课时分层检测(30)简单的三角恒等变换-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

[由题意可得OA=(sina,cosa),OB= 解得an。=子（负值舍去). (o(+看）m(+看)月 周为a∈(0，受)所以tana=号， 所以|OA1=√Sin2a+cos2a=1, 同理可得OB1=1, 所以a= 吾，所以cos（a+吾）=c0s子 则cos∠AOB=cos(OA,Oi)= OA.OB IOAlOB /1-cos 2a :7.BC[A中，√+os2a 2sin a 2cos a √/tan2a=|tana: m(2a+）-o- B中，因为a∈(0，π)， 所以原式一√ 1-cos 2a. a十6=-6十2kπ(k∈Z)或2at 2 cos a cos a 吾-晋+2xe tan a; C中， 1-cos 2a 2sina =tan a; 解得a=一吾十kx(k∈Z)或a-受十kx sin 2a 2sin acos a sin a (k∈Z).] D中，1-cos2a sin a 2sin a 2sin2a 故 选BC.] 课时分层检测（三十） 8CD[因为)=sinin(r+子)- 1.D[因为a为锐角，所以sin乞 = 1-cos a 3-5 /W5-1)2 2 =8 16 1 2 sin xcos- ，所以 ×1g2+9n2x- 2 2 2.D[因为tana= os(+) :② √ cosa一=1-tana1-立 1 =m(2-) 2(cos a-sin a) 所以-≤f(x)≤2，f(x)的值不可能是！ 22.] 一2和2.] 3c[由n-9m3n为 10 [:cos(2a+23)=1-2sin2(a+B)= 复角，可知m。-5m月=k 1 cos (cos acos -sin asin 5 0Ba<吾0a+ 35×沿-9又0<a+g<, 10 5 ma+9-号ia+g=吾 故a+g-平] 4.B[依题意，tan3=1,则tana=tan[(a- 10.(答案不唯一）[由si血a tan (a-B)+tan 8 sin(a+) B十]=1=tan(a-B)·tanB cos a =2得， 2,所以第一次的“晷影长”是“表高”的 o(a+) 2倍.] 5.B[因为tana=√2， si o(e+若）十cosi(a+吾 所以n3a-对nr2a=inCa+2@ sin a sin a -sin a in(+)or(+） sin acos 2acos asin 2asin sin a 2,所以sm(2a+晋)-n(2a+音)所 cos 2a+2cos2 a-sin2a -cos2a-sin2a+2cos2a-sin2a 以(2a+晋)十(2a+号）-x+2kx,k∈ -3cos2 a-2sin2 a -3cos2a-2sin2a 1,即a-吾+经k∈Z时，等式可成立.] cos2 a+sin2 a 3-2tan2c=3-2X(②)2 3 耳1cos2aD 1-cos 2a 1+tan2a 1+(√2)2 8 4sin 2a 6.C[由，cos2a=3 w动 1+tan2a 8' 2sin2a 3(1+tan2a)-8x cos"a-sin2 a na=士tana=g2.] 8sin acos a 4cos a sin2 a+cos a -8× 2 10 -a,所以3sina-sinB=3sina π 3(1+tan2 a)2=8-8tan2 a, 479- (受-a）-3sina-wsa-Vosn(a p)=√0，其中sin9= 10 10 C0s9= 310 0,所以a-9-受+2kx,k∈乙，所以 a=交+9+2kr,k∈Z,所以sina sin(受+9+2x）=eosg-3E,k∈z 10 因为sinB=3sina-√10-- 0,所以 10 cos2p-1-2smg-1-号-台J 13.解(1)原式-5-4sim201-2sim220 2sin 20sin 480 _3-4sin 20'cos 40 2sin20°sin480° _2sin(20°+40)-4sin20°cos40 2sin20°sin480 2sin(40°-20) 2sin 20%sin 480 sin 480 sin 120 =23 3· (2)原式 =(cos10°-3cos809(cos10°+3cos809 c0s80°cos210°cos20° _(cos10°-√3sim10)(cos10+3sin10) cos280°cos210°cos20 4sin20°sin40 sin210cos210cos 20 -32sin220°cos20° =32 sin220°cos20° 14.解(1)证明法一由条件sin(a一3)= 2,sin(a+=3,得2sin(a-3)=3sin(a十 , p2sin acos B-2cos asin B-3sin acos B+ 3cos asin B, 整理得sin acos3=-5 cos asin3, 即tana--5tanB,tana十5tan3-0得证， 法二由条件sin(a-)=分，in(a十 、1 3· 即sin acos月-cos asin=,① sin gcos 3+cos asin,2 由①②，得sin acos3= 12 cos asin 8- 1 一12 从而可得tana=-5tan3,tana十5tan3 0得证. tana-tan3」 (2)由于tan(a一)=1干tan ctan tan a -tan 8=tan (a-B)(1+tan atan B), 所以tan(a二)-tana十tan足 tan2 atan(a-B) _tan(a-8)-tan(a-B)(1+tan atan B) tan2 atan(a-B) =一tan(a-g)·tan atang tan atan(a-B) tan B 1 tan a 5. 15.Df)-1-cos 21-cos(2r+2a) 2 2 1+2-号 2 2[cos2x(1+ cos 2a+cos 23)-sin 2x(sin 2a+sin 28)], 由题意得c0s2a十cos28--1, sin 2a+sin 28-0, 两式平方相加可得c0s(2a一28)=-， 所以2a-23=2经+2kx或2a-23=-2+ 3 3 2kπ.k∈Z 当a=子，8-时，2a-23=-要，符合 3 3 题意，故D正确，A,B,C错误.] 16.B[由sin(x+y)=2sin(x-y)得， sin rcos y+cos xsin y=2sin xcos y- 2 cos xsin y,则tanx=3tany,所以tan(x 一y）=tanx-tany」 2tan y 1十tan ctan y 1+3tan2y 2一≤5，当且仅当tany=3 ta 3 时等号成立，由于f(x)=tanx在x∈0， 乏)上单调递增，又xy(0,受)则： 一y的最大值为.] 课时分层检测（三十一） 1.A[三角函数的周期性对于A,y=sinx十 cosx=√2sin(x十不)，其最小正周期为2元， A正痛；对于By=sinr0sx=号sin2x 其最小正周期为π，B错误；对于C,y sin2x十cos2x=1,为常值函数，不存在最小 正周期，C错误；对于D,y=sin2x-cos2x= 一c0s2x,其最小正周期为π，D错误.故 选A.] 2.D[fx)=im(2+吾)-是，由2x+ 吾∈[-+2x受+2x]∈，解得 e[-子+m,吾+x]k∈,当=0 时[-晋，音]所以函数f(x)在 [吾音]上单调运增.又(0晋)日 [学]选D 3Ao=f(告）=20 b-f(）-2cos号， c-f()-2co 5π 因为y=cosx在[0，π]上单调递减， 又心<< <π， 所以a>b>c.] 4.B[因为函数f(x)的最小正周期为π， 由x-爱得w-1.所以fx)-2in(2x ) f(百)-l,故直线x=否不是f(x)图象 的对称轴，点（否0）也不是f(x)图象的 对称中心； f(子)-2，故直线x=号是f(x)因象的 对称轴，点（子，0）不是f代x)图象的对称 中心.故选B] 5.D[,A,B是锐角三角形的两个内角， A+B>受0<受-B<A<受，y= mx在(0，受）上单调递增，0< m(受-B）-cosB<inA<1,又函数 f(x)=cosx在[0,1上单调递减，∴.f(cosB)> f(sin A),同理f(cosA)>f(sinB),∴.C错，D 对，，A,B的大小关系不确定，∴，A、B项不确 定.故选D.] 6.C[由函数的最小正周期T满足之 T<π， 得受<<不，解得2<<4， 又因为w∈N”,所以w=3, 所以f(x)=sin(3x+于）+b, 又函数y=f(x)的最小值为1，所以b=2, 所以f(x)=sin3x+于)）+2， 令3x+至 =kπ，k∈Z,解得x= k∈Z, 所以对称中心为（经-吾2∈2），只 有C符合题意(k=2).] 7.ACD ['f (x)=sin'x-cosx=sin2x- cos2x=一cos2x,∴.函数f(x)的最小正周 、 期T=π，f(x)的最大值为1.f(一x)= -cos(-2x)=-cos2x=f(x),·f(x)为 偶函数，其图象关于y轴对称.”y=cos2x在 [斧]上单减)=-s2x在 [子，受]上单调递增故选ACD] 8.CD[因为函数f(x)=sin(wx十p)w>0, 0<g<受)在区间（吾，）上单调， 所以·≥-吾-受所以0< w2, 周为f()-f(等)-1， 所以sm(+9）-si加(+）-1, 所以吾十9=+21x, 25十g-受+2616ez. 故号w=元十2(kg-k1)元， 所以w=2+4(k2-k1),k2,k1∈Z, 因为0<w≤2，k2一k1∈Z,所以w=2, 则9=吾+21x1∈Z, 又0<<受，所以9=吾] 9.2[辅助角公式十三角函数的最值由题！ 意知f(x)-sinx-V5cosx=2sinx- )当x∈[0，]时，x-号∈[-受， 1,m(-晋）∈[-9.1，于是 f(x)∈[-，2]，故f(x)在[0，x]上的最 大值为2.] 10.c0s3x(答案不唯一)[因为对于任意的 xR,都有f（号--f(受+x所 以函数的图象关于直线x=号对称，又由 于函数为偶函数，所以函数的解析式可以为 f(x)=cos3x.因为f(-x)=cos(-3.x)= -480 cos3x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.令 3x=kx,k∈Z,所以x=红，k∈Z,所以函数 3 f代)的因象关于直线x=受对稀.] .D∈[0受]时，3-f)取位范因 [-2,1),从而f(x2十0)取值范国-1， 号）从而m(十)取值范国【-1 一号】将造项代入险证知D符合门 2.16 ['sin x+cos y- sin[-1. 1], ∴.sinx 4 -cosy∈[-1,1]， cosy∈ [] 351 即o[子小 'sin r-sin2y=1 -cos y-(1-cos2y) 利用二次函数的性质知，当cosy= 时，sinx一sim2y取最大值，(sinx 3.解(1)因为函数f(x)=之sin2x 1 2x-9-m(2:-）9, 所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值 为2 2 (2)当x [吾]*0<2x (x)单调递增； 当受≤2红-骨 ≤元，即 f(x)单调递减. 上可知，)在[后]上调增， 在[侣号]上单销递浅 4解(1)函数f(x)=asim(2x-若) 2os(r+吾) -asn(2x-吾)-co[(2z-）+ ]1 =an(2x）+sm(2红-看）-1 =(a+1sin(2x-吾）-1. 若选择条件①f(x)的最大值为1， 则a十1=2，解得a=1, 所以f)-2sn(-吾）-1 则函教f:)的最小正周期T=经=元课时分层检测（三十） …0知识过关0。 一、单项选择题 1.(2023·新高考全国Ⅱ)已知a为锐角，cosa= 1+5,则sin号等于 ( 4 Ag B.-1+5 8 C.3-5 D.-1+5 4 4 2.(2025·武汉质检)已知tana= 则 1 cos a 三 cos (a+) A.-2√2 B.-√2 C.2 D.2√2 3.(2025·安阳模拟)已知锐角a,3满足sina= √5 5 osg=3y,则a十g= ( ) 10 A. R或彩 c晋 D.2次x+年(k∈0） 4.(2025·西安模拟)我国古代天文学家僧一行在 《太衍历》中建立了晷影长1与太阳天顶距(0°≤ ≤180)的对应数表，这是世界上较早的一张正切 函数表.根据三角学知识可知，晷影长1等于表高 h与太阳天顶距0正切值的乘积，即l=htan0.对 同一“表高”两次测量，第一次和第二次的太阳天 顶距分别为e,8.且an(a一B)=子，若第二次的 “晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是 “表高”的 () A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 5.已知tana=√2，则sin3a -sin2a等于 ( sin a A.- 1 2 C. 1 D.2 28 简单的三角恒等变换 6(025·为名有袋联别)若a(0,)甲品。 名则os(e+若) B号 c D.0 二、多项选择题 7.下列各式与tana相等的是 1-cos 2a A.+cos 2a B. 1+cos(元+2a.1(a∈(0，x) 2 cos a C.1-cos 2a sin 2a sin a D.1-cos 2a 8.已知f(x)=(+)-子，则f(x)的值 不可能是 A-司 B. 1 C.-2 D.2 三、填空题 9.已知0<B<&<5,若a-B=吾，cos(2a+29)= 合则0a一 10.(2025·南宁模拟)写出一个使等式sinQ sim(o+》 十cosa =2成立的a的值为 co(a+君) 11.喷泉是流动的艺术，美妙绝伦 的喷泉给人以无限的享受.如 图所示，若不考虑空气阻力， D 当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度？喷 向空气中时，水柱在水平方向上移动的距离D= n2,能够达到的最高高度H三 cos2a)(其中g为重力加速度).若tana=5, 2 则H与D的比值为 12.(2022·浙江高考13题)若3sina-sinB=0,14.(2025·菏泽模拟)已知sin(a-B)=2,sin(a+ a十B=受则sina= cos 28= 四、解答题 (1)证明：tana+5tanB=0; 13.化简并求值. (1)5-4sin20°+8sin320 (2)计算tan(a-》-tan atan的f值. tan2atan(a-β) 2sin20°sin480° 1 (2) (c0s280°0s210)·cos20: 0 能力拓展0 15.已知f(x)=sin2x+sin2(.x+a)+sin2(x+3), 其中a,3为参数，若对Hx∈R,f(x)恒为定值， 则下列结论中正确的是 () A,满足题意的一组a,B可以是a=晋，B=若 B.a-B=π C.a十B=元 D满足题意的一组e,9可以是g=号8= 16.(2025·烟台模拟)已知c,y∈(0，)sin(x十y) =2sin(x一y),则x一y的最大值为 A号 B秀 c D 284