2.12 函数与方程的综合应用-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 +/思维升华/++++++++++++++ 听课记录] 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令∫(x)=0,方程有多少个不同 的实数根，则f(x)有多少个零点. (2)定理法：利用函数零点存在定理时往往 还要结合函数的单调性、奇偶性等 (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单 函数，依据两函数图象的交点个数得出函数 /思维升华/++++++ 的零点个数 根据函数零点的情况求参数的三种常用 方法 即学即练2(1)(2025·南京模拟)函数∫(x)= (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参 x一4一二的零点的个数为 ( 数的不等式（组），再通过解不等式确定参数 A.0 B.1 C.2 (范围). D.3 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函 (2)函数f(x)=√36-x2·cosx的零点个数为 数值城确定参数范围 (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平 考点三函数零点的应用 面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用 角度1根据函数零点个数求参数 数形结合法求解， [例3](2024·天津卷)若函数f(.x)=2√2-a.x 十十十十■十十十十十 |a.x一2|十1恰有一个零点，则a的取值范围为 即学即练3(1)(2025·邵阳模拟)已知函数 og2x>0, f(x)= 若g(x)=f(x)一a有 听课记录」 x2-4x,x≤0， 4个零点，则实数a的取值范围为 A.(0,4) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1) (2)(2025·南通模拟)函数f(x)=2:-2-a的 角度2根据函数零点的范围求参数 一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范 [例4幻(2024·新课标卷)设函数f(x)=a(x十1)2- 围是 () 1,g(x)=cosx+2a.x.当x∈(-1,1)时，曲线y= A.(0,3) B.(1,3) f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a= ( C.(1,2) D.[2,+o∞) A.-1 C.1 D.2 温馨提示 请做课时分层检测（十七） §2.12 函数与方程的综合应用 【重点解读】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质， 结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置. 考点一由零点分布求值（范围》 A.(-∞，0] B.[0,3] 角度1二次函数的零点分布 C.(-∞，0]U[3,+∞)D.[3,+∞) [例1](1)(2025·枣庄模拟)已知函数f(x)= (2)若函数f(x)=(m-2)x2+m.x+2m+1的两 x2-2(a-1)x十a,若对于区间[-1,2]上任意两 个不相等的实数x1,x2,都有∫(x1)≠∫(x2),则 个零点分别在区间（一1,0）和区间(1,2)内，则m 实数a的取值范围是 的取值范围是 精品教辅·智慧人生 44 第二章函数 A(-3) (》 满足x1<x2<x3<x4,且f(x1)=∫(x2)= f(x3)=f(x4),则x1x2= ,(x3-3)· c() D哈引 (x4一3)的取值范围是 考点二复合函数的零点 [听课记录 角度1复合函数的零点个数判定 [例3](2025·山东省实验中学诊断)已知函数f(x)= 1 则函数y=f[f(x)十1]的零点个 x2+2x,x≤0， 数是 角度2其他函数的零点分布 A.2 B.3 C.4 D.5 [例2]已知定义在R上的奇函数满足f(2一x)+ f(x)=0,当x∈(0,1]时，f(x)=-log2x,若函 听课记录] 数F(x)=f(.x)-sin元x在区间[-1，m]上有10 个零点，则m的取值范围是 ( A.[3.5,4) B.(3.5,4] C.(5,5.5] D.[5,5.5) [听课记录] 角度2根据复合函数零点求参数 [例4](2025·曲阜模拟)函数f(x)= ln(-x-1)<-1'若函数g(x)=ff(x) 2x+1,x≥-1， a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 +/思维升华/+++++++++++++ 听课记录] 对于二次函数零点分布的研究一般从以下 几个方面入手 (1)开口方向： (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置 关系； (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； /思维升华/+小 (4)区间端点值， (1)求解本题的关键是抓住分段函数图象的 性质，由y=a与y=f(1)的图象，确定t1,t2 即学即练1(1)设a为实数，若方程x2一2a.x十 的取值范围，进而由t=∫(x)的图象确定零 a=0在区间（一1,1）上有两个不相等的实数解， 点的个数； 则a的取值范围是 (2)处理含参数的复合函数方程，还应注意 A.(-∞，0)U(1,+∞) 让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静 B.(-1,0) 结合 c(-3o 即学即练2(2025·兰州诊断)已知函数f(x)= D.(-3o)U1,+∞) (x2-2x+4,x≤0， 若函数g(x)=[∫(x)门2+ In x,x>0, (2)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)= 2f(x)十m(m∈R)有三个零点，则m的取值范围 log3x|,0<x<3, 为 sin5x,3≤r≤15， 若存在实数x1,x2,x3,x4, 温馨提示 请做课时分层检测（十八） 45 精品教辅·智慧人生每经过一次操作，区间长度变为原来的！[例3]解析函数的零点①当Q-0时， §2.12函数与方程的综合应用 一半 f(x)=2|x|-2+1=2|x|-1,令f(x)=I 经过n次操作后，区间长度变为， 0,得21x-1,x=士号，即f(x)有两个零[例1】①D解析三次函数f(x)=2-2(a- 1)x十a图象的对称轴为直线x=a一1， 故有亡<0,1，解得n≥4 点，不满足题意，②当a≠0时，令ax=,则 对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都 2P-a-la-2+1=2 m2 有f(x1)≠f(x2), ,∴，至少经过4次二分后精确度达到0.1. 即f(x)在区间[一1,2]上是单调函数， 答案C .a-1-1或a-1≥2， 即学即练1(1)A[函数y=f(x)是图象开 m-2+1,由2 m -m-|n-2|+1= ,a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为 口向上的二次函数，最多有两个零点，由于 (-o，07U[3,+o). a<b<c,则a-b<0,a一c<0,b-c<0,因 √-m=m-2-1,则1m-21- 0可得2。 答案C 此f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0. 1>≥0，解得m≥3或m≤1.（i)若m≥3，则 (2)解析根据题意有，{f1)·f0)<0, f1)·f2)<0, 所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0, 由2 (m2 即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一 √a2-n=|m-21-1可得 <m<子 个零，点.门 答案C (2)2[对于函数y=logx,当x=2时，可 /n2 4 -m= m一3，化简得 [例2]解析由f(2-x)+f(x)=0→f(x) 得y1,当x=3时，可得y>1,如图，在同 2 -f(2-x)=f代x-2),得f(x)是一个周期为 一坐标系中画出函数y=logx,y= x+b n2-2m+9 =1- 9 1 2的奇函数， 的图象，可以判断两个函数图象的交，点的 n 当x∈(0,1]时，f(x)=-logx, 横坐标在(2,3)内，.函数f(x)的零，点x0∈ 8 8 (n,n十1)时，=2.] +分，令g(m)=9(（ 因此f(）=-1og影-11)=0 3,则g(m)在[3,9)上单调递减，在(9，十∞) 上单调递增，又g(3)= g(9)=9,当 4 8 所以f0)=0f(-)=-1-1)=0 m→十∞时，g(m)→1，作出g(m)的大致图 且g(x)=sin元x的周期为T=2x=2, -5-4-3-2-10712345x 象如图所示，(i)若n≤1，因为x=0不是 1 且g(-1)=0,g-立) -1,g(0)=0, f(x)的零，点，所以m≠0.由2。 /n2 a 一以 [例2](1)解析 当x≤0时，x2一1=0，解 () =1,g(1)=0, 得x=-1: 1m-2-1可得2√ 一m=1一m,化简 求F(x)=f(x)-sinπx的零，点个数， 当x>0时，f(x)=x-2+lnx在(0，+∞)上 m2+2m+1 =1+ 2 1 1 即求f(x)与g(x)图象的交点个数， 单调递增，并且f(1)=1-2+1n1=-10, m 如图为f(x)与g(x)在区 f(2)=2-2+1n2=ln2>0, 间[一1,1]的图象， 即f(1)f(2)0, 因为f(x)与g(x)均为周 所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个 令m-(品+）m≤1m≠0，则 期为2的周期函数， 零点， h(n)在（一，一1），(0,1]上单调递减，在 因此交，点也呈周期出现， 综上，函数f(x)的零点个数为2 (-1,0)上单调递增，又h(-1)=0,h(1)= 若在区间[-1，m]上有10 答案D 4,当→一∞时，h(m)→1，当m→0时，h 个零点，则第10个零点 (2)解析零点个数问题，转化成两个函数 (m)→十∞，作出h(m)的大致图象如图所 坐标为(3.5，-1)，第11 图象的交点个数来分析 示.数形结合可知，若f(x)恰有一个零点，{ 个零，点坐标为(4,0)，因 令f(x)=|1gx|-kx-2=0, 可转化成两个函数y1=lgx|,2=x十2 则号<1，解得-<a<-1或1a 此3.5<4. 答案A 的图象的交点个数问题. <√3，即a的取值范国为(-√5，-1)U(1,即学即练1(1)C[令g(x)=x2-2ax十a, 对于①，当k=0时，2=2与y1=1gx的 ) 由方程x2一2ax+a=0在区间(-1,1)上 图象有两个交点，①正确： 答案(-√5，-1)U(1,√5) 有两个不相等的实数解可得 对于②，存在k<0,使y2=kx十2与y1= :[例4]解析函数的图象十函数的性质（理 1gx的图象相切，②正确： △=4a2-4a>0, fa<o, 性思维、数学应用) -1<a<1, 对于③，若k<0,y1=lgx|与y2=kx+2 -1a1, 的图象最多有2个交点，③错误： 由题意知f(x)=g(x),则a(x十1)2-1= 即 1g(-1)>0, 对于④，当k>0时，过，点(0,2)存在函数 cosx+2a.x,即cosx=a(x2+1)-1.令 g(1)>0, la<l g(x)=lgx(x>1)图象的切线，此时共有两 h(x)=cosx-a(x2十1)+1.易知h(x)为 fa>1, 个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜 偶函数，由题意知h(x)在（一1,1）上有唯一 -1a1, 率时，就会有3个交点，故④正确. 零点，所以h(0)=0,即cos0一a(0+1)十 或 答案①②④ 1=0,得a=2,故选D. U>- 3 即学即练2(1)D 答案D 4 即学即练3(1)A[作出y=f(x)的图象 a1, [令f(x)=|x-4| (实线)，如图所示， 解得一 1 1<a<0.] =0,得|x-4= (2)1(0,27)[作出函数f(x)= 子在同一坐标系中 y=a log3,3, 分别画出函数y=x-4与y=上的图象 20 n吾3<≤15的国象，加因所示， 如图所示，由图象可知两个函数图象有三 g(x)=f(x)-a有4个零点，即y=f(x)与 个交点，所以函数有3个零点，故选D.] y=a的图象有4个交，点， 所以实数a的取值范国为(0,4).] (2)6[令36-x2≥0，解得一6≤x6, 0123s6912*415x 所以f(x)的定义域为[一6,6]. (2)A[因为函数y=2,y 2在(0， 因为f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),x1 令f(x)=0得36-x2=0或cosx=0, +∞)上单调递增， 由36-x2=0得x=士6， x2<x3x4. 2 所以函数f(x)=2r 一a在(0，十∞)上 由cosx=0得r-乏十kx,k∈Z, 所以由图可知，-leg=1l0g,十三=9， 2 单调递增， 且3<x3<6,即x1x2=1, 又x∈[-6,6]，所以x的取值为-3 由函数f(x)=2x- 2 2一a的一个零点在区 所以(x3-3)(x4一3)=x3x4一3(3十x4)十 π元3π 间(1,2)内得，f(1)·f(2)=(2-2-a)1 9=x3(18-x3)-45=-x+18x-45, -2,2·2 (4-1-a)=(-a)×(3-a)<0,解得0< 因为y=-x号+18x3-45在(3,6)上单调 故f(x)共有6个零点.] a<3.] 递增 386 所以0<y27， 1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最！ 即(x3-3)(x4-3)的取值范国是(0,27).] 所以60-1>1 大值，由图象可知，当两次服药间隔小于 2101 2小时时，一定会产生药物中毒，B正确：服 即2+10-600<0，解得-30<<20， [例3)解析令t=f代x)十1 (In 1+1.x>0, 药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓 所以0<20 (x+1)2,x≤0. 度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物 综上，0≤<20 持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单 当t>0时，f(t)=lnt 所以汽车的行驶速度应限制在20m/s 位该药物4小时后与再次服用1单位该药 以下 则函数f(t)在(0，十∞)上单调递增， 物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓 !即学即练3D[函数模型的实际应用（理性 因为f0=-1<0,f(2)-lm2-号>0， 度，因此一定会发生药物中毒，D错误， 思雏、数学应用、数学探索)由题意，得 答案ABC S-1 S-1 所以由函数零点存在定理可知，存在11∈： (2)解析 当P=gP =3.15.若S不变，则 In N (1,2),使得f(t1)=0: 1026时，1g103< =2.1,inN2 超临界 2.1In N =3.151n N2,p 21n N =3In N2, 当t≤0时，f(t)=t2+2t, lgP<1g104,即3< 3 状仓 由f(t)=t2+2t=0,解得t2=一2,3=0. lgP<4:当P=128 流态 D 所以N号=N.故选D.] 作出函数t=f(x)十1，直线t=t1,t= -2, 时，lg102<1gP< 第三章 一元函数的导数及其应用 1=0的图象如图所示， 1g103,即2lgP 气态 3:当P=9987时， §3.1导数的概念及其意义、导数的运算 1=11 lg10°<lgP 200250300350400T 必备知识·整合 lg104,即3lgP<4(lgP接近4)：当P= :【知识梳理】 -3-2-10 1234x 729时，lg102<1gP<1g103,即2<1gP< 3.A,B,C,D四选项所对应的点分别设为1.(1)f(x0)y1x=x limf(Ar)-fr) t=-2 A,B,C,D,在图中的大致位置如图所示.由2.斜率y-f(x0)=f(x0)(x一0） 由图象可知，直线t=t1与函数t=f(x)十1 图易知，选项D正确，故选D. 3.0 ax cos r -sin r aIn a er 的图象有两个交，点： 答案D 直线t=0与函数1=f(x)+1的图象有两即学即练1D[依题意知，当0≤x≤4时， 1 1 个交点；直线1=一2与函数t=f(x)十1的 f(x)=2x:当4<x8时，f(x)=8;当8<{ 图象有且只有一个交，点， x≤12时，f(x)=24-2x,观察四个选项知！4.f(x)士g(x)f(x)g(x)十f(x)g'(x) cf(x) 综上，函数y=f[f(x)+1]的零点个数 D项符合要求. 为5. [例2](1)解析 由题意知，4.9=5十gV,【课前自测】 答案D 得lgV=-0.1,得V=10-ō= 1 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ [例4解析设t=f(x), 10 ≈！2.B[由导数的几何意义可知，f(x)为常 数，且f(x)<0.] 令g(x)=f(f(x)) 1.259 ≈0.8，所以该同学视力的小数记录 a=0,则a=f(t).在同 [点1-2 3 3.1 在曲线上，且y=x, 一平面直角坐标系内 法的数据约为0.8. 作y=a,y=f(t)的图 答案C (2)解析 依题意可知当t=0时，4(1)= 所以切线的斜率=1，所以领斜角为于] 象（如图）.易知当a一一1时只有一个零，点， 当a≥一1时，y=a与y=f(t)的图象有两 6.05, i4.2e[由y=xe,得y'=e(x+1), 个交，点.设交，点的横坐标为，2（不妨设 即6.05=Ae÷十0.05，解得入=6， 所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为2e, t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.当t1<一11 所以2(t)=6e了十0.05， 由y=alnx+2,得y=“ 时，t1=f(x)有一解；当t2≥一1时，t2= 由4(t)-6e÷+0.05≤0.1， f(x)有两解.综上，当a≥一1时，函数g(x) 所以该曲线在，点(1,2)处切线斜率为a. =f(f(x))一a有三个不同的零，点. 得e千≤120 因为两切线平行，所以a=2e. 答案[-1，+∞) 关键能力·突破 即学即练2（一∞，一24][画出f(x)的函 即-7≤1n0,即子≥ln120=3l血2+[例1](1)解析 对于A,[(3x+5)37'= 数图象如图，令1=f(x),则由图可知要使 ln3+1n5≈3×0.7+1.1+1.6=4.8，所以 3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A g(x)有三个零，点，则关于t的方程2十2t+ 1≥33.6， 正确： m=0有两个根，且一个根小于4，一个根大 又1∈N,所以1min=34, 对于B,(x3lnx)'=(x3)'lnx+x3(lnx)'= 于等于4，所以4=4-4m>0, 至少需要放置的时间为34天。 3x21nx十x2,故B正确： 42+2×4+n0, 解得n≤ 答案C -24.] 即学即练2B[由题意可知(1一20%)M 对于C,(2sinr）/=2 sin2-2sinx(2y 1=x2-2x+41y 所以ek=0.8, 2x0osc一4sinE,故C错误； 由(1-60%)M。=Me-:, 对于D,(1n2.x)=2· 11 得0.4=e:=(ek)1=0.8r, 2x ,故D错误 e 答案AB Ig 5 所以t=log.80.4= lg0.4 (2)解析由f(x)=e-f(0).x得f(x) S2.13 函数模型的应用 lg0.8 4 1g e-f(0),则f(0)=e°-f(0),得f(0) 1 必备知识·整合 g2-g5=g2-(1-lg22 21g2-1 3g2-i≈ 2 ,故f(x)=ex 之x,因此f(2)= 【知识梳理】 21g2-1g521g2-(1-1g2) e2-1. 1.y轴x轴 2×0.301-1 -0.398 【课前自测】 答案C 3×0.301-1 -0.097 ≈4.103，比较接近4.] 1.(1)×(2)×(3)/(4)× :[例3]解(1)根据题意，d=do十d1十d2+ :即学即练1ACD[f(x)=sin(2x+3), f(x)=cos(2.x+3)·(2x+3)'=2cos(2.x+ 2.D[根据函数特点可知，指数函数的增长 是爆炸式增长，则当工越来越大时，底数大 d3=30+0.8u+0.2u+ 3),故A正确：f(x)=e2x+1,则(x)= 20k =30+u+20k 于1的指数函数增长速度最快，门 (0u33.3) -2e2x+1,故B错误：f(x)- f(x)- 3.D[在直角坐标系中，描点连线画出图象！ (2)根据题意，对任意的k∈[0,5,0.9]，d (图略)，观察图象知选D.] 90恒成立，即对任意的k∈「0.5.0.97,30+ 4.10[由题意得该桶装水经营部每日利润为 e-xe-1一工，故C正确；f(x)=xlnx, (e2)2 W(x)=(-30x+450)(x-5)-420= +20k<90恒成立 f(x)=x'ln.x+x(lnx)'=lnx+1,故D正 -30x2+600x-2670=-30(x-10)2+ 易知当u=0时，满足题意； 确， 330,则当x=10时，利润最大.] 60 关键能力·突破 当0<0≤33.3时，有20k 上对任意 例2](1)解析f(1)=1一2=一1，切点坐 标为(1，一1)， 例1](1)解析从图象中可以看出，首次 的k∈[0.5,0.9]恒成立， 又f'(x)=4x3-6x2 服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥 1 所以切线的斜率k=f'(1)=4×13一6× 治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用 由[05.09，将[] 12=-2, 387