2.5 函数性质的综合应用-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

所以f(号)-(2)=-f(-)- 解得x<-2或x>1 所以函数f'(x)是以4为周期的周期函数， 所以x的取值范围为（一∞，一2）U1 B正确： (1,十∞). f(2025)=f(1),A正确： ()- (2)D[因为f(x)为奇函数， 由f(x十2)=f(一x)可知函数f(x)的图象 答案A 所以f(x十2)=-f(x）=f(一x), 关于直线x=1对称，所以f(1)=0,D (2)解析，f(x十2)是偶函数， 所以直线x=1是f(x)图象的一条对称轴. 错误 又由f(x+2)=一f(x),得到 答案ABC ,∴.f(x十2)的图象关于直线x=0对称， ∴，f(x)的图象关于直线x=2对称， fx+4)=-f(x+2)=-[-fx)]=f(x), 即学即练2C[因为f(x一2)为奇函数， 又f(x)在[2，十)上单调递减， 所以f(x)是以4为周期的周期函数. f(x)的周期为2，所以f(x)为奇函数， ,.f(x)在（一∞，2]上单调递增. 作出f(x)的图象，如图所示， 因为当x∈[0.1)时，fc）-f0. 又-x2,-1∈(-∞，2]，f(-x2)>f-1), 汇1.x2 所以f(x)在[0,1)上单调递增， .-x2>-1,即x2<1,.-1<x<1, .原不等式的解集为（一1,1）. 因为f(x)为奇函数， 所以f(x)在（一1,0）上单调递增 答案（一1,1） “f 即学即练1(1)B[由题意知，函数f(x)的 所以f(x)在（一1,1）上单调递增 图象的对称轴方程是x=1,当x≥1时， 由图象可知，点(2,0)是f(x)图象的一个对· 因为()=(+2×4) f(x)=2r一1，则函数f(x)在[1，十o∞)上单 1 调递增，由f(x)的对称性知f(x)在（一∞，1） 称中心，直线y=工一 也关于点(2.0 () 上单调运减：1-号< 1 对称， -1<1 3’ 且当≥8时y一≥1 1 f(4)=f(4-2×2)=f(0), f()<(2)<()故选B] 当-4时y一 ()-(侵-2x3)-() (2)C[依题意，函数f(x)(x∈R)满足 3 1 f(4十x)=f(-x), 所以直线y=有x-号与y=f()的图象 以（合）>@>(-)： 即y=f(x)的图象关于直线x=2对称. 有7个公共，点， 函数y=|x2-4x一5的图象也关于直线· 即(- 则由对称性可得，x1十x2十…十x2=2十 )>4>f() x=2对称， 4×3=14,y1+y2+9+…+y7=0, 例3]解析构造函数g(x)=xf(x), 所以若函数y=x2一4x一5|与y=f(x)图： 该函数的定义域为R, 象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…, 因此2(x+y)=14,故选D.] 所以g(-x)=一xf一x)=一xf代x)=一g(x) (xmym）, [例3]解析设P(xo,)为y-f(x+2) 函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对 图象上任意一点，则y0=f(工0十2)=f(4 称中心为坐标原，点。 则西十十…十xm=4X分=2m] (2-xo), 对于A进项，函数y=(x一1)f(x-1)的图 [例2](1)解析对于A,f(x)=2x- 所以点Q(2-x0y0)在函数y=f(4-x)的 象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长 x十2 图象上， 度得到， 2(x+2)-5=2- x+2 十2，其图象可以由y 5 而点P(x0,yo)与，点Q(2-x0,y0)关于直线 故函数y=(x一1)f(x一1)图象的对称中心 为(1,0)： x=1对称， 三的因象向左平移2个单位长度，再向 对于B选项，函数y=(x十1)f(x十1)的图 所以函数y=f(x十2)与y=f(4一x)的图： 象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长 象关于直线x=1对称. 上平移2个单位长度得到，且y= 5的图 度得到， 答案 A 故函数y=(x十1)f(x十1)图象的对称中心 象关于原点对称，故f(x)=2工-」 r+2的图象 即学即练3C[与f(x)=e的图象关于直 为(-1,0)： 线x=1对称的是f(2-x)=e2x,即： 对于C进项，函数y=xf(x)十1的图象由 关于点（一2,2）中心对称，A正确： y=e2-x.] 函数g(x)的图象向上平移1个单位长度 对于B,因为f(2x一1)为奇函数，所以f(2x §2.5 函数性质的综合应用 得到。 1)=-f代-2x-1),所以fx-1)=-f-x-1), 故函数y=xf(x)十1图象的对称中心为 所以f(x)=-f(-x-2),所以函数f(x)![例1]解析显然f(x)是偶函数，当x≥0： (0,1): 关于点（一1,0）中心对称，B正确： 时，f(x)=1+x 4x十4-4=4- 4一单 对于D选项，函数y=xf(x)一1的图象由 对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1个 1+x 1+x 函数g(x)的图象向下平移1个单位长度 单位长度，再向上平移1个单位长度得到函 调递增.又f(1)=2,所以f(2x一3)<2可 得到， 数y=f(x-1)+1的图象，由于y=f(x) 化为f(2x一3)<f(1),可得|2x-3|<1,解 故函数y=xf(x)一1图象的对称中心为 过定点(0,1)，故函数y=f(x一1)十1过定： 得1<x<2.故进A. (0,-1). 点(1,2)，C正确： 答案A 答案B 对于D,函效y一二=一十 即学即练1D[因为函数f(x)是定义在R:即学即练3AD[因为f(x十2)为奇函数， x-b 上的偶函数，且在（一∞，0]上单调递减，所 所以f(x+2)=一f(-x+2), 1十号的国象关于点(3，)中心对称， 以f(x)在(0，十∞)上单调递增，f(-2)= 所以函数f(x)关于点(2,0)对称 f(2)=0, 又f(2x十1)为偶函数， 所以3-6=0·解得6=3，c=1, 当-2<r<2时，f(x)0, 所以f(2x+1)=f(-2x+1), 1c=1, 当x<一2或x>2时，f(x)>0, 所以函数f(x)关于直线x=1对称.故 所以b十c=4,D不正确。 若fx-1)f(x)<0, 选AD.] 答案ABC 则f)<0或fx-1D>0, :[例4]解析由f(1十x)=f(1-x)知， (2)解析因为函数y=f(x)的图象关于直 1f(x)>0 f(x)0. f(x)图象的对称轴为直线x=1, 线x=1对称， 当f)0时，{21<2， 所以f(0)=f(2),故A正确： 所以f(-x)=f(2+x), 1f(x)>0 1x>2或x-2, 由f(1十x)=f(1-x)知，f(2十x)=f(一x), 因为函数y=f(x)的图象关于点(2,0) 解得2<x<3: 又图象关于点(2,0)对称， 对称， 即f(2汁x)=-f(2-x),故f4十x)=-f(-x). 所以f(-x)=-f(4十x), 当>0时，{1>2我-1K-2, (f(x)0 1-2<x<2, 所以-f(2十x)=f(4+十x),即一f(x)= 所以f(x十2)十f(x十4)=0， 解得-2<x<-1. f(2+x), 所以f(x)-f(x十4)=0，即f(x)=f(x+4),1 综上，不等式的解集为(-2，一1)U(2,3).] 所以f(x)=f(x十4)，f(x)的最小正周期 所以函数f(x)的周期为4， :[例2]解析因为函数f(x)是奇函数， 为4，故B错误； 所以f(2024)=f(4×506+0)=f(0)=0. 所以f(一x)=一f(x), 因为f(x)在（一1,0]上单调递增，且T=4, 答案D 对f(一x)=一f(x)左、右两侧分别求导， 所以f(x)在(3,4]上单调递增， 即学即练2(1)D[因为f代x+1)为奇函数， 可得f(一x)=f(x), 又图象关于点(2,0)对称， 所以f(x)的图象关于，点(1,0)对称， 则函数f(x)是偶函数，C正确： 所以f(x)在[0,1)上单调递增， 因为f(x)在[1，十∞)上单调递减， 又f(x+2)=f(-x)=-f(x), 因为f(x)的图象关于直线x=1对称， 所以f(x)在R上单调递减， 所以f(x+4)=f(x),所以f(x+4)= 所以f(x)在(1,2]上单调递减，故C正确： 所以x2-x>2-2x,即x2十x-2>0, f(x), 根据f(.x)的周期为4，可得f(2021)=f(1), 381 f(2022)=f(2),f(2023)=f(-1), 当m=1时，y=x°，由幂函数性质得，y=x0 因为f(x)的图象关于直线x=1对称， 在(0，十∞)上是常函数： (2)函数图象的对称轴为直线x=_2一1 2 所以f(2)=f(0), 当n=2时，y=x,由暴函数性质得，图象 由C选项的分析可知，函数f(x)在[0,1)上 关于y轴对称，y=x4在(0，+∞)上单调递 ①当-202≤1，即a≥-时f(nmx 2 单调递增，在（一1,0]上单调递增，确定的单 增； f(3)=6a+3, 调区间内均不包含x=士1，若f(一1)= f(1)=0,则f(2021)>f(2022)>f(2023)不 当m=3时，y-=x10,由暴函数性质得，图象 ∴6a十3=1，即a=-子满足题意： 关于y轴对称，在(0，十∞)上单调递增.] 成立，故D错误. 答案AC (2)A[由结论知，函数y=x的图象恒过 ②当-2a。1>1,即a<-之时，f(x)mx 2 即学即练4B[由函数y=f(x一1)的图象 点(1,1)，则y=x女-1的图象过，点(1,0)且 f(-1)=-2a-1, 关于直线x=1对称，可知函数f(x)的图象 为增函数，故选A.门 .-2a一1=1，即a=一1，满足题意。 关于y轴对称，故f(x)为偶函数.又由f(x:[例2]解方法一（利用“一般式”解题） 十4)=-f(x),得f(x+4+4)=-f(x 综上可知，a= 设f(x)=ax2十b.x十c(a≠0). 4)=f(x),所以f(x)是周期为8的偶函数， 4a+2b+c=-1, 则f(2025)=f(1+253×8)=f(1)=f(-1) a-b+c=-1, a= 4. 【微拓展】(1)解析因为f(x)=-2x2十 =2. 由题意得 解得b=4, Aac-b2 =8, (c=7. I=- （一12+合<合的圈象的时称 2 §2.6二次函数与幂函数 44a 所以所求二次函数的解析式为 轴为x=1,开口向下，函数在（一0,1]上单 必备知识·整合 -4x2+4x+7. 调递增，在[1，十∞)上单调递减， 【知识梳理】 f(x)= 方法二（利用“顶点式”解题）》 1.(1)y=x (3)②(1,1) (0.0) ③(1,1) 依题意3动≤，所以≤日， 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ④奇函数 偶函数 因为f(2)=f(-1), 所以f(x)在区间[a,b们上单调递增 2.(1)a.x2+bx+c(a≠0) (m,n)零点(2)R 1 「4ac-b2 Aac-b7 b 所以抛物线的对称轴为工= 2+(-1) la，十o -oo 2 所以{fa）=3a'即 a2+a-3a. -2a 1f(b)=3b, b2+6=36. 1 b 4ac-b2 -2a'4a 偶减增增减 2, 所以a,b为方程号2十2x=0的两根， 【课前自测】 所以n=立 2 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 又根据题意，函数有最大值8， 所以a十b=- =一4 1 2.C[设暴函数的解析式为y=x,因为幂函 所以1=8， 数y=f(x)的图象过点(4,2)，所以2=4， 答案A 1 解得a=之，所以y=丘，其定义城为 所以=a(-号)+8 (2)解析函数f(x)=x2一2bx+3a的图 因为2)-1，所以(2-号)+8 象开口向上，且对称轴为直线x=b, [0,十∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图 ①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则 象在直线y=x的上方，对照选项知C -1, M=f(0)=3a,m=f(1)=1-2b+3a,此时 正确] 解得a=一4， M-m=2b-1,故M一m的值与a无关，与 3.A[函数f(x)=一2x2十4x的对称轴为直} 线x=1,则f(x)在[-1,1]上单调递增，在！ 所以f(x)= (号)+8-+ b有关： ②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则 [1,2]上单调递减，f(x)mx=f(1)=2, 4x+7. M=f(1)=1-2b十3a,m=f(0)=3a,此时 f(x)min=f(-1)=-2-4=-6,即f(x) 方法三（利用“零点式”解题）》 M-n=1-2b,故M一m的值与a无关，与 的值域为[-6,2].] 由已知得f(x)十1=0的两根为x1=2, b有关： 4.(-∞，4]由[函数f(.x)=x2+2(a-1)x+2 I2= -1, 在区间（一∞，一3]上单调递减， ③当0≤b≤1时，n=fb)=3a-b2, 故可设f(x)十1=a(x-2)(x+1)(a≠0)， 可得-2a,D≥-3，即a≤4， 若0≤区2，则f1D≥f0),有M=f1)- 2 即f(x)=a.x2-a.x-2a-1. 故实数a的取值范围是（一∞，4们.] 又函数有最大值8，即4a(-2a-1)-(-a)2 1-2b+3a,∴.M-m=2-2b+1,故M-m Aa 1 关键能力·突破 =8 的值与a无关，与b有关，若b>之，则f(1)< [例1)(1)解析 由a-()-（合） 解得a=一4. f(0),有M=f(0)=3a, 故所求函数的解析式为f(x)=一4x2十！ .M-n=b2,故M-n的值与a无关，与b () 4x+7. 有关， 即学即练2f(x)=x2-4x+3[,f(2- 综上，M一n的值与a无关，与b有关. x)=f(2十x)对任意x∈R恒成立， 答案A a()6(传)-() .f(x)图象的对称轴为直线x=2. :即学即练3(1)C[y=(x-m)(x一)十 又，f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， 2025(m1)为二次函数，图象开口向上， 因为暴函数y=x÷在区间(0，十∞)上单调 ∴，f(x)=0的两根为1和3， 因为a,(a<B)是方程y=0的两根， 递增，且<<， 设f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0)， 故a,3(a<3)为二次 ,f(x)的图象过点(4,3)， 函数的图象与x轴 -y=2025 .3a=3,a=1, 的两个交，点的横坐 所以()<()<() 即c ∴.所求函数的解析式为f(x)=(x一1)(x一3)， 标，其中f(m)= ab.故选B. 即f(x)=x2-4x十3.] f(n)=2025, B n 答案B :[例3]解析由a>b>c且a十b+c=0, 画出大致图象如图 (2)解析因为f(x)-(n2-3m十3)x2m-3 得a>0,c0, 所示， 所以函数图象开口向上，排除A,C: 显然m<a<3.] 是暴函数， 又f(0)=c<0,排除B.故选D. (2)[2,4][解方程f(x)=x2-4.x十2=2， 所以n2-3n十3=1，即n2一3m十2=0， 答案D 解得n=1或n=2, 得x=0或x=4,解方程f(x)=x2-4x十 [例4]解(1)当a=2时，f(x)=x2+3x 2=一2，得x=2, 当=1时，f(x)=x1=1在(0，十∞)上 3,x∈[-2,3]， 由于函数f(x)在区间[a,b]上的值域为 单调递减：当n=2时，f(x)=x在(0，十)： 函数图象的对称轴为直线x=一 「-2,2. 上单调递增， 若函数f(x)在区间[a,b]上单调，则[a,b] [-2,3], 所以“n=1”是“幂函数f(x）=(12-31十3) =[0,2]或[a,b]=[2,4],此时b-a取得最 x2m3在(0，十∞)上单调递减”的充要条件. 9 小值2： -3= 若函数f(x)在区间[a,b]上不单调， 答案C 21 即学即练1(1)D[当m=0时，y-x2,由 f(x)nx=f3)=15, 且当b一a取最大值时，[a,b]=[0,4], 所以b一a的最大值为4， 幂函数性质得，y=x2在(0，十∞)上单调 )的值城为[-15] 所以b一a的取值范国是[2,4].] 递减； 382高三总复习·数学 §2.5函数性质的综合应用 【重点解读】函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性 质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查 考点一函数的奇偶性与单调性 听课记录] [例]已知函数f)=+ 4.x ,则不等式f(2x 3)<2的解集是 A.(1,2) B(合) /思维升华/小+ C.(-∞，1)U(2,+∞) 周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数 D.(-,2)U(号+∞) 值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将 为 所求函数值的自变量转化到已知解析式的 听课记录 函数定义域内，或已知单调性的区间内求 解. 即学即练2已知定义在R上的函数∫(x)满足 条件：①f(x)的周期为2，②f(x一2)为奇函数， ③当x∈[0,1)时，）-fx2) >0(x1≠x2)恒 x1一x2 /思维升华/++小++++++++ 成立.则(-)4)，(？)的大小关系为 (1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为 f(g(x)>f(h(x),利用单调性把不等式 的函数符号“∫”脱掉，得到具体的不等式 A.侵)>f4)>(-2》 (组). (2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调 B.f4>f(侵)>(-) 区间上的两个或多个自变量的函数值转化 到同一单调区间上，进而利用其单调性比较 Cf(-)>f4>》 大小 D.f(-)>f()>f4) 即学即练1(2024·扬州模拟)已知函数f(x) 考点三函数的奇偶性与对称性 是定义在R上的偶函数，且在（一∞，0]上单调递 [例3]已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列 减，f(2)=0,则不等式f(x一1)f(x)<0的解集 函数的图象一定关于点（一1,0）成中心对称的是 是 ) () A.(-2,2) B.(-∞，-2)U(1,2) A.y=(x-1)f(x-1) B.y=(x+1)f(x+1) C.(-∞，-1)U(0,3) D.(-2,-1)U(2,3) C.y=xf(x)+1 D.y=xf(x)-1 考点二函数的奇偶性与周期性 [听课记录] [例2]（多选）(2025·杭州质检)已知函数f(x)(x∈ R)是奇函数，(x十2)=f(一x)且f(1)=2, f(x)是f(x)的导函数，则 A.f(2025)=2 B.f(.x)的周期是4 C.f(x)是偶函数 D.f(1)=1 精品教辅·智慧人生 28 第二章函数 +/思维升华/++++++++++++++ 听课记录] 由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期， 常用于化简求值、比较大小等. 十十+十十十++…十+十++++++++++++ 即学即练3（多选）(2025·无锡模拟)已知函数 f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数，f(2x+ 1)为偶函数，则 +/思维升华/++++++++++++++ A.f(x)的图象关于直线x=1对称 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是 B.f(x)的图象关于点(1,0)对称 函数的四大性质，在高考中常常将它们综合 C.f(x)的图象关于直线x=2对称 在一起命题，解题时，往往需要借助函数的 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称 奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上 考点四函数的周期性与对称性 的单调性，即实现区间的转换，再利用单调 [例4]（多选）(2025·昆明模拟)已知定义域为R 性解决相关问题。 的函数f(x)在(-1,0]上单调递增，∫(1十x)= 即学即练4已知定义在R上的函数(x),对任 f(1一x),且图象关于点(2,0)对称，则下列结论 意实数x都有f(x十4)=一f(x),若函数y= 正确的是 f(x一1)的图象关于直线x=1对称，∫（一1）= A.f(0)=f(2) 2,则f(2025)= ( B.f(x)的最小正周期T=2 A.1 B.2 C.3 D.4 C.f(x)在(1,2]上单调递减 温馨提示 请做课时分层检测（十一） D.f(2021)>f(2022)>f(2023) §2.6 二次函数与幂函数 【课标要求】1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质（单调 性、对称性、顶点、最值等) D必备知识·整合 夯实基础回归教材>> 【知识梳理】 ④当a为奇数时，y=xa为 ;当a为偶数 1.幂函数 时，y=xa为 (1)幂函数的定义 !2.二次函数 一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自； (1)二次函数解析式的三种形式 变量，a是常数. 一般式：f(x)= (2)常见的五种幂函数的图象 顶点式：f(x)=a(x一m)2十n(a≠0)，顶点坐标 y=2 =r3=r2 y=x 为 2 y=x 零点式：f(x)=a(x-x)(x-x2)(a≠0)，x1x2 为f(x)的 -2-1 y=r (2)二次函数的图象和性质 11) -2 函数 y=ar2+br+c y=ax2+bx+c (a>0) (a<0) (3)幂函数的性质 图象 ①幂函数在(0，十∞)上都有定义； (抛物线) ②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ,且在(0，十∞)上单调递增； 定义域 ③当a<0时，幂函数的图象都过点 ,且 在(0，十∞)上单调递减； 值域 29 精品教辅·智慧人生