2.9 指、对、幂的大小比较-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

在(0，十∞)上单调递减，故A错误； 对于B,由指数函数的图象，可得0a<1, 则一>1，即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递增，故B错误； 对于C,由指数函数的图象，可得a>1,则 0<】<1,即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递减，故C正确； 对于D,由指数函数的图象，可得a>1,则 0<1<1,即函数g(x)在(0，十∞)上单调 递减，故D错误.] (2)D[因为f(2)·g(2)>0,所以a>1, 所以f(x)=ax与g(x)=logx在其定义 域上分别是减函数与增函数，故选D.] [例3]解析，a=lg0.2<lg1=0, b=1og32>0,c=1og64>0, lg 2 色思片要器×品器 lg 6 .b<c,即c>b>a. 答案A [例4幻解析指数函数的性质十基本不等 式十指数、对数的运算（理性思维、数学探 索)因为（工1，y1),(x2,2)为函数y=2 的图象上两个不同的点，所以当=2， y2=25,且x1≠2，则25≠25，所以y1十 2=25+2:>2V2·25=2√2，所 以十业>√2西>0，所以1照1十业> 2 2 lg√2%百-十2，故选B. 2 答案B [例5]解析函数f(x)的定义域为{xx≠ ±3}，fx)-lhx+3|+lnx-3-ln2- 9l,令g(x)=|x2-9|,则f(x)=lng(x),由 函数g(x)的图象（图略）可知，当x∈ (一∞，一3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减， 当x∈（一3,0），x∈(3，十∞)时，g(x)单调递 增，由复合函数的单调性得f(x)的单调区间； 由f(-x)=ln(-x)2-9|=lnx2-9|= f(x)得f(x)为偶函数.故选A. 答案A 即学即练3(1)A[由题意得，x2-2x>0 →x∈(-∞，0)U(2,十∞)， 而函数y=x2一2x的对称轴为x=1, 所以函数y-x2-2x在(-∞，1)上单调递 减，在(1，十∞)上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的原则， 函数f(x)的单调递增区间为(2，十∞)， 又因为函数f(x)在(a,十)上单调递增， 所以a∈[2，十∞).] (2)4[由x-2x-8>0,得x>4或x -2, 所以f(x)的定义域为{x|x>4,或x<一2}. 又μ=x2-2x-8在(4，十∞)上单调递增， 在（一∞，一2）上单调递减， 而y=1g:在定义域上单调递增， 所以f(x)=1g(x2一2x一8)的单调递增区 间为(4，十∞)，故a=4.门 §2.9指、对、幂的大小比较 [例1]解析指数对数函数的性质十比较 大小由函数y=4,2单调递增可知，0< a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c,故 选B. 答案B [例2]解析由已知a=log÷πlog51=0, loga x-log,31.clog log 4 1 有0<og1<1,即0<c<1,踪上得a<c< b.故进A. 答案A [例3]解析取特殊值，令a=4,b=2, 则4=4宁，b=2寸，a>b,故A错误： ab-4X2寸=2，ba-2X4÷=2号， ∴，ab>ba,故B错误： log-log子--1，.logse-loge--2, alogic=-8,blogac=-2, .alog6c<log。c,logc>log6c,故C正确， D错误 答案C 即学即练1(1)B[法一（特殊值法）取 a-8-4.log.b-logs 4-jog 8 1og24 ，lgc=logE-子，loga=lgr8-6, 2 故A、C不正确；logb=1og24=4,loga= 1og8-号，logc-log8E-名，故B正确， D不正确，故选B.] (2)A[法一如图，作出函数=l0g.2x, 2=log.3x,y3=log0.4x的图象， 6 x 0.3 -ya=loga 由图可知，当x=6时，1og0.26>1og0.36> log0.46, 即a>b>c. 法二易知0>10g0.4>10g0.3>1og60.2, 所以1ogi0.4<1og60.3<1g50.2' 即log0.46<loga.36<1og0.26, 即a>b>c.] 例4灯)解析=log12=1+1g4门 1+0等1+0号=640=1+16g8 -1+慢器-1+号 21g2_31g2 1g 3 1g 5 21g2×lg5-31g2×1g3 lg3×lg5 =1g2(21g5-31g3) 1g3×1g5 _1g2(lg25-1g27)<0, 1g3×lg5 又b0,c>0,.bc: :1=1+1og8<1+log√25=1+ log55子-5 :1-1og26=1+1og23>1+log2VB-1+ g2=号a<号 a<c.a<c<b. 答案D (2)解析令f(x)=(20-x)lnx(x≥9)，则 f(.x)=-lnx+(20-x)· =-In x+ 20-1,显然当x≥9时，f(x)单调递减且 f(9)=-1n9+20-1<0,故f(x)在 [9,十∞)上单调递减，f(9>f(10)> f11),即11ln9>10ln10>9ln11,即ln911> ln1010>ln11°，可得911>1010>119，即 a<b.故选A 答案A [例5]解析4 °==l0g43Xlog45 384 1og43+1og4512 2 log:15 2 <1,a 1og43>0,b=log4>0,.a<b,:410<59, 4<5立，b=1og54<9 10 =0.9,c 203>2青= 1 (②)5 (1.44)宁 1 1.2》F>4.21) =1.>0.9,b<c, .a<b<c,故选D. 答案D [例6]解析因为53=125>(3宁)3=81， 所以5>3， 所以1g5>1bg3t-专，脚a>e 因为73=343<(5京)3=625，所以7<5云， 所以1og7<1og5京=专，即b<c 所以a>c>b. 答案D [例7]解析 构建函数=(1+） (x>0), 则f)-(+) 1+x1 令g(x)=ln1+ ）>0. 1 则g'(x)= x1+x2<0, 可知f(x)在(0，十∞)上单调递减， 又当x→十∞时，f(x)→0， 所以f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单调 递增， 所以f(2024)>f(2023),即a<b. 答案a<b 即学即练2(1)B[因为a=2100, 所以1ga=lg2100=100lg2≈30.1， 因为b=365, 所以1gb=lg3的=65lg3≈31.0115， 因为c=930=30, 所以1gc=lg360=60lg3≈28.626， 所以lgb>lga>lgc,所以b>a>c.] (2c[由1ga=号→是-号→1 同理之_1-，构逸函数 b31 fx)=兰，f(x）=1-n上，当x>e时， f(x)=1-ln上<0，当0<x<e时，f(x) =1-ln工>0，可得函数f(x)在(0，e)上单 调递增，在(e,十o∞)上单调递减，而2<e< 3<4,又由h4-2,a≠2，c≠4，可得a 2 4,c=2,9>8→21n3>3n2→h3>1h2,又 3 2 由e<3,b≠3及f(x)的单调性，可知2< b<e,故c<b<a.故选C.] §2.10函数的图象 必备知识·整合 【知识梳理】 1.列表描点连线 2.y=f(x-a)y=f(x+a)y=f(x)+b y=f(x)-b 1 w 1AAx轴y轴 原点x轴下方右y轴 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)×(4)× x-1 2.A[y=21-x 1 2】 ，故函数为减函 数，可排除C、D,又当x=0时，y=2,排除 B,故选A.]第二章函数 考点三对数函数的性质及应用 、 角度3对数函数的性质及应用 角度1比较对数式的大小 :[例5](2025·郑州模拟)设函数f(x)=lnx十3|十 [例3]若a=1g0.2,b=log32,c=log64,则关于a, 1nx-3|,则f(x) ( b,c的大小关系，下列说法正确的是 ( ) A.是偶函数，且在（一∞，-3）上单调递减 A.c>b>a B.b>c>a B.是奇函数，且在（一3,3）上单调递减 C.c>a>b D.a>b>c C.是奇函数，且在(3，十∞)上单调递增 D.是偶函数，且在（一3,3）上单调递增 [听课记录 听课记录] 角度2解对数方程、不等式 [例4](2024·北京卷，4分)已知(x1,y1),(x2, y2)是函数y=2的图象上两个不同的点，则 A.log2十业<I+2 +/思维升华/++++++++++++++ 2 2 求与对数函数有关的函数值域和复合函数 B.log21十2>西十2 的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定 2 2 义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函 C.log2 y+2<x1十x2 2 数的构成。 D.log2 y+2>十x2 即学即练3(1)已知函数f(x)=log2(.x2-2x)在 2 (a,十o∞)上单调递增，则a的取值范围是 () [听课记录] A.[2,十∞) B.[1,十∞) C.(-∞，1] D.(-∞，0] (2)(2025·义鸟模拟)已知函数f(x)=lg(x2-2.x 8)的单调递增区间为(a,十c∞)，则a= 温馨提示 请做课时分层检测（十四） §2.9指、对、幂的大小比较 【重点解读】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较 是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的 性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置 考点一直接法比较大小 听课记录] 角度1利用函数的性质 [例1](2024·天津卷)若a=4.20.3,b=4.20.3, c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 37 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 角度2找中间值 考点二利用指数、对数及幂的运算性质化简比 [例2]a=logπ，b=log3π，c=l1og4π，则 较大小 A.a<c<b B.c<b<a 角度1作差法 C.a<b<c D.b<c<a [例4](1)设a=l1og62,b=log123,c=1og4o5,则 [听课记录 A.a<<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b (2)已知a=1010,b=911,c=119,则a,b,c的大 小关系为 角度3特殊值法 A.c<a<b B.b<a<c [例3]已知a>b>1,0<c< 2,则下列结论正确 C.a<<c D.c<b<a 的是 听课记录] A.a<b B.ab<ba C.alogic<blogac D.logac<logc [听课记录] 角度2放缩法 [例5]若a=l1og43,b=log4,c=2-0.03,则a,b,c 的大小关系为 ( A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c +/思维升华/++++++++++++ 听课记录] 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“一1,0,2， 1”对所比较的数进行划分，然后再进行比 角度3 乘方法 较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题 目需要选择特殊的常数对所比较的数的值 [例6]已知a=10gs56=1ogs7,c=号则( 进行估计，例如log23,可知1=log22<1og23 A.a>b>c B.b>a>c <1og24=2,进而可估计1og23是一个1~2 C.c>b>a D.a>c>b 之间的小数，从而便于比较， 听课记录] 即学即练1(1)若a>b>c>1且ac<b2,则 A.logab>logic>log a 角度4对数法 B.log b>logia>logac C.logic>logb>loga D.logia>logb>logac 则a,b的大小关系为 (2)(必修一P141T13(1)改编)设a=1og0.26,b= 听课记录] 1og0.36,c=log0.46,则 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 精品教辅·智慧人生 38 第二章 函数 +/思维升华/++++++++++++++ A.a>b>c B.b>a>c 求同存异法比较大小 C.b>c>a D.c>b>a 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过 真数的大小与指数、对数函数的单调性判断 (2)(2025·南昌模拟)已知1o影a=号(a≠2)， 出指数或对数的大小关系，要熟练运用指 数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化 logsb= 台6≠3.logc=千c≠4).则 为某一部分相同的形式 A.a<b< B.c<a<b 即学即练2(1)已知a=2100,b=365,c=930,则 C.c<b<a D.a<c<b a,b,c的大小关系是（参考数据：lg2≈0.3010， 1g3≈0.4771) ( 温馨提示 请做课时分层检测（十五） §2.10 函数的图象 【课标要求】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函 数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 必备知识·整合 参实基础回归教材>》 【知识梳理】 【常用结论】 1.利用描点法作函数图象的步骤： 1.左右平移仅仅是相对x而言的，即发生变化的只 是x本身，利用“左加右减”进行操作.如果x的 2.函数图象的变换 系数不是1，需要把系数提出来，再进行变换， )=f(x)的图象向右 =fx)的图象向左 2.函数图象自身的对称关系 ①简记 平移a(a>0个单 平移a(a>0)'个单 为“左加 (1)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a十x)= 位得到 的 位得到 的 右减，上 图象 图象： 加下减 f(b一x),则函数y=f(x)的图象关于直线x= 平移变换 =f(x)的图象向上平 “生对称 y=f(x)的图象向下平 b(b>0)个单位得 移b(b>0个单位得 (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称台 到 的图象 的图象 f(a+x)=2b-f(a-x)f(x)=2b-f(2a-x). y=f(x)的图象上所有 =f(x)的图象上所有 点的横坐标缩短为原 点的横坐标伸长为原 3.两个函数图象之间的对称关系 来的(w>)得到y= 来的(0<w<1)倍 (1)函数y=f(x)与y=f(2a一x)的图象关于直 f(ox)的图象： 得到y=fwx)的图象： 伸缩变换 线x=a对称 y=fx)的图象上所有 y=f(x)的图象上所有 (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关 点的纵坐标伸长为原 点的纵坐标缩短为原 来的(A>1)倍得到 来的(0<A<1)倍得 于点(a,b)对称. =A(x)的图象： 到)=Af(x)的图象 【课前自测】 y=f(x)与y=-f(x)】 y=f(x)与y=f(-x) 的图象关于 的图象关于 :1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/” 对称： 对称变换 对称： 或“×”) y=f(x)与y=-f-x)的图象关于 对称 (1)函数y=|f(x)|为偶函数， ( y=|f(x)川的图象：可 y=fx)的图象：可 (2)函数y=f(1一x)的图象，可由y=f(一x)的 将y=f(x)的图象在 先作出y=(x)在y轴 的部分关于 翻折变换及其边的图象，再 图象向左平移1个单位长度得到 () x轴翻折，其余部分 一·作y轴右边的图象关 对称的图象 (3)当x∈(0，+∞)时，函数y=|f(x)|与y= 不变 f(x)的图象相同. ( 39 精品教辅·智慧人生