培优点10 阿波罗尼斯与蒙日圈-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 培优点10阿波罗尼斯圆与蒙日圆 在近几年全国各地的解析几何试题中可以发现许多试题涉及隐圆、蒙日圆，这些问题聚焦了轨迹方 程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，难度为中高档 考点一阿波罗尼斯圆 即学即练1(1)阿波罗尼斯是古希腊著名数学 “阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点 家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期 A(-a,0),B(a,0)(a>0)的距离之比为正数A 数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研 众1)的点的载迹是以C。0)为圆心 究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的 是：已知动点M与两个定点A,B的距离之比为 2入为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆。 入（入>0，且入≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗 2-1 尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2，动 [例1](1)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥 点P满足盼=，则1PA+1PB:的最大 曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥 曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余 值为 地，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距 A.16+8√3 B.8+45 离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是 C.7+4√5 D.3+5 圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆Γ： (2)如图所示，在平面直角坐 标系xOy中，点A(0,3),直 。3十泛1(a>b>0),A,B为椭圆下长轴的端 A 线l:y=2x一4，设圆C的半 点，C,D为椭圆T短轴的端点，动点M满足 径为1，圆心在1上. IMA=2,△MAB的面积的最大值为8，△MCD ①若圆心C也在直线y=x一1 MB 上，过点A作圆C的切线，求 的面积的最小值为1，则椭圆工的离心率为 切线的方程； ②若圆C上存在点M,使|MA=2|MO,求圆 (2)已知点P是圆(x-4)2+(y一4)2=8上的动 心C的横坐标a的取值范围. 点，A(6,-1),O为坐标原点，则PO+2PA 的最小值为 [听课记录] 考点二 蒙日圆 +/思维升华/++ 在导 =1(a>b>0) 阿波罗尼斯圆的逆用 上，任意两条相互垂直的切线的 当题目给了一个圆的方程和一个定点，我们 交点都在同一个圆上，它的圆心 是椭圆的中心，半径等于椭圆长 可以假设另一个定点，构造相同的阿氏圆，利 半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙 用两圆是同一个圆，便可以求出定点的坐标 ++十+++++++++++++++十++十 日圆 精品教辅·智慧人生 194 第八章直线和圆、圆锥曲线 设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条： +/思维升华/++++++++++++++ 切线，交椭圆于点A,B,O为原点， 蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广 性质1PA⊥PB 双曲线 =1(a>b>0)的两条互相垂 性质2ap·kA=- 直的切线PA,PB交点P的轨迹是蒙日圆： 性质3M·kp1=- a2,aw·kp阳= 2 (垂 x2+y2=a2-2(只有当a>b时才有蒙日圆). 径定理的推广) 性质4PO平分椭圆的切点弦AB. 性质5延长PA,PB交蒙日圆O于两点C,D, 则CD∥AB. 性质6S△AB的最大值为空，S△g的最小值 抛物线y2=2px(p>0)的两条互相垂直的 为Q62 a2+b2 切线PA,PB交点P的轨迹是该抛物线的准 性质7 a S△APs的最大值为。十F,SAAPB的最 线：x=一 (可以看作半径无穷大的圆). 2 小值为车 即学即练2（多选）画法几何的创始人—法国 数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互 [例2](1)蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定 理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切 相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心 线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为 的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 原转圆的檗日圆，若裤圆C:车2+兰-1a>0) 62 =1(a>6>0)的离心率为号，F1,F 的蒙日圆为x2十y2=6,则a= ( 分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上，直线 A.1 B.2 C.3 D.4 l:bx十ay-a2-b2=0,则 (2)已知A是圆x2十y2=4上的一个动点，过点 A.直线l与蒙日圆相切 A作两条直线12，它们与椭圆写+y2-1都只 B.C的蒙日圆的方程为x2+y2=2a2 有一个公共点，且分别交圆于点M,N. C.记点A到直线1的距离为d,则d-|AF2|的 ①求证：对于圆上的任意点A,都有11⊥12成立： 最小值为45-6V26 ②求△AMN面积的取值范围， 3 D.若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形 听课记录 MNGH的面积的最大值为8b [能力提升] 1.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理 的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交 点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的 蒙日圆.若椭圆C:+ +业=1(a>0)的离心率 为行，则椭圆C的蒙日圆的方程为 A.x2+y2=19 B.x2+y2=17 C.x2+y2=15 D.x2+y2=14 195 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 2.19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了 a2=0.下列说法中正确的有 () 画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提 A.椭圆C的“伴随圆”的面积为3π 出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂 B.对直线l上任意点P,都有|PF|十|PF2>2a 直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上， 称为袋日圆，椭圆后+ =1(a>b>0)的蒙日圆 C.动点A到直线1的距离最大值为4， 3 D.椭圆C的“伴随圆”的两条弦PM、PN都与椭 方程为x2十y2=a2+b2.若圆(x-3)2+(y- 圆C相切，则△PMN面积的最大值为3 m)2=9与椭圆号+y=1的蒙日圆有且仅有一7.（多选）画法几何的创始人法国数学家加斯 帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的 个公共点，则m的值为 ( 交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常 A.士3 B.士4 C.±5 D.士25 3.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内与两定 把这个圆称为该精圆的蒙目圆，已知椭圆C:号+ 点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹： y2=1.F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，直线1的 是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有△ABC, 方程为x十√2y一3=0，M为椭圆C的蒙日圆上 AC=6,sinC=2sinA,则当△ABC的面积最大 一动点，MA,MB分别与椭圆相切于A,B两点， 时，BC等于 ( O为坐标原点，下列说法正确的是 ( A.12 B.20 C.25 D.5√2 A.椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3 4.在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(1,0), B.记点A到直线l的距离为d,则d-|AF2|的 B(4,0),若直线x一y+m=0上存在点P使得 PA=PB1,则实数m的取值范围是( 最小值为 C.一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最 A.[-2,2] 大值为6 B.(-∞，-2]U[2,+∞) C.(-∞，-2√2]U[2√2，+∞) D△AOB的面积的最小值为号·最大值为号 D.[-2√2,22] 8.(多选)法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法 5.画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔· 几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的 切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该 轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个 椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日 圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆C名十 + 圆.若椭圆r: =1(a>b>0)的蒙日圆方 (a>b>0)的蒙日圆方程为x2十y2=a2十b2,F1, B分别为椭圆C的左，右焦点，离心率为气M 程为C:2+y2=号a2,过C上的动点M作r的 两条互相垂直的切线，分别与C交于P,Q两点， 为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条 直线PQ交T于A,B两点，则 ( 切线，与蒙日圆分别交于P,Q两点，若△MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C的长轴长为 A.椭圆T的离心率为号 B.△MPQ面积的最大值为多a A.25 B.45 C.25 D.4√5 6.(多选)某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆 C.M到T的左焦点的距离的最小值为(2一√2)a 的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中 D.若动点D在T上，将直线DA,DB的斜率分 心为圆心的圆，称为该椭圆的“伴随圆”.利用此 别记为则：=一号 结论解决下列回题：已知椭圆C子+火 =1(a> :9.在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0),B(3,0), 6>0)的离心率为号R1,F为C的左、右焦点且 C(0,a),D(0,a+2),若存在点P,使得|PA|= √2|PB引，|PC=|PD,则实数a的取值范围是 |F1F2|=2,A为C上一动点，直线l:bx十ay- 精品教辅·智慧人生 196 第八章直线和圆、圆锥曲线 10.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基： 米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,B的 足入=号的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方 距离之比为定值入（入>0，且入≠1）的点的轨迹是 程为 ;若点Q为抛物线 圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为 ; E:y2=4x上的动点，Q在y轴上的射影为H, 阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐 则|PA|+IPQI+IQH的最小值为 标系Oxy中，A(一2,1)，B(-2,4),点P是满 培优点11 阿基米德三角形 抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形， 如图. 性质1阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴. 性质2若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C,则另一顶点Q的轨迹为 一条直线，该直线与以C点为中点的弦平行 性质3若直线L与抛物线没有公共点，以！上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点.若直线 1方程为：a+6y+c=0,则定点的坐标为C(台，一) 性质4底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为 8p1 性质5若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小， 最小值为2. [例]过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作抛物： +/思维升华++++++++++++++ 线的弦，与抛物线交于A,B两点，M为AB的中 (1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿 点，分别过A,B两点作抛物线的切线1,2相交 基米德三角形类似性质. 于点P,△PAB又常被称作阿基米德三角形.下 (2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，则 面关于△PAB的描述： 阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆： ①P点必在抛物线的准线上： 即学即练(2021·全国乙卷)已知抛物线C: ②AP⊥PB: x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+ ③设A(x1,y1),B(x2,y2),则△PAB的面积S (y十4)2=1上点的距离的最小值为4. 的经小值为会， (1)求： (2)若点P在圆M上，PA,PB是C的两条切线， ④PF⊥AB: A,B是切点，求△PAB面积的最大值. ⑤PM平行于x轴. 其中正确的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 [听课记录] 197 精品教辅·智慧人生法二假设存在点P(3,1)满足题设，则： t>0, 设C(x1,y1),D(x2,y2). 直线PA的方程为y=专(x+2),直线PB 的方程为y=十1x-1. 3 将y=合（x+2)代入E的方程得(42+ 25)x2+162x+16t2-100=0, △>0，可得2×(-2)=16100，所以 42+25 50-812 x2=42+25 将y=1x1代入E的方程得(42土： 3 81+13)x2-24(t+1)x=0. : 24(t+1) 可得x1一42+81+13 因为四边形ABCD为梯形，所以AB∥CD, 所以0-品 于是乡十2 ，所以= 5 5 42+25 4十8+13整理可得8-122+10r- 2(t+1) 15=0, 即(21-3(42+5)=0.解得1=号 故存在点P(3,受)使得四边形ABD为 梯形。 13 1 [例2]解 1)由题意得信一京1解得 (a=b, a=b=√2. (2)证明：由(1)得双曲线C的方程为x2一： y2=2. 易知直线AB一定是不平行于x轴的直线： 且不与渐近线y=士x平行， 所以可设直线AB的方程为x=ny十n(n≠ 士1)， 设A(1M),B(x22),则y≠2，D(-2, 2) 联主{22整理得(m-1）y+ (x=ny十i, 2my+n2-2=0, 4=4+2m-2>0,则为号 由于△ABD的外接圆过原，点，且B,D两，点！ 关于y轴对称， 所以可设△ABD外接圆的方程为x2十！ y2+Ey=0. 则十明+Ey=0, (x十y+Ey2=0, 所以y2(x十y)=y1(.x号+y), 因为x号=2+听，x=2十y吃， 所以2(2y好+2)=y(2+2), 所以yy2=1, 所以当=二2-1，所以=m2+1, n2-1 则原点到直线AB的距离d= √m2+11 =1, 所以直线AB与圆x2十y2=1相切. 即学即练2解(1)当直线AB斜率不存在时，1 光时A(台）B(台一p）AB-2p 当直线AB斜率存在时， 设直线AB的方程为y-(一台) 联立抛物线方程得k2x2-(k2p十2p)x十 △=(k2p+2p)2-k4p2=4p2(k2+1)>0,1 设A（x1,y),B(x2,y2),x1十2= k2p+22-2坐+p, 此时AB=十十p-普+2p>2 显然当直线AB斜率不存在时，|AB|的值 最小， 即2p=4,解得p=2, ,抛物线E:y2=4x (2)设A(x1,y),B(x2,y2),C(-4,y), D(-44),则0A:y= 4x,0B:y-y2 由(1知1x2=…1%=-p2=一4， 为=二16 y=6-二-1 -4 设圆心M(%),剥6=当十4=2y 2 y 若G(t,0)(t为定值)，H(m,0), 则x0=十抛 2· 由MD=MG,得(x0十4)2+(%-y4)2= (x0-t)2十y哈， 十4m+80=一m,m=二一80也为 t+4 定值」 ,H也为定点 若1=-8，则m=12.S=号1FHl,-为= 号--号+≥号×4-2 11 当且仅当y]=士2时取到最小值， 故△ABH面积S的最小值为22. 培优点10阿波罗尼斯圆与蒙日圆 例1](1)解析设点M(x,y),设，点A(一a, 0),B(a,0) MA 由TMB =2可得|MA|=2MB|, 即√(x+a)2+y2=2√(x-a)2+y. 整理可得x2十y2-10ex十a2=0, 即(-）+-c 91 所以，点M的轨是以点（号0）为国心 以3a为半径的圆。 4 点M到x轴的距离的最大值为3Q,则！ △MAB的面积的最大值为宁×2a×号 q- 4a 3 =8,解得a=√6. 点M到y轴的距离的最小值为 ba 3 号-号 1 则△MCD的面积的最小值为 ×2b×1 =1, 3 可得6一汽 c=√-P-3yE,因此，精圆r的离心率 2 为e=C= 3 a 2 答案 2 (2)解析假设A'(m,n),使得|PO= 2PA'1,设P（x,y),则√x2+y2= -442 2√(x-m)2+(y-n)2, 从而可得3x2-8m.x+4n2+3y2-8ny十 ㎡-0，从而可如国心生标为（货，号智） 由题意得圆3.x2-8mx十4m2+3y2-8y十 42=0与圆(x-4)2+(y-4)2=8是同一 个圆， 所以四=4， 3 4一4， 解得m==3,即A'(3,3). 所以|PO+2|PA|=2(|PA'|+|PA)≥ 2|A'A| =2√(6-3)2+(-1-3)2=10. 即|P)引+2|PA的最小值为10. 答案10 即学即练1(1)A[由题意，设A(一1,0)，B (1,0),P(x,y), 因为PA-5,所以+1D+-5, PB √(x-1)2+y2 即(x-2)2+y2-3, 所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为 √3的圆， 因为|PA2+|PB2=(x+1)2+y2+ (x-1)2+y2=2(x2+y2+1),其中x2+y2 可看作圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)到 原点(0,0)的距离的平方， 所以(x2+y2)mx=(2+3)2=7+4尽， 所以[2(x2+y2+1)]max=16+85,即 PA|2+|PB|2的最大值为16+8√3.] (2)解①联立y=x-1, {y=2x-4, 得圆心为C(3,2). 切线的斜率存在，设切线方程为y=kx十3. 圆心C到切线的距离 d=l3k+3-2L=,=1. √1+k2 得6=0或6=是 故所求切线方程为y=3或3x十4y一 12=0. ②设点M(x,y),由|MA|=2|MO, 知√r2+(y-3)2=2√x2+y, 化简得x2十(y十1)2=4. 即点M的轨远为以(0，一1)为圆心，2为半 径的圆，可记为圆D. 又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的 关系为相交或相切， 故1≤|CD|≤3， 其中|CDl=√a2+(2a-3)产 12 解得0≤a≤ 即圆心C的横坐标a的取值范围是 0 例2](1)解析，椭圆上两条互相垂直的 切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上， 找两个特殊点分别为(0，√a),(√a+2,0), 则两条切线分别是x=√a十2，y=√a, 则两条直线的交点为P(√a十2，Wa), 而P在蒙日圆上， .(√a+2)2+(Wa)2=6, 解得a=2, 故选B. 答案B (2)①证明当直线1，l2有一条斜率不存 在时，不妨设1的斜率不存在， “1与椭圆只有一个公共点， ∴，其方程为x=士√3， 当L1的方程为x=√3时，此时L1与圆的交 点坐标为5，士1， .L2的方程为y=1或y=一1，故l1⊥l2 成立， 同理可证，当L1的方程为x=一√5时，结论 成立： 当直线山，l2的斜率都存在时，设点A(m, n)且m2十n2=4, 设过点A的直线方程为y=k(x一n)十， 代入椭圆方程， 可得(1+3k2)x2十6k(n-kn)x+3(n km)2-3=0, 由△=0化简整理得(3一n2)k2十2n1k十： 1-2=0, .‘m2十n2=4, .(3-n2)k2+2k+m2-3=0, 设1，l2的斜率分别为k1,k2, ∴.k1k2=-1,.l1⊥l2成立， 综上，对于圆上的任意点A,都有4⊥2 成立. ②解记原点到直线L1,2的距离分别为！ d1,d2, ,MA⊥NA,∴.MN是圆的直径， ∴.|MA|=2d,|NA|=2d1,d+d号= 1OA2=4, 则△AMN的面积为S-号IMAI·NA|- 2d1d2, 则S2=4dd=4d(4-d)=-4(d 2)2+16, d1∈[1，√3，即d∈[1,3]， .S2∈[12,16]， .S∈[2w3,4], 故△AMN的面积的取值范国为[2√3,4]. 即学即练2AC[对于B,因为点Q(a,b)在： 蒙日圆上， 所以方程为x2十y2=a2十b2, 故C的蒙日圆的方程为x2十y2=3b2,故B1 不正确； 对于A,圆心O到直线l:bx十ay-a2-b2 =0的距离为d=二a2-=56,故A √a2+b 正确： 对于C,由A在椭圆上，得AF1|+|AF2|=2a, 所以d-|AF2|=d-(2a-|AF|)=d+ |AF1-2, 当F1A⊥l时，d十AF1有最小值， 由上可得2=a2-2=2b2-2=b2， 即，点F1到直线【的距离 d= 1-bc-a2-P1 |bc+a2+b2| √a2+b2 Va2+b2 A3b. 3 所以d-AFnm-4b-2b= 3 4尽-6②)b,故C正确： 3 对于D,当矩形四边形与椭圆C相切时，它： 为蒙日圆的内接矩形， 对角线为蒙日圆的直径， 设边长为x,y,则 x2+y2=(2r)2=4r2=122, 所以SE号=y≤十-662，故D不 2 正确： 故选AC.] 能力提升 1.B[因为精圈C:上 + 片1(a>0)的离心率 则1 -,解得a=8,即椭圆C的方程： .9c2=36,c=2, 3 .b=2c=4,.a=25, 为号+ =1 .椭圆C的长轴长为2a=4√5. 故选B.] 于是椭圆的上顶点A(0,2√2)，右顶点B(3,6.ACD[对于A,因为点Q(a,b)在伴随 0), 圆上， 经过A,B两点的椭圆切线方程分别为y= 所以方程为x2十y2=a2十b2, 2√2，x=3, 则两条切线的交，点坐标为(3,2√2)，显然这 因为F,F=2,又e=二-，所以ad 2 两条切线互相垂直， 2,b=c=1,伴随圆程为x2十y2-3,面积为 因此点(3,2√2)在椭圆C的蒙日圆上， 3π，所以A正确； 圆心为椭圆C的中心O,椭圆C的蒙日圆半 直线L的方程为x十√2y一2=0，所以椭圆 径r=√32+(2②)2-√7， 所以椭圆C的蒙日圆方程为x2十y2=17: 方程号十少=1，组成方程组去x得 故选B.门 4y2-4√2y+2=0, B[由题意可得精号+-1的日 △=322一4×4×2=0，所以直线与椭圆相 切，切点到两焦点的距离和为2a,故B 的半径r1=3+1=2 错误； 所以蒙日圆方程为x2十y2=4, 对于C,平移直线【与椭圆相切时，切点线直 因为周(x-3)2+(一m)2=9与精圈号 线l的距离最大，设切线方程为x十√2y十m =0, y2=1的蒙日圆有且仅有一个公共点， 所以两圆相外切， 与描圆方程号十2-1，联立可得 所以√32十m2=3十2，m=士4. 4y2+2V2my+m2-2=0,由 故选B.] △=8n2-16(m2-2),得m=土2， C 「如图所示，以AC的 得两切线方程为x十√2y十2=0，当点A在 中点为原点，AC边所在 直线为x轴建立平面直 切点处时到直线I:x十√2y一2=0的距离的 角坐标系， 因为|AC|=6,所以A 最大值为2十2-4巨，故C正确： W1+2 3 (-3,0),C(3,0), 由伴随圆的定义 设B(x,y),因为sinC=2sinA, 可知， 由正弦定理可得AB=2BC, MP⊥PN, 所以(x+3)2十y2=4(x-3)2十4y2, 则MN为伴随圆的 化简得(x-5)2+y2=16,且x≠1，x≠9， 直径， 圆的位置如图所示，圆心为(5,0)，半径r 连接OP, =4, .OP=√a2+b2 观察可得，在三角形底边长|AC不变的情 况下，当B,点位于圆心D的正上方或正下 则|MN|=2OP|=2√a2+b2 方时，高最大 设MP|=m,|PN|=n, 此时△ABC的面积最大，B点坐标为(5,4)· ∴.m2+n2=MN|2=4(a2+b2), 或(5，-4)， 又n2十n2≥2m1(当且仅当n=n时取 所以|BC=√/(5-3)2+42=2W5.] 等号)， D[设P(x,y), ∴.4(a2+b2)≥2n,即mn2(a2+b2), 刚|PA|=√/(x-1)2+(y-0)2, S△MrQ=2mu≤2·2(a2+b2)=a2+ 1PB|=/(x-4)2+(y-0)2, b2=3.故D正确 周为PA-IPB, 故选ACD.] !7.ACD[对于A,当直线MA,MB一条斜率为 所以√(x-1)2+(y-0)2 0,另一条斜率不存在时，则：M(士√2，士1) -x-02+0-0. 由蒙日圆的定义可得蒙日圆方程为：x2十 同时平方，化简得x2十y2=4, y2=2十1=3，故A正确： 故，点P的轨远为圆心为(0,0)，半径为2} 的圆， 又，点P在直线x一y十m=0上， 故圆x2十y2=4与直线x一y十m=0必须 有公共点，所以m≤2， wW1+1 解得-2√2m≤2√2.] B[“椭圆C的离心率e=￡= ，a= 对于B,A为椭圆C上的，点， 5 |AF1|+|AF2|=2a=2√2， √5c. ∴.d-|AF2|=d-(22-|AF1|=d+ 又a2=02+c2,∴.b=2c, |AF1-2√2； ∴，椭圆C的蒙日圆的半径为√a2十2=3c. :d十|AF的最小值为点F1到直线1的 ,MP⊥MQ,∴，PQ为蒙日圆的直径 距离，又F1(一1,0)， ∴.|PQ=6c, .|MPI2+1MQ12-|PQ12=36c2 4 ∴(d+|AF1l)min= 4V3 又IMP1·MQ1≤MP+MQ2-18,2, 1+2 31 ∴d-1AFD血-4-2E,B错误： 当且仅当|MP|=|MQ=3√2c时，等号 3 成立， 对于C,矩形四条边均与C相切，该矩形为 ,∴.△MPQ面积的最大值为： 蒙日圆的内接矩形， MP·1MQ=e2. 设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径r √5，.∴.m2+n2=(2√3)2-12 443 “mm≤号(m2+2)-6(当且仅当m=n= √6时取等号)， 此矩形面积最大值为6，C正确： 对于D,设A(工1，y)位于椭圆上半部分，即 22 在A处的切线斜率k= 2- 1,切线方程为：y-y1=一 2y 2y1 x1), 即x1x十2y1y=x号+2y号=2，∴在A处的 切线方程为：2xx十yy=1, 同理可得：当A(少)位于椭圆下半部分， 即y=√厂子2，切线方程为：子1x十 yy=1, 在点A处的切线方程为号x十y=1,同 理可知：在点B处的切线方程为：号十 2y=1, 设H(0,则宁十功物=1且 1 2x2o十y2%=1, 分AB尘标清足方程了 即切点弦AB所在直线方程为：豆x十 %y=1 当%=0时，M(士√5,0)，此时AB所在直： 线方程为：江=士23 3 4 AB=21 32√3 23 SAOB= ×25×25-2 2 3 339 当60时，由交x十%y-1 得： ++1 (2y2)x2-4.x0x+4-4y=0, 由A知：x8十y呢=3， .(6-x8)x2-4x0x+4x8-8=0, 设A(x1y1),B(x2y2),则 场-18二8 4x0 x1+x2= 6-x号 AB1A√1+ ）一4X8 6+46 6-xW4y /16(x6-3)(x6-4) (6-x3)2 又原，点O到直线AB的距离 1 2 d=- .S△AOB= aB1·d- x品十4哈 4yo /16(x品-3)(6-4) 2 /4(4-6)1 W (6-x品)2 「√6 6-x6-2 2 1 -∈[0,3，则[吉 令 6-x6 ) ,y=一22十t为开口方向向下，对称轴为1 1=的抛物， 181 4 2 ymin = 1 2×) 11 ② 2 (S△AB)mx=，(S△B)mimn= 综上所述：三角形的面积的最小值为子，最 大值为 ,故D正确.故选ACD.] ,ABD[依题意，过椭圆T的上顶，点作y轴 的垂线，过椭圆Γ的右顶点作x轴的垂线！ (图略)，则这两条垂线的交点在圆C上， 所以a2+2-是a2,即a2=202, 所以的心一台√ 盟故A正线： 因为点M,P,Q都在圆C上，且∠PMQ=90°， 所以PQ为圆C的直径， 所以Q-2X号a2-6a, 所以△MPQ面积的最大值为立|PQ|· √层0=受√层-故BE确： 3 2 设M(x0,y%),的左焦点为F(一c,0), 连接MF(因略)，因为c2-d2-B-合2， 所以MF2=(x。十)2十哈=x号十哈十 2xoc+c2= 2a2+2aro 又6 √6 2a≤xo≤2a, 所以|MF|2∈[(2-√5)a2,(2+√3)a2], 则M到T的左焦点的距离的最小值为！ (6-②)，故C不正确： 2 由直线PQ经过坐标原点，易得点A,B关 于原点对称，设A(x1,y1,D(x2y2), y1十y2 B(112 x1-x2 「x 又 262 P1 所以+- x =1, 22 =0. 所以-二·十--， x-x号x1-x2x1十x2 1 所以12=-乞故D正确] [-2√2-1,2√2-1][设P(x,y),则 √(x-1)2+y2=√2·√(x-3)2+y2,整 理得(x一5)2十y2=8,即动点P在以(5,0) 为圆心，2√2为半径的圆上运动.另一方面， 由|PC=|PD|知动点P在线段CD的垂 直平分线y=a十1上运动，因而问题就转化 为直线y=a十1与圆(x-5)2十y2=8有交 点.所以|a十1≤2√2.故实数a的取值范 周是[-2√2-1,2√2-1].] 0.(x十2)2十y2=4√10-1[设点P(x, y),1= 2 PA 1 .PB可 一2 → W/(x+2)2+(y-1)2 √/(x+2)2+(y-4)2 = 2 444 。该阿氏圆方程为 (x+2)2+y2=4. 设抛物线的焦，点为点F, 如图所示，由题意知F(1, 0),QH=|QF-1, .(|PA+|PQ+ IQHI)min =(I PA IPQI+I QF I-1)min =AF-1 √(-2-1)2+1卫-1=√/10-1.] 培优点11阿基米德三角形 例]解析设A （x1,y1),B(x2 A y2),则过A,B的切 线方程分别为yy1 =px十px1,yy2= pr十px2,联立解得 P(,”2)】 所以P点必在抛物 线的准线上，且PM平行于x轴，所以①⑤ 正确； 两条切线的斜率k1k2=卫·卫=一1，所 y1 y2 以AP⊥PB,②正确： 设AB的中，点M,则PM平行于x轴，则 s-专PM的-为-号（产+ ）)-%≥，当AB1x轴时，取等 号，所以③错误： 期-当整·2单=-1，所以PFL -2p y1十2 AB,④正确. 故选C. 答案C 即学即练解(1)由题意知M(0,一4)，F0, 台)国M的半径r一1，所以M-r-4,即 号十4-1-4，解得p-2. (2)由(1)知，抛物线方程为x2=4y, 由题意可知直线AB的斜率存在，设 A手)B(,)直钱AB的方程 为y=kx十b, 联立{红+b消去y得2一x一4h=0。 x2=4y, 则△=16k2+16b>0(※)，x1+x2=4k, x1x2=-4b, 所以|AB引=√1十k1-x2|=√1+k2· √(x1+x2)2-4x12=4√1+k2·V+b. 因为2-4y,即y-千，所以)-专，则抛 物线在点A处的切线斜率为号，在点A处 的切我方程为y一手-号（红一，即 一2 x号 同理得抛物线在点B处的切线方程为y= y= 4 ,红=十2-2k, 2 联立 则 1 即P(2k,一b).因为点P在圆M上， 所以4k2+(4-b)2=1, ① 且-1≤2k≤1，-5≤-b≤-3， 即一 <k长，3<b长5，满足（）. 设点P到直线AB的距离为d,则d= |2k2+2b1 √1+k2