2.10 函数的图象-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

第二章 函数 +/思维升华/++++++++++++++ A.a>b>c B.b>a>c 求同存异法比较大小 C.b>c>a D.c>b>a 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过 真数的大小与指数、对数函数的单调性判断 (2)(2025·南昌模拟)已知1o影a=号(a≠2)， 出指数或对数的大小关系，要熟练运用指 数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化 logsb= 台6≠3.logc=千c≠4).则 为某一部分相同的形式 A.a<b< B.c<a<b 即学即练2(1)已知a=2100,b=365,c=930,则 C.c<b<a D.a<c<b a,b,c的大小关系是（参考数据：lg2≈0.3010， 1g3≈0.4771) ( 温馨提示 请做课时分层检测（十五） §2.10 函数的图象 【课标要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函 数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 必备知识·整合 参实基础回归教材>》 【知识梳理】 【常用结论】 1.利用描点法作函数图象的步骤： 1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只 是x本身，利用“左加右减”进行操作.如果x的 2.函数图象的变换 系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换， )=f(x)的图象向右 =fx)的图象向左 2.函数图象自身的对称关系 ①简记 平移a(a>0个单 平移a(a>0)'个单 为“左加 (1)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x)= 位得到 的 位得到 的 右减，上 图象 图象： 加下减 f(b一x),则函数y=f(x)的图象关于直线x= 平移变换 =f(x)的图象向上平 “生对称 y=f(x)的图象向下平 b(b>0)个单位得 移b(b>0个单位得 (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称台 到 的图象 的图象 f(a+x)=2b-f(a-x)f(x)=2b-f(2a-x). y=f(x)的图象上所有 =f(x)的图象上所有 点的横坐标缩短为原 点的横坐标伸长为原 3.两个函数图象之间的对称关系 来的(w>)得到y= 来的(0<w<1)倍 (1)函数y=f(x)与y=f(2a一x)的图象关于直 f(ox)的图象： 得到y=fwx)的图象： 伸缩变换 线x=a对称 y=fx)的图象上所有 y=f(x)的图象上所有 (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关 点的纵坐标伸长为原 点的纵坐标缩短为原 来的(A>1)倍得到 来的(0<A<1)倍得 于点(a,b)对称. =A(x)的图象： 到)=Af(x)的图象 【课前自测】 y=f(x)与y=-f(x)】 y=f(x)与y=f(-x) 的图象关于 的图象关于 :1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/” 对称： 对称变换 对称： 或“×”) y=f(x)与y=-f-x)的图象关于 对称 (1)函数y=|f(x)|为偶函数， ( y=|f(x)川的图象：可 y=fx)的图象：可 (2)函数y=f(1一x)的图象，可由y=f(一x)的 将y=f(x)的图象在 先作出y=(x)在y轴 的部分关于 翻折变换及其边的图象，再 图象向左平移1个单位长度得到 () x轴翻折，其余部分 一·作y轴右边的图象关 对称的图象 (3)当x∈(0，+∞)时，函数y=|f(x)|与y= 不变 f(x)的图象相同. ( 39 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 (4)函数y=∫(x)的图象关于y轴对称即函数：3.(2025·焦作模拟)已知函数f(x)=x|x|一2x, y=f(x)与y=f(一x)的图象关于y轴对称. 则下列结论正确的是 ()》 ( A.f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，十∞) 2.(2025·安阳模拟)函数y=21一r的大致图象为 B.f(x)是偶函数，单调递减区间是（一∞，1） C.f(x)是奇函数，单调递减区间是（一1,1） D.∫(x)是奇函数，单调递增区间是（一∞，0） 4.函数y=f(x)的图象与y=e的图象关于y轴 对称，再把y=f(.x)的图象向右平移1个单位长 度后得到函数y=g(x)的图象，则g(x)= D 巴关键能力·突破 分类讲练以例求法>> 考点一作函数图象 即学即练1(2025·唐山模拟)作出下列函数的 [例1]作出下列各函数的图象： 图象： (1)y=2x-1 x-1 (1)y=2x+1-1: (2)y=|x2-4x-51: (2)y=l1g(x-1)l. 3y-()--1. 听课记录 考点二 函数图象的识别 [例2](1)(2024·全国甲卷·理T7,文T8)函数 f(x)=-x2+(c-ex)sinx在区间[-2.8， 2.8]的图象大致为 +/思维升华/++++++十++++++ 函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数 的特征描出图象的关键点，直接作图. (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值 符号，转化为分段函数来画， (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本 函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得 到，则可利用图象变换作图 9X (4)画函数的图象一定要注意定义域. 十+十十+十+十++十十+十十十十十…十+++十 精品教辅·智慧人生 40 第二章函数 (2)(2023·天津卷)函数∫(x)的图象如下图所 示，则f(x)的解析式可能为 0 -10 J=fx-1)的图象 y=f-x)的图象 A B y y=(x)的图象 y=fL)的图象 A.f(x)=5(c-e) D x2+2 B.f(x)= 5sin x x2+1 考点三函数图象的应用 5(e*+ex) 5cos x 角度1利用图象研究函数的性质 C.f(x)= x2+2 D.f(x)= x2+1 [例3]（多选)(2025·邯郸模拟)设函数f(x)是定义 听课记录 在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x十1) =fx-1D,已知当x∈[0,1时，x)=() ,则 下列结论正确的是 ( A.2是函数f(x)的周期 B.函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单 调递增 C.函数f(x)的最大值是1，最小值是0 +/思维升华/++++++++++++++ D.当x∈(3,4)时，f(x)= () 识别函数的图象的主要方法 听课记录] (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定 义域等判断。 (2)利用函数的零点、极值点等判断· (3)利用特殊函数值判断· 即学即练2(1)(2021·新高考I卷)函数y= 4红的图象大致为 ( x2+1 角度2利用图象解不等式 [例4幻(2025·濮阳模拟)设函数y=f(x十1)是定 义在（一∞，0）U(0,十∞)上的偶函数，在区间 (一∞，0)上单调递减，且图象过点(1,0)，则不等 式(x-1)f(x)≤0的解集为 听课记录] 2x(-1≤x≤0)， (2)已知函数f(x)= 则下列 (0<x≤1)， 图象错误的是 ) 41 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 角度3利用图象求参数的取值范围 +/思维升华/++++++++++++++ [例5](2025·保定联考)已知函数f(x)= 当不等式问题不能用代数法求解或用代数 3+1-11,x≤0 法求解比较困难，但其对应函数的图象可作 若函数g(x)=f(x)一a有三 In x,x>0. 出时，常将不等式问题转化为图象的位置关 个零点，则a的取值范围是 系问题，从而利用数形结合思想求解！ A.(0,1) B.(0,2] C.(2,+o∞) D.(1,+∞) 即学即练3(1)把函数f(x)=lnx-a的图象 向左平移2个单位长度，所得函数在(0，十∞)上 听课记录 单调递增，则a的最大值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2025·常州模拟)若函数f(x)=a2-x-a (a>0,且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范 围是 (3)(2025·汕头模拟)已知函数f(x)= (sin,0≤x≤1， 若实数a,b,c互不相等，且 10g2024x,x>1, f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是 温馨提示 请做课时分层检测（十六） §2.11 函数的零点与方程的解 【课标要求】1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用 二分法求方程的近似解， 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材> 【知识梳理】 间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近零 1.函数的零点与方程的解 点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法， (1)函数零点的概念 3.用二分法求函数y=f(x)零点xo的近似值的一 对于一般函数y=∫(x),我们把使 的实 般步骤 数x叫做函数y=f(x)的零点. (1)确定零点x的初始区间[a,b],验证fa)f(b)<0: (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解台函数y=∫(x)有 (2)求区间(a,b)的中点c: 台函数y=f(x)的图象与 有 (3)计算(c),并进一步确定零点所在的区间： 公共点， ①若f(c)=0(此时xo=c),则c就是函数的 (3)函数零点存在定理 零点； 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条 ②若f(a)f(c)<0(此时xo∈(a,c),则令b=c; 连续不断的曲线，且有 ,那么，函数 y=f(.x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在 ③若f(c)f(b)<0(此时xo∈(c,b),则令a=c c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程 (4)判断是否达到精确度e:若|a一bl<e,则得到 f(x)=0的解. 零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4)： 2.二分法 【常用结论】 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 若连续不断的函数∫(x)是定义域上的单调函 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区： 数，则f(x)至多有一个零点. 精品教辅·智慧人生 42在(0，十∞)上单调递减，故A错误； 对于B,由指数函数的图象，可得0a<1, 则一>1，即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递增，故B错误； 对于C,由指数函数的图象，可得a>1,则 0<】<1,即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递减，故C正确； 对于D,由指数函数的图象，可得a>1,则 0<1<1,即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递减，故D错误.] (2)D[因为f(2)·g(2)>0,所以a>1, 所以f(x)=ax与g(x)=logx在其定义 域上分别是减函数与增函数，故选D.] [例3]解析，a=lg0.2<lg1=0, b=1og32>0,c=1og64>0, lg 2 色思片要器×品器 lg 6 .b<c,即c>b>a. 答案A [例4幻解析指数函数的性质十基本不等 式十指数、对数的运算（理性思维、数学探 索)因为（工1，y1),(x2,2)为函数y=2 的图象上两个不同的点，所以当=2， y2=25,且x1≠2，则25≠25，所以y1十 2=25+2:>2V2·25=2√2，所 以十业>√2西>0，所以1照1十业> 2 2 lg√2%百-十2，故选B. 2 答案B [例5]解析函数f(x)的定义域为{xx≠ ±3}，fx)-lhx+3|+lnx-3-ln2- 9l,令g(x)=|x2-9|,则f(x)=lng(x),由 函数g(x)的图象（图略）可知，当x∈ (一∞，一3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减， 当x∈（一3,0），x∈(3，十∞)时，g(x)单调递 增，由复合函数的单调性得f(x)的单调区间； 由f(-x)=ln(-x)2-9|=lnx2-9|= f(x)得f(x)为偶函数.故选A. 答案A 即学即练3(1)A[由题意得，x2-2x>0 →x∈(-∞，0)U(2,十∞)， 而函数y=x2一2x的对称轴为x=1, 所以函数y-x2-2x在(-∞，1)上单调递 减，在(1，十∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 函数f(x)的单调递增区间为(2，十∞)， 又因为函数f(x)在(a,十)上单调递增， 所以a∈[2，十∞).] (2)4[由x-2x-8>0,得x>4或x -2, 所以f(x)的定义域为{x|x>4,或x<一2}. 又μ=x2-2x-8在(4，十∞)上单调递增， 在（一∞，一2）上单调递减， 而y=1g:在定义域上单调递增， 所以f(x)=1g(x2一2x一8)的单调递增区 间为(4，十∞)，故a=4.门 §2.9指、对、幂的大小比较 [例1]解析指数对数函数的性质十比较 大小由函数y=4,2单调递增可知，0< a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,故 选B. 答案B [例2]解析由已知a=log÷πlog51=0, loga x-log,31.clog log 4 1 有0<og1<1,即0<c<1,踪上得a<c< b.故进A. 答案A [例3]解析取特殊值，令a=4,b=2, 则4=4宁，b=2寸，a>b,故A错误： ab-4X2寸=2，ba-2X4÷=2号， ∴，ab>ba,故B错误： log-log子--1，.logse-loge--2, alogic=-8,blogac=-2, .alog6c<log。c,logc>log6c,故C正确， D错误 答案C 即学即练1(1)B[法一（特殊值法）取 a-8-4.log.b-logs 4-jog 8 1og24 ，lgc=logE-子，loga=lgr8-6, 2 故A、C不正确；logb=1og24=4,loga= 1og8-号，logc-log8E-名，故B正确， D不正确，故选B.] (2)A[法一如图，作出函数=l0g.2x, 2=log.3x,y3=log0.4x的图象， 6 x 0.3 -ya=loga 由图可知，当x=6时，1og0.26>1og0.36> log0.46, 即a>b>c. 法二易知0>10g0.4>10g0.3>1og60.2, 所以1ogi0.4<1og60.3<1g50.2' 即log0.46<loga.36<1og0.26, 即a>b>c.] 例4灯)解析=log12=1+1g4门 1+0等1+0号=640=1+16g8 -1+慢器-1+号 21g2_31g2 1g 3 1g 5 21g2×lg5-31g2×1g3 lg3×lg5 =1g2(21g5-31g3) 1g3×1g5 _1g2(lg25-1g27)<0, 1g3×lg5 又b0,c>0,.bc: :1=1+1og8<1+log√25=1+ log55子-5 :1-1og26=1+1og23>1+log2VB-1+ g2=号a<号 a<c.a<c<b. 答案D (2)解析令f(x)=(20-x)lnx(x≥9)，则 f(.x)=-lnx+(20-x)· =-In x+ 20-1,显然当x≥9时，f(x)单调递减且 f(9)=-1n9+20-1<0,故f(x)在 [9,十∞)上单调递减，f(9>f(10)> f11),即11ln9>10ln10>9ln11,即ln911> ln1010>ln11°，可得911>1010>119，即 a<b.故选A 答案A [例5]解析4 °==l0g43Xlog45 384 1og43+1og4512 2 log:15 2 <1,a 1og43>0,b=log4>0,.a<b,:410<59, 4<5立，b=1og54<9 10 =0.9,c 203>2青= 1 (②)5 (1.44)宁 1 1.2》F>4.21) =1.>0.9,b<c, .a<b<c,故选D. 答案D [例6]解析因为53=125>(3宁)3=81， 所以5>3， 所以1g5>1bg3t-专，脚a>e 因为73=343<(5京)3=625，所以7<5云， 所以1og7<1og5京=专，即b<c 所以a>c>b. 答案D [例7]解析 构建函数=(1+） (x>0), 则f)-(+) 1+x1 令g(x)=ln1+ ）>0. 1 则g'(x)= x1+x2<0, 可知f(x)在(0，十∞)上单调递减， 又当x→十∞时，f(x)→0， 所以f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调 递增， 所以f(2024)>f(2023),即a<b. 答案a<b 即学即练2(1)B[因为a=2100, 所以1ga=lg2100=100lg2≈30.1， 因为b=365, 所以1gb=lg3的=65lg3≈31.0115， 因为c=930=30, 所以1gc=lg360=60lg3≈28.626， 所以lgb>lga>lgc,所以b>a>c.] (2c[由1ga=号→是-号→1 同理之_1-，构逸函数 b31 fx)=兰，f(x）=1-n上，当x>e时， f(x)=1-ln上<0，当0<x<e时，f(x) =1-ln工>0，可得函数f(x)在(0，e)上单 调递增，在(e,十o∞)上单调递减，而2<e< 3<4,又由h4-2,a≠2，c≠4，可得a 2 4,c=2,9>8→21n3>3n2→h3>1h2,又 3 2 由e<3,b≠3及f(x)的单调性，可知2< b<e,故c<b<a.故选C.] §2.10函数的图象 必备知识·整合 【知识梳理】 1.列表描点连线 2.y=f(x-a)y=f(x+a)y=f(x)+b y=f(x)-b 1 w 1AAx轴y轴 原点x轴下方右y轴 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)×(4)× x-1 2.A[y=21-x 1 2】 ，故函数为减函 数，可排除C、D,又当x=0时，y=2,排除 B,故选A.] 3.C[将函数f(x)=x|x|一2x去掉绝对值，1 得fx)=x22x,x≥0， fr)=5ce。2,定义城为R,f(-r)= 由y=f(x)与y=a x2+2 的图象有三个交点， -x2-2.x,x<0, 5(e-z-e*) 结合函数图象可得a 画出函数f(x)的图象， =一f(x),所以函数f(x)= x2+2 ∈(0,1) 31 如图所示 答案A 观察图象可知，函数f(x) 5(e-e)是奇函数，所以排除A;对于B,: 即学即练3(1)B[把函数f(x)=lnx一a 的图象关于原点对称. x2+2 的图象向左平移2个单位长度，得到函数 故函数f(x)为奇函数， f(x)= 5sin,定义域为R,f(-x)= x2+11 g(x)=lnx十2-a的图象， 且在（一1,1）上单调 则函数g(x)在(a一2，十o∞)上单调递增， 递减，」 5sin(r)5sin 又因为所得函数在(0，十)上单调递增 4.ex+1[由题意可知f(x)=ex,把y x2+1 x2+1 =一f(x),所以函数 所以a一2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2.] f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到 x)-是奇函数，所以排除B:对于 (2)(1,+∞)[函数f(x)的零点的个数就 g(x)=e(x-1)=ex+1的图象.] 关键能力·突破 C.f(r)-5(ete-) 是函数y=a(a>0,且a≠1)与函数y= x2+2 定义为R,f(一x) x十a的图象的交，点的个数，如图，当a>1 例1]解(1)原函数 时，两函数图象有两个交，点：当0<a<1时， 解析式可化为y=2十 5(e-z+er) =f(x),所以函数f(x)= 两函数图象有一个交点.故a>1. 白故函数图象可由 x2+2 函数y=上的图象向右 123 5(e+e)是偶函数，又r2+2>0,e+ -10 x2+2 -1 ex>0,所以f(x)>0恒成立，不符合题 平移1个单位长度，再 意，所以排除C:分析知，进项D符合题意， a>1 向上平移2个单位长度得到，如图所示 故选D.] （sin元x,0r1, (2)y=|x2-4x-5|的图 答案D (3)(2,2025)[函数f(x) log er,1 象可由函数y=x2 即学即练2(1)A[由题意首先确定函数的 的图象如图所示， 4.x一5的图象保留x轴上 奇偶性，由函数的解析式可得： 方的部分不变，将x轴下 一4x 方的部分翻折到x轴上 f(-x)= x2+1 一f(x),则函数f(x)为 方得到，如图所示 奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项 2024 x-1 (3)y () CD错误；当x=1时，y= 1+1 =2>0,选项 不妨令abc B错误.] 由正弦曲线的对称性可知a十b=1, 其图象可看作由函数y=之)】 的图象· (2)D[当-1≤x≤0时，f(x)=-2x,表 而12024， 示一条线段，且线段经过（一1,2）和(0,0) 所以2a十b十c<2025.] 向右平移1个单位长度，再向下平移1个单 两点 位长度得到， §2.11 函数的零点与方程的解 当0<x≤1时，f(x)= ,x≥0·其图象 √正，表示一段曲线。函数 必备知识·整合 f(x)的图象如图所示， 【知识梳理】 22,x0, f(x一1)的图象可由f(x) :1.(1)f(x)=0(2)零点x轴(3)f(a)f(b)<0 可由-（ f(c)=0 的图象保留x≥0时的图 的图象向右平移1个单位 长度得到，故A正确：f(一x)的图象可由 2.f(a)f(b)<0一分为二 象，然后将该部分关于y f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正 :【课前自测】 X= 轴对称得到， 确；由于f(x)的值域为[0,2]，故f(.x)= 1.()× (2)×(3)×(4)× -1 则y-( |f(x)|,故|f(x)|的图象与f(x)的图象完 !2.A[根据二分法的概念可知A不能用二分 全相同，故C正确：很明显D中f(x)的图 法求零点.] 的图象如图所示 象不正确.门 3.C[函数f(x)=3 -l0g2x在(0，十∞)上 即学即练1解(1)将y=2的图象向左平 例3]解析由已 知条件得f(x十2) 单调递减， 移1个单位长度，得到y=2x+1的图象，再 =f(x),则f(x)是 将所得图象向下平移1个单位长度，得到y -1012345元 又f(1)=3-log21=3>0,f(2)= 2 以2为周期的周期 =2+1一1的图象，如图①所示. 函数，A正确：画出函数y=f(x)的部分图 log2 2= 2>0,f(3)=3 -10g23=1 (2)首先作出y=1gx的图象，然后将其向 象如图所示，由图象知B正确，C不正确：当 右平移1个单位长度，得到y=lg(x一1)的 3<x<4时，-1<x-4<0,f(x)=f(x 1og3<0, 图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻 所以f(2)f(3)<0,则f(x)有唯一零点，且 折到x轴上方，即得所求函数y=lg（x -() ,因此D正确.故选A、B、D. 在区间(2,3)内，] 1)|的图象，如图②所示（实线部分） :4.(1,+oo)「当a=0时，函数的零点是x= 答案ABD 一1，不符合题意.当a≠0时，若△>0，f(0)· :「例4T解析画出f(x)的大致图象如图所 示.不等式(x一1)f(x)≤0，可化为 -1 f1)<0,则a>1.若△=0，即a=-8,函 (x1, 由图可知符合条件 数的零点是x=一2，不符合题意.] lf(x)≥0. 关键能力·突破 的解集为{x|x≤0或1<x≤2}. 工例1](1)解析由题易知f(x)在(0，十o∞) 图① 图② 上单调递增，且函数f(x)的图象是一条连 [例2](1)解析函数图象的识别（理性思 续不断的曲线， 维、数学应用)排除法 2 3 由题知函数f(x)的定义域为R,关于原点 1 0, 对称， 答案{x|x0或1<x2} f(-x)=-(-x)2+(ex-e2)sin(-x)= :[例5]解析要使函数g(x)=f(x)一a有 f()+1-e 1 4一1og÷3 3 -x2+(e2-e)sinx=f(x),所以函数 三个零，点， f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排 则f(x)=a有三个不相等的实根， 6Y <0 除A.Cf)=-1+(e-日） sin1>-1+ 即y=f(x)与y=a的图象有三个交点， log2 2-log2 3-log27 当x≤-1时，f(x)=1-3x+1在(-∞， 1 1 ->0, 1 sin 6 e-e =-1+2 >0,排除 -1]上单调递减，f(x)∈[0,1)： (合)=+1-o4- 2e 当一1x0时，fx)=3x十1一1在(-1,0]上 所以函数f(x)=x十1一log÷x的零，点所在 D.故选B. 单调递增，f(x)∈(0,2]； 答案B 当x>0时，f(x)=lnx在(0，+∞)上单调 的区为（合）故℃ (2)解析由题图可知函数f(x)的图象关于： 递增，f(x)∈R.作出函数f(x)的图象，如 答案C y轴对称，所以函数f(x)是偶函数.对于A, 图所示 (2)解析 ,开区间(2,3)的长度等于1， 385