课时分层检测(40)平面向量中的综合问题&课时分层检测(41)复数-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

3.C[平面向量的坐标运算十充分、必要条！ 件的判断（理性思维、数学应用、数学探索）！ a⊥b台x2十x十2x=0白x=0或x=-3,1 所以x=一3是a⊥b的充分条件，x=0是a ⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b白 2.x+2=x2曰x2-2x-2=0白x=1±5，故 B,D错误.] 4.B[因为平面向量a与b的夹角为60°，a= (2,0),b|=1, 所以|a=√/22+02=2，a·b=|a· |b|cos60°=2×1·cos60°=1， 所以a+2b=√/(a+2b)2 √a+4a·b+4F-√4+4X1+4-25.] 5.B[如图所示，在△ABC中，D 为BC的中点，于是有AB十 AC=2AD,因为3A0O=AB+BD A元，则A市-子Ad,线段AD是 △BC的中线，依题意(AB+AC)·BC=! (AB+AC).(AC-AB)=AC2-AB2=0, 从而有AB|=AC1,即有BC⊥AD,所以 向量AB在向量AO上的投影向量为AD= 是戒故选B] 6.D设我段BC的中点为D,期店+配- 2AD. 因为AC12-|AB2-2AM·(AC-AB), 所以(AC+AB)·(AC-AB=2AM.BC, 即2AD·BC=2AM·BC, 即BC·(AM-AD)=BC·DM=0, 即DM⊥BC, 所以DM垂直且平分线段BC, 因此动，点M的轨远是BC的垂直平分线，！ 必通过△ABC的外心.] 7,ACD[根据数量积的分配律可知A正确；： B中，左边为c的共线向量，右边为a的共： 线向量，故B不一定成立： 根据数量积的定义可知a·b=a|bcos(a,! b》a·b,故C正确： a-b12-(|a1+b1)2=-2a·b- 2ab0, 故a-b|2≤(a+|b)2, 即a一ba十b,故D正确.] 8.CD[对于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),1 则a·b=2-1=1>0, 又a,b不共线， 所以a,b的夹角为锐角，故A错误； 对于B,向量a在b上的投影向量为 对于C,a-b=(1,2),若(a-b)∥c, 则一n=2(n一2)，变形可得2n十n=4,故C! 正确： 对于D,由2m十n=4,且n,1均为正数， 得mn三2(2m·)≤安(。2 2 当且仅当=1，n=2时，等号成立， 即mn的最大值为2，故D正确.] 9.-2e[设a与b所成的角为0， 则cos0=a·b=-6=_25 ab3√5 5 整a在0上的旅影向量为aeos) -2e. 10.10V6[依题意，1F11=|F2|=|F31且 |F1+F2+F3=60, 所以|F1十F2十F312-F1I2+|F212+ F32+2F1·F2+2F2·F3+2F3·F1=I 3600, 即3F12+3×2E12×立=3600， 解得|F1|=10√6.] 1.6[设向量a与b的夹角为0∈[0，π]， 则s0=治是-专， a·b 一8 因为0∈[0，π]，可得sin0=√1-cos20 故aXb-lal sin0=2X5×号=6.] 3 2.3 5 [平面向量的线性运算十数量 积（理性思雏，数学探索）坐标法以点 A为坐标原，点建立如图所示的平面直角坐 标系， 则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), (号所=(-子小耐= (-1,0),BC=(0,1),因为B正=ABA十 B所以（子-(-1.0+0 4 1),所以入=3=1，所以入十4=3由 B1.0,E(号)可得直线BE的方粒为 y-3x-,设Fa3-3a)(号<a≤ 1）则G 号，）以亦=( 3-3a,DG- (号1所以.- +8-.1-5a2-6a+号 3 2 2 D取得最小值，为一是] 3.解(1)设向量a与b的夹角为0， la=√2，b=4, .a·(b-a)=a·b-a2=|al|bcos0-a2 =4√2cos0-2=2, os0=2, 2 :00≤…0=子 (2),|1a-b=2√2，由(1)知a·b=4, 2a2-2a·b+b2=22-81+16=8, 即2-41十4=0，解得1=2. 4.解(1)如图所示，建立 以，点A为原点的平面直 角坐标系， 则D(0,6),E(3,0), A(0,0),F(6,2), .DE=(3,-6),AF (6,2), 由于∠EMF就是DE,AF的夹角， ∴，cos∠EMF-cos(DE,AF) 18-12 √W9+36·√36+4 101 ·∠EMF的余弦值为 0 (2)AM=AAF, 则AM=(6入，2入)，则M(6入，2λ)， 又D,ME三点共线， 则设DM-tDE,0<1<1, 即(6入，2入-6)=1(3，-6)， 则6A-31, {8贸-8-，解得A-号， 489 15.D[如图，以O为坐标 原点，BE所在直线为x 轴，AF的垂直平分线 所在直线为y轴，建立 平面直角坐标系，设点 P(cos0,sin0)(0≤0 2π)， 由题意知，E(2,0),O(0,0), 则PE=(2-cos0,-sin0),OE=(2,0), 所以PE·OE=4-2cos0, 当cos0=1,即0=0时，PE·OE取最小 值2.门 16.ACD[A.恒成立；B.λ(a☒b)=Aa· bsin(a,b〉，(aa)☒b=aa·bsin(a, b》,当A0时，λ(a☒b)=(a)☒b不成立： C.a=b,则sin(ab〉=0，故a☒b=0恒成 立：D.a=b,且入>0，则a十b=(1十入)b, (a+b)☒c=|(1+a)|·|b|·|c|sin(b, c〉，(a☒c)+(b&c)=|b|·|clsin(b,c〉+ |b·|clsin(b,c>=|1+a||b|·|clsin(b c〉，故(a十b)☒c=(ac)+(b☒c)恒成立. 故选A、C、D. 课时分层检测（四十） 1.B[因为AC-(1,2),BD=(-4,2), 所以AC·BD=1×(一4)+2×2=0， 则AC⊥BD, 又|AC1=√12+22=√5， 1BD|=√(-4)2+22=2√5 所以四边形ABCD的面积 s-AC1励-×5×25=5.门 2.C[如图所示，设线段 BC的中点为D,则AB+ AC=2 AD,ACe M AB2=2AM·BC, ∴.(AC+AB)·(AC AB)=2AM·BC,.,BC·(AB+AC-2AMD= O,.BC·MD=0,即MD⊥BC且平分BC. 因此动点M的轨远必经过△ABC的外心， 故选C.] 3.B[因为C为AB的中点， 所以PA+PB=2PC. 从而|PA+PB=|2PC1=2PC, 可知|PC|的最小值为点C到直线y=x十3 的距离，d=1-1+332 2 所以i+-2x3-8反.] 4.C P(x,y),Q(m,n),QP=(x-m,y- n)=(1,-3),∴.m=x-1,n=y十3，Q(x 1,y十3)在L:x十2y十1=0上，∴.，点P的轨 迹E的方程为x十2y十6=0，E上的，点到l 的距离d=6-1-5,故选C.] 5 5.B[已知a,b是单位向量， a+b≥盟， 3 得(m+b)2≥，则2+2(a·b)x十 ≥0… 依题意，不等式r2+2(a·b)x十≥0对 任意实数x恒成立，则△=4(a·b)2 10 1 解得-≤ab, a·b 而cosa,b>=Ta6=a·b, 则-≤c0sa,b≤号 又0≤(a,b》≤π，函数y=cosx在[0，π]上 单润道浅，所以音<a,6<号。 所以向量a,b的夹角的取值范国为[子 ] 6.AC[由题可知，|OP1=√osa十sin'a 1,|OP2|=√cos2B+(-sin3)2=1,所以 OP1-0丽1，故A正确：取a=千，则 P(号)取-要，则B( 号)则A正≠A正，此B错送：调为 OA·OP3=cos(a+3),OP1·OP2= eos aeos B-sin asin3=cos(a+B),所以 QA·OP=OP1·OP2,故C正确；因为QA· OP]=cos a,OP2OP3=cos Bcos (a+8)- sin &sin(a十B)=cos(a+2g),取a=T,89- 天则·0丽-号0m·0- 9,所以0.0丽≠0m: OP,故D错误.故选A,C.] 7.ACD[如图，以线段AB 所在直线为x轴，线段 AB的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系， 设P(2cos0,2sin0),0∈ 0,π]， 又A(-2,0),B(2,0),E (2,2),D(-2,4),C(2,4), 则AP=(2cos0+2,2sin0),AD=(0,4), AE=(4,2), AP-AAD+AE 即(2cos0+2,2sin0)=a(0,4)十(4,2) .2cos0+2=44, {2sin0=4λ+24， 解得o04 2 a-2sin o-cos0-1 ,0∈[0，π]，则-1≤cos0≤1,0≤sin0≤1， 4=eos9+1∈[0,1]， 2 A-2sin0-cos0-1-5sin(0-9)-1 4 其中sin9= 厅c0s9-后9为锐角， 当sin(0-9)=1,即0=受十g时， 入取最大值5，故A正确，B错误： 4 AP.AD=(2cos0+2,2sin0)·(0,4)= 8sin0∈[0,8]，故C正确： AP.AE=(2cos0+2,2sin0)·(4,2) 4sin0+8cos0+8=4√5sin(0+a)+8, 2 其中sina= cosa= 万0为锐角， 当sin(0叶a)-1,即0-受-a时，A,A应 取最大值8十4√5，故D正确.] 8.3[|a=|a-b+ba-b|+b|=1+ 2=3,当a一b与b方向相同时，等号成立.] [建立如图所示的平面直角坐标系， 9.一3 则B(-1,0),C(1,0),A(0,3), B MO C 则BC=(2,0), CA=(-15), 所以c的共航复数为-合i,故D 2 错误.] 设BM=tBC(0≤1) !9.AB[对于选项A,由共轭复数的定义知 则CN=tCA(0≤t1). OA|=|OB1,A正确；对于选项B,设之 则M(2t-1,0),N(1-t√3t), a十bi(a,b∈R),则之=a-bi,ie=-b+ai, AM=(21-1,-5),MN=(2-31,W51), A(a,b),B(a.-6),C(-6,a)...OA. .AM.MN=(2t-1)×(2-3t)+(-√3)×1 OC=一ab十ab=0,B正确：对于选项C, AC=(-b-a,a-b),BC=(-b-a,a+b), (3t)=-62+41-2= 3 ∴.|AC=√2(a2+b2),|BC=√J2(a+b)2,C 当1=子时，A·M不取得最大值一 4 错误：对于选项D,OB=(a,-一b),显然OB与 AC不一定共线，D错误.故选A、B.] 10.[由O成-AOi+(1-A0i得点N在 ！10.ABD[设1=x+yi(x,y∈R),2=a+bi 直线AB上，又因为x=入x1十(1-入)x2, (a,b∈R),则1=x-yi, 对于A,心1十1=2x∈R,故A正确： 所以点M与，点N的横坐标相等，由f(x) x2-2.x(x∈[1,2])得A(1,-1),B(2,0),则 对于B.|1=√2+y,|1=√2+， .1=名1，故B正确； 直线AB的方程为y=x一2，则|MN|= 对于C,当1=3十4i,2=5时，名1= x-2-(x2-2x)|=|-x2+3.x-2|= 2|=5,但是1≠士2，故C错误： -（-)+ ,x∈[1,2]，所以当 对于D,21=(a十i)(x-i)=(a.x十by)+(bu -ay)i,=v(ax+by)2+(bx-ay)2 x=号时，M|取得最大值子，又因为 =J(x2+y2)(a2+b2),21=(a+bi) (x+yi) M≤K恒成立，所以K≥1 ,即K的 =(a.x-by)+(bx+ay)i,|21| 最小值为十.] -√(ax-by)2+(bx+ay)2 =√2+y2)(a2十2)，.2=2， 故D正确， 课时分层检测（四十一） r1+ai_(1+ai)(2+i) 1.C[因为(a+i)(1-ai)=2a+(1-a2)i=2, 11.一2 2 L2-i (2-i)(2+i) 所以2a=2且1-a2=0,解得a=1.] 20254×506+1 2+i计-号+14.周为 5 5 2.C[由题意，得之= 2-i1 2-12六 为实赞，所以1+2=0，所以a=一合.所 1 5 i(2+i) 2 (2-i)(2+iD= +，故选C] - 以 2-1 又等郎复数”的实部和虚部相等，复数：12.2[复数的运算解法一设2=1十1 3.D[,x=(2+ai)i=-a+2i, 为“等部复数”， 6∈R且≠0，则+是-1+份+平 2 一a=2,解得a=-2, 1+i+201-) 2 =2十2i,∴，x=2-2i,即x十ai=2-4i, 1+2 》=1十12十（b一1+2)i, ∴，复数之十ai在复平面内对应的，点是(2， 26 一4)，位于第四象限.] =0,得b2=1, 1.D「复数的四则运算十共轭复数因为之 因为m∈R,所以b-1十正 2 √②i,所以=一√2，之·=2，故选D.] 所以m=1+1中6=2， 5.D[由1-i是关于x的方程x2一mx十n= 0的一个根， 解法二由十2=m得2一m心十2=0， 则1十i是关于x的方程x2一nx十n=0的 一个根， 解得之=m士√8西，依题意得告-1， 则n=1-i+1+i=2,n=(1-i)×(1+i)=2, 2 解得m=2.] 即m=2,n=2,则m十n=4.] 1 6.C[由题意得之=2十i,则代入原式得 13. 2 i[设之=a+bi(a,b∈R),则 2+i-a(2-i)+b=i, 之+2=(a十2)+bi,之+2i=a+(2-b)i,因 即(2-2a+b)+(1+a)i=i, 为复数之十2与：十2i对应的点关于y轴 所以22atb=0·解得a=0 对称，所以a十2十a=0且b=2-b,解得 (1+a=1, b=-2, 所以a一b=2.] a=-16=1,则=-1+i= 7.D[复数之满足之=x十yi(x,y∈R) 则|x-1+(y+1)i|=2,.(x-1)2+ 中-D=-- -1-1 2 (y+1)2=4.] &.D[对于A,e0i=cas2r+isin2r= 2i] 3 2 14.2√2+1[设z=x+yi,其中x,y∈R, 号时立的点位于第二象限，故A正喷， 由x|=1,可得x2+y2=1, 根据复数之的儿何意义可得复数之表示以 原点O为圆心，1为半径的单位圆， 对于B,ei=cos x+isin π =i,为纯虚 则|x-2-2il=1(x-2)+(y-2)i= 数，故B正确： √(x-2)2+(y-2)2,可得|x-2-2i表 e 对于C, cosπ+isinπ 示单位圆上的点到点P(2,2)的距离， √3+i √/+i 因为PO=2√2， -1 所以x-2-2i的最大值为P0十r=2√2+1.] 5+= + !15.B[根据题意，得z=|(2一)一忽≤ 22一z|+2=|1-1|+1≤|1|+1+1 ()+() =，故C正确 =3， 当名1=一1,2=1，之=3时，之1-2= π√3 对于D,ei=cos+isin x1-1|=|2一|=2，此时|=3， 2 所以zmax=3.] 490 16.2√10-4[因为复数1，心2对应的点分： 所以an+1-2an=a2+1-2an=(an-1)2≥0,1 所以按规则解开九连环最少需要移动的次 别为Z1,Z2, 所以an十1≥2an,故A正确. 数为=421-341.] 且1=2=2，则可确定点Z1,Z2在： 对于B,由于an+1≥2an,得an+1>an, 3 以)为圆心，2为半径的圆上， 所以{an}为递增数列， 13.解(1)当n=1时，a4-1,所以a=2: 又Z1Z2=4,所以Z1Z2为圆的直径，即 由a1=1,y=x十在[1，+o∞)上单调递！ 当=3时，a3a5=1,所以a5=2. 21,Z2关于原点对称，所以O21=-OZ2, (2)当n=2时，a2a4=1,所以a4=2: 因为AZ1=A0+OZ1,BZ2=B0+OZ2, 增，可得+中}为递增数列，故B正确 由anan十2=1得an+2an十4=1，所以an= 所以AZ:BZ=(A0+OZ)·(B0+ 对于C,由an+1=a号十1，a1=1, an+4,故数列{an}是以4为周期的周期数 OZ2)=A0·B0+A0·OZ2+OZ,·B0 得a2=2,a3=5, 列，所以S224=506(a1十a2十a3+a4)- +OZ1·OZ, 所以a2-4a1=-2,a3-4a2=-3, 所以数列{an+1一4an}不是递增数列，故C: 506×(2+2+号+2-2530. =(1,0)·(0,-3)-A0·0Z+02 错误. 14.解(1)，2Sn=(n+1)am,.2Sn+1= BO+2X2Xcos(-)--4+OZ1.BA, 对于D,因为an≥1， (n十2)an+1, 又BA=√-1)2+(-3-√10,1021= 所以a+1一a号=l≤an+1一an, …2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an, 即an+1=(n十1)aa, 2,OZ,BA>∈[0，元J 所以aa+1-(an+1-an)+(an一an-1)+…+! (a3-a2)+(a2-a1)+a1≥n+1, 则cos(OZ1,BA)∈[-1,1]， 所以an≥n,所以am+1=a员十1≥n2十1， 所以OZ1·BA-|OZ,1IBA1cos(OZ1, 则an≥(n-1)2+1-n2-2n+2,故D .an=n(n∈N"). BA)-2√1cos(OZ1,BA>, 正确.] (2)bn=3"-入n2, 即OZ,·BA的最大值为2√10， [因为a+1-a,=,十+打 .bn+1-bn=3+1-a(n十1)2-(30-m2) 8.ABD 2 =2·3"-A(21+1). 所以AZ1·BZ2的最大值为2√10一4.] ,数列{bn}为递增数列， 课时分层检测（四十二） an= a十1一a>0,即an1>a,所以 ∴.2·3m-A(21+1)>0, 2 2·3n 1A[复列为宁号号号号…，其分# an≥a1=1,故D正确；因为an+1>au,所以 即令一泽 数列{an}为递增数列，可得a2023>a2022, 为2，分子可表示为1十5(i一1)=51-4， 故A正确；对于选项B,因为an+1 则-2·3+.2a+1-6m+3>1. Cn 2n+3 2·3n21+3 因此通项公式可能为a,-"2,] am+√a号+ ,则2a+1-an=√a十1，两边 ∴，{cn}为递增数列，A<c1=2, 即入的取值范围为（一∞，2）. 2.D[-1+少-2=1+= 平方整理得4a品+1-1=4a+1an,故B正15.D[:bn+2=bn+1-bn,b1=1,b2=-2, 2 确：对于选项C,因为数列{an}为递增数列： .∴.b3=b2-b1=-2-1=-3,b4=b3 2a4=1+1)4 3,a5=1+-10_2 a3 3] 且an≥1>0，则{二}为递减数列，所以 b2= -3-(-2)=-1,b5=b4-b -1-(-3)=2,b6=b5-b4=2-(-1)= 3.D[由anam=an+m,a2=2,得a20= 1 a2a18=a2a2a16-…=ag°=210.故选D.] 15)为递减数列，不存在最小值， 3,b1=b6-b=3-2=1..{bn}是周期为 {a+} 6的周期数列，且S6=1-2-3-1十2十 4.D[设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn= 故C错误， 3=0..S2024=S337×6+2=-1.] n ,当n≥2时a,T。启n”D] 9.7[由题意得，an=-2n2+29n+3,其对应16.an=n[a+a十…十a=S%, ① 的二次函数为y=-2x2十29x+3, 当n=1时，a1=1； 5.A[因为am·an+2=am+1(n∈N"), 函数y=一2x2十29x+3的图象开口向下，1 当n≥2时，a十a十…十a-1 由a1=1,a2=2,得a3=2, =S号-1=(Sn-an)2, ② 由a2=2,a3=2,得a4=1, 对称轴为x=29 4 ①-②得a=S号-（Su-an)2=an(2Sn 由a3=2,a4-1,得a5=立， 因为n为正整数， aa）, 所以当n=7时，an取得最大值.] 因为各项均不为0，所以a品=2Sn一an,③ 1 1 由a4=1a5=立，得a6=立： 10.174n一3[从阴影相连的正方形个数依 a品-1=2Sa-1-aa-1(n≥2)， ④ 次为1,5,9,13看出，从第2项起每一项比 1 1 它的前一项多4，故下一阴影相连的正方 ③-④得(an十au-1)(an-aa-1-l)=0(n 由a5=之，a6=交，得a1=1, 形个数为13+4=17，且a2=5=a1十4， ≥2)， 因为an十an-1>0,所以an一an-1=1(n 由a6=2,a1=1,得ag=2, a3-9=a1+2X4,a4=13-a1+3X4,a5 =17=a1十4×4，根据上述规律am=a1+ 2), 由此推理可得数列{am}是周期为6的数列， 所以an=1十一1=n. (n-1)×4=1+(1-1)×4=41-3.所以 所以2024=a2=2.] 又a1=1适合上式，所以an=n.] 通项公式an=41一3.门] 6.C[由an+1-an=2,可得an=a1十(a2- 111.21-113[,Sn=2-10n, 课时分层检测（四十三） a1)+(ag-a2)+…+(an-ag-1)=28+ .当n>2时，an=Sn-Sa-1=21-11; :1.B[设公差为d,因为a3十ag=2a6=30,所 2+4+…+2(n-1)=2-n+28,2= 当n=1时，a1=S1=一9也适合上式. ∴.an=2n-11(n∈N"). 以a6=15,从而d=ag-a4 =2.] 6-4 n+2-1,设f(x)-x+28,可知f(x)在 记f（n)=iam=n(21-11)=2i2-11n, !2.D[等差数列的通项公式、前n项和公式 此函数图象的对称轴为直线”一，但 十等差中项解法一设等差数列{am}的 (0,2√7]上单调递减，在(2√7，十∞)上单 增，又nN,且号-<告-号 n∈N", 公送为d,由8=9a+91=9a,十d》 .当n=3时，f(n)取最小值， 1 故选C.] 数列{n}中数值最小的项是第3项.] =1,得a1+4d=9,则ag十a7=a1+2d+ 7.ABD[对于A,法一 由=an 、1 12.341[由题意，an=an-2十2m-1, an a1+6d-2a1+8d=2(a,+4d)-号，故 故ag-a1=22, 得an+1=a0十1≥1. 选D. a5-a3=24, 又a-1,所以an≥1， 解法二因为{a}为等差数列，所以S9 卡卡 所以=a+a 一2 an ≥2aa a2n1-a2m-3=22m-2, 9〔a1+a0-9a5=1,得a=号，则a3十a7 2 以上各式相加，可得 所以a+1≥2a,当且仅当a.=a a2n-1一a1=22十24+…十22m-2=41+1 =2a=号D.] 42+…+4-1, !3.A[设等差数列{am}的首项为a1,公差 即an=1时取等号，故A正确. 法=由。-a+ 即-1=1十4十42+…+41=1，-4 则21-大0-6. 为d, 4-1 所以an+1=a员十1， 3 {3a+3x3-D4--27. 2 491课时分层检测（四十） 一、单项选择题 1.在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(-4,2), 则四边形ABCD的面积S等于 A. B.5 C.10 D.20 2.(2025·包头模拟)在△ABC中，设AC2-AB2 2AM.BC,那么动点M的轨迹必经过△ABC的 A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 3.已知圆C的方程为(x一1)2+(y-1)2=2,点P 在直线y=x十3上，线段AB为圆C的直径，则 |PA十PB的最小值为 ( A.3 B.3√2 C.4√2 D.3 4.(2024·九省联考)已知Q为直线l:x+2y十1= 0上的动点，点P满足QP=(1,一3)，记P的轨 迹为E,则 () A.E是一个半径为√5的圆 B.E是一条与l相交的直线 C.E上的点到1的距离均为√5 D.E是两条平行直线 5.(2024·沈阳模拟)已知单位向量a,b,若对任意 实数a十b1≥恒成立，则向量a6的夹角 的取值范围为 A[] B[,] c[] D[肾] 3 平面向量中的综合问题 二、多项选择题 6.(2025·苏州模拟)已知O为坐标原点，点 P (cos a,sin a),P2 (cos B,-sin B),P3 (cos (a+ β)，sin(a十))，A(1,0),则 A.IOP=OP2 B.AP=AP, C.OA·OP3=OP1·OP2 D.OA·OP1=OP2·OP3 7.(2024·六安模拟)正方形ABCD D 的边长为4，E是BC中点，如图， 点P是以AB为直径的半圆上任 意一点，AP=AAD十4AE,则 A.:最大值为1 B.入最大值为2 C.AP·AD最大值是8 D.AP·AE最大值是8十4√5 三、填空题 8.已知向量a,b,|b=2,a-b|=1,则a的最大 值为 9.(2025·济宁模拟)已知在边长为2的正三角形 ABC中，M,N分别为边BC,AC上的动点，且 CN=BM,则AM·MN的最大值为 10.(2025·黄冈模拟)定义在[x1,x2]上的函数y f(x)的图象为C,M是C上任意一点，O为坐标原 点，设向量OA=(x1,f(x),OB=(x2,f(x2), OM=(xy),且实数入满足x=入1十(1一入)x2,此 时向量ON=OA+(1-入)OB.若|MN|≤K 恒成立，则称函数y=f(x)在[x1,x2]上可在标 准K下线性近似，其中K是一个确定的实数 已知函数f(x)=x2-2x在[1,2]上可在标准K 下线性近似，那么K的最小值是 课时分层检测（四十一） 复数 …0知识过关0… A.e对应的点位于第二象限 B.ei为纯虚数 一、单项选择题 1.(2025·惠州调研)若复数(a十i)(1-ai)=2,a∈R, C.。二的模为号 3+i 则a= ( A.-2 B.-1 C.1 D.2 D.c的共轭复数为号一 2.(2025·潍坊统考)若复数之满足(2-i)z=2025 二、多项选择题 :9.(2025·南京模拟)已知之为复数，设之，之，这在复 则之= ( ) 平面上对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点， A日号 则 () c-+号 A.OA=OB B.OA⊥O元 C.IACI=BCI D.OB∥AC 3.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数10.已知复数12,1为1的共轭复数，则下列结 为“等部复数”，若复数之=(2十ai)i(其中a∈R) 论中一定成立的是 ( 为“等部复数”，则复数乏十ai在复平面内对应的 A.1十1为实数 点在 ( ) B.之1=|1 A.第一象限 B.第二象限 C.若|1|=|之2，则1=士2 C.第三象限 D.第四象限 D.|2之1|=之2之1 4.(2024·全国甲卷·文)设之=√2i,则之·之= 三、填空题 A.-2 B.√2 11.(2025·意州调研)已知a∈R,若为实数， C.-√2 D.2 则a= 1-ai 5.已知，n为实数，1-i1(i为虚数单位)是关于x12.(2024·上海卷)已知虚数x,其实部为1，且：十 2-i 的方程x2一mx十n=0的一个根，则m十n等于 ( ) 2=m(m∈R),则实数m为 A.0 B.1 :13.(2025·运城质检)设之是复数之的共轭复数， C.2 D.4 在复平面内，复数之+2与之十2对应的点关于 6.(2025·辽宁名校模拟)已知复数之=2-i,且之- a之十b=i,其中a,b为实数，则a一b= ( y轴对称，则一 A.-2 B.0 14.已知|之=1，则|之-2-2i(i为虚数单位)的最 C.2 D.3 大值为 7.(2024·沧州模拟)设复数之满足之一1十i=2,之 在复平面内对应的点为(x,y),则 0 ( ) 能力拓展0… A.(x+1)2+(y-1)2=4 15.已知复数1,2和之满足|1|=之2=1，若之1 B.(x十1)2+(y+1)2=4 之2|=|1一1|=之2一|，则|之的最大值为 C.(x-1)2+(y-1)2=4 () D.(x-1)2+(y+1)2=4 A.2√3 B.3 8.欧拉公式ei=cosx十isin x由瑞士著名数学家： 欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复 C.3 D.1 数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复16.在复平面内，已知点A(-1,0),B(0,3),复数 变函数论占有非常重要的地位，被誉为数学中的： 之1，之2对应的点分别为Z1,Z2,且满足|之1|= 天桥.依据欧拉公式，下列选项中不正确的是 |2|=2,Z1Z2=4,则AZ1·BZ2的最大值 ( 为 302