培优点7 极化恒等式-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

第五章平面向量与复数 培优点7极化恒等式 1.极化恒等式 在平面向量中： (a+b)2=a2+b2+2a·b,(a-b)2=a2+b2-2a·b 两式相减可得极化恒等式：a·b=[a十b2-(a一b2门. 2.几何解释 (1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的}，即 6 a+b 44 ab=a+b2-(a-b2](如图. (2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差， 即AB·AC=AMP-MB2(M为BC的中点)（如图）. 极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长 度之间的等量关系 考点一利用极化恒等式求值 (2)如图，在平行四边形 [例1](1)设向量a,b满足|a+b|=√2025，a-b= ABCD中，AB=1,AD=2,点 E,F,G,H分别是AB,BC,CD, √2021，则a·b等于 AD边上的中点，则EF·FG+ A.1 B.2 C.3 D.5 GH.HE= (2)如图，在△ABC中，D是 考点二利用极化恒等式求最值（范围） BC的中点，E,F是AD上的 [例2]已知点A,B,C均在半径为√2的圆上，若 两个三等分点，BA·CA=4, 1AB引=2，则AC·BC的最大值为 BF.C下=一1，则BE.CE的 听课记录] 值是 听课记录] /思维升华/++小 (1)利用极化恒等式求数量积的最值（范围）！ 时，关键在于取第三边的中点，找到三角形 +/思维升华/++++++++++++++ 的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求 利用向量的极化恒等式可以快速对共起点 中线长的最值（范围），可通过观察图形或用 (终点)的两向量的数量积问题进行转化，建 点到直线的距离等求解， 立了向量的数量积与几何长度（数量）之间 即学即练2(1)在△ABC中，AC=3,BC=4, 的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合， ∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且 对于不共起点和不共终点的问题可通过平 PC=1,则PA·PB的取值范围是 () 移等价转化为共起点（终点）的两向量的数 A.[-5,3] B.[-3,5] 量积问题，从而利用极化恒等式解决. C.[-6,4] D.[-4,6] (2)在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为 即学即练1(1)已知点O为△ABC的重心， 直线AD上的动点，则PB·PC+BC2的最小值 OA⊥OB,AB=6,则AC·BC的值为 是 107 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 [能力提升] A- B 1 C.√2 D.Z 1.如图，BC,DE是半径为1的圆O 6.已知半径为2的圆O上有三点A,B,C,满足OA+ 的两条直径，BF=2FO,则FD· AB+AC=0,点P是圆O内一点，则PA·PO十 FE等于 ( PB·PC的取值范围是 A-号 A.[-4,14) B.(-4,14] C.[-4,4) D.(-4,4] c- D-音 :7.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面： 的动点，则DE·DA的值为 8.如图，在平面四边形ABCD中， ABC内一点，则PA·(PB+PC)的最小值是 O为BD的中点，且OA=3,OC =5,若AB·AD=-7,则BC· A.-2 B-是 C.-3 D.-1 DC= 3,边长为4的正方形ABCD的中心为O,以O为圆：9.如图，正方形ABCD的边长为1，A,D分别在 心，1为半径作圆，点M是圆O上的任意一点，点： x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC·OB N是边AB、BC、CD上的任意一点（含端点），则 的最大值是 MN.DA的取值范围是 A.[-18,18] B.[-16,16] C.[-12,12] D.[-8,8] 4.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若 D c满足(a一c)·(b-c)=0,则|c的最大值是 ( A 10.如图，在平面四边形ABCD中， A.1 B.2 C.√2 D 2 AB⊥BC,AD⊥CD,∠BCD= 5.已知直线l:x十y-1=0与圆C:(x-a)2+ 60°，CB=CD=2√5.若点M为 B (y十a-1)2=1交于A,B两点，O为坐标原点， 边BC上的动点，则AM·DM的 则OA·OB的最小值为 最小值为 培优点8等和（高）线定理与奔驰定理 1.等和（高）线定理 (1)由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若OP=入OA十 OB(∈R),则入十=1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k,k∈R, 使得OP=kOP,则OP=kOP=kxOA+kuOB,又OP=xOA+yOB(.x,y∈ R),∴x十y=入十k=;反之也成立. (2)平面内一个基底{OA,OB)及任一向量OP,OP=入OA+uOB(x,∈R),若点P'在直线AB上或 在平行于AB的直线上，则A十u=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线 称为等和（高）线. ①当等和线恰为直线AB时，k=1; ②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)： ③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，十∞)； ④当等和线过O点时，k=0; ⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1,k2互为相反数； ⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比 精品教辅·智慧人生 108§5.4平面向量中的综合问题 [例1](1)解析对于A,由题意可得PA· PB-PB·PC=PB·(PA-PC)=PB. CA=0, 所以PB⊥AC,同理可得PA⊥BC,PC⊥ AB,故P为△ABC的垂心，故A正确； 对于B,如图设AE= AB AF- 则1正1一 Ac A=1, 以AE,AF为邻边作平行 四边形AEQF,则平行四边形AEQF为菱 形，则A⊙-A花+A市应 AC IABI IACI 所以A-( AB AC =AAQ、 又因为AQ平分∠BAC,故AP必经过 △ABC的内心，故B错误； 对于C,因为OA|=|OB|=|OC,所以O 到△ABC的三个顶，点距离相等，所以O为 △ABC的外心，故C正确： 对于D,记AB,BC,CA的中点分别为D,E, F,由题意NA+NB=2ND=-NC,则 NC=2ND,同理可得NA=2NE,NB= 2NF,则N是△ABC的重心，故D正确. 答案ACD (2)解析根据向量加法的平行四边形法 则可知，动，点P的轨迹是以OB,OC为邻边 的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 面积的2倍.在△ABC中，设内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,由余弦定理a2 b2+c2-2 bccos A,得a=7.设△ABC的内 切圈的半径为r,则之esin A-之(a十b叶 Dr,解得r29,所以S△2于 =子×7×25-15动点P的航连 3 3 所覆盖图形的面积为2S△mx-14 3 答案B 即学即练1(1)D[由AB-DC-(3,√3)， 得四边形ABCD为平行四边形， 设m,n,p都是单位向量且m十n=p, 则(m十n)2=p2,即1+2m·n+1=1, 则m·n一 →cos(m,m》= 1 1 所以(m,n〉=120°， AB AD AC 因此由 知∠BAD= IABI IADI IACI 120°，且AC是∠BAD的平分线， 因此四边形ABCD是菱形，而AB=2√尽， 所以AC=|AB1=25.] (2)号b-a 1 6 [D成-成-i- 之a,店-成--6-a,由1成得 (3b-a)·(b-a)=0,即3b2+a2=4a·b, 3b2+a2 所以os∠ACB=8b=O6今 2al-,喜且仅含a-5b时取 4ab 等号，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈0， ]中 [例2]解析由题意知，AP-AB+B驴= A+C-A花+AC-A店_2A店+AC AM=xAB,AN-yAC(x>0.y0), ..AP-2AM_AN 3x 3y ,2+1=1, 由M,P,N三点共线，得3十3y 2x+y=2z+(+)-号+ 2x.2y=3 +>+ 当且仅当x=y时，等号成立， 故2x十y的最小值为3. 答案A [例3]解析依题意，不妨设a=(1,0),b= (0,1),c=(xy) 则(c-a)·(c-b)=(x-1,y)·(x,y-1) =2+y2-x-y=立 即xm满足(：-专)+(-)）-1 c-a1可以者作国(：-号)）+( 号）=1上的一点到点10)的距高， 所以「c一a的最大值即为 √兮-)+（合-）+1-1+9 选B. 答案B 例4]解析a,b是单位向量，a·b=0,设 a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),c-a-b|= 1(x-1,y-1)川=√(x-1)2+(y-1)7= 1,.(x-1)2+(y-1)2=1,.c|表示以 (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点 的距离，故√2+1-1≤1c≤√2+1 +1,∴w2-1≤c≤2+1. 答案A 即学即练2(1)7[以D为坐标原点，DA, DC分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐 标系，如图所示， AY B P D A元 设C(0,a),P(0,b),B(1,a),A(2,0),0 b≤a， 则2PA+3PB=2(2,-b)+3(1,a-b) =(7,3a-5b), 12PA+3PB1=√49+(3a-5b)2≥7，当 且仅当b-时取得最小值7.] (2)2√5[由题意得OA=(1,0),OB=(3, 4),由OC=xOA+yOB,得OC=(x+3y, 4y),所以AC-O0C-OA=(x+3y-1,4y).又 x十y=6,所以AC=(5+2y,4y),则AC|= √(5+2y)2+(4y)2=√20y2+20y+25= 2√(+号)+5R,所以当y- 2 时，AC取得最小值2√5.] 培优点7极化恒等式 [例1](1)解析因为a+b12=(a十b)2 a2+2+2a·b=2025,a-b2=(a-b)2= a2+b2-2a·b=2021,两式相减得a·b= 子a+b2-a-b2]=1. 答案A 410 (2)解析方法一（极化恒等式法） 设BD=DC=n,AE-EF=FD=1,则AD=31. 由向量的极化恒等式，知 AB·AC=|AD12-1DB12=9m2-m2=4, FB.FC=FD2-DB 2=n2-m2= -1, 联立解得心一8m-号。 因此EB.EC=|ED12-|DB12=4n2-m2 即.正-子 方法二（坐标法） 以直线BC为x轴，过 点D且垂直于BC的 直线为y轴，建立如图 所示的平面直角坐标 系.设A(3a,3b), B(-c,0),C(c,0), 则E(2a,2b),F(a,b), D 所以BA·CA=(3a十c,3b)·(3a-c,3b)= 9a2-2+9b2=4,BF.CF=(a十c,b)· (a-c,b)=a2-c2+b2=-1,则a2+b2= 82-g 所以BE·CE=(2a+c,2b)·(2a-c,2b)= 如c+4w-子 方法三（基向量法） BA.CA=(DA-DB).(DA-DC)- 4A2-BC2-36FD2-BC2=4. BF CF (DF-DB).(DF DC)- 4FD12-|BC2 =-1, 国此励2=各，=竖。 2 所以BE.CE=(DE-DB)·(DE-DC)= 4ED2-B2=161FD2-|BC2 4 4 答案 8 即学即练1(1)72[连接CO并延长交AB 于点M,则M为AB中点. .OA⊥OB,AB=6,.OM=3. 又O为△ABC的重心，∴.MC=3OM=9. AC.BC=(AC+BC)2-(AC-BC)2]- [2O2-A证]-(18g-)=72.] (2)号[连接HF,BG,交于点O,则0为 HF,GE的中点，则E正.F亡=EF.Ei 前--1-(）-，i.应 -Gi.成--oi-1-(） ,因此.元+G·正=是] 例2]解析设A,B,C三点所在圆的圆心 为O,取AB中点D, 故AC.BC-C.C-C市-A- ci2-1, 因为A,B,C三点在圆上， 所以CD长度最大为r十d, 其中d为圆心O到弦AB的距离， 故最大值为1十√2， 所以CD2-1的最大值为(1十2)2-1= 2+2E. 答案2+2√ 即学即练2、(1)D[法一以C为坐标原 点，CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立 平面直角坐标系（图略）， 则A(3,0),B(0,4). 设P(xy),则x2+y2-1,PA=(3-x,-y) PB=（-x4-y), 所以PA·PB=x2-3x+y2-4y =(-)+(-22-9 又(-是）广+(0-2)2表示周r2+y2=1 上一点到点（号，2距高的平方，圆心(0， 0)到点（号，2）的距离为号， 即PA.PB∈[-4,6]. 法二（极化恒等式）设AB的中点为M, CM与CP的夹角为0， 由极化恒等式得PA,P店-PM-十A的 -(CM-CP)2_25 -+-2成.-空 =25+1-5c0s0-5-1-5c0s0. 4 因为cos0∈[-1,1]， 所以PA·PB∈[-4,6].] (2)2√5[如图所示， 取BC的中点O,过点O 作OH⊥BC交AD于 B 点H,则PB·PC+BC -p0-心+心-P0+是B心≥ Hò+子B心≥Hò·B心-2 当点P运动到点H且使HO⊥BC, ò-BC时，等号成立， 故PB.P元+BC的最小值是2.] 能力提升 1.B[:BF-2F可，圆0的半径为1， ò= 由极化恒等式得 成.庞-ò-D- 一1 9 2.B[如图，设BC的中点 为D,AD的中点为M, 连接DP,PM,则PA· (PB+PC)=2PA·PD= 2|PM2- AD2= 2 21PM2- 3 >-，当且仅当M与P重 合时取等号.] 3.C[以E为坐标原点，x轴∥AB,y轴∥ AD,建立如图所示平面直角坐标系： M(cos a,sin a),DA=(0,-4), (1)若N点在边AB上，设N(x0,一2)， 一2≤x0≤2，则： MN=(xo-cos a,-2-sin a), MN.DA=8+4sina,所以由-4≤4sina≤ 4可得到4≤MN·DA≤12： (2)若N点在边BC上，设N(2,y%), -2<0≤2，则： MN=(2-cos a,yo-sin a), MN.DA=-4+4sina,所以由-8≤ 一4y%≤8，-44sina4可得到-12 MN·DA≤12， (3)若N点在边CD上，设V(x0,2),一2 x0<2,则： MN-(ro-cos a,-2-sin a), MN.DA=-8+4ina,所以由-4≤4sina≤ 4可得到-12MN·DA≤-4； ∴.综上可得-12≤MN·DA≤12： 故选C. 4.C[由极化恒等式得 (a-c）(b-c)=十[(a+b-2x2-(a-b]. .(a-c)·(b-c)=0, ∴.(a+b-2c)2=(a-b)2,故c2=(a+b)·c 又|a=|b=1,a⊥b,∴.|a+bl=√2， 于是|c2≤la+bllc=2lcl,∴.lc≤√2.] 5.A[如图，圆C:(x一a)2 +(y+a-1)2=1的圆心 C的坐标为(a,1-a),则 点C在直线l:x十y一1= -1.0 0上，由极化恒等式知OA -1.5l ·0成=12-B函3，而BA2=4,所以 OA.OB=I0CI2-BA2=10C12-1. 为点C是直线1：x十y一1=0上的动点，所 以|OC|的最小值即为点O到直线！的距离 4-OE--9,所以Oi.0成m 2 2-1= 6.A[如图，由OA十 AB+AC=0,得AB+ AC-AO. 在平行四边形ABO 中，因为OB=OC, 所以平行四边形ABOC 是菱形，且BC=2√. 设菱形ABOC对角线的交点为E, 则由极化恒等式得 pA.Pò-pP2-A02-|P-1, 成.--C2=P-3. 所以PA.PO+PB.PC-21PE2-4. 因为P是圆O内一点，所以0≤|PE|<3, 所以-4≤21PE2-4<14: 即-4≤PA·PO+PB·PC<14.] 7.1[取AE的中点O(图略)，则DE·DA D02-A02=1.] &9[~·花-ò-十筋2- -7∴成2-16c.Dd-1ò12 十励2=25-16=9.] 9.解析如图，取BC的 中点M,AD的中，点N, 连接MN,ON,则OC· 店=0-子.因为 D OM ON+NM= 0 AD+AB=2,当且 411 仅当O,N,M三点共线时取等号，所以O元 ·OB的最大值为2. 答案2 21 10.4 [用极化恒等式的解法如下： 设E是AD的中，点，连接ME,作EN⊥BC 于N,延长CB交DA的延长线于F,如图， 由题意可得FD=√3CD=6,FC=2CD= 4√5→BF=2√5→AB=2,FA=4→AD 2→器-，EN-， AB FA 则AM·DM=MA·MD=|M正I2 E=庞P-1≥EN-1-() 4 所以.Dm-头] 培优点8等和（高）线定理与奔驰定理 [例1]解析方法一（常规方法） E为线段AO的中点， B正=(BA+BO -2(i+2ò） -A+成-A耐+成， 方法二（等和线法） 如图，AD为值是1的 等和线，过点E作 AD的平行线，设A十 =k, BE 则k一BF1 BE 由图易知，B 3 =,即十=k= 答案B 即学即练1 3 4 [由AO=AAB+uAC 入A店+2·号AC-AA店+2A亦知：B, O,D共线且BD垂直平分AC,AB=BC, cos∠BAC-.] 「例2]解析如图，作BC 的平行线与圆相交于点 P,与直线AB相交于点 E,与直线AC相交 于点F, 设AP=入AE十4A京 则入十4=1， AE AF :BC∥EF,∴设A能-A元=： 则[] AE-&AB.AF-4AC.AP-AE+ uAF=ak AB+uk AC,.=ky=uk, 2x+2y=2(+)k=2k≤3 答案A 即学即练2[1,2][如 图所示，过点C作CE∥ OB,交OA于E,再作CF ∥OA,交OB于F,可知 四边形OECF是平行四 边形. .四边形OECF是平 行四边形，