第4章 考点练23 三角恒等变换-【红对勾】2026年高考数学一轮复习金卷

考点练23 三角恒等变换 基础巩固练 答案：184页 一、单项选择题 1.计算：sin16°cos134°+sin74°sin46°= A日 B-月 C⑤ D.3 2 2.在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B,则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3已知1amle+若）=2则cos2a-） A号 c- D.12 13 4.(2024·会国甲卷)已知cosin。-5,则1ane+买）- cos a -sin a ( A.2√3+1 B.2W3-1 C .2 D.1-√3 5.(2024·黑龙江哈尔滨模)拟已知sin asin+合 cos a sin π 3-a 则an2a+) ( ) A.2-√3 B.-2-5C.2+3 D.-2+√3 6.已知cosa-cos月=号sina十sing=专，则eosa+月)的值为 1 A-号 a号 c-8 59 二、多项选择题 7.下列计算中正确的是 ( A.tan15°+1 "tan15°-1 =-√5 B.cos'22.5°-sin'2.5°=2 2 C.sin15°sin45°sin75°= √2 8 D.tan37°+tan23°+√3tan37°tan23°=1 8.已知cos(a+8)=- 号c0s2a=一子其中a8为锐角，则 ( A.sin 2a B.cos(a-B)=25 5 C.cos a cos B= 3 D.tan a tan B=3 10 三、填空题 g在△ABC小，若easA-gosB-g则mC- 10.已知sina= ,sina-g)=-o。 √5 10a8均为锐角，则日= 11.(开放性问题)已知a=1°，8=61°，则满足ana十tang+tanY tan a tan Btan y 1的一个Y的值为 1-2sin25°-2c0s10°=- 12.(2024.重庆江北区模拟)计算：2sim10° 四、解答题 13.(2024·江苏南京中华中学期中)已知0<a≤7，inQ=1 2im号 (1)求tan2a的值； (2)若0<月<amB-2am月-3=0，求a十3的值， 第四章三角函数、解三角形047 14.如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点在坐标 原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角 B的终边与单位圆O分别交于A,B两点，x轴 B 的非负半轴与单位圆O交于点M,已知 治点B的纵坐标是侣 (1)求cos(a-B)的值； (2)求2a-3的值. 0482团闪·高考一轮复习金卷数学 NENGUI TISHENGUIAN 能力提升练 。答案：185页 一、单项选择题 1.知cos后+e=号则sin+2)= () 3 A.一25 3 .26 C 23 23 25 0. 22024·贵州责有二模)已知casa-0os月-怎sna-sin,9= 3 3 则tan(a+B)的值为 () A.-4W5 B.45 C.-25 D.25 32021·江苏候江铁)已如1am。-》-子ana+)-号，则 anla+F） ( 3 A.22 a是 c 13 D. 2 4.(2024·新课标I卷)已知cos(a+B)=m,tan atan3=2,则 cos(a-B)= () A.-3m B.一m c D.3m 5.（数学文化)公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派研究过正五边形 和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以 表示为m=2sin18°，若m2十n=4,则、 ml 2cos27°-1 ) A.8 B.4 C.2 D.1 6.(2024·四川成都模拟)计算：sin50°(1+V5tan10)cos80° √1-c0s20 ( B.√2 2 C.1 0.2 二、多项选择题 、1 7.(2024·江苏镇江期中)已知ana=-2,an(a+B)=-3,其中a, B∈(0，π)，则 B.sin 2a=5 A.tan 2a =3 C.cos 2(a+B)=-4 5 D.P=- 8.已知tana=2tanB,则 A.3a8∈(0，），使得a=2g 且若sn&c0s日=号，则ina-9)=日 2 7 C.若sin acos月=5，则cos(2a+29)=- 25 D.若ag∈o,》,则1an(a一B)的最大值为 三、填空题 g.已知sin+）=言则sma+）= 1o若ma-号mg-a)-e且eej臣e测 a十B= 1者n+d。长e货》则m包+}+京oa的位 为 12.已知aB∈(o,F）cosa-sina=7,且3sin月=sin(2a+B),则 a+B= 四、解答题 13.已知函数f(x)=-1+4sin(+君）cosx(x∈R). (1)求函数f(x)的最小值，以及f(x)取得最小值时x的集合； 2)若后<月<a<f22-)-9f唱+)=吕求 cosa的值. 14.(结构不良问题)是否存在锐角a,3,使得下列两个式子①tan(a十 2p)=-5,②1an21anB=2-√5同时成立？若存在，求出a和B 的值；若不存在，请说明理由.2m-3 m+2>0, 解得m<-2或m> m十1 m+2 <0, 号，国为sin a+=(a-3 Nm+2/ （m+)°--1om+10 m+2/ =1, m2+4m+4 整理可得2m2-7m十3=0，即(2m 1)(m-3)=0,解得m=2(舍)或 m=3,所以sina= 2m-33 m+2=51 c0sa=-m十1 m十2 台所以am8 3 cos a =-,因 sin(a+2024π)+cos(a+2023π) c0s(4+2025元 2 sin a-cos a =一1十 1 一sina tan a 7 3 47 解析：由sin9-2cos0 =2可得sin0= sin 0++cos 0 -4cos日，即tan0=-4,所以： sin0++cos 6 2sin9+cos3θ (-4cosθ)3+c0s0 2×(-4c0s8)+cos30 -64cos0++cos 0 -64c0s0+1 -8cos 0+cos0 -8+cos20 -64cos0+sin20+cos0 -8(sin20+cos20)++cos20 -63c0s20+sin'0 -63+tan 8sin20-7cos0 8tan20-7 -63+16 47 -8×16-7=1351 即sn9十c0s0_47 2sin 0+cos0135" 12.一25 解析：由题意可知，拼图中的每个直角 ; 三角形的长直角边为c0s日，短直角边 为sin日，小正方形的边长为cos日 sin0,:小正方形的面积是25' (c0s0-sin0)=25:0为直角三 角形中较小的锐角，.cos日>sin日， 5,又(cos日- .'cos 0-sin = sin 0)*-1-2sin 0cos 0=25 .'.2sin 0cos 0 251+2sin 0cos 0 24 25,即(as0+sin0y= 4 49 ,∴.c0s0+ 25 7 sin= 5sin'o-cos'g =(cos sin0)(sin0-cos0)=一25： 7 13.解：(1)m≠0， .c0sa≠0， 以对勾·高考一轮复习金卷数学 即_sin(a十π)十cos(a-x) sm(e+2）+2as(a-】 sin a -cos a -tan a-1 cos a++2sin a 1+2tan a 又角a的终边经过点P(3m, -6m)(m≠0)， -6m ∴.tana= 3 =-2, 故sin(a十)十cos(a-r) sn(e+）+2cos(a-) -tan a-1 2-1 1+2tan a =1+2X-2= 3 (2),a是第二象限角， ..m0, -6m 则sina= √/(3m)2+(-6m) -6m =26 3√5m 5 3m cos a √(3m)+(-6m)7 3m √5 3√51m 5 ∴sim(a+2）+n(x-e)as。 cos(2+a） cosa+sin acos a十sina= ()+5x()+5 5 -1+2W5 5 4.解：(1)f(a) sin(2π-a)cos(π十a)tan(2π-a) sin(竖+a）小ax-a) (-sin a)(-cos a)(-tan a) cos a (-tan a) sin a. (2)因为f(a)=sina=-5,所以a 为第三象限角或第四象限角. 当a为第三象限角时，cos&= -√1-sim'a=- 2W 5 -tan a sin a V6 cos a 121 当a为第四象限角时，cosa= 1-sin a26 5,tan a sin a cos a √ 121 (3)因为f(a)=sina,所以fa+ 君）=sne+)=子 m(管+a)=mr[+(e+晋】 -sme+）=-令 ms(悟-a)=mr[x-(e+)】 因为a∈（吾，行），所以a+若∈ 184 (o,）s(e+）=2 所以m(管-）=2g 故cos(+e）+2os(g-a） 1+42 考点练23 三角恒等变换 一。基础巩固练 1.Asin16°cos134°+sin74°sin46°= sin16cos(180°-46)+sin(90°-16)· sin46°=-sin16cos46°+c0s16sin46°= 46-16m=m30-故法A 2.C依题意可知cos Acos B一sinA· sinB=cos(A十B)>0,所以-cosC>0, 所以cosC<0,所以C为钝角.故选C 3.A因为2(a+8)-(2a-8） 吾所以cos(2a-若）=co-(2a g】=m[受-2e+】 sin2(a+若） 2sin(a+8）cos(a+g) sin(a+若）+cos(a+) 2anle+晋） 1+an(e+若） -吕故选A 4.B因为cosa =√3，所以 cos a-sin a 1=5,解得ana=1-5,所 1-tan a 2 以ae+）-巴日=25-1 故选B. 6,B由巴知可得na2 sin acos a 3 1 >cos2x—sin acos a,P2一Cos2a 2sin2a,即tan2a=V3,所以 tam(2a+牙）= tan2a+tan 4 1-an2am号 +1=+1) =-2-√3.故选B. 1-5 -2 6.D (cos a-cos B)2=cos'a-2cos a. easB+eo时g=子(sna+sna)2 sin'a+2 sin asin+sinB=号，两式相 加得2-2(cos a cos B-sin a sin B)=2 2osa+8=}+号=30casa =碧t选D 7.ABC tan15°+1tan15°+tan45 tan 15-1 1-tan 15'tan 45 -tan60°=一√3，故A正确；cos22.5° sin22.5°=(cos222.5°+sin22.5°)· (cos'22.5-sim22.59)-c0s45°=E 2 故B正确；sin15°sin45°sin75°= sin15cos15sin45°= 2sin30°，sim45°= 8,故C正确；因为tam60°=an(37°+ 23)= tan37°+tan23° 1-tan37°tan23 =√3，所以 tan37°+tan23°+√3tan37°tan23°= √3，故D错误.故选ABC 8.ABD因为a,B为锐角，所以0<a< 受0<月<受所以0<a+B<,0< 2a<x,又因为eosa十8)=_5<0， 5 所以T<a十B<元，所以sin(a十B)= c0sa+B)=,对于A,周为 0s2a=青<0，所以受<2a<,则 4 in2a=√1-cos2a=,故A正 对于B,cos(a-B)=cos[2a-(a十 B)]=cos 2a cos(a+B)+sin 2asin(a+ 》=(-)×(9）+×2 5 25故B正确；对于C,c0sa二) cosacos月+sin asin月=2y5 5,c0s(a+ √5 B)=cos a cos B-sin asin 5 式相加并化简得cos acos=6,故C 错误；对于D,由C知，两式相减并化简得 sin asin B= 10,所以tan ctan月 3w5 3√5 sin asin B 10 =3,故D正确.故 cos acos B √5 10 选ABD. 56 9.6的 3 解析：在△ABC中，因为c0sA= >0, 0<A<受，所以snA=V-cosA √1-(）)=手，因为asB= 5 7 0.0<B<受，所以sinB= -=-()=则 sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A十 B)=sin Acos B+cos Asin B 5+3×12_56 13+5×15=65 10. 解析：因为,B均为锐角，所以一< 2 a-B<受又sina-月)=- √10 ,所 10 以-2<a-B<0,所以cos(a-B)= 00.又sina=，所以c0sa= 3J10 √W5 25,所以sim月=sin[a-(a-B]= 5 sin a cos(a-B)-cos a sin(a-B)= ××()号 5 10 5 21 所以B= π 41 11.118°（答案不唯一） 解析：.'tan(a十B)= tana十tanB 1-tan atan .'tan a+tan B tan(a +B)(1- tan atan B)=tan 62(1-tan atan B), x tan atan g tany1..tan a tan atan Btan y tan B+tan y tan atan Btan Y, tan 62(1-tan a tan B)+tan tan atan Btan y,化简可得，tan62°十 tan y tan atan B(tan 62+tan Y), .tan62°+tany=0或tan atan B=l, 又a=1°，B=61°，故tan atan B≠ 1,.tan62°十tany=0,故y=118°满 足题意. 号 解析：12sin2 2sin10° -2a0s10°=010 2sin 108 2c0s10°= c0s10°-4sin10c0s10° 2sin10° c0s10°-2sin20° 2sin10° cos10°-2sin(30°-10) 2sin 10 cos10°-(cos10°-3sin10)= 2sin10° 2 18.解：1)因为na=1-2受，所 以宁sine=cosa,所以am8=2,所以 2tana2×2 4 tan 2a 1-tama=4=- (2)因为tan3-2tan3-3=0, 所以tanB=3或tan3=-1. 因为0<B<2,所以1anB>0,所以 tanB=3.所以tan(a十B)= tana十tanB 2+3 1-tan atan B-1-2x3=-1, 因为0<a<受0<月<受，所以0< a十B<x,所以&+月=3m 4 14.解：(1)由题意知，OA=OM=1,因 为Saaw=20A·OM·sina=5, 所以sina=25 ，又角。为锐角，所以 185 s。-怎因为点B是能角9的终边 与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是 号秀以如-侣。 8=治所 以cos(a-B)=cos a cos B十sin asin B= 9×(9)+5×=巴 101 5,osa-5 (2)因为sin&=25,c 5 sin 8- 00s9=-72 2 0,所以 sin(a-B)=sin a cos B-cos asin B= 10 30又esa-)=-0,度】 10 以sin(2a-B)=sin[a十(a-B)]= sin acos(a-B)+cos a sin(a-B)= ×()+x() -9因为角e为锐角：如。-25> 5 号所以。∈（任，），所以2a∈ (受x),又B∈（受），所以2a 9e(受，受)，所以2a-B=-受 。能力提升练 1.e周为sm(g+2a）=sm[2(若+ )+引=ms(倍+) 2ms(舌+a）-1,所以sin(昏+2a） 2x-1=器C 2A由a=生”22,8- 2 2 “22得cas。-ms月=-2in生2， 2 sin aB5 2 sin a-sin B-2cos 2 血。=号两式相除可得 tana十B=2，所以tan(a十P)● 2tan a+B tm.2）- 2 1-tan 2 -4√5.故选A. 3.A由B+平=(a+)-(a-T)得 tan(8+)=tam [(a+8)-(a- 别 ana+》-tam(a-) 1+iana+gan(e-买） 2-1 54 参考答案 4.A由cos(a十B)=m,得cosa·cosB- sin asin B=m,由tan atan3=2,得 sin a sin B =2cos a coscos a cos B- 2cos a 'cos B m,cos a cos B =-m, 从而sin asin B=-2m,故cos(a-B)= -3m.故选A. 5.C因为m=2sin18°，m2十n=4,所以 n=4-m2=4-4sin218°=4cos218° 所以 2sin18°√4cos18 c0s227°-1 2c0s227°-1 4sin18°cos18 _2sin36°_2sin36 2c0s227°-1 c0s54 sin36° 2.故选C 6.D因为sin50°=cos40°，1+√3tan10°= cos10°+√3sin109 c0s10 21 72cos10°+2sin1o。 2sin40° c0s10° c0s10°， 1-c0s20°=2sin10°，所以 sin50(1十√5tan10)cos80 √1-c0s20 cos40°X2sin40° c0s10° Xc0s80° √/2sin210 cos40°×2sin40°×cos80° √2sin10°Xcos109 sin80°Xcos80° W2sin10°Xcos10 cos10°Xsin10° √2sin10°×cos10° 乞故选D 1 7.ACD .tan a = 2tan 2a 2tan a -1 4 1-tan'a ,故A正确； sin 2a 2sin a cos a 2tan a sina十cosa 1-tan'a -1 1 5,故B错误，：tan(a+ 1十4 β)=-3，tana= 之tang= tan(a十B)-tana tan(a++8-a)= 1+tan(a +B)tan a 1 一3十2 =-1,.8∈(0， 1+-3)x(←】 π)，= F,故D正确ms2a十g)）= os(2a+29)=eos(2a+) sin2a三一，故C正确，故选ACD 8.BD对于A,若a=2B,则tana= 2tan B tan 28=1-tanB ,因为tana=2tan3, 所以2tanB =2tan3,解得tan3=0, 1-tan'B 又因为B∈(o,受)时，an9>0,所以 方程无解，所以A错误；对于B,因为 ana=21an,可得血g=2sin2,所以 'cos a cos B 以对闪·高考一轮复习金卷数学 sin a cos B=2cosa·sinB,又因为 1 in acos号所以cosa·sinB=f' 则sin(a-B)=sin acos-cos&· sinB=方所以B正确：对于C,由 sin(a++8)=sin a cos B++cos a.sin B= 则cos(2a+29)=1-2ra寸D ，所以C错误对于D,因为9∈(0，受)： 7 可得tanB>0,且tana=2tanB,则 tan a-tan B tan(a-B)=1 tan atanB tan B 1 1+2tan'B 一 ian月十2tan月 2√2 ，当且仅音」 √ tan B =2tanB时，即 tan B= 时，等号成立，所以ana 2 )的最大值为，所以D正确.故 选BD. 7 9.2 解析：os(ea十）=1-2ain(e中 音）=12×号=云明(a 25 -s(e+)=云 7 解析：a∈ […we[ 2x"sin 2a= [ ]a∈[]ms2a 25 5 :B∈ 「3 2A-a ∈ 「π L21 a)=- 3√10 10 .'cos(a+8)=cos2a+(B-a)= cos 2a cos(B-a)-sin 2asin(B-a)= 25)× 3√0) 5 10 西=5.又：a十 10 2 [ 2]a+= 11.0 解析：：tana十 1=10. ma=3a∈（ 乏）tana=3或iama=3(含)， 则sin(2a+于）十厄cosa sin2acos牙十cos2asin于十 cos 24=2 sin 2acos 2a 2 186 √2 2 2 ·2 sin acos a+√2(cos2a sin a)+ √瓦 2sin acos a 十 sina十cosa √2· cos'a-sin'a 2 √2 sin'a cos"a 2 2 2tan a I-tan'a tan'a +1 tan'a +1 2 2 =0. 2. 3 解析：因为cos2a-sina=- 2 1 ，c0sa十 4 sin2a=1,所以c0s2a= 7,sin'a 号，周为a∈(0，），所以cosa 2 2 3sinB=sin(2a十B),得3sin[(a十B)一 a]=sin [(a+B)+a],3sin(a+ B)cos a-3cos(a+B)sin a sin(a B)cosa十cos(a十B)sina,所以sin(a十 B)cosa=2cos(a十B)sina,所以 tan(a+B)=2tana=√5.又0<a+ 日<受，所以a十B=子 3解：fx)=-1+4(nx =-1+2√3sinx, cos x +2cos'x =-1+3 sin 2z+1+ cos2z=2sin(2x+8),当2x十 =-合十2次x,k∈7，即x 6 十kπ，k∈Z时，f(x)取得最小 3 值-2，此时x的集合为{zx -子+km,k∈z. 2(22-)=2sm[2(2 8）+]=2sina-B)=g, 8 则sine-)=青，因为受<月<x, 所以-x<月<， 又因为<a<，所以- ,<a一 B<,所以cos(a-B)= 3 因为f(号+若)=2sm[2(号 g）+]=2sinm(B+）- 2cos月=- 吕所以cosB= 13 因为2<月<元，所以sinB= -()- cos a cos [(a-B)+8]=cos(a- 3 B)cos B-sin(a -B)sin B=5 (←》× 4、12 63 =一65 14.解：存在. 由①tan(a十23)=一√3，.a,B为锐 角，则0<a十2n<受0十9 tan+tan A =√3， 1-tan 2tan 8 将②代入上式得1an号十1anB=3 5,因此an含，tanB是方程x2-(3 √)x十2-5=0的两根， 由x2-(3-√3)x十2-√3=0，即 [x-(2-5)](x-1)=0,解得 x1=1,x2=2-3, 当an受=1时，0<a<受0< 受<冬，此时e不存在，故an号 2-√5，tanB=1, 2tan 2 ∴.tana= 1一an号 3 a9均为锐角e=看A=于 考点练24三角函数的 图象与性质 一基础巩固练。 1.C由函数在[0,2π]上的图象（图略）可 知C正确.故选C. 2.C由sin(+君）≥0，可得2km≤ x+吾≤x十2次x(k∈D,解得-吾十 2r≤x≤晋+2re∈D.故f) 的定义技为[音+2张，晋 2kπ(k∈Z).故选C. 3,A令12z士日因为x[-骨 ,而函数y f=20s1在[0]上单递增， 上单调递减，所以ym f0)=2ym=f(货）=-1，即画教 的值域是[-1,2].故选A. kπ，k∈Z,解得6k-5<x<6k十1， k∈Z.因此，画数y=-2a(行x十 号）的单调递减区间为(6k-5,6k中1)， k∈Z.故选C. 5.B由题意可知，x1为f(x)的最小值 点，x2为f(x)的最大值点，则x1一 m=子=受脚T=,且u>0, T 所以仙= =2.故选B. T 6.A当w<0时，y=2c0swz= 2aos-az,由x∈[0.2=] ,得一wx∈ L3」 ,因为函数y=2c0swx在 区同6，]上单调适减，且最小位为负 值，所以 < 2受。≤元，解得- 3 2 @<- 2, 子：当m>0时，由x∈0,3」 2osar在区间0，写]上单羽造减，且 最小值为负值，所以2<？”，解得」 -)U(，]故选A 7.AC由题意，得f(x)=sin2x 2kπ≤2x- 4 ≤受十2ka∈ZD,解 当k=0时，一 8 3π，即函数 ≤x≤ )在[后筒】上单瑞地增，因为 函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以 3π.故选AC, 0<m≤ 8.ABD由题图可知，函数f(x)的最小 正周期为T= 2×(-贸)=故 A正确；由w= =π=2，所以f(x)= Am2x十g.月为/（货）=Aum(子 p）=0,期 十9=kπ(k∈Z),则p= kx-7(k∈，因为9<2，则g 子所以血9=号故B三喷) Aan2x+),由2<x<,得 <2x+子<而2江+至- 4 42 中x=晋时，f(管)=A1an警设有意 义，故C错误：f(0)=Aan牙=A=1, 则fx)=an(2x十)，方程fz)= 187 sim(2x+牙)，得tan(2x+牙）= sin(2x+于) sm(2红十牙）， cos(2x+子) sim(2x+牙）=0，即sin(2x十于）： [1-0s2)] =0,所以 sim(2x+F）=0或cos(2x+于）- 1,周为0≤x≤，≤2十≤ 所以2红十=x或2江十子=2，解得 E-管我-区故DE商：戴选ABD, 9.2 解析：f(x)=sinx-V3cosx= 2sin(-号），当x∈0，]时x 5亚时f(x)s=2. 解析：f(x)≤f(于)对任意的实数 x都成立，当x= 牙时x)取得 最大值，即f(任)=o(牙0 ）=1子。-8 =2kπ，k∈ Za=8k-号k∈zw≥0… 当k=0时m取得最小值号. 11.2 解析：由f(x)=cos(wx十P),可知 f(x)的最大值为1，最小值为一1，由 f(传)-f(号)=2=x) fx)m,可知当且仅当（信） xm=1且f() f(x)n=一1时等式成立.又函数 f(x）=cos(wx十9)在区间 [号】上单调混路成=青与 为两条相邻的对称轴，所以 x=一3 网期T=[台-（号门=4，从 f(x)= cos(x十9）f(2) cos(士十p)= -c0s9,由f(合)=1 代入解桥式可得f(号)=0s(上亭× 号十）=o(号+)=1，则 参考答案