课时分层检测(29)两角和与差的正弦、余弦和正切公式-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

16.0 sin2x=m,sin2y=n, 则tan2x-mtan2y 因为a(受x 所以sina= 5,c0sa=- V1-sin2a= 于是题中等式即一m十 =n十, 2√5 5 也即m+二2”=m十n, sin a 1 所以tana= 1-mn cos a 2, 整理得nn(n十一2)=0， sin2a=2 sin cosa=-方， 4 于是n=0或n=0或m十n=2. 若m十n=2,则sin2x=sin2y=1,不符合 3 题意 cos2a=1-2sin2a=方， 因此sinx=0或siny=0, tan 2a- 于是sinx·siny=0.] cos 2a 课时分层检测（二十九） ;&.BD[由巳知可得Ssin r=sina-sinB, cos Y=cos 8-cos a, 1.D[调为血&=号a∈（受所以osa 所以1=sin2y+cos2y=(sina-sin3)2+ (cos B-cos a)2-2-2(cos Bcos a+sin sin a) =2-2cos(3-a), sin a 1 cOS a 所以cos(3-a)=立， 1-tan=7,故！ 以m(-）-m 因为a.r(0,受）则-乏<g-a受 选D.] 因为siny=sina-sinB>0,函数y=sinx 2.D[原式=cos50°cos160°-sin50°sin160°= c0s(50°+1609=cos210°=-c0s30°= 在(0，受）上单调递增，则a>R则-受< g-a<0,月-a=-.] 3.D[sm(e-)=-3(e-吾 由客得o0一· 3 整理得2sina=一√5cosa, 3 m(+）"。.] ∴.tana= 2, ∴.sin2a=2 sin acos a= 2sin acos a sin 40sin 10 (cos10-） sin2a+cos a =-sin40°.sin10°-5cos10 2tan a 2×- cos 10 2 =-sin40°.2sin(-50）) tan a+1 ()+1 2. os10° 2sin 40sin 50 cos 10 4.C[因为角α的终边上一点P的坐标为 (一1,2)，角3的终边与角α的终边关于 2sin40°cos40 x轴对称，所以点（一1，一2）是角B的终边上 cos 10 sin 80 的点所以m=2所以m(+子) c0s10° -1.] tan十tan4 .:m(-)-o(a+) 2+1=-3.] 1-tan tan于 1-2 2 sin a -cos a-2 cos a -sin a= 5.D[由题意得， (sin a-cos a)sin a-cos a sin acos B-cos asin -sin() 2 14 0<gKa<受0Ka-K受 -1.a是第一象限角，sina>0, 2 os(a用-是 c0sa>0,由 sin a-cos 2 可得 (sin2a+cos2a=1, 又”cosa=分sina-4y5, 1 1 7 sin a= 3 2 CoS ，tana=sine_ cos a sin 8=sina-(a-B) sin acos(a-B)-cos asin(a-B) 4513 2 1 =√5. 7 2 12.之4[由已知件 3cos[(a+3)+a]+5cos[(a+3)-a]=0, 6.A[由已知可得w=2sin18,则巴√ 因此3cos(a+3)cosa-3sin(a+3)sina+ C0s54 5cos(a+8)cos a+5sin(a+B)sin a=0, 2sin18°×√-4sr18_2sn18X2c0s18 整理得8cos(a十3)cosa十2sin(a十3)sina=0, 1 cos54° sin 36 因此sin(a十3)sinx=-4cos(a+3)cosa, 2sin 36 sin36° =2.故选A.] 于是sima+2.sime--4, cos(a十B)cosa 7.AC [cos2a-cos 2a cos2a-(cos2a- 即tan(a十3)tana=-4.] sina) :13.解(1)因为，3(0，受） 所以c0sa>0,c0s3>0, 478 由人cosa=2 co. (cos acos B-32 5 解得cosa-25. 5,cos 8-310 10 所以sina=V-cosa-5 如 则cos(a十B)-cos acos B-sin asin= 25×3⑩_5×西-E 10 5102 因为a十C(0,,所以a十B-开 9>加g,且画数y-mx在(0 受）上单调递增， 所以0<<a<平，所以0<a-干 所以sin(a-B)=sin acos3-cos asin B ×3⑩_25×西-E 5 10 5 1010 4.解()因为ana=亭-识2 cos a' 4 所以sina= 3cos a. 因为sin2a十cos2a=1,所以cos2a=5, 9 所以cos2a=2cos2a-1=-25 7 (2)因为a,3为锐角，所以a十B∈(0，π). 又因为cos(a十g)= , 所以a+Bc(受x 所以sin(a+)=V个-c0sa+B-5】 51 所以tan(a十)=-2. 因为tana= 分，折以tan2a-am。 2tan a 24 所以tan(a-3)=tan[2a-(a十3)]= tan 2a-tan(a+8) 2 1+tan 2atan(a+)11 .c[w(e+号)-[(+a） (受号)] -o(于+a)os（牙-号)+m(至 m(骨号) 0<a<受，则<+a< 4 41 m(+a)-2g9 3 又-<0，则<-号<登 m(年-号)- 3 6.一看（答案不唯一，满足a=一+(k∈ Z)或a=受+k∈☑的其中一值即可）】 [由题意可得OA=(sina,cosa),OB= 解得an。=子（负值舍去). (o(+看）m(+看)月 周为a∈(0，受)所以tana=号， 所以|OA1=√Sin2a+cos2a=1, 同理可得OB1=1, 所以a= 吾，所以cos（a+吾）=c0s子 则cos∠AOB=cos(OA,Oi)= OA.OB IOAlOB /1-cos 2a :7.BC[A中，√+os2a 2sin a 2cos a √/tan2a=|tana: m(2a+）-o- B中，因为a∈(0，π)， 所以原式一√ 1-cos 2a. a十6=-6十2kπ(k∈Z)或2at 2 cos a cos a 吾-晋+2xe tan a; C中， 1-cos 2a 2sina =tan a; 解得a=一吾十kx(k∈Z)或a-受十kx sin 2a 2sin acos a sin a (k∈Z).] D中，1-cos2a sin a 2sin a 2sin2a 故 选BC.] 课时分层检测（三十） 8CD[因为)=sinin(r+子)- 1.D[因为a为锐角，所以sin乞 = 1-cos a 3-5 /W5-1)2 2 =8 16 1 2 sin xcos- ，所以 ×1g2+9n2x- 2 2 2.D[因为tana= os(+) :② √ cosa一=1-tana1-立 1 =m(2-) 2(cos a-sin a) 所以-≤f(x)≤2，f(x)的值不可能是！ 22.] 一2和2.] 3c[由n-9m3n为 10 [:cos(2a+23)=1-2sin2(a+B)= 复角，可知m。-5m月=k 1 cos (cos acos -sin asin 5 0Ba<吾0a+ 35×沿-9又0<a+g<, 10 5 ma+9-号ia+g=吾 故a+g-平] 4.B[依题意，tan3=1,则tana=tan[(a- 10.(答案不唯一）[由si血a tan (a-B)+tan 8 sin(a+) B十]=1=tan(a-B)·tanB cos a =2得， 2,所以第一次的“晷影长”是“表高”的 o(a+) 2倍.] 5.B[因为tana=√2， si o(e+若）十cosi(a+吾 所以n3a-对nr2a=inCa+2@ sin a sin a -sin a in(+)or(+） sin acos 2acos asin 2asin sin a 2,所以sm(2a+晋)-n(2a+音)所 cos 2a+2cos2 a-sin2a -cos2a-sin2a+2cos2a-sin2a 以(2a+晋)十(2a+号）-x+2kx,k∈ -3cos2 a-2sin2 a -3cos2a-2sin2a 1,即a-吾+经k∈Z时，等式可成立.] cos2 a+sin2 a 3-2tan2c=3-2X(②)2 3 耳1cos2aD 1-cos 2a 1+tan2a 1+(√2)2 8 4sin 2a 6.C[由，cos2a=3 w动 1+tan2a 8' 2sin2a 3(1+tan2a)-8x cos"a-sin2 a na=士tana=g2.] 8sin acos a 4cos a sin2 a+cos a -8× 2 10 -a,所以3sina-sinB=3sina π 3(1+tan2 a)2=8-8tan2 a, 479- (受-a）-3sina-wsa-Vosn(a p)=√0，其中sin9= 10 10 C0s9= 310 0,所以a-9-受+2kx,k∈乙，所以 a=交+9+2kr,k∈Z,所以sina sin(受+9+2x）=eosg-3E,k∈z 10 因为sinB=3sina-√10-- 0,所以 10 cos2p-1-2smg-1-号-台J 13.解(1)原式-5-4sim201-2sim220 2sin 20sin 480 _3-4sin 20'cos 40 2sin20°sin480° _2sin(20°+40)-4sin20°cos40 2sin20°sin480 2sin(40°-20) 2sin 20%sin 480 sin 480 sin 120 =23 3· (2)原式 =(cos10°-3cos809(cos10°+3cos809 c0s80°cos210°cos20° _(cos10°-√3sim10)(cos10+3sin10) cos280°cos210°cos20 4sin20°sin40 sin210cos210cos 20 -32sin220°cos20° =32 sin220°cos20° 14.解(1)证明法一由条件sin(a一3)= 2,sin(a+=3,得2sin(a-3)=3sin(a十 , p2sin acos B-2cos asin B-3sin acos B+ 3cos asin B, 整理得sin acos3=-5 cos asin3, 即tana--5tanB,tana十5tan3-0得证， 法二由条件sin(a-)=分，in(a十 、1 3· 即sin acos月-cos asin=,① sin gcos 3+cos asin,2 由①②，得sin acos3= 12 cos asin 8- 1 一12 从而可得tana=-5tan3,tana十5tan3 0得证. tana-tan3」 (2)由于tan(a一)=1干tan ctan tan a -tan 8=tan (a-B)(1+tan atan B), 所以tan(a二)-tana十tan足 tan2 atan(a-B) _tan(a-8)-tan(a-B)(1+tan atan B) tan2 atan(a-B) =一tan(a-g)·tan atang tan atan(a-B) tan B 1 tan a 5. 15.Df)-1-cos 21-cos(2r+2a) 2 2 1+2-号 2 2[cos2x(1+ cos 2a+cos 23)-sin 2x(sin 2a+sin 28)], 由题意得c0s2a十cos28--1, sin 2a+sin 28-0, 两式平方相加可得c0s(2a一28)=-，课时分层检测（二十九） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 …0知识过关0… :6.(2025·东营调研)数学可以刻画现实世界中的 和谐美，例如，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优 一、单项选择题 选法等美的共性与黄金分割相关.黄金分割常数 l.已知sina= ，a∈（货，则iam(开-a) u=51也可以表示成2sin18,则4-。 2 c0s54° ( ) A.-7 B-号 A.2 c D.7 C.5-1 D.√5+1 2.(2025·惠州调研)cos50cos160°-cos40°sin160°= 二、多项选择题 ( )7.(2025·海南调研)已知a∈(5，x,且os2a- A B司 cos 2a= 则 1 ( C.- D.~ 1 2 A.tan a=- 2 Rin2a=青 3.已知sin(a-牙)=-3cos(a-),则sin2a的 C.cos 2a= 3-5 D.tan 2a=- 值是 8.已知a,,y∈(0，)，sin3+sinY-sina,cosa+ A.23 B9 cosY=cosB,则下列说法正确的是 C.-25 D.-43 A.cos(B-a)= 7 2 4.(2025·宜宾诊断)在平面直角坐标系xOy中，已 B.cos(β-a)= 知角α的终边上一点P的坐标为(-1,2)，角B 的终边与角a的终边关于x轴对称，则tan（B十 C.B-- 到= 器 D.B-a=-- B 三、填空题 C.-3 D.3 9.(2025·郑州摸底)已知0<a<受，且sina= 5 5.定义运算 = ad-bc,若cos=7 则tan(e+5) d sina 10.求值：sin220°(tan10°-√3)= sinβ 3 11.(2025·海口调研)设a是第一象限角，满足 cos a cosβ 14 ,0<<a<受则B等于 sin(a-)-cos (a)tn a 2 A. B晋 : 12.已知3cos(2a十3)+5cosB=0,则tan(a十3)tana C.4 n 281 四、解答题 14.(2025·南京模拟)已知a,3为锐角，tana=3, 4 3cosa=2√2cosB, 13.已知a8e(0,2),且 √5 cos acos B= 3√2 cos(a十3)=- 5 5 (1)求a+3的值； (1)求cos2a的值； (2)求tan(a-B)的值. (2)证明：0<a-<年，并求sin(a一)的值. …0 能力拓展 0 15.(2025·成都模拟)若0<a<2,-<9<0, m(臣+口)-3a(任)-9则s(+) 等于 号 B.、 3 c n 16.(2024·厦门模拟)在平面直角坐标系中，O(0,0), A(sina,cosa),B(cos(a+5)sin(a+石)月当 ∠AOB=红时，写出a的一个值为 282