2.3 函数的奇偶性、周期性-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

第二章函数 +思维升华/+++++十++++++ ln(x+1),x0, 即学即练2(1)已知函数f(x) (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个 -2x2x<0, 单调区间内，然后利用函数的单调性解决 则不等式f(x十2)<f(x2+2x)的解集是 (2)求解函数不等式时，由条件脱去“∫”，转化 A.(-2,1) B.(0,1) 为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域 C.(-∞，-2)U(1,+∞) D.(1,+∞) (3)利用单调性求参数的取值（范围）.根据其 (2)已知函数f(x)是R上的减函数，若f(a.x2 单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式 2x)在(1，十∞)上是增函数，则实数a的取值范 (组)或先得到其图象的升降，再结合图象求 围是 解.对于分段函数，要注意衔接点的取值。 温馨提示 请做课时分层检测（八） §2.3 函数的奇偶性、周期性 【课标要求】1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简 单的应用 □必备知识·整合 夯实基础回归教材》》 【知识梳理】 ;2.函数周期性常用结论 1.函数的奇偶性 对f(x)定义域内任一自变量x的值： 奇偶性 (1)若f(x十a)=-f(x),则T=2a(a>0). 定义 图象特点 (2)若f(x+a)= r则T=2a(a>0). 1 般地，设函数f(x)的定义域为 D,如果Vx∈D,都有-x∈D,且 【课前自测】 偶函数 关于 对称 ,那么函数f(x)就叫 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/” 做偶函数 或“X”) (1)函数y=x2在x∈(0，十o∞)上是偶函数.() 般地，设函数f(x)的定义域为 (2)若函数∫(x)为奇函数，则一定有(0)=0. D,如果Vx∈D,都有-x∈D,且 奇函数 关于对称 () ,那么函数f(x)就 叫做奇函数 (3)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z,n ≠0)也是函数f(x)的周期 () 2.函数的周期性 (4)对于函数y=∫(x),若存在x,使∫（一x)= (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为 一f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.() D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个2.若函数∫(x)是定义在R上的奇函数，当x>0 x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函数 时，f(x)=x2一6.x,则f(一1)等于 () y=∫(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 A.-7 B.-5 C.5 D.7 函数的周期. 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x十2)=f(x), 当x∈[-1,1]时，f(x)=x2+1,则f(2024.5)等于 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周 ( 期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. A号 C.2 D.1 【常用结论】 4.设奇函数f(x)的定义域为 1.函数奇偶性常用结论 [- 5,5],若当x∈ 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单 [0,5]时，f(x)的图象如图所 调性：偶函数在关于原点对称的区间上具有相反 示，则不等式(x)<0的解 的单调性， 集为 23 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 考点一函数奇偶性的判断 角度2利用奇偶性解不等式 [例1](1)（多选）下列函数是奇函数的是( ) [例3]若定义在R上的奇函数f(x)在区间(0， A.f(x)=tan x B.f(x)=x2+x +∞)上单调递增，且∫(3)=0，则满足xf(x一2) C.f(x)=e-e x D.f(x)=In|1+xl <0的x的取值范围为 ( 2 A.(-∞，-1)U(2,5) B.(-∞，-1)U(0,5) (2)(2021·全国乙卷理)设函数f(x)= 1-x 则 1+x C.(-1,0)U(2,5) D.(-1,0)U(5,+∞) 下列函数中为奇函数的是 ( [听课记录] A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 [听课记录] 【微拓展】 抽象函数 +/思维升华/++ 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非 f(x1)一f(x2)的变换判定单调性、出现∫(x)及 偶函数. (一x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x十T确 (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系， 定周期性 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇 (1)判断抽象函数单调性的方法 偶性的等价等量关系式（∫(x)十f(-x)=0 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x十y)=…,判 (奇函数)或f(x)一f(-x)=0(偶函数)是 断符号时要变形为f(c2)一f(x1)=∫(x2 否成立 x1)十x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2) 即学即练1(2021·上海卷)下列函数中，既是 f((x1-x2)十x2); 奇函数，又是减函数的是 ②若给出的是“积型”抽象函数∫(xy)=…,判断 A.y=-3.x B.y=x3 符号时要支形为f八)-f)=e1·》 C.y=log3x D.y=3* 考点二函数奇偶性的应用 )或f)-f)=fx)-fe2·) 角度1利用奇偶性求值（解析式） (2)常见的抽象函数模型 [例2](1)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间 [一2025,2025]上的最大值是M,最小值为m, ①正比例函数f(x)=kx(k≠0)，对应f(x士y)= f(x)±f(y): 则M+m等于 ( A.0 B.2 C.1 D.3 ②暴函数f(x)=x“,对应f(xy)=f(x)f(y)或 (2)已知函数∫(x)为奇函数且定义域为R,当 )得： x>0时，f(x)=x+1,则当x<0时，f(x)= ③指数函数f(x)=a'(a>0,且a≠1)，对应f(x十 听课记录] D=m成-w=号 f() ④对数函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)，对应 fxy)=fx)+fy)或f(）=fx)-fy)或 f(x")=nf(x); 精品教辅·智慧人生 24 第二章函数 ⑤正弦函数f(x)=sinx,对应f(x+y)f(.x- (2)若f(x)=sinx+x3十x,则不等式f(x+1)十 y)=f2(x)-2(y),来源于sin2a-sin2B=sin(a f(2x)>0的解集是 () +B)sin(a-B); A.(3+∞) B.(1,十∞) ⑥余弦函数f(x)=cosx,对应f(x)十f(y) 2f(2)f(2）,来源于cosa+cosB c(-言+∞) D.(∞，3) 2o.60s, (3)(2024·上海卷，4分)已知f(x)=x3十a,且 2 f(x)是奇函数，则a= ⑦正切函数∫(x)=tanx,对应f(x士y)= 考点三函数的周期性 年瑞·来源于ana士) f(x)士f(y) tana士tanB [例4](1)(2024·安康统考)设f(x)是定义域为 1干tan atanβ [典例](1)（多选）已知函数∫(x)的定义域为 R的偶函数，且(2+)=f(-),f(-2) R,且f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时，f(x)>0, 合，则()等于 且满足f(2)=1,则下列说法正确的是 ( A.f(x)为奇函数 B-司 c司 D. B.f(-2)=-1 (2)(2023·泸州模拟)已知定义在R上的函数f(x) C.不等式f(2x)一f(x-3)>-2的解集为 的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(一1)=1， (-5,+o∞) f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)的 D.f(-2024)+f(-2023)+…+f(0)+…+ 值是 ( f(2023)+f(2024)=2023 A.2024 B.2023 C.1 D.0 (2)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，对 任意x,y满足f(x-y)=f(x)g(y)一g(x) 听课记录 f(y),且f(一2)=f(1)≠0，则下列说法正确的 是 A.f(0)=1 B.函数g(2x十1)的图象关于点(1,0)对称 C.g(1)+g(-1)=0 D.若f(1)=1,则∫(1)+∫(2)+f(3)+…+ f(2023)=1 +/思维升华/+++++++++++++ (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数 的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为 求已知区间上的函数或得到参数的恒等式， +/思维升华/++++++ 利用方程思想求参数的值. (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据 (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区 题目特征及周期定义，求出函数的周期. 间上的图象，结合几何直观求解相关问题， (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的 十十 ”十十”十十十十十”十”十”十十十十十十十十 求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到 即学即练2(1)已知函数∫(x)为R上的奇函 已知区间上，进而解决问题 数，当x≥0时，f(x)=e十x十m,则f(一1) 等于 ( 即学即练3函数f(x)满足f(x)f(x十2)=13， A.c B.-e 且(3)=2，则f(2025)= C.e+1 D.-e-1 温馨提示 请做课时分层检测（九） 25 精品教辅·智慧人生当-2≤x<1时，f(x)=x2,值域为[0,4]，1 因为f(x)=a 故函数的值域为（一∞，2）U(2,十∞). 当x≥1时，f(x)=-x十2，值域为(-∞，1]， 对于C,(换元法)设t=√x-1,则x=2+1, 故f(x)的值域为（一∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)=一x十2=2，无解，当 所以f-)-(+) 且0y-20+》-1=2()°+点. -2≤x<1时，令f(x)=x2=2,解得x= a(x2-x1） 由≥0，再结合函数的图象（如图②所示）， 一√2，故C正确； +）- 当-2≤x1时，令f(.x)=x2<1,解得x∈ 由于-1<1<x2<1, 可得函数的位城为[点十）】 (-1,1),当x≥1时，令f(x)=-x+21,: 所以x2一x1>0,x1一1<0，x2一1<0， 对于D,函数的定义域为[1，十∞)， 解得x∈(1，+∞)，故f(x)<1的解集为： 故当a>0时，f(x1）-f(x2)>0, (-1,1)U(1,+∞)，故D错误. :y=√x+I与y=√x-1在[1，+∞)上均单 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上 答案BC 调递增，∴.y=√x+1+√/x-1在[1，十∞) 单调递减； (2)解析分段函数求值因为3>0，所以 上为增函数， 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, f(3)=5. 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上 .当x=1时，ymn=√2，即函数的值域为 答案√ 单调递增。 [2,+o∞). 即学即练3(1)D[因为当x>0时，f(x)= 方法二导数法 答案ACD f(.x-1)-f(x-2), 所以f(x十1)=f(x)-f(x一1)，f(x+1)= f(x)=ax'(x-1)-ax(x-1)' :[例5]解析因为函数f(x)=lnx+2x在 (x-1)2 定义域(0，十∞)上为增函数，且f(1)= -f(x一2)， a(r-1)-ar_ 1n1+2=2,所以由f(a2-4)<2得，fa2-4) 即f(x+3)=-f(x),f(x+6)=-f(x+ (x-1)2 (x-1)2 <f(1),所以0<a2-4<1,解得-5<a 3)=f(x), 故当a>0时，f(x)0,函数f(x)在（一1,1 -2或2<a<√5. 所以f(2024)=f(337×6+2)=f(2)= 1)上单调递减； -f(-1)=号-1=1，则a=4.故选D.] 当a<0时，f(x)>0,函数f(x)在(-1,1D[例6解析“分段画数的单调性十一元二 答案(-√5，-2)U(2,√5) 上单调递增. (2)BCD[对于A,因为f(5)=-(3)2+3:即学即练1(1)B[g(x)= 次函数的单调性（理性思维，数学探索） x·x-1|+1= 逻辑分析法十数形结合法因为函数f(x) =0,所以f(f(√3)=f(0)=2,所以A错： 在R上单调递增，且当x<0时，f(x)= 误；对于B,当x<1时，由f(x)=一1，得 (x2-x+1,x≥1， -x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2a.r-a x十2=一1，解得x=一3，当x≥1时，由 1-x2+x+1,x<1, 3-2-0 23本 在（一∞，0）上单调递增，所以一a≥0，即 f(x)=-1,得-x2十3=-1，x2=4,解得！ 画出函数图象，如图 所示， -2 a0:当x≥0时，f(x)=e2十ln(x十1)，所 x=2或x=-2(舍去)，综上，x=2或x= 以函数f(x)在[0，十∞)上单调递增.若函 一3，所以B正确；对于C,当x<1时，由 根据图象知，函数的单调递减区间为 数f(x)在R上单调递增，则一af(0)=1, f(x)2,得x十22，解得x<0,当x≥1 2, 即a≥一1.综上，实数a的取值范围是 时，由f(x)2,得-x2十3<2，解得x>1, 综上，f(x)<2的解集为（一∞，0）U(1, 1.] [-1,0].故选B. 答案B 十∞)，所以C正确；对于D,当x<1时，x十 (2)(一9,1)和(2，十∞) 即学即练2(1)C[由函数f(x)= 23,当x≥1时，一x2+32,所以f(x)的 [f(x)= Ix2-2x,x2, 值域为(-∞，3)，因为Hx∈R,a>f(x),所 x2十2x,x2. ln(x十1)，t≥0，的图象（图略）可得f(x) -2.x2,x<0 以a≥3，所以D正确.] 出f(x)的大致图象，如图所 在R上是增函数，则不等式f(x十2)< §2.2函数的单调性与最值 示，由图象知f(x)的单调递 f(x2+2x)等价于x十2<x2+2x,即x2+ 增区间是（一∞，1）和(2，十∞).] -2>0,解得x>1或x<一2，则原不等式 必备知识·整合 :[例3]解析因为对任意的工1，x2∈(-∞，0] 的解集为(-∞，一2)U(1,十∞).] 【知识梳理】 1.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2) ≠)，有）-f2 <0. (2)(-∞，0][由题意知函数y=ax2一2 2.f(r)M f(r)=M f(r)M f(rn)=M 1a<0, 所以f(x)在（一∞，0]上单调递减， 在(1，十∞)上单调递减，故 【课前自测】 ≤1或a=0, 又f(x)为偶函数， a 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 解得a0.] 2,A[y=-2x十1在R上是减函数，故A1 则f(2)f(3)f(4), 正确 又f(-2)=f(2). §2.3函数的奇偶性、周期性 y=x2+1在(-，0)上单调递减，在(0， 所以f(-2)<f(3)<f(4) 必备知识·整合 十∞)上单调递增，故B错误； 答案A 【知识梳理】 y=√x在[0，十∞)上是增函数，故C错误； ,[例4]解析函数的定义域为[1，十∞)， 1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)》 y=2x在R上是增函数，故D错误.] y=√Wx+1与y=Wx-1在[1，十∞)上 原点 3.A[y=- x十1在（一1，十∞）上单调递增， 均为增函数， :2.(1)f(x十T)=f(x)(2)最小最小正数 代x)=+I+V-1在[1，十∞)上为【课前自测】 则y=一x十在区间[1,2]上单调递增， :1.(1)×(2)×(3)/(4)× 单调递增函数， !2.C[因为f(x)为奇函数，所以f(一1)= 所以ymax=一2十1 1 1 小当x=1时，f(x)min=反 -f(1)=5. 答案√2 :3.B[由f(x十2)=f(x)可知，函数f(x)的 1号2[由于)=马在[2.61上单润 2 【微拓展】解析对于A,(配方法)y= 周期为2 x2-2x+3=(x-1)2+2, 当x∈[-1,1]时，f(x)=x2+1, 递减， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象（如图①所 故f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为 示)，可得函数的值域为[2,6)， f2021.5)=f(2024+)-f(2) f6)=.] 1 5 4 +1=] 关键能力·突破 4.(-2,0)U(2,5][由图象可知，当0<x [例1]解析y=x2在（一∞，0]上单调递 4 1=12-2x43 y=2(+1)-1 2时，f(x)>0:当2<x≤5时，f(x)<0,又 减，在(0，十∞)上单调递增，故A错误； 3 f(x)是奇函数，.当一2<x<0时，f(x)< y=x在R上为增函数，故B正确； 2 2 0,当-5x<-2时，fx)>0.综上，f(x)<0 y=一√x在[0，十∞)上单调递减，故C 的解集为(-2,0)U(2,5].] 错误； 01234x o士234广：关键能力·突破 在(-0,0)上单调递减，在(0，十∞) ① ② :[例1](1)解析对于A,函数的定义域为 yx 对于B,(分离常数法)y= 2r+1 上单调递减，故D错误. x-3 {≠受十红，∈乙}，关于原点对称，且 答案B 7 7 f(-x)=tan(-x)=一tanx=-f(.x),故 [例2]解方法一定义法 2(x-3)+7=2+ x-3 一3，显然 3≠0， 函数为奇函数； 设-1<x1<x2<1, y≠2. 对于B,函数的定义域为R,关于原，点对称， 379 且f(一x)=x2一x≠士f(x),故函数为非奇1 可得f(x1-x2)=fx1)+f(-x2), 由f(x+1)+f(2x)>0 非偶函数： 所以f(x1)-f(x2)=f(x1)十f(-x2)= 得f(x+1)>-f(2.x)=f(-2x), 对于C,函数的定义域为R,关于原点对称， f(x1-x2), 且f(-x)=e-e 所以x十1>-2x,解得x>- 又因为x1>x2,所以x1一x2>0, 31 =一f(x),故函数为1 2 所以f(x1-2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以不等式f(x+1)+f(2x)>0的解集是 奇函数： 所以f(x)在R上单调递增，因为f(一2)= 对于D,函数的定义域为{x|x≠一1}，不关 -1, 3+o∞] 于原点对称，故函数为非奇非偶函数， 所以f(-4)=f(-2-2)=2f(-2)=-2, (3)0[函数的奇偶性通解因为f(x) 答案AC 由f(2x)-f(x-3)>-2, 是奇函数，所以f(一x)=一f(x),即 (2)解桥法一因为fx)-卡三，所以 可得f(2x)>f(x-3)+f(-4), (-x)3+a=-(x3+a),得a=0. f(x-1)= 1-(x-1-2,f(x+1)= 所以f(2.x)>f(x-3-4)=f(x-7), 优解因为f(x)是奇函数，所以f(0)= 所以2x>x-7,得到x>一7， a=0. 1+(.x-1) 1-(x+1)-x 所以f(2x)一f(x-3)>一2的解集为（一7，[例4](1）解析因为f(x)是定义域为R 十09）. 1+(x+1)x+21 的偶函数， 故C错误： 所以f(-x)=f(x), 对于A,F(x)=f(x-1)-1=2-2-1= 对于D,因为f(x)为奇函数，所以f(一x)十 故f(2+x)=f(-x)=f(x), 22延，定义城关于原点对称，但不满足 fx)=0, 所以f(x)的一个周期为2， 所以f(-2024)+f(2024)=f(-2023)+ F(一x)=一F(x),故不是奇函数； f(2023)=…=f(-1)+f(1)=0, 故()-f(号-)-f() 对于B,G(x)=f(x-1)+1=2-工+1= 又f(0)=0,故f(-2024)+f(-2023)+ …+f(0)+…+f(2023)+f(2024)=0, () 2,定义城关于原点对称，且满足G(一) 故D错误 答案C 答案AB (2)解析因为f(x)的周期为3， 一G(x),故是奇函数： (2)解析对于A,令x=y=0,代入已知等 f(-1)=1,则f(2)=f(-1+3)=f(-1) 对于C,f(x十1)-1=+2 式得f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)=0,得 -1= f(0)=0,故A错误： =1, 又f(0)=-2,则f(3)=f(0十3)=f(0)= xx2- 十2，定义域不关于原点 2x+2 对于B,取fr)=sin2,g(r)=co 2π -2. x+2 3 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴 对称，故不是奇函数； 满足f(x一y)=f(x)g(y)一g(x)f(y)及 对称， 对于D,f(x+1)+1= x十2 +1= f(-2)=f(1)≠0. 所以f(x)为偶函数， 因为g(3)=cos2π=1≠0，所以g(x)的图 一x十x十2-2 故f(1)=f(-1)=1, 元2 2定义域不关于原点对 象不关于点(3,0)对称，所以函数g(2x十1) 的图象不关于点(1,0)对称，故B错误； 则f(1)+f(2)+f(3)=0. 称，故不是奇函数.故选B. 对于C,令y=0,x=1,代入已知等式得 故f(1)十f(2)+f(3)+…+f(2025)= 法三f)三-2二(x十卫 2 675×0=0. f1)=f（1)g(0)-g(1)f(0),可得f(1)[1 1+x 1+x g(0)]=-g(1)f(0)=0, 答案D 1,为保证函数变换之后为奇函数，需将函 结合f(1)≠0得1-g(0)=0,g(0)=1, 即学即练3 13 数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度， 2 [.f(.x)f(x+2)=13, 再令x=0,代入已知等式得 再向上平移1个单位长度，得到的图象对应· f(-y)=f(0)g(y)-g(0)f(y), ,f(x+2)= 13 的函数为y=f(x一1)十1，故选B. f(x)' 将f(0)=0,g(0)=1代入上式，得f(一y)= 答案B 13 13 -fy), .f(x+4)= =f(x), 即学即练1A[由初等函数的图象知，应该 f(x+2) 13 所以函数f(x)为奇函数 选A.] f(.x) 令x=1,y= 1,代入已知等式，得f(2)= 「例2](1)解析由题意知，函数f(x)的定 .f(x)的周期为4， f(1)g(-1)-g(1)f(-1), 义域为R,关于原点对称， 因为f(一1)=-f(1),所以f(2) = 令g(x)=f(x)-1=x3+2x3+3x, 12025)=1)=78-号] f(1)[g(-1)+g(1)], 则函数g(x)为奇函数， 又因为f(2)=一f(-2)=-f(1), §2.4函数的对称性 g(x)在区间[-2025,2025]上的最大值1 所以-f(1)=f(1)[g(-1)+g(1)], 与最小值之和为0， !必备知识·整合 即M-1+m-1=0, 因为f(1)≠0，所以g(1)+g(-1)=一1，【知识梳理】 .M+m=2. 故C错误： !1.(1)原点y轴(2)x=a (a,0) 答案B 对于D,分别令y=一1和y=1,代入已知等 12.(a,0) (2)解析当x<0时，一x>0.f(x)= 式，得以下两个等式：f(x+1)=f(x)g(一1) :3.(1)y轴(2)x轴(3)原点 -f(-x)=-(-x+1)=x-1. g(x)f-1),f(x-1)=f(x)g(1)-g(x)f1), :【课前自测】 答案x一1 两式相加易得f(x十1)十f(x一1)=一f(x), [例3]解析因为定义在【上的奇函数 所以f(x+2)十f(x)=-f(x+1), 1.(1)/(2)(3)X(4)/ 2.A[由f(x)的图象关于直线x=1对称 f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(3)=0, 即f(x)=-f(x+1)-f(.x+2), 所以f(x)在（一∞，0）上也单调递增，且 有-f(x)+f(x)=f(x+1)+f(x-1)- 则（号）-f(2)又因为当x[0,1》时 f(-3)=0,f(0)=0, f(x+1)-f(x+2)=0,即f(x-1)= 所以当x∈(-∞，一3)U(0,3)时，f(x) f(x+2), ∠0， 所以f(x)为周期函数，且一个周期为3， -州以()-f()-9,故 当x∈(-3,0)U(3,+o∞)时，fx)>0, 因为f(1)=1,所以f(一2)=1， 选A.] 所以由xf(x一2)<0，可得 所以f(2)=-f(一2)=-1，f(3)=f(0)=0,3.5,f(.x)为偶函数，∴.f(一1)=f(1),由 ∫r0, 所以f(1)+f(2)+f(3)=0, f(x)的图象关于x=2对称，可得f(1)= -3x-2<0或10x2- 解得一1r0或2x5, 所以罗f(n)=f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(3)=2×3-1=5,所以f(-1)=5. 4（-1,2)Ty=f(c)与y=-f=)的 即x∈(-1,0)U(2,5). f(2023)=f(2023)=f(1)=1,故D正确. 象关于原点对称，y=f(x)的图象经过点 答案C 答案D P(1,一2)，则函数y=一f(一x)的图象必 【微拓展】(1)解析对于A,令x=y=0, 即学即练2(1)B[因为函数f(x)为R上· 过，点(-1,2).] 可得f(0)=f(0)十f(0)=2f(0),所以 的奇函数， !关键能力·突破 f(0)=0, 则f(0)=e十0+n=0,解得n=-1, [例1](1)解析由函数f(x十1)为偶函数， 令y=一x,得到f(一x)十f(x)=f(0)=0,1 f(-1)=-f(1)=-(e+1-1)=-e.] 可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称， 即f(一x)=一f(x),所以f(x)为奇函数， (2)C[f(x)的定义域为R,f(-x)= 所以f(2十x)=f(一x), 故A正确： sin(-x)-x-x- =-sinx-x-x=一fx), 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 对于B,因为f(x)为奇函数， 所以f(x)是奇函数， 所以f(4十x)=f(-2-x)=一f(2十x) 所以f(一2)=一f(2)=一1，故B正确 f'(x)=cosx+3.x2+1>0, =-f(-x)=f(x), 对于C,设x1>x2,x=x1,y= 所以f(x)在R上是增函数， 可得函数f(x)的周期为4， 380