培优点9 新情景、新定义下的数列问题-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 培优点9新情景、新定义下的数列问题 近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它们对数列综 合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列与集合，难度较大 考点一数列中的新概念 +/思维升华/++ 通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识 ; 与数列的新概念有关的问题的求解策略 为问题背景，直接利用创新概念的内涵来构造相 ①通过给出一个新的数列的概念，或约定 * 应的关系式（或不等式等），结合相关知识中的性 种新的运算，或给出几个新模型来创设新问 质、公式来综合与应用. 题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据 [例1](1)(2025·四平模拟)图①是中国古代建筑 题目提供的信息，联系所学的知识和方法， 中的举架结构，AA',BB',CC,DD是桁，相邻桁 实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某 古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1,CC1, ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定 BB1,AA1是举，OD1,DC1,CB1,BA1是相等的 义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的 步，相邻桁的举步之比分别为DD CC 要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使 OD =0.5 得问题得以解决 BBL=k2'BAi 十十十十▣十十十十十十十十十十十十 k1CB1 2,AA=k.已知k1,k2,kg成公差为 即学即练1（多选）(2025·临邑模拟)在数列 0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则 {am}中，若a员-a品1=p(n≥2，n∈N",p为常 k3= ) 数)，则称{am}为等方差数列，下列对等方差数列 的判断正确的有 () A.若{an}是等差数列，则{a}是等方差数列 B.数列{（一1）"}是等方差数列 C.若数列{an)既是等方差数列，又是等差数列， 图① 图② 则数列{an}一定是常数列 A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 D.若数列{an}是等方差数列，则数列{am}(k∈ (2)将1,2，…，n按照某种顺序排成一列得到数 N·,k为常数)也是等方差数列 列{an},对任意1≤i<j≤n,如果a;>a;,那么称 考点二以数列和项与通项关系定义新数列 数对(ai,a,)构成数列{an}的一个逆序对.若n= 4,则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为 [例2](1)(2025·锦州模拟)如果有限数列{am}满 ( ) 足a;=am-+1(i=1,2,…,n),则称其为“对称数 A.4 B.5 C.6 D.7 列”，设{bn}是项数为2k一1(k∈N)的“对称数 [听课记录] 列”，其中bs,b+1,…,b2k-1是首项为50，公差为 一4的等差数列，则 () A.若k=10,则b1=10 B.若k=10,则{bn}所有项的和为590 C.若k=13,则{bn}所有项的和最大 D.{bm}所有项的和可能为0 (2)(2025·南京模拟)定义：若数列{am}对任意 的正整数n,都有|aw1|十|am|=d(d为常数)， 则称{an}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”. 精品教辅·智慧人生 130 第六章数列 已知“绝对和数列”{an}中，a1=2,绝对公和为3， 发展的一类数列求和的方法.隙积术研究的对象 则其前2024项的和S2024的最小值为 有三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等.某仓库中部 分货物堆放成如图所示的形式，自上而下，第一 [听课记录 层是1件，以后每一层比上一层多1件，最后一 层是n件.已知第一层货物的价格为1万元/件， 从第二层起，每一层货物的价格是上一层价格的 ,第n层货物的总价为 7 万元.若这 堆货物总价是(64一112× ()”)万元，则n= 听课记录] +/思维升华/+++++++++++++ 解决此类问题，关键是根据题干中的新定 义、新公式、新定理、新法则、新运算等，将新 数列转化为等差或等比数列，或者找到新数 列的递推关系进行求解， 即学即练2（多选）已知数列{am}满足：对任意 的n∈N,总存在m∈N*,使得S,=am,则称 {an}为“回旋数列”.以下结论中正确的是( /思维升华/+++++ A.若an=2023n,则{an}为“回旋数列” 对于新情景问题，关键是要从问题情境中寻找 B.设{an}为等比数列，且公比q为有理数，则 “重要信息”，即研究对象的本质特征、数量关系 {an}为“回旋数列” (数量化的特征)等，建立数学模型求解 C.设{am}为等差数列，当a1=1,公差d<0时，若 {am}为“回旋数列”，则d=一1 即学即练3几位大学生响应国家的创业号召， D.若{an}为“回旋数列”，则对任意n∈N*,总存 开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴 在m∈N",使得an=Sm 趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活 考点三数列新情景 动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案： [例3](1)九连环是中国最杰 已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8， 出的益智游戏.九连环由九个 16,…,其中第一项是2°，接下来的两项是20,21， 相互连接的环组成，这九个环 再接下来的三项是2°，2,22，依此类推.求满足 套在一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要 如下条件的最小整数N:N>55且该数列的前N 将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 下（或安上）第n号环，则第(n一1)号环必须解下 ( (或安上)，n一1往前的都要解下（或安上）才能实 A.95 B.105 C.115 D.125 现.记解下n连环所需的最少移动步数为am,已 知a1=1,a2=2,an=am-1+2am-2十1(n≥3)，则 [能力提升] 解六连环最少需要移动圆环步数为 ）1.(2025·吉林模拟)十二平均律是我国明代音乐 A.42 B.85 C.256 D.341 理论家和数学家朱载堉发明的.明万历十二年 (2)(2025·张家口模拟)“隙积 (公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二 术”是由北宋数学家沈括在《梦 平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦 溪笔谈》中创立、南宋数学家杨 通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深 辉及元代数学家朱世杰丰富和 远的影响.十二平均律的数学意义是在1和2之 131 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依： 2am,0<an≤1， 次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个 n∈N”,则 数应为 ( an0,>1, A.2 B.2 C.2 D.2 A.当n≥2时，0<an≤2 2.科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时， B.当2<a1<1时，Tn=l 给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数f(x),若 C.无论a1取何值，均存在入∈N*使得a+x=a, 数列{xn}满足Cn十1=xn一 ,则称数列x f(xn） 对任意n∈N*成立 为牛顿数列，若函数f(x)=x2,数列{xn}为牛顿数 D.无论a1取何值，数列{an}中均存在与a1的数 值相同的另一项 列且x1=2,an=log2xn,则ag的值是 ( 7.(多选)“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数 A.8 B.2 C.-6 D.-4 就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过 3.(2025·天水模拟)满足a1= 若干次这两种运算，最终必进入循环图1→4→ a2=1,an=an-1+an-2(n2 3)的数列{an)称为斐波那契 2→1.对任意正整数ao,按照上述规则实施第n 次运算的结果为an(n∈N),下列说法正确的是 数列，又称黄金分割数列. a,a 依次以斐波那契数列{an}各 () 项为边长作正方形，在每个 A.当a0=7时，则a11=5 B.当ao=16时，数列{am为递减数列 正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90 C.若a5=1,且a,(i=1,2,3,4)均不为1，则 的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐 波那契螺旋线（也称“黄金螺旋线”）.如图，圆心 a0=5 D.当ao=10时，从a:(i=1,2,3,4,5,6)中任取 角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋 线的一段，则阴影部分面积与扇形OAB面积的 ; 两个数至少一个为奇数的概率为号 比值为 ( ）8.(2025·富阳模拟)意大利数学家列昂那多·斐 A号 c 7 D. 波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1， 2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1, 4.将正整数n分解为两个正整数k1,k2的积，即n= F(n)=F(n-1)十F(n-2)(n≥3，n∈N'),此数 k1·k2,当k1,k2两数差的绝对值最小时，我们称 列在现代物理“准品体结构”、化学等领域都有着 其为最优分解.如20=1×20=2×10=4×5，其 广泛的应用.若此数列的各项除以3的余数构成 中4×5即为20的最优分解，当k1,k2是n的最 一个新数列{an},则数列{an}的前2024项的和 优分解时，定义f(n)=k1一k2,则数列{f(5”)}: 为 的前2023项的和为 ）!9.(2025·襄阳模拟)在一个数列中，如果对Vn∈ A.51012 B.51012-1 N*,都有anam+1au十2=k(k为常数)，那么这个 C.52023 D.52023-1 数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知 5.(2025·包头模拟)已知点列{Pn}中的所有点都： 数列{an)是等积数列，且a1=1,a2=2,公积为8， 在△ABC内部，△ABP,的面积与△ACP,的面 则a1十a2十a3十…十a12= 积比值为号在数列1a,}中，a1=1,若Vn∈N 10.已知数列{an},令bk为a1a2,…,a6中的最大 值(k=1,2,…,n),则称数列{bn}为{an}的“控 且n≥2，APn=3anAB+(4am-1十3)AC恒成立， 制数列”，{b}中不同数的个数称为“控制数列” 那么a4= {bn}的“阶数”.例如：{an}为1,3,5,4,2，则“控 A.15 B.31 C.63 D.127 制数列”{bn}为1,3,5,5,5，其“阶数”为3，若 6.(多选)(2025·太原模拟)已知各项均为正数的 {an}由1,2,3,4,5任意顺序构成，则使“控制数列 数列{am}的前n项之积为Tn,且an+1= {bn}的“阶数”为2的所有{an)的个数为 精品教辅·智慧人生 132因为cos(21-1)π十cos2iπ=一cos21x十！ 方法二 由(1)知，S。=(5+2m十3)-！ 即b2>b>b4>…, c0s2nπ=0，cos21π=1， 2 又b1<b2, 于是[cosx+cos2π]+·+[cos(2n n2+4n, 所以数列{bn}的最大项为第二项，其值 1)π+cos2nπ]=0， c0s2π十c0s4π十·十cos(41一2)π十cos41π 6n=2n3,n为奇数， 14n十6，n为偶数， 为子 21, 当n为偶数时，Tn=(b1十b3十…十bg-1)十[例3]解(1)因为an+1=3an-2am-1(n≥ 所以T2m=一2. 2), 故数列{bn}的前21项和为一21. (6g+6,+…+bn)=二1+2”-1D-3. 2 即学即练2(1)C[设第1个正方形的边长1 所以an+1-an=2an-2an-1,又a1=1, a2=2. 为an,则由已知可得an=an+1sin15°+ 2 2 所以数列{an+1一an}为首项为1， an+1cos15°， 当>5时，--(受+） 7 公比为2的等比数列， 1 an sin 15+cos 15- √2sin60 所以an+1-an=2n-1, (a2+4n)-a-1D>0, 所以当n≥2，n∈N"时， 3 因此Tn>Sn, a2-41=1,a3-a2=2,…,an-an-1=2-2 当n为奇数时，若n≥3， ∴.{an}是以9为首项， 为公比的等比 则Tn=(b1+b十…+bn)+(b2十b4+…+ 所以an-a1=1+2+.+2m-2=1-2 1-2 3 bn-1) =2-1-1, 数列， 1+21-3.0+1+14+4m-1)+6.0-1 所以当n≥2，n∈N时，an=2”-1, ∴a5=a1g=9 ()-4 2 2 2 2 又a1=1也满足上式， =+-5 所以数列{am}的通项公式为an=2”-1 (2)-1 [因为x。-4m-子(a∈N). (n∈N"). 显然T1=b1=-1满足上式， 则数列{工n}是等差数列，公差为4，且 5 (2)数列{bn}中，在a+1之前共有十(1十 f(.xm)=-2,n∈N 2+…+)=+1=告项， 2 因此A=2,函数f(x)的最小正周期是4， /3 即=4，解得=受， 当m>5时，-8=（受2+-5） 当友-5时，生-20<27， (n2+4)= 又f)-f(号)-2. +2-6>0 当=6时，2十3张=27， 因此Tn>S, 2 所以当n>5时，Tn>Sn 则T27=(1+2+22+…+25)+(-12+ 即有受× 十9=π+2kπ，k∈Z, 即学即练1解(1)设等比数列{an}的公比 22-32+42-52+62) 元 为9， 1-26 由9≤2，解得9=6， 由题意}S13,得{a十a2十a=13, 1-2+(3+7+11)=26-1+21=84. 即学即练3解(1)设等差数列{an}的公差 千是fx)=2o(受x+晋） la=3as, (a2=3, 即{1)=1B·解得a1或 4=9, 为d,等比数列{bn}的公比为g, 所以6)=2o(竖+晋)=-1.] (49=3, 9=3, 由{4士d229；dg-5: 9=3 14+2d=2·g+2, (d=g2-1, §6.7子数列问题 又等比数列a,单调递增，所以{1， g=2,d=3,∴an=3n+1,bn=2 (q=3, (2)当{cn}的前60项中含有{bn}的前6项时， 例1] (1)解设等差数列{an}的公差为d, 所以an=a1·q1=3-1, 而么一公到有意 所以b1=a1=1,b2=a2-1=2, 令3m+1<27-128,n<127 所以等差数列{bn}的公差为1， 此时至多有41十6=47项，不符合题意. 则b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3 故bn=1+(n-1)×1=n. 当{cn}的前60项中含有{bn}的前7项时， 6=a1+2d-6, (2)由(1)知cn 了一n·3”,n为奇数， 令3n十128=256，.n<85, 于是名-十话招16 {n·3-1,n为偶数， 且22,2,26是{an}和{bn}的公共项， 所以c2m-1十c2m=-(21-1)·32u-1+2m· 则{cn}的前60项中含有{bn}的前7项且含 解得a=5,d=2,am=a1+(n-1)d 32m-1=32m1=a2m, 有{an}的前56项，再减去公共的三项. 2n+3, 所以T20=G+c2十cg十c4十…十c19+c20 所以数列{an}的通项公式是an=2n十3. =(c1+c2)+(c3+c4)+…+(1g+c20) :s-(56×4+655×3）+2+2+ (2)证明方法一 由(1)知，S= 25+27=4844+170=5014. n(5+2n十3）=+4， =3+3+…+319=3X(1-910) 1-9 8 培优点9新情景、新定义下的数列问题 2 1). （21一3,1为奇数， :[例2]解由题意可得3k-1=3m十m(k,解析法一如图，连接OA,延 bm-{4i十6，n为偶数， n∈N"), 长AA1与x轴交于点A2,则OA2=4OD1. 当n为偶数时，bm-1十bn=2(n一1)一3十} 因为3k,3m是3的倍数， 因为k1,k2,k成公差为0.1的等差数列， 4+6=61+1, 所以m十1也为3的倍数， 所以k1=k3一0.2，k2=k一0.1，所以CC1= 7 Ta-13十（6n十1)."一2” 令n十1=3n,则n=3i一1(n∈N"), DC1·(k3-0.2),BB1=CB1(k3-0.1), 2 2 则3k-1=33m-1十31-1=3(33n-2十n) AA=k3 BA1,Ep CC=OD (k3-0.2): 当>5时，江--(22+-+ 3 1,此时满足条件， BB =OD (k3 -0.1),AA =k3 OD. 即当m=2,5,8,…,31一1时为公共项， DD 4m-=-10>0. 所以c1十c2十…十cn=b2十b5十…十b3m-1 OD =0.5,所以DD1=0.5OD1,所以AA2= =32+35+…+33n1+(2+5+…+3n- 0.5OD1+OD1(k3-0.2)+OD(k3-0.1)+ 因此Tn>Sn 1) k3OD=OD(3kg+0.2),所以tan∠AQA2= 当n为奇数时，T。=Tn+1一bn+1= 9(27"-1)+4(3n+1(n∈N"). AA2 26 2 OA, 0D1(3k3+0.2=0.725,解得k9= 40D 3+ 1D2+子(n+1)-[4(+1)+6]= 即学即练2乙 [数列{2n一1}和数列{3n一 0.9,故选D. 21-5, 2}的公共项从小到大构成的一个新数列为 1,7,13,…,该数列是首项为1，公差为6的 当n>5时，T。-S-(号+受n-5) 等差数列， (m+4)=号(n+2(m-5)>0. 所以an=6n-5,所以bn=6m二5 2n 法二设OD1=DC1=CB1=BA1=1,则 因此Tn>Sa· 明为b1-4-+0- 2n 2n+1 DD1=0.5,CC1=k1,BB1=k2,AA1=k3 综上，当n>5时，Tn>Sn 所以当n≥2时，b+1一bn<0, 由题意，得kg=k1十0.2，k3=k2十0.1，且 418 DD.CC+B士A4-0725,即3+0.2； 得S。=2023(1+2+3+…+n)=2023× OD+DC+CB+BA n(1+1) 第n行和为a.-1X12)=20-1, 1-2 =0.725,解得k3=0.9.故选D. 2 答案D 由S,=am可得2023×u(n十1) 前行共有"十卫个数， 2 =2023m, 2 (2)解析若n=4,则1≤<j4, 由1,2,3,4构成的逆序对有(4,3)，(4,2)， 取m=nn十卫即可，则{a,}为“回旋数列”， 前（十1项和为 (4,1),(3,2),(3,1),(2,1), 2 若数列{an}的第一个数为4，则至少有3个 故A正确； S,-2X(1-2”) -=2+1一2-， 1一2 逆序对： 对于B,当q=1时，Sn=a1am=a1, 假设从第1行第1个数到第n十1行第m 若数列{an}的第二个数为4， 由Sn=am可得ia1=a1,故当n=2时，很 (1≤n1十1)个数共有N个数，则N 则恰有2个逆序对的数列{an}为{1,4,2,3}； 明显na1=a1不成立，故{an}不是“回旋数 (士1卫十m, 若数列{am}的第三个数为4， 列”，故B错误： 2 则恰有2个逆序对的数列{an}为{1,3,4,2} 对于C,{an}是等差数列，故am=1十（n一 前V项和为TN=Sa十am=2+1-2-n十 或{2,1,4,3}： 1)d, 2m一1， 若数列{an}的第四个数为4， S。=n十un,Dd,因为数列(an}是“回袭 若TN为2的整数暴，则有2十n=2m一1， 则恰有2个逆序对的数列{an}为{2,3,1,4} 2 ,N>55,.n>10,且n为奇数， 或{3,1,2,4}， 数列”，所以1十(m-1)d=n十1d. 2 当n=11时，n无整数解， 综上，恰有2个逆序对的数列{an}的个数 为5. 即m-”+n,D+1, 当1=13时，m=4,此时N=1314十4 d 2 答案B =95. 即学即练1BCD[设等差数列{am}的通项 其中m,为非负整数， 2 :能力提升 公式为an=dn十b,则a号-a号-1=（an十 an-1)(an-an-1)=(antan-1)d-(2dn- 所以要保证”恒为整数， :1.D[设等比数列的公比为g(q>0),根据题 意可得a1=1,a13=2,又a13=a1q2,所以 d十2b)d,不一定是常数，所以{a员}不是等： 故d为所有非负整数的公约数，且d<0,所 方差数列，故A错误；因为a一a员1=( 以d=一1，故C正确： g12=13 =2,所以g=2了，所以插入的第 1)2m一(-1)2(n-1)=0,所以数列{(-1)”} 对于D,由A可知，当an=2023n时，{an 是等方差数列，故B正确；因为数列{an}是 为“回旋数列”， 四个数a5=a1·g=2寸，故选D.] f(xn) 等方差数列，则a层一a2-=p,又数列{an} 取，=2023X2,S=2023×mm+D,显2.C[根据题意，+1=x。子 2 是等差数列，则a品-a员-1=(an十am-1)(am 一an-1)=(an十an-1)d=p,当d=0时，数 然不存在m,使得S,m=a2=2023×2,故D1 x 错误.] - =工m一2 列a是常数列，当d≠0时，a,-号十品·[例3】1)解析 由题意可得，a3=a2+ 2a1+1=2+2+1=5, 所以+1=1 In 2 所以数列{an}一定是常数列，故C正确：数 列{am}是a,a2,a3,…,因为(a+1 a4=a3+2a2+1=5+4+1=10, 又x1=2, a5=a4+2a3+1=10+10+1=21, a6n)=(a+2一a3n+1）=(a6n+3-ag+2) a6=a5+2a4+1=21+20+1=42 所以《}为首项是2，公比是号的等北 =(an+1)一a经(m+1)-1)=p,则(an+1 答案A 数列， an)十(a+2一a+1)十(an+3-a+2)+ (2)解析 设第n层货物的总价为an万元 一2 …十（a暖(m+1)一a是n+1)-1)=kp,所以 所以xn=2X (an+D-a)-kp,所以数列{am}(k∈ -123…则-(） ,即第1！ =22-, N“,k为常数)也是等方差数列，故D正确. 2— 故选B、C、D.] 层货物的总价为（日） 万元.设数列 所以an=lbg2xn=log222-1=2-, 所以a8=2-8=-6.] [例2](1)解析，{bn}是项数为2k一1(k: ∈N+)的对称数列，·b1=b2-1,b2= {an}的前n项和为Sm,则这堆货物的总价3.C[由题意得，a1=a2=1,ag-2,a4=3,a b2-2…, 为S。万元，易得5-1×（）+2× -5,则阴影廊分面积为牙(d+十a十 b-1=bk+1· k(-1D×4× ()'+3x() ++mx() a+a号)= fb}的和S21=（50k 至×12+12+2+32+52)= 2 2-50=-4k2+104k-50=一4(k-13)2+626, ①.则s-1×()+2×(日) 10元，扇形OAB的面积为8不-16元，所以所 4 对于A,k=10,则b1=b19=50-4×9=14, 错误； 3×()）++m×(号)，@.①-②得 家此值为8经骨故速C] 对于B,k=10,则所有项的和为 4.B[当n=2k(k∈N")时， (50×10-10X9×4×2-50=590,正确： 由于52k=5×5,此时f(5逊)=5-|=0， 2 s=1+()'+(后)+（合）'+… 当=2k-1k∈N)时，由于-1=51×5， 对于C,{b,}的和S-1=-4(k-13)2+626, 此时f(52k1)=|5-5-1|=5一5-1， 当k=13时，和最大，正确： 所以数列{f(5”)}的前2023项的和为 对于D,S2k-1=-4k2+104k-50=0,方程！ 7 无正整数解，错误， 1一8 (5-1)+0+(52-5)+0+(53-52)+0+.+ (51-50)+0+(5012-511）= 答案BC (2)解析依题意，要使“绝对和数列”{an} (层)=8-8+)·（）八所以 51012-1.] 5.D[如图，延长AP。交BC 前2024项的和S2024的值最小，只需每一 项的值都取最小值即可.a1=2,绝对公和 Sm=64-8(8十)· 日）：若货物的总价 S△ABP= d=3,.a2=-1或a2=1(舍)，∴.g=-2或} 于D,则S△ABD S△ACP S△ACD B a3=2(舍)，.a4=一1或a4=1(舍)，…，.满1 万元，则8(8十n)= APn 足条件的数列{an}的通项公式a,= 是64-12×（日） AD.又△ABPn的面积 2,n=1, 112,解得n=6. 与△ACP,的面积比值为子 S△ABD 一2，n为大于1的奇数，·S2024=a1十 21 7 6 S△ACD (一1,1为偶数， 答案8) (a2十ag)十(a4十a5)+…十(a2o22十a223)即学即练3A[将数列排成行的形式 子器子点D是边BC上靠道点 +a2024-2+(-1-2)×2023-1-1= B的四等分点.AD=AB+BD=A店+ 2 1,2 -3032. 1,2,4 成-+十（花-）-导花+ 答案-3032 1,2,4,8 即学即练2AC[对于A,由an=20231可 第n行为20,21，…，2m-1, 子AC,又A立-3u.A店+(u1+3)Ac, 419 /:4-4at3.a,=4加1十 2.(1)斜二测画法(2)①垂直②分别平行[例4](1)解析以边长为2的正方形的一 3 1 :于坐标轴不变一半 边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转 13.2πrlπrlπ(r1+r2)l 体为圆柱，其底面半径r=2,高h=2, 3(m≥2).由a1=1,依次计算得到@g=7,4Sh a3-31,a4=4×31+3-127.故选D.] 号Sh子(SE+Sr+VSE SF)h ,∴.所得圆柱的侧面积S=2πh=2π×2 2=8π 6.AB[若an∈(0,1]，则am+1∈(0,2]，若 an>1,则an+1∈(0,1)，故an+1∈(0,2]，A 4子R 答案A (2)解析由题意得，该容器模型为正四棱 正确：号<a1<1>a-2a,∈(1,2)>u :【课前自测】 台，上、下底面的边长分别为2cm,3cm,设 :1.(1)×(2)×(3)×(4)× 该棱台的高为h,则由棱台体积公式V= :2.C[由于平面ABFEA'∥平面DCG HD', 且AD,BC,FG,EH,A'D'相互平行且相等， S:+5,十S2s7得，号=宁6× 故有an+4=aa,T4m=(a1a2a3a4)=1,B正 所以剩下的儿何体是五棱柱.] (4+9十6)，解得h=1(cm),所以侧面等腰 !3.D[由直观图的画法规则知，角度、长度都 确；若a1=,则a2=立，ag=1,a4=2, 有可能改变，而线段的平行关系不变，正方 形的高+（引 (cm),所 2 形的直观图是平行四边形.] =号，故数列从第2项开始按号，1,2周439【设该调维的高为：则由已知条件可 期变化，其中没有与a1相同的项，故C、D· 得子×π×62×h=30x,解得=号，则国 以S表=4× 2+3)×堂+9-55+ 2 均不正确，故选A、B门 9(cm2). 7.AD[若a0=7,则a1=22,a2=11,a3= 答案5√5+9 34,a4=17,a5=52,a6=26,a7=13,ag= 维的#战长为V原+6-，√厘+6=受 :[例5](1)解析由勾股定理先求出圆锥的 40,ag=20,a10=10,a11=5,故A选项符合 故该圈锥的侧面积为xX6×13=39元，] 高，进而利用圆锥体积公式求解即可，由题 题意： 可知圆锥的底面半径R=1,母线长l=2,高 若a0=16,则a1=8,a2=4,a3=2,a4=1, 关键能力·突破 a一4，易知an}不是递减数列，故B选项不[例1] 解析由 h=√2一R2=√22-12=√5，∴.圆锥的体 符合题意： 图①知，A错误： 积为V- 若a5=1,则a4=2,a3=4,当a2=8时，则 如图②，当两个 3Rh= 3π，故选A a1=16,a0=5或32，a2=1(舍去)，故C选 平行截面与底面 答案A 项不符合题意： 不平行时，截得 (2)解析不规则几何体的体积（理性思维 若a0=10,则a1=5,a2=16,a3=8,a4=4， 的几何体不是旋 数学应用)割补法因为AD,BE,CF两 图1 图② a5=2,a6=1,所以从a(i=1,2,3,4,5,6) 转体，B错误；若 两平行，且两两之间距离为1，则该五面体 中任取两个数至少一个为奇数的概率为 六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形 可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个 是正六边形，由儿何图形知，若以正六边形 底面为梯形的四棱雏，其中三棱柱的体积等 1一C-。,故D选项符合题意.门了 为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错 于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的 C 8.2277[由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34， 误；由母线的概念知，D正确. 答案D 高为，底面是上底为1，下底为2、高为1 55,…各项除以3的余数，可得{am}为1,1， 2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,所以 [例2]解析因为斜二测直观图是一个底！ 的梯形，故孩五面体的体积V一立X1X {an}是周期为8的周期数列，一个局期中的 角为45°，腰和上底长均为1的等腰稀形，所 8项和为9，因为2024=253×8，所以数列 以原图形为直角梯形，其上底为1，下底为： 2 322 ,故选C {am}的前2024项的和为253×9=2277.] 1+区，高为2，所以S=2×1+E+1)× 答案C 9.28[因为数列{am}是等积数列，且a1=1, 即学即练2(1)B[由题意，一个半径为 a2=2,公积为8，所以a1a2a3=8,所以a3 2=2+√2 4,同理可得a4=1,a5=2,a6=4,…,所以 答案A 200-100(mm)的圈面内的降雨充满一个 数列{am}是周期为3的数列，因此a1十 [例3]解析如图，把侧 a2十a3十十a12=4(a1十a2+a3）=4X 面展开2周可得对角线最 底面半径为婴×器 =50(mm),高为 (1+2+4)=28. 短，则AA1=√/62+52 150(mm)的圆锥， 10.50[当{bm}由1,5构成时，则a1=1,a2 √61(cm). 5,a3a4a5为2,3,4的一个排列， 答案C 故满足条件的数列{an}有A=6(个)： 即学即练1(1)B「根 所以积水的厚度为了不X502×150 π×1002 当{bn}由2,5构成时，则a1=2,a2=5,a3, 据题意，把直观图还原 12.5(mm), a4,a5为1,3,4的一个排列， 成原平面图形，如 A 由题意可知，这天降雨属于中雨.门 或a1=2,a2=1,ag=5,a4,a5为3,4的 图所示， (2)4[法一（分割法）因为几何体有两对 2 个排列， 其中OA=22,OD=4, 相对面互相平行，如图1所示，过点C作 故满足条件的数列{an}有A十A号=8（个）： AB=CD=2, -202A4B6* CH⊥DG于H,连接EH,即把多面体分割 当{bn}由3,5构成时，则a1=3,a2,aga4, -2 成一个直三棱柱DEH一ABC和一个斜三 则AD=√/8+16=2√6， a5为1,2,4,5的一个排列，且数字4排在 棱柱BEF一CHG.由题意，知 故原平面图形的周长为 5的后面， 2+2+2√6+2√6=4√6+4.] V三枚挂DEH-ABC=S△DEH X AD=（立X2X A 故满足条件的数列{an有 =12(个)； (2)D[对于A,平行 1)X2=2,V三枚#EF-CHG=S△EF XDE= 六面体的两个相对侧 当{bn}由4,5构成时，则a1=4,a2,a3,a4, 面也可能是矩形，故A (分×2X1)X2=2.故所求几何体的体积 a5为1,2,3,5的一个排列， 错：对于B,等腰三角 为V多面体ABC-DEFG=2十2=4. 故满足条件的数列{an}有A=24(个). 形的腰不是侧棱时不 由分类加法计数原理可得满足条件的数： 一定成立（如图），故B 列{am}共有50个.] 错：对于C,若底面不 第七章立体几何与空间向量 是矩形，则C错：对于D,可知侧棱垂直于底 面，故D正确.] §7.1基本立体图形、简单几何 (3)B「圆柱的侧面展开 M 图及M,N的位置(N为 图1 体的表面积与体积 EP的四等分点)如图所 4N 法二（补形法）因为几 必备知识·整合 示，连接MN,则图中MN即为M到N的 何体有两对相对面互相 【知识梳理】 1.(1)平行全等平行相似平行且相等 最短路径.EN= 1×16=4,EM=2∴.MN 平行，如图2所示，将多 面体补成棱长为2的正 一点 一点平行四边形 三角形梯 =/EM2+EN2=√22+42=2√5.故 方体，显然所求多面体 形(2)垂直 一点 一点矩形等腰三 的体积为该正方体体积 角形等腰梯形圆矩形扇形扇环· 选B.] 的一半，又正方体的体 420