课时分层检测(21)导数与函数的单调性-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

课时分层检测（二十一） …0知识过关0… 一、单项选择题 1.函数f(x)=2.x-sinx在(-o∞，+o∞)上是 A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 2.(2025·秦皇岛模拟)设函数f(x)在定义域内可导， y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f(x)的 图象可能是 () , 3.已知函数f(x)= 3ar3+x2+x+4,则“a≥0"是 “f(x)在R上单调递增”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)=ae-lnx 在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为() A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 5.函数f(x)=2x3-a.x+6的一个单调递增区间为 [1,十∞)，则减区间是 () A.(-∞，0) B.(-1,1) C.(0,1) D.(-∞，1)，(0,1) 二、多项选择题 6.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3a.x2 +1,则 A.当a>1时，f(x)有三个零点 B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点 导数与函数的单调性 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(.x)的对称轴 D.存在a,使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的对 称中心 7.若函数f(x)=x2-9nx在区间[m-1,m十1] 上单调，则实数m的值可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2025·南昌调研)已知函数y=f(x)对任意 x∈(-，)满是f'(x)cosx+f()sinx>0 (其中(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等 式成立的是 A.()() B.f()>f() C.fo)>2f(5) DEf(-)<f(-) 三、填空题 9.(2025·台儿庄模拟)请写出一个同时满足下列 三个条件的函数f(x): (1)f(x)是偶函数；(2)f(x)在(0，+∞)上单调 递减；(3)f(x)的值域是(0，十∞).则f(x) 10.若函数f(x)=x3+bx2十x恰有三个单调区间， 则实数b的取值范围为 11.(2025·重庆模拟)已知函数f(x)=ex-1十x2 一2.x,则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范 围是 12.已知函数f(x)=3工-2x2+1nx(a>0),若函数 f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的取值范围 是 四、解答题 :14.已知函数f(x)=lnx+1. 13.(20%·曲请模拟已知函数fr)=-一2ar(a∈R. (1)若f(x)≤x十c,求c的取值范围； e (1)当a=时，求此时曲线y=了(x)在工=1处 (2)设a>0,讨论函数g(x)=fr)-fa)的 x-a 单调性. 的切线方程； (2)若f(x)在(2，十∞)上为减函数，求a的取值： 范围. 0 能力拓展 0… 15.（多选)(2025·青岛模拟)如果函数y=f(x)在 区间1上是增函数，且（在区间1是减函数， 那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函 数”，区间I叫做“缓增区间”.则下列函数是区 间[1，√3]上的“缓增函数”的是 A.f(x)=e B.f(x)=In x C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2+25x+3 16.已知偶函数f(x)在R上存在导函数f(x),当 x>0时，f)>-(x),且f(2)=1,则不等式 (.x2-x)f(x2-x)>2的解集为 A.(-∞，-2)U(1,+∞) B.(2,十∞) C.(-∞，-1)U(2,+∞) D.(-1,2) 271对于Bf()=是-3f(x)=-之<0在 (0,受）上恒成立，故B正确： 对于C,f(x)=-3x2+3,f(x)=-6x<018 在(0，受）上恒成立，故C正确： 对于D,f(.x)=ei-xer=(1-x)e', f"(x)=-e-x-(1-x)e-x=-(2 r)ez, 因为x(0,）所以2-x>0, 所以fr=-(2-e<0在(0，登)月 上恒成立，故D正确.] 9.1[由画数fx)=2+是求导得f'(x)= 2x- 依题意，m=f(1)=2-a. 又点P(1,f(1)在直线y=mx+n上， 所以f(1)=1十a=2m, 14 因此1十a=2(2-a),解得a=1.] 10.y=x3十x(答案不唯一）[：y=sinx的！ 导函数为y'=Cosx, 又y=sinx过原点， ∴.y=sinx在原，点(0,0)处的切线斜率k= cos 0=1, y=sinx在原点(0,0)处的切线方程为 y=I. 所求曲线只需满足过，点(0,0)且在x=0处！ 的导数值y=1即可，如y=x3十x, y=3x2+1, ∴.y=x3十x在原点处的切线斜率为1， 又y=x3十x过原点， ∴y=x3十x在原点(0,0)处的切线方程为1 y=r.] 11.(-∞，-1)U(3,十∞)[因为f(x)= 2-ar2+(号a+)r(a∈R,所以 f()-3r2-2ac+号a十1，因为曲线y- f(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关 于x的方程f(r)=3r-2ax+子a+ 1=0有两个不相等的实根，则△=4a2一1 12(号a+1)>0,即心-2a-3>0,每得 a>3或a<-1,所以a的取值范国是 (-∞，-1)U(3,+).] 12.4[由已知得，曲线的切线过点(0,0)， e 当x>0时，曲线为y-ax十2lnx, 设工>0，直线y=k1x在曲线上的切点为 （a1+2my1-5=a+2 ∴.切线方程为y-(ax1+2hx1)=a+ 又切线过，点(0,0)， a41-2m-(e+号水- -e-a+2 同理，当x<0时，曲线为y=ax十2ln(-x),!16 设工2<0，直线y=k2x在曲线上的切点为 a+21h(-)y1x-与=a+2, 切线方程为y-[ar2十21n(-2门=（a +2）x-) x2) 又切线过点(0,0)， -ar2-21n(-x2)=（a+2）(-x2), M(0,ex1-e+1), 所以|AM=√J+(ex)卫-√1+e·| ∴.x2=-e,k2=a 2,k1-k2= x1, 解(1)因为(x)=3.x2一8x+5, 同理|BN|=J1+e,·|x2|, 所以f(2)=1, 所以 AM √1+e2x·lx1 1+e2 又f(2)=一2，所以曲线f(x)在，点(2， BN √1+·|2 V1+e2 f(2))处的切线方程为y一（一2）=x一2， 即x一y一4=0. 1+2x (2)设，点坐标为(x0,xi一4x十5.x0一 V1+e-2r =e1∈(0,1).] 4), 课时分层检测（二十一） 因为f'(xo)=3.x号-8x0十5， 所以切线方程为y-(-2)=(3品-8x0十1. f(x)=2x-sin x, 5)(x-2), ∴.f(x)=2-cosx>0在(-∞，十∞)上恒 成立， 又切线过，点(x0,x8-4x品十5x0-4), .f(x)在（一∞，十∞）上是增函数.] 所以3-4品+5-2=(36-8。+5)·2.D[由f(x)的图象可知，f(x)在(-0,0) (x0-2), 上为单调递减函数，故x∈（一，0）时 整理得(x0-2)2(x0-1)=0, f(x)<0,故排除A,C:当x∈(0，十∞)时 解得x0=2或x0=1, 函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再 所以经过，点A(2,一2)的曲线f(x)的切线 递增，所以f(x)的值是先正，再负，最后是 方程为x-y-4=0或y十2=0. 正，因此排除B,故选D.] 解 (1)方程7x-4y-12=0可化为y= 3.C[由题意知，f(x)=a.x2十2x+1, 1x3, 若f(x)在R上单调递增，则f(x)≥0恒 成立， 当r=2时y=号 则a>0, 1△=4-4a0, 解得a≥1， 又片f(x)=a+2 故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要 不充分条件，] 1 2a- 2=2 4.C[依题可知，f'(x)=ae 1≥0在(1 b 7 解得∫a=1, b=3. a+4 2)上恒成立，显然a>0, 4 3 所以re≥】在(1,2)上恒成立， ∴.f(x)=x一 a (2)设P(x,yo)为曲线y=f(x)上任 设g(x)=xe,x∈(1,2)， 一点， 所以g'(x)=(x+1)e>0, 所以g(x)在(1,2)上单调递增 由y'=1+ 广知曲线在点P(0)处的切 3 g(x)>g(1)=e,故e≥ 线方程为y一一 (x 即a≥1 =e1,即a的最小值为e1.] 5.B[函数fx)=2x3-ax+6,则f(x) 6 令x=0,得y= 6x2 ∴.切线与直线x=0的交点坐标为 当a0时，f(x)≥0恒成立，函数f(x)在 其定义域内单调递增。 当a>0时，令f()-0,解得x-±√合， 令y=x,得y=x=2x0 ,切线与直线y=x的交点坐标为(20 当x(√，+∞）时，f(x)>0,数 2x0). ,.曲线y=f(x)在，点P(xo,y0)处的切线 f(x)递增. 与直线x=0和y=x所国成的三角形的 ,函数f(x)的一个单调递增区间为[1， 面积S=1 6 2 ·12xo=6. Lo 十o),故得合-1，解得a-6: 故曲线y=f(x)上任一，点处的切线与直线 1 ·x∈(-1,1)时，f(x)<0,函数f(x)单调 x=0和y=x所国成的三角形面积为定 递减， 值，且此定值为6. !6.AD[三次函数的单调性、零点个数、极值 C[如图所示，若使 点十曲线的对称性 PQ取得最小值，则 ⊙ -sin 由题可知f(x)=6x(x-a). 曲线y -sinx(.x∈ 3-2y-6=0 ; 对于A,当a>1时，由f'(x)<0得0<x< [0,π])在点P处的切 a,由f(x)>0得x<0或x>a,则f(x)在 线与直线x-2y-6 (一∞，0)上单调递增，在(0，a)上单调递减 =0平行，对函数y=一sinx求导得y'= 在(a,十∞)上单调递增，且当x→一∞时， -cos,令y=2,可得osx= 2,因 f(x)→-∞，f(0)=1,f(a)=-a3+1<0 当x十∞时，f(x)→十∞，故f(x)有三个 为0≤x≤π，解得x= 2π.故选C.] 零点，A正确： 对于B,当a<0时，由f'(x)<0得a<x (0,1)[由题意得，f(x)=|ex-1|= 0,由f'(x)>0得x>0或xa,则f(x)在 1-e2,x<0, ∞，a)上单调递增，在(a,0)上单调递减， 1ex-1,x≥0， 在(0，十∞)上单调递增，故x=0是f(x)的 则f()-{eo. 极小值点，B错误： ex,x≥0， 对于C,当x→十∞时，f(x)→十∞，当x→ 所以点A(x1,1一e1)和，点B(x2,e一1)， 一∞时，f(x)一∞，故曲线y=f(x)必不 存在对称轴，C错误； kAM=一e'1,kBN=e2, 所以-e1·e2=-1,x1十x2=0, 对于D,解法一（配方、平移）f(x)=2.x3 所以AM:y-1十e=-e(x-r1), 3a2+1-2(x-号）-号(x-号） 471 1-号，令一一号，则f可转化为g0- 2-号01-号南y-2 函数，且其图象关于原点为对称，可知g()的！ 图国象美子点(01一号)对称，则的图 象关于点（受1-受）对卷，能存在a=2, 使得点(1，f(1)为曲线y=f(x)的对称中！ 心，D正确.故选AD. 解法二（二级结论）任意三次函数f(x)= a.x3十b.x2十cx十d(a≠0)的图象均关于点 (一品（品）)成中心对称D正确：故 进AD.] .BD[f=x-9=2-9(x>0. 令f(x)>0,得x>3,令f(x)<0,得0<x1 3, 所以函数f(x)的单调递增区间为(3， +∞)，单调递减区间为(0,3)， 因为函数f(x)在区间[m一1，n十1]上 单调， 所以m10或m-1≥3、 n+1≤3 12 解得<m≤2或m≥4.] 8.BD[构造函数F(x)-fC巴 cos x' 依题意当x∈（-受，受）时，F(x)- ()cof)sin. cos2r 故画数F()在(-受，受)上单调递增， f() cos 0 π cos 即f0)<f()排除A: ()小) () 即1()>f()B正确： 由Fo<F(） () 即f0)<2f(号）排除C: ()()) (-) os (- 即f(-)<f(-)D正确] 9.x2(x≠0)（答案不唯一）[设f(x)-x2 (x≠0)，因为f(-x)=x2=f(x)(x≠0)， 所以f(x)是偶函数；x>0时，f'(x)= -2x3<0,所以f(x)在(0，十∞)上单调 递减：f(x)=x2>0,f(x)的值域是(0， 十0).] 10.(-∞，-√5)U(5,十∞)[由题意得 f'(x)=3.x2+2b.x+1, 函数f(x)=x3+bx2十x恰有三个单调 区间， 则函数f(x)=x3十bx2十x有两个极 值点， 即f'(x)=3x2十2bx十1的图象与x轴有 所以c一1≥一1，即c≥0 两个交点， 所以c的取值范国是[0，十∞) 则判别式4=4b2-12>0, (2)8(x)-In +1-(Ina+1)_Inz-In a 解得b>√3或b<一√3. x-a 所以实数b的取值范国为（一∞，一√5）U} (x>0且x≠a), (5,+∞).] 因此g'(x)=a-xlnx+xlna x (x-a)2 [因为f(.x)=ex-1+x2- m(x)=x-a-xln x+xlna, 则m'(x）=lna-lnx, 2x=ex-1川+(x-1)2-1,则f(x+1)= 当r>a时，lnx>lna, ex+x2-1, 所以n'(x)<0,m(x)在(a,十∞)上单调 令g(x)=e+x2-1,则f(x)的图象是 递减， 由g(x)的图象向右平移1个单位得到， 当0<x<a时，lnr<lna, 又g(-x)=e-+(-x)2-1=ex+ 所以n'(x)>0,n(x)在(0，a)上单调 递增， x2-1=g(x),即g(x)=ex+x2-1为偶 函数， 因此有n(.x)<n(a)=0, 即g(x)<0在x>0且x≠a上恒成立， 且当x≥0时g(x)=e+x2-1, 所以函数g(x)在区间(0，a)和(a,十o)上 所以g(x)在[0，十∞)上单调递增，则g(x) 单调递减 在（一∞，0）上单调递减， 所以f(x)在(1，十∞)上单调递增，在 :15.CD[f(x)=e2在[1，√3]上单调递增，设 (一o∞，1)上单调递减，且关于x=1对称， g)=f-g,g)--D,r 所以f(x)>f(2.x)时，有|x-1|>|2.x-1|, .2 解得0<<子.] [1],g(x)=(CD>0,g(r)为增 (号）f- 函数，故A错误：f(x)=lnx在[1,3]上 a 4x+ 单调递增，设(x)=f_严，'(r) 若函数f(x)在[1,2]上单调， 即f'(x)= 三-4x+≥0或f(x)= -ln工，x∈[1，W5],h'(x)>0,h(x)为增 3一4x十 1≤0在[1,2]上恒成立， 函数，故B错误：f(x)=x2一2x十3在 3≥4x1 即 1 3≤4r-在[1,2]上 [1,上单调递增，设k(r)=f卫-r一2 恒成立. +，k-3 x∈[1N3,k(x)<0,k 令h(x)=4x- ,则h(x)在[1,2]上单调 (x)为减函数，故C正确；f(x)=一x2十 2√3x十3在[1，W3]上单调递增，设q(x)= 递增， f(x) 3 所以三≥h(2)或三≤h(1),即三≥ 5 2 或 -+2+2g)=-1- 么3 x∈[1,3]，g(x)<0,g(x)为减函数，故D a 正确，门 ,16.C令g(x)=xf(x), 又a>0,所以0<a≤ 2或a≥1 由于f(x)为偶函数，则g(x)为奇函数， 所以g(x)=f(x)十xf(x). 因为f(x)在[1,2]上不单调，所以 因为当x>0时.f>-f(x, a<1.] r2- 即fx）+xf（>0, (1)当a= 时，f(x)= 3 2 所以f(x)十xf(x)>0,即g(x)>0. e 7 3 所以当x>0时，g(x)在(0，十∞)上单调 递增. f'(x)= -x2+2x- ! 因为g(x)在R上为奇函数且在R上存在 导函数，所以g(x)在R上为增函数。 f1)=-2f- 1 因为f(2)=1,所以g(2)=2f(2)=2, 又(x 2-x)f(x2-x)>2等价于g(x2-x)> ∴，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方 g(2), 程为叶 =1(x-1) 所以x2-x>2,解得x<-1或x>2. 综上所述，x的取值范国为（一∞，一1）U 即为：2x-2ey-3=0. (2,十o). (2)由f(x)在(2，+∞)上为减函数， /(x)--2+2(a+Dx-2≤0在(2. 课时分层检测（二十二） 1.B [由已知，得f(x)的定义域为(0，十o∞)， 十∞)上恒成立， 可得2a≤-2在(2，十00)上恒成主， f(x)=3.x 1=3x2-1 x-1 √3 令=_-1D2+ 令f(x)=0,得x >0. 3 舍去 3 x-1 (x-1)2 ,∴·u(x)在(2，十∞)上单调递增 当>5时，f(x)>0:当0<<5时， ,u(x)>u(2)=0,2a0, 因此a∈(-o∞，0]. f(x)0 解(1)f(x)≤x十c等价于lnx- 所以当工=时，代取得极小值. c-1. 令h(x)=lnx-x,x>0, 3 从而f(x)的极小值，点为x= ,无极大值 则'(x)=1-1=1-g 3 x 点，故选B.] 当0<x<1时，h(x)>0， 2.A图为 所以h(x)在(0,1)上单调递增： 当x>1时，h'(x)<0, 所以f(x)=x2一4， 所以h(x)在(1，+∞)上单调递减 由f(.x)=x2-4>0,得x>2或x-2, 故h(x)max=h(1)=-1, 由f(x)=x2-4<0,得-2<x<2, 472