2.6 二次函数与幂函数-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

第二章函数 +/思维升华/++++++++++++++ 听课记录] 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期， 常用于化简求值、比较大小等. 十十+十十十++…十+十++++++++++++ 即学即练3（多选）(2025·无锡模拟)已知函数 f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数，f(2x+ 1)为偶函数，则 +/思维升华/++++++++++++++ A.f(x)的图象关于直线x=1对称 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 函数的四大性质，在高考中常常将它们综合 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 在一起命题，解题时，往往需要借助函数的 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上 考点四函数的周期性与对称性 的单调性，即实现区间的转换，再利用单调 [例4]（多选）(2025·昆明模拟)已知定义域为R 性解决相关问题。 的函数f(x)在(-1,0]上单调递增，∫(1十x)= 即学即练4已知定义在R上的函数(x),对任 f(1一x),且图象关于点(2,0)对称，则下列结论 意实数x都有f(x十4)=一f(x),若函数y= 正确的是 f(x一1)的图象关于直线x=1对称，∫（一1）= A.f(0)=f(2) 2,则f(2025)= ( B.f(x)的最小正周期T=2 A.1 B.2 C.3 D.4 C.f(x)在(1,2]上单调递减 温馨提示 请做课时分层检测（十一） D.f(2021)>f(2022)>f(2023) §2.6 二次函数与幂函数 【课标要求】1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质（单调 性、对称性、顶点、最值等) D必备知识·整合 夯实基础回归教材>> 【知识梳理】 ④当a为奇数时，y=xa为 ;当a为偶数 1.幂函数 时，y=xa为 (1)幂函数的定义 !2.二次函数 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自； (1)二次函数解析式的三种形式 变量，a是常数. 一般式：f(x)= (2)常见的五种幂函数的图象 顶点式：f(x)=a(x一m)2十n(a≠0)，顶点坐标 y=2 =r3=r2 y=x 为 2 y=x 零点式：f(x)=a(x-x)(x-x2)(a≠0)，x1x2 为f(x)的 -2-1 y=r (2)二次函数的图象和性质 11) -2 函数 y=ar2+br+c y=ax2+bx+c (a>0) (a<0) (3)幂函数的性质 图象 ①幂函数在(0，十∞)上都有定义； (抛物线) ②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ,且在(0，十∞)上单调递增； 定义域 ③当a<0时，幂函数的图象都过点 ,且 在(0，十∞)上单调递减； 值域 29 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 (3)若二次函数y=a.x2+b.x十c的两个零点确 对称轴 定，则二次函数的解析式确定。 () 顶点 (4)二次函数y=a.x2十b.x十c(x∈[m,n])的最值 坐标 一定是4ac一2 4a 奇偶性 当b=0时是 函数，当b≠0时是非奇 2.(2025·枣庄一模)若幂函数y=f(x)的图象过 非偶函数 点(4,2)，则幂函数y=∫(x)的大致图象是 在( 00, ]上单调在(-，一 】上弹 必 调递 单调性 在 ）上单调 [+∞）上单 调递 【课前自测】 3.函数f(x)=-2x2十4x,x∈[-1,2]上的值域为 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” () 或“×”) A.[-6,2] B.[-6,1] )函数)=是幂函数。 C.[0,2] D.[0,1] ( 4.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间 ) (2)若二次函数y=a.x2十bx十c的图象恒在x轴 (一∞，一3]上单调递减，则实数a的取值范围是 下方，则a<0且△<0. 正关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 考点一幂函数的图象与性质 +/思维升华/++++++++++++++ (1)对于暴函数图象的掌握只要抓住在第 [例1](1)(2025·石家庄调研)已知a= 象限内三条线分第一象限为六个区域，即 b=()c=() 则a,b,c的大小关系为 x=1,y=1,y=x所分区域.根据a<0,0< a<1,a=1,a>1的取值确定位置后，其余象 ( 限部分由奇偶性决定 A.a<b<c B.c<a<b (2)在比较暴值的大小时，必须结合幂值的 C.a>b>c D.b<c<a 特点，选择适当的函数，借助其单调性进行 (2)“n=1”是“幂函数f(x)=(n2-3n十3)x2n-3 比较 在(0，十∞)上单调递减”的 ( A.充分不必要条件 即学即练1(1)幂函数y=xm+m-2(0≤m≤3， B.必要不充分条件 m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，十∞)上单 () C.充要条件 调递增，则m的值为 A.0 B.2 C.3 D.2或3 D.既不充分也不必要条件 (2)函数y=x一1的图象大致是 [听课记录 OY 考点二 二次函数的解析式 [例2]已知二次函数f(x)满足f(2)=一1， f(一1)=一1，且f(x)的最大值是8，试确定该二 次函数的解析式 精品教辅·智慧人生 30 第二章函数 听课记录」 角度2二次函数的单调性与最值 [例4](2025·台州模拟)已知函数f(x)=x2十 (2a-1)x-3. (1)当a=2,x∈[一2,3]时，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)在[一1,3]上的最大值为1，求实 数a的值. 听课记录] +/思维升华/ 求二次函数解析式的方法 三点坐标 选用一般式 顶点坐标 已知 对称轴 选用顶点式 最大（小）值 与x轴两交点坐标 选用零点式 即学即练2已知二次函数∫(x)的图象经过点 (4,3),且图象被x轴截得的线段长为2，并且对 任意x∈R,都有f(2-x)=f(2十x),则f(x)的 解析式为 考点三二次函数的图象与性质 【微拓展】 角度1二次函数的图象 二次函数定轴动区间和动轴定区间问题 [例3](2025·凉山调研)已知函数f(x)=a.x2+ 在含参的二次函数中，常常出现两种情况的 bx十c,若a>b>c,且a十b+c=0,且函数f(x) 讨论： 的图象可能是 (1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随 参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数 V 在动区间上的最值”. (2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象 是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种 情况是“动二次函数在定区间上的最值” 典例] (1)已知函数f(x)=- 22+x在区 1 听课记录] 间[a,b]上的最小值为3a,最大值为3b,则a十b 等于 ( A.-4 B. C.2 D. 3 6 6 31 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 (2)若函数f(x)=x2-2bx十3a在区间[0,1]上 即学即练3(1)(2025·宣城模拟)已知y= 的最大值为M,最小值为m,则M一m的值 (x-m)(x-n)+2025(m<n),且a,β(a<β)是 ( 方程y=0的两根，则a,3,m,n的大小关系是 A.与a无关，与b有关 () B.与a有关，与b无关 A.a<m<n<B C.与a有关，且与b有关 B.m<a<n<p D.与a无关，且与b无关 C.m<a<<n +/思维升华/++++ 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类 D.a<m<<n 型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动， (2)(2025·镇江模拟)函数∫(x)=x2-4x十2在 不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区 区间[a,b]上的值域为[一2,2]，则b一a的取值 间的位置关系，当含有参数时，要依据对称 范围是 轴与区间的位置关系进行分类讨论. 温馨提示 请做课时分层检测（十二） §2.7指数与指数函数 【课标要求】1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实 例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单 应用. 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 【知识梳理】 :4.指数函数及其性质 1.根式 (1)概念：一般地，函数y=a2(a>0,且a≠1)叫 (1)一般地，如果x=a,那么x叫做a的n次方： 做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是 根，其中n>1,且n∈N*. (2)式子a叫做 ,这里n叫做根指数，a (2)指数函数的图象与性质 叫做被开方数。 a>1 0<a<1 (3)(a)n= 4)y 当n为奇数时a”= ly=a y=' (0,1) 当n为偶数时a”=|a (a,a≥0， 图象 -=1 0,2y=1 -a,a<0. 01x 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：a” 定义域 (a>0,m, n∈N*,n>1). 值域 正数的负分数指数幂：a” 过定点 ,即x=0时，y=1 (a>0,m,n∈N*,n>1). 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指 当x>0时， 当x<0时， 数幂没有意义· 性质 当x<0时， 当x>0时 3.指数幂的运算性质 a'as= ；(a')s (ab)'= 函数 (a>0,b>0,r,s∈R). 函数 精品教辅·智慧人生 32f(2022)=f(2),f(2023)=f(-1), 当n=1时，y=x0,由暴函数性质得，y=x01 因为f(x)的图象关于直线x=1对称， 在(0，十∞)上是常函数： 所以f(2)=f(0), 当n=2时，y=x,由暴函数性质得，图象 由C选项的分析可知，函数f(x)在「0,1)上！ 关于y轴对称，y=x4在(0，十∞)上单调递 单调递增，在（一1,0]上单调递增，确定的单 增； 调区间内均不包含x=士1，若f(一1)= f(1)=0,则f(2021)>f(2022)>f(2023)不： 当n=3时，y=x10,由暴函数性质得，图象 关于y轴对称，在(0，十∞)上单调递增.] 成立，故D错误 答案AC (2)A[由结论知，函数y=x云的图象恒过 即学即练4B[由函数y=f(x一1)的图象 点(1,1)，则y=x÷-1的图象过，点(1,0)且 关于直线x=1对称，可知函数f(x)的图象 为增函数.故选A.门 关于y轴对称，故f(x)为偶函数.又由f(x[例2]解方法一（利用“一般式”解题） +4)=-f(x),得f(x+4+4)=-f(x+ 设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0). 4)=f(x),所以f(x)是周期为8的偶函数， 4a+2b+c=-1, 则f(2025)=f(1+253×8)=f(1)=f(-1) a-b+c=-1, 1a=-4, =2.J 由题意得 Aac-b2 解得{b=4, =8, (c=7. §2.6二次函数与幂函数 4a 所以所求二次函数的解析式为 必备知识·整合 f(x)=-4x2+4x+7. 【知识梳理】 方法二（利用“顶点式”解题） 1.(1)y=x4 (3)②(1,1)(0,0)③(1,1) 设f(x)=a(x一m)2十n(a≠0). ④奇函数 偶函数 因为f(2)=f(-1), 2.(1)a.x2+b.x+c(a≠0) (m,n)零点(2)R 所以抛物线的对称轴为工= 2+(-1) 4a,十o 「4ac- -oo,4ac-21 b 2 4a」 2a b Aac-62 2a4a 偶 减增增减 2, 【课前自测】 所以n=立 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 又根据题意，函数有最大值8， 2.C[设暴函数的解析式为y=x“,因为暴函！ 所以1=8， 数y=f(x)的图象过点(4,2)，所以2=4“， 解得口=之，所以y=丘，其定义城为 所以-(-)+8 [0,十∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图！ 因为f2)--1,所以a(2-号)）+8 象在直线y=x的上方，对照选项知C 正确.门 -1 解得a=一4， 3.A[函数f(x)=一2x2十4x的对称轴为直 线x=1,则f(x)在[-1,1]上单调递增，在！ 所以f(x）=一 [1,2]上单调递减，f(x)mx-f(1)=2, 4x+7. f(x)min=f(-1)=-2-4=-6,即f(x)! 方法三 (利用“零点式”解题》 的值域为[一6,2].] 4.(-∞，4][函数f(x)=x2+2(a-1).x+2 由已知得f(x)十1=0的两根为x1=2, I2= -1, 在区间（一∞，一3]上单调递减 故可设f(x)十1=a(x一2)(x十1)(a≠0)， 可得-2a1≥-3，即a≤4， 即f(x)=a.x2-a.x-2a-1. 故实数a的取值范围是（一∞，4].门 又函数有最大值8，即4a(-2a-1)-(-a)2 关键能力·突破 Aa =8 例1)(1)解析 由a-()-（） 解得a=一4. 故所求函数的解析式为f(x)=一4x2十： () 4x+7. 即学即练2f(x)=x2-4x十3[，f(2一 x)=f(2十x)对任意x∈R恒成立， 得a-(日)w-(台)-（付） 3 ∴.f(x)图象的对称轴为直线x=2. 又，f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，： 因为暴函数y=x号在区间(0，十∞)上单调 ,f(x)=0的两根为1和3， 递增，且<子<， 设f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0)， ,f(x)的图象过点(4,3)， ∴.3a=3,∴a=1, 所以()<（宁）<（合） 即c< .所求函数的解析式为f(x)=(x一1)(x一3)， ab.故选B. 即f(x)=x2-4x+3.] 答案B :L例3】解析由a>b>c且a+b+c=0, (2)解析因为f(x)=(2-3m十3)x2m-3 得a>0,c0, 所以函数图象开口向上，排除A,C: 是暴函数， 又f(0)=c<0,排除B.故选D. 所以2-3n十3=1，即12一31+2=0， 答案D 解得n=1或n=2, [例4]解(1)当a=2时，f(x)=x2+3x 当n=1时，f(x)=x1=1在(0，十∞)上 3,x∈[-2,3]， 3 单调递减：当n=2时，f(x)=x在(0，十o∞)： 函数图象的对称轴为直线x=一 2 -∈1 上单调递增. [-2,3], 所以“n=1”是“暴函数f(x)=(2一3n十3)！ x2m一3在(0，十∞)上单调递减”的充要条件. 2 -3 答案C 21 即学即练1(1)D[当n=0时，y=x-2,由！ f(x)max=f(3)-15, 幂函数性质得，y=x2在(0，十∞)上单调 递减； “f)的值城为[-头15] 382 (2)函数图象的对称轴为直线x=-2a一1 2 ①当-2a,己1<1，即a≥-合时f(x)nx 2 f(3)=6a+3, 6u十3-1，即0-一子满足题意： ②当-202>1，即a<-合时，f(x)mx f(-1)=-2a-1, ,∴.-2a-1=1,即a=一1，满足题意 综上可知，a=一号或a=一1. 3 【微拓展】(1)解析因为f)-一号2+ （一1)2+<号的图象的对格 x=一2 轴为x=1,开口向下，函数在（一∞，1]上单 调递增，在[1，十∞)上单调递减， 依题意3≤子，所以区日 所以f(x)在区间[a,b门上单调递增， 所以{fa）=3a,即 2+a=3a, f(b)=3b, -20+6=36 所以a,b为方程号r2+2x=0的两根， 所以a十b=- 2 1 =一4. 2 答案A (2)解析函数f(x)=x2一2bx十3a的图 象开口向上，且对称轴为直线x=b, ①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则 M=f(0)=3a,n=f(1)=1-2b+3a,此时 M-m=2b-1,故M-m的值与a无关，与 b有关 ②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则 M=f(1)=1-2b十3a,m=f(0)=3a,此时 M-m=1-2b,故M-m的值与a无关，与 b有关： ③当0≤b≤1时，m=f(b)=3a-b2， 若0≤区立，则f1)≥f0),有M=f1) 1-2b+3a,∴.M-m=2-2b+1,故M-m 的值与a无关，与b有关，若b>2,则f(1)< f(0),有M=f(0)=3a, M-m=b2,故M-n的值与a无关，与b 有关， 综上，M一m的值与a无关，与b有关. 答案A 即学即练3(1)C[y=(x-m)(x一n)十 2025(n<1)为二次函数，图象开口向上， 因为a,3(a<3)是方程y=0的两根， 故a,3(a<B)为二次 函数的图象与x轴 -y=2025 的两个交点的横坐 标，其中f(加)= f(n)=2025, 0Bn 画出大致图象如图 所示， 显然m<a<3l.] (2)[2,4][解方程f(x)=x2-4.x十2=2， 得x-0或x=4,解方程f(x)=x2-4x十 2=一2，得x=2, 由于函数f(x)在区间[a,b们上的值域为 -2,2]. 若函数f(x)在区间[a,b门上单调，则[a,b门 =[0,2]或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最 小值2： 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调， 且当b一a取最大值时，[a,b]=[0,4], 所以b一a的最大值为4， 所以b一a的取值范国是[2,4].]