2.4 函数的对称性-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

且f(一x)=x2一x≠士f(x),故函数为非奇{ 非偶函数： 对于C,函数的定义域为R,关于原点对称，！ 且f(-x)=e。e=-f(x),故函数为 2 奇函数； 对于D,函数的定义域为{x|x≠一1}，不关 于原点对称，故函数为非奇非偶函数， 答案AC 2解桥法一周为f)-导，所以 1-(x-1=2-,f(x+1)= fx-1)=1+(x-市 1-(x+1)-x 1+(x+1)x+2 对于A,F(x)=f(x-1)-1=2二2-1= 22江，定义城关于原点对称，但不满足 F(一x)=一F(x),故不是奇函数； 对于B,G(x)-f(x-1)+1=2工+1= 2,定义城关于原点对称，且满足G(一x)= 一G(x),故是奇函数： 对于C,f(x十1)-1=x+2 -1= x+2 干2，定义城不关于原点 对称，故不是奇函数； 对于D,f(x+1)十1= +1= 二x十x十2-2 尤十2 千2，定义城不关于原点对 称，故不是奇函数.故选B. 法三)+-2x十业= 1+x 1十x 1,为保证函数变换之后为奇函数，需将函· 数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，· 再向上平移1个单位长度，得到的图象对应： 的函数为y=f(x一1)十1，故选B. 答案B 即学即练1A[由初等函数的图象知，应该· 选A.] 「例2](1)解析由题意知，函数f(x)的定1 义域为R,关于原点对称， 令g(x)=f(x)-1=x3十2.x3+3x, 则函数g(x)为奇函数， .g(x)在区间[-2025,2025]上的最大值1 与最小值之和为0， 即M-1+m-1=0, ∴.M+n=2. 答案B (2)解析当x<0时，一x>0.f(x)= -f(-x)=-(-x+1)=x-1. 答案x一1 [例3]解析因为定义在R上的奇函数！ f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0, 所以f(x)在（一∞，0）上也单调递增，且 f(-3)=0,f(0)=0, 所以当x∈（一∞，一3）U(0,3)时，f(x): <0, 当x∈(-3,0)U(3,+o∞)时，f(x)>0, 所以由xf(x一2)<0，可得！ ∫r0, -3<x-2<0或10<x'2。 解得一1<x<0或2<x<5, 即x∈(-1,0)U(2,5). 答案C 【微拓展】(1)解析对于A,令x=y=0, 可得f(0)=f(0)十f(0)=2f(0),所以1 f(0)=0, 令y=一x,得到f(一x)十f(x)=f(0)=0,: 即f(一x)=一f(x),所以f(x)为奇函数， 故A正确； 对于B,因为f(x)为奇函数， 所以f(一2)=-f(2)=一1，故B正确 对于C,设x1>x2,x=x1,y= 可得f(x1一x2)=f(x1)十f(-x2), 由f(x+1)+f(2.x)>0 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)= 得f(x+1)>-f(2x=f(-2x), fx1-x2), 所以x十1>一2.x,解得x>一 又因为x1>x2,所以x1一x2>0, 3 所以f(x1-2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以不等式f(x+1)+f(2x)>0的解集是 所以f(x)在R上单调递增，因为f(一2)= 一1， 3,+∞J 所以f(-4)=f(-2-2)=2f(-2)=-2, (3)0[函数的奇偶性通解因为f(x) 由f(2x)-f(x-3)>-2, 是奇函数，所以f(一x)=一f(x),即 可得f(2x)>f(x-3)+f(-4). (-x)3+a=-(x3+a),得a=0. 所以f(2x)>f(x-3-4)=f(x-7), 优解因为f(x)是奇函数，所以f(0) 所以2x>x一7，得到x>一7， a=0. 所以f(2x)一f(x-3)>一2的解集为(-7，·[例4幻(1)解析因为f(x)是定义域为R 的偶函数， 故C错误： 所以f(一x)=f(x), 对于D,因为f(x)为奇函数，所以f(一x)十 故f(2+x)=f(-x)=f(x), fx)=0, 所以f(x)的一个周期为2， 所以f(-2024)+f(2024)=f(-2023)+ f(2023)=…=f(-1)+f(1)=0, 故f(号)=f(号-4）=() 又f(0)=0,故f(-2024)十f(-2023)+ …+f(0)+…+f(2023)+f(2024)=0, 故D错误 答案C 答案AB (2)解析因为f(x)的周期为3， (2)解析对于A,令x=y=0,代入已知等 f(-1)=1,则f(2)=f(一1十3)=f(一1) 式得f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0,得 f(0)=0,故A错误： =1, 又f(0)=一2，则f(3)=f(0+3)=f(0)= 对于B,取f(x)=sin 2π x,g(x)=cos -2. 3 满足f(x一y)=f(x)g(y)一g(x)f(y)及 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴 f(-2)=f(1)≠0， 对称 因为g(3)=cos2π=1≠0，所以g(x)的图 所以f(x)为偶函数 故f(1)=f(-1)=1 象不关于点(3,0)对称，所以函数g(2x十1) 的图象不关于点(1,0)对称，故B错误； 则f(1)+f(2)十f(3)=0. 对于C,令y=0,x=1,代入已知等式得 故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)= 675×0=0. f1)=f(1)g(0)-g(1)f(0),可得f(1)[1 答案D g(0)]=-g(1)f(0)=0, 结合f(1)≠0得1-g(0)=0,g(0)=1, 即学即练3 13 2 [.f(x)f(x+2)=13 再令x=0,代入已知等式得 13 f(-y)=f(0)g(y)-g(0)fy) ∴.f(x+2)= 将f0)=0,g(0)=1代入上式，得f(-y)= f(x)' 13 13 -fy), .f(x十4)= f(x+2) =f(x), 13 所以函数f(x)为奇函数， 令x=1,y= -1,代入已知等式，得f(2)= f(x) ,.f(x)的周期为4， f(1)g(-1)-g(1)f(-1), 因为f(一1)=一f(1),所以f(2) 1313 = ∴f(2025)=f1)=f3)=2· f(1)[g(-1)+g(1)], 又因为f(2)=一f(-2)=-f(1), §2.4函数的对称性 所以-f(1)=f(1)[g(-1)+g(1)], 必备知识·整合 因为f(1)≠0，所以g(1)+g(-1)=一1，【知识梳理】 故C错误； 对于D,分别令y=-1和y=1,代入已知等 1.(1)原点y轴 (2)x=a(a,0) 2.(a,0) 式，得以下两个等式：f(x十1)=f(x)g(一1) 3.（1)y轴 (2)x轴(3)原点 g(x)f-1),fx-1)=f(x)g(1)-g(x)f1), 【课前自测】 两式相加易得f(x十1)十+f(x一1)=一f(x), 所以f(.x+2)+f(x)=-f(x+1), 1.(1)/ (2)/(3)×(4)/ 即f(x)=-f(x+1)-f(.x+2), 2.A[由f(x)的图象关于直线x=1对称 有-f(x)+f(x)=f(x+1)+f(x-1)- ,又因为当x∈[0,1)时 f(x+1)-f(x+2)=0,即f(x-1)= f(x+2), 所以f(x)为周期函数，且一个周期为3， f(x)=E,所以f 因为f(1)=1,所以f(一2)=1， 选A. 所以f(2)=-f一2)=-1，f(3)=f(0)=0, 3.5[f(x)为偶函数，.f(-1)=f(1),由 所以f(1)+f(2)+f(3)=0, f(x)的图象关于x=2对称，可得f(1) 所以 f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(3)=2×3-1=5,所以f(-1)=5. 4.(-1,2)[y=f(x)与y=-f(-x)的图 f(2023)=f(2023)=f(1)=1,故D正确 象关于原点对称，y=f(x)的图象经过点 答案D P(1,一2)，则函数y=一f(一x)的图象必 ]学即练2(1)B[因为函数f(x)为R上· 过点(-1,2). 的奇函数， 关键能力·突破 则f(0)=e+0十n=0,解得m=一1， [例1](1)解析由函数f(x十1)为偶函数， f(-1)=-f(1)=-(e+1-1)=-e.] 可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称， (2)C[f(x)的定义域为R,f(-x) 所以f(2十x)=f(一x), sin(-x)-x-x -x=一fx), 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)是奇函数， 所以f(4+x)=f(-2-x)=一f(2+x) f(.x)=cosx+3.x2+1>0, -f(-x)=f(x), 所以f(x)在R上是增函数， 可得函数f(x)的周期为4， 380 所以f(号)-(2)=-f(-)- 解得x<-2或x>1 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 所以x的取值范围为（一∞，一2）U1 B正确： (1,十∞).] f(2025)=f(1),A正确： -()- (2)D[因为f(x)为奇函数， 由f(x十2)=f(一x)可知函数f(x)的图象 答案A 所以f(x十2)=-f(x）=f(一x), 关于直线x=1对称，所以f(1)=0,D (2)解析，f(x十2)是偶函数， 所以直线x=1是f(x)图象的一条对称轴. 错误 又由f(x十2)=一f(x),得到 答案ABC ,∴·f(x十2)的图象关于直线x=0对称 ,∴，f(x)的图象关于直线x=2对称， fx+4)=-f(x+2)=-[-fx)]=f(x), 即学即练2C[因为f(x一2)为奇函数， 又f(x)在[2，十∞)上单调递减， 所以f(x)是以4为周期的周期函数. f(x)的周期为2，所以f(x)为奇函数， ∴.f(x)在(-∞，2]上单调递增. 作出f(x)的图象，如图所示 因为当x∈[0.1)时，f）-f0. 又-x2,-1∈(-∞，2]，f(-x2)>f-1), x1.x2 所以f(x)在[0,1)上单调递增， .-x2>-1,即x2<1,∴.-1<x<1, ∴.原不等式的解集为（一1,1）. 因为f(x)为奇函数， x 答案（一1,1） 6 所以f(x)在（一1,0）上单调递增 即学即练1(1)B[由题意知，函数f(x)的 所以f(x)在（一1,1）上单调递增， 图象的对称轴方程是x=1,当x≥1时， 由图象可知，点(2,0)是f(x)图象的一个对· f(x)=2r一1，则函数f(x)在[1，十o∞)上单 1 因为()=（+2×4 调递增，由f(x)的对称性知f(x)在（一∞，1） 称中心，直线y=工一 电关于点(2.0 上单羽地减：1-号< ) 1 对称， -1<1- 3’ 且当≥8时y一≥1 1 f(4)=f(4-2×2)=f(0), ∴（号）()f(号)故遵B] 当-4时y一合 ()-(告-2x3)-() (2)C[依题意，函数f(x)(x∈R)满足 3 1 1 f(4十x)=f(-x), 所以直线y=百x一3与y=f(x)的图象 以（号）>o>(-） 即y=f(x)的图象关于直线x=2对称. 有7个公共，点， 函数y=|x2一4x一5的图象也关于直线· 即f(- )>4>f() 则由对称性可得，x1十x2十…十x7=2十 x=2对称， 4×3=14,y1+y2+9+…+y7=0, 例3]解析构造函数g(x)=xf(x), 所以若函数y=x2一4x一5引与y=f(x)图： 该函数的定义域为R, 象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…, 因此2(x十y)=14,故选D.] 所以g(-x)=-xf-x)=一xf代x)=-g(x) (xmym）, :[例3]解析设P(xo,)为y=f(x十2) 函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对 图象上任意一点，则yo=f(x0十2)=f(4 称中心为坐标原，点。 则西十十…十xm=4X分=2m] (2-xo), 对于A进项，函数y=(x一1)f(x-1)的图 [例2](1)解析对于A,f(x)=2x- 所以点Q(2-x0y)在函数y=f(4-x)的 象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长 x十2 图象上， 度得到， 2(x+2)-5=2- x+2 十2，其图象可以由y 5 而点P(x0,y0)与，点Q(2-x0,yo)关于直线 故函数y=(x一1)f(x一1)图象的对称中心 为(1,0)： x=1对称， 5的图象向左平移2个单位长度，再向 对于B选项，函数y=(x十1)f(x十1)的图 所以函数y=f(x十2)与y=f(4一x)的图1 象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长 象关于直线x=1对称. 上平移2个单位长度得到，且y=一 5的图 度得到， 答案A 故函数y=(x十1)f(x十1)图象的对称中心 象关于原点对称，故f(x)=2工] 工+2的图象 即学即练3C[与f(x)=e的图象关于直 为(-1,0)： 线x=1对称的是f(2一x)=e2x,即 对于C进项，函数y=xf(x)十1的图象由 关于点（一2,2）中心对称，A正确： y=e2-x.] 函数g(x)的图象向上平移1个单位长度 对于B,因为f(2x一1)为奇函数，所以f(2x §2.5 函数性质的综合应用 得到。 1)=-f代-2x-1),所以fx一1)=-f一x-1), 故函数y=xf(x)十1图象的对称中心为 所以f(x)=-f(一x-2),所以函数f(x)![例1]解析显然f(x)是偶函数，当x≥0： (0,1): 关于点（一1,0）中心对称，B正确： 对于C,函数y=f(x)的图象向右平移1个 时，f(x)=1+x 4x十4-4=4- 对于D选项，函数y=xf(x)一1的图象由 1+x 4单 1+x 函数g(x)的图象向下平移1个单位长度 单位长度，再向上平移1个单位长度得到函 调递增.又f(1)=2,所以f(2x一3)<2可 得到， 数y=f(x-1)+1的图象，由于y=f(x) 化为f(2x一3)<f(1),可得|2x-3|<1,解 故函数y=xf(x)一1图象的对称中心为 过定点(0,1)，故函数y=f(x一1)十1过定： 得1<x<2.故进A. (0,-1). 点(1,2)，C正确： 答案A 答案B 对于D.函数y=二}一)+61 即学即练1D[因为函数f(x)是定义在R:即学即练3AD[因为f(x十2)为奇函数， x-b x-b 上的偶函数，且在（一∞，0]上单调递减，所 所以f(x+2)=一f(-x+2), 1十的图象关于点(3，)中心对称， 以f(x)在(0，十∞)上单调递增，f(一2)= 所以函数f(x)关于点(2,0)对称 f(2)=0, 又f(2x十1)为偶函数， 所以3-=0解得b=3,c=1, 当-2<x2时，f(x)0, 所以f(2x+1)=f(-2x+1), 1c=1, 当x<一2或x>2时，f(x)>0, 所以函数f(x)关于直线x=1对称.故 所以b十c=4,D不正确. 若f(x-1)f(x)<0, 选AD.] 答案ABC :[例4]解析由f(1+x)一f(1一x)知， (2)解析因为函数y=f(x)的图象关于直 则f1)<0或{x1)>0, f(x)>0 f(x)0. f(x)图象的对称轴为直线x=1, 线x=1对称， 当f)<0时，{2-1<2， 所以f(0)=f(2),故A正确： 所以f(一x)=f(2+x), 1f(.x)>0 1x>2或x<-2, 由f1十x)=f(1-x)知，f(2十x)=f-x), 因为函数y=f(x)的图象关于点(2,0) 解得2<x<3: 又图象关于点(2,0)对称， 对称， 当>0时，{1>2我-1K-2, 即f(2+x)=-f(2-x),故f4十x)=-f(-x) 所以f(-x)=-f(4十x), (f(x)0 1-2<x2, 所以-f(2十x)=f(4十x),即一f(x)= 所以f(x+2)+f(x十4)=0， 解得-2<x<-1. f(2+x), 所以f(x)-f(x十4)=0，即f(x)=f(x十4)，： 综上，不等式的解集为(-2，一1)U(2,3).] 所以f(x)=f(x十4)，f(x)的最小正周期 所以函数f(x)的周期为4， :[例2]解析因为函数f(x)是奇函数， 为4，故B错误； 所以f(2024)=f(4×506+0)=f(0)=0. 所以f(一x)=一f(x), 因为f(x)在（一1,0]上单调递增，且T=4, 答案D 对f(一x)=一f(x)左、右两侧分别求导， 所以f(x)在(3,4]上单调递增， 即学即练2(1)D[因为f代x+1)为奇函数， 可得f(一x)=f(x), 又图象关于点(2,0)对称， 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称， 则函数f(x)是偶函数，C正确； 所以f(x)在[0,1)上单调递增， 因为f(x)在[1，十∞)上单调递减， 又f(x十2)=f(-x)=-f(x), 因为f(x)的图象关于直线x=1对称， 所以f(x)在R上单调递减， 所以f(x+4)=f(x),所以f(x+4)= 所以f(x)在(1,2]上单调递减，故C正确： 所以x2-x>2-2x,即x2十x-2>0, f(x), 根据f(.x)的周期为4，可得f(2021)=f(1), 381高三总复习·数学 §2.4函数的对称性 【课标要求】1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题. 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 【知识梳理】 (2)若函数y=f(x十1)是偶函数，则函数y= 1.奇函数、偶函数的对称性 f(x)的图象关于直线x=1对称. () (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 (3)函数y=5与y=5x的图象关于x轴对称. 对称. ( (2)若f(.x+a)是偶函数，则函数f(x)图象的对 称轴为 ;若f(x十a)是奇函数，则函数 (4)若函数f(x)满足f(2十x)=f(2-x),则 f(x)图象的对称中心为 f(x)的图象关于直线x=2对称. () 2.若函数y=f(x)满足f(a-x)=f(a十x),则函： 2.(2025·咸阳一模)定义在R上的函数f(x)的图 数的图象关于直线x=a对称： 象关于直线x=1对称，当x∈[0,1)时，f(x)= 若函数y=f(x)满足f(a-x)=-f(a十x),则 函数的图象关于点 对称 丘，则() () 3.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(一x)的图象关于 A号 R司 对称； (2)函数y=f(x)与y=一f(.x)的图象关于 号 D.- 对称； (3)函数y=f(x)与y=一∫（一x)的图象关于 3.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称， 对称. 且当x∈[2,3]时，f(x)=2x-1,则f(-1)= 【课前自测】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 4.(2025·南昌检测)已知函数y=f(x)的图象经 或“X”) 过点P(1,一2)，则函数y=一（一x)的图象必 (1)若函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x一 1)的图象关于点(1,0)对称. ( 过点 。关键能力·突破 分类讲练以例求法》之 考点一轴对称问题 [听课记录] [例1](1)(2025·株洲模拟)已知f(x)是定义在 R上的奇函数，且函数∫(x+1)为偶函数，当 -1≤≤0时，x)=3,则/(2)等于( A 1 B.一8 c号 D-智 (2)已知函数f(x)的定义域为R,且∫(x十2)为 偶函数，f(x)在[2，+∞)上单调递减，则不等式 f(-x2)>f(-1)的解集为 精品教辅·智慧人生 26 第二章函数 +/思维升华/+++…+++++++++++ +/思维升华/++++++++++++++ 函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称曰 函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称台 f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x); f(a+x)+f(a-x)=2b2b-f(x)=f(2a- 若函数y=f(x)满足f(a十x)=f(b一x),则 x):若函数y=f(.x)满足f(a十x)十f(b-x) y=f(x)的图象关于直线x=a十中对称. 2 c,则y=f)的图象关于点(2生，)成中 心对称。 即学即练1(1)已知函数∫(x)对任意的x∈R 都有f(x)=f(2-x)成立，且当x≥1时，f(x)= 即学即练2(1)已知定义域为R的函数f(x)在 2-1,则 [1,十∞)上单调递减，且f(x十1)为奇函数，则使 得不等式(x2一x)<f(2-2x)成立的实数x的 A)()<f() 取值范围是 A.(-1,2) B()<()() B.(-∞，-1)U(2,+o∞) c.f()<(）)<() C.(-2,1) D.(-∞，-2)U(1,+∞) D.f()<f号)<f传) (2)(2025·泉州质测)已知定义在R上的奇函数 f(x)满足f(x+2)=-f(x),当1≤x<2时， (2)(2025·银川模拟)已知函数∫(x)(x∈R)满 足f(4十x)=f(-x),若函数y=|x2-4x-5| x)=一2.若y=名-吉与)的图象交于 与y=f(x)图象的交点为(x1y1),(x2,y2),…, 点(x1y1),（x2,y2),…,(xm,yn)(n∈N*),则 (xmym),则所有交点的横坐标之和为( +%) ( A.0 B.m C.2m D.4m 考点二中心对称问题 A.6 B.8 C.10 D.14 [例2](1)（多选）下列说法中，正确的是 考点三两个函数图象的对称 ( [例3]已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则 A.函数f(x)= +司的图象关于点（一2,2）中 函数y=f(x十2)与y=f(4一x)的图象( 心对称 A.关于直线x=1对称 B.函数f(x)满足∫(2x一1)为奇函数，则函数 B.关于直线x=3对称 f(x)关于点（一1,0）中心对称 C.关于直线y=3对称 C.若函数y=f(x)过定点(0,1)，则函数y= D.关于点(3,0)对称 f(x-1)+1过定点(1,2) 听课记录] D函数y=二的图象关于点(3c)中心对称. 则b十c=2 (2)(2024·南京模拟)已知函数y=f(x)的图象既 +/思维升华/ 关于直线x=1对称，又关于点(2,0)对称，且当x∈ 函数y=f(a十x)的图象与函数y=f(b一x) [0.1]时，x)=2024则f2024)等于 x ( 的图象关于直线x b一&对称 2 3 十十十+十十十十+十十十十+十十十十十十+十十 A.2024 1 B.2024 1 C.1012 D.0 即学即练3下列函数与y=e的图象关于直线 听课记录 x=1对称的是 A.y=ex-1 B.y=el C.y=e2- D.y=In x 温馨提示 请做课时分层检测（十） 27 精品教辅·智慧人生