〈PA,n>|= PA 7.ABD[取AB的中点O,连接SO,OD,因 为SA=SB,O为AB的中点，所以SO⊥ AB,因为平面SAB⊥平面ABCD,平面 SAB∩平面ABCD=AB,SOC平面SAB, 所以SO⊥平面ABCD,因为AB=AD= BD=2,则OD⊥AB,以 点O为坐标原点，OA, OD,OS所在直线分别 为x,y,心轴建立如图所 示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B(-1,0, 0),C(-2,√5,0)，D(0, B,0,s(001),E(-z0,2),F(-1, √5,0).对于A选项，SD=(0,5,-1),易 知平面ABCD的一个法向量为a=(0,0, 1),所以cos(SD,a〉= IsDl·lal 故SD与平面ABCD所成的角为30°，A对： 对于B选项，AB=(-2,0,0),则AB·SD =0,AB⊥SD,B对；对于C选项，当SM =号s方时，Ai=A店+号5元=(-1,0,1) +号0-1》-(-1号片以前 ·S方=1-号≠0，所以AM与SD不套直， 所以SD与平面ABM不垂直，C错：对于D 选项，设平面SAD的法向量为n=（x,y, z),AS=(-1,0,1),AD=(-15,0),则 n·A5=一x十0，。取y=1,可得n n·AD=-x+√3y=0, 1周为F应-（分，-尽，号，则课时分层检测（五十四） 0知识过关0。 一、单项选择题 1.(2025·冀南模拟)已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y) 分别是直线1，l2的方向向量，若1∥12，则 ( 15 A.x=6,y=15 B.x=3,y=2 C.x=3,y=15 D.x=6,y= 15 2.在正三棱锥P一ABC中，O是△ABC的中心， PA=AB=2,则PO·PA= ( ) B C.4② 3 D. 3.(2025·毫州质检)已知平面a内的三点A(0,0,1), B(0,-1,0),C(-1,0,1),直线1的方向向量是 a=(一1，一1，一1)，则直线l与平面a的位置关 系是 () A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 4.(2025·郑州模拟)已知点A(1,0,2),B(一1,1,2)， C(1,1,一2)，则△ABC的面积为 () A.√21 B.2 C.55 D.1 5.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D 中，E,F分别为AB,BC的中点，则 () A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 6.已知梯形CEPD如图(1)所示，其中PD=8,CE =6,A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方 形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面 ABCD,得到如图(2)所示的几何体.已知当点F 满足AF=AAB(0<A<1)时，平面DEF⊥平面 PCE,则入的值为 图(1) 图(2) A. 3 C. D. 心 空间向量的概念与运算 二、多项选择题 7.下列关于空间向量的命题中，正确的有 () A.若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底， 则a∥b B.若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则有a∥c C.若{OA,OB,OC}是空间的一个基底，且OD 3OA+O店+号元，则A,B,C,D四点共面 D.若{a十b,b十c,c十a}是空间的一个基底，则 {a,b,c}也是空间的一个基底 8.(2025·南通调研)在正方体ABCD一A1B1C1D1 中，A正-号AA.C亦-号cC则 ( A.EF⊥BD B.EC1∥平面ABF C.EF⊥平面B1CD D.直线EF与直线BD1异面 三、填空题 9.在空间直角坐标系中，a=(1,2,1)为直线1的一 个方向向量，n=(2,t,4)为平面a的一个法向量， 且l∥a,则t= 10.(2023·徐州模拟)在空间直角坐标系中，已知 A(1,1,0),B(-1,0,2),点C满足AC=3AB, 则点C的坐标为 11.(2023·信阳模拟)在斜三棱 柱A1B1C1-ABC中，BC的 中点为M,A1B1=a,A1C1= b,A1A=c,则B1M可用a,b, c表示为 12.(2025·成都模拟)如图，圆锥的轴截面SAB是 边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为 SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）. 若AM⊥MP,则点P在圆锥底面上形成的轨迹 的长度为 四、解答题 13.（2025·石家庄模拟)如图，在 正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E,F,G,H,M,N分别是 正方体六个表面的中心，证 明：平面EFG∥平面HMN. :14.(2025·晋城模拟)如图，棱 D 柱ABCD-A1B1C1D1的所 A C 有棱长都等于2，∠ABC和 F B G M ∠A1AC均为60°，平面 D E AA1CC⊥平面ABCD. B (1)求证：BD⊥AA1; (2)在直线CC1上是否存在点P,使BP∥平面 DA1C1？若存在，求出点P的位置，若不存在，请 说明理由。 0 能力拓展。… 15.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则下列 说法中正确的是 ( A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12 B.A1C·(A1B1-A1A)=0 C.向量AD1与向量A1B的夹角是60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|AB· AA1·AD 16.如图，在棱长为2的正方 D 体ABCD-A1B1C1D1 A 中，点E是侧面BB1C1C 内的一个动点.若点E满 足DE⊥CE,则|BEI的最 大值为 ,最小 值为 323