培优点1 柯西不等式与权方和不等式-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 考点三一元二次不等式恒成立问题 提醒当不等式ax2十b.x十c>0未说明为一元 [例4]若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实： 二次不等式时，要对a分a=0或a≠0进行 数x恒成立，求实数a的取值范围， 讨论 即学即练3已知函数f(x)=x2-3.x十a. [听课记录 (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取 值范围； (2)若f(x)<0在x∈(-1,2)上恒成立，求实数 a的取值范围. +/思维升华/+++ (1)a.x2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条 件是a>0, 1b2-4ac<0: (2)a.x2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条 件是<0， 162 -4ac<0. 温馨提示 请做课时分层检测（六） 培优点1 柯西不等式与权方和不等式 考点一柯西不等式 (2Wa2+b2·√e2+d2≥|acl+|bd|(a,b,c,d∈ 1.二维形式的柯西不等式 R,当且仅当ad=bc时，等号成立). (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R,当 (3)(a+b)(c+d)≥(ac+√ba)2(a,b,c,d≥0， 且仅当ad=bc时，等号成立). 当且仅当ad=bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 :3.二维形式的柯西不等式的向量形式 (1)Wa2+b·e2+d2≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R, a·B1≤|aB(当且仅当B是零向量，或存在 当且仅当ad=bc时，等号成立). 实数k,使a=时，等号成立) 精品教辅·智慧人生 16· 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 [例1]已知x,y∈R,3x2+2y2≤6，求2x+y的最值. +/思维升华++++++++++++++ 听课记录 (1)权方和不等式的结构始终要求分子的次数 比分母的次数多1，出现定值是解题的关键. (2)关于齐次分式，将分子变为平方式，再用 权方和不等式 (3)关于带根号的式子，将分子变为大，分 磨为立次： 即学即练2(1)已知正数x,y满足x十y=1,则 1+8的最小值为 r?t +/思维升华/+++++++++++++ (2)已知a+b+c=1,且a,b,c>0,则2 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆 常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添 2的最小值为 ( a 项等方法. A.1 B.3 C.6 D.9 十”十m十十十”十十十” 即学即练1设a=(1,-2),b=(x,y),若x2十 [能力提升] y2=16,则a·b的最大值为 考点二权方和不等式 :1.实数x,y满足3x2十4y2=12,则之=2x十√3y的 1.二维形式：已知x,a,b∈R+,则有号十乡>≥ 最小值是 () A.-5 B.-6 C.3 D.4 6+6（当且仅当x:y=反：万时，等 2.若实数x+2y十3x=1,则x2十y2+2的最小 x+y 值为 ( 号成立) 2.一般形式：设a;,b∈R+(i=1,2,…,n),实数 A.14 B C.29 m>0,则2+1、 (2a,)m+l 当且仅当 3.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求 (2b:)m b 二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下： 1 2=…=时等号成立.称之为权方和不等式. 设a,b,,y>0,则4+≥a+b)2 y- 当且仅当 b2 b x+y m为该不等式的和，它的特点是分子的幂比分母 4=b时，等号成立.根据权方和不等式，函数 的幂多一次。 y [例2](1)若x>0,y>02x+十x+y 1 3 =2,则 )=2+92(0<<) x 1-2x( 的最小值为( 6.x+5y的最小值为 A.16 B.25 C.36 D.49 (2)已知正数x,y之满足x十y十=1，则 5 8 +4.f(x)= 的最小值为 y+2x 2sin2x++3 5c0s2x+6 2+2.xx+2y 的最小值为 听课记录 5.已知正数xy,z满足x十y十=1，则1+4+9 的最小值为 6.若a>1,>1,则二十仁的最小值为 17 精品教辅·智慧人生③当a>0时，不等式可化为(x一1)x )0 若1<名，即0<a<2,解得1≤x≤2： a a 若1-吕即4-2，解得-1： 若1>2，即a>2,解得2≤x≤1. 综上所述，当a=0时，解集为{xx≥1}： 当a<0时，解条为{女≤子或≥} 当0<a<2时，解桑为{≤≤号}： 当a=2时，解集为{xx=1}: 当>2时，解桑为{兰≤} 即学即练1解原不等式可化为12x2一ax -a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a) =0, 解得-子-号 当a>0时，不等式的解集为(-∞，-是） u(号+∞） 当a=0时，不等式的解集为(-∞，0)U(0, 十o∞)： 当a<0时，不等式的解集为(-，号)U (-，+∞) [例3](1)解析不等式ax2十bx十c>0的 fa<o, b 解集为（一1,3），则 a =一1十3，即 =-3， a<0, b=-2a,bx-c>0,即-2a.x+3a>0,所 (c=-3a, 3 以x>号.cr2+ax-b>0,即-3a.x2+ax+ 2a>0,即3x2-x一2>0，解集是 {<-号或>}因为x=-1 {<-是或>}所以c-a-b>0 即a十b<c.故选B、C、D.] 答案BCD (2)解析设方程x2一4.r十a=0的两根为 x1,x2” 则x1>1,x2>1, 所以△=(-4)2-4a≥0， x1+x2>2,(x1-1)(x2-1)>0, 由△=（一4）2-4a≥0，解得a≤4； 由x1十x2>2,得4>2显然成立： 由(x1-1)(x2-1)>0, 得x1x2-(x1十x2)+1>0, 即a一4十1>0，解得a>3, 综上可得，3<a≤4， 所以实数a的取值范国是(3,4]. 答案(3,4] 【微拓展】解(1)依 y 题意知，函数f(x)=x +2mx+2n+1的图象 与x轴的交点分别在区 -10y2 间（一1,0）和(1,2)内，画 出示意图， f(0)=2n+1<0, f(-1)=2>0, n∈R, 得F1=4m+2<0: 即 1 < 2 f(2)=6m+5>0, 5 m>- 解得一5 <m< 2 培优点1柯西不等式与权方和不等式 故实数的取值范国为 [例1]解方法一由柯西不等式得 (2)依题意知，函数f(x) 2+≤[w+[(层)+ =x2+2m.x+2m+1的图 象与x轴的交点落在区 ()] 间(0,1)内，画出示意图， 0 f(0)>0, f(1)>0, =(3r+22)(+合）≤1 得 4>0, 当且仅当5x· 0<-m<1, ·后 n>一 411 4/1I 2 11 11 1 学 时等号 31I 3√11 y= 11 y= 11 m>1十√2或n<1-E, 成立， (-1<m<0, 于是2x十y的最大值为√，最小值为 解得、1 <m<1-2 -/11. 方法二 由柯西不等式得|2x十y|≤ 1 故实数m的取值范国为(-之1一) √(W5x)+(2y) 即学即练2(1)D[由题意得b一a √)+() 0 4 …6=2 (3.x2+2y2) ,又不等式x2十ax十b<c的解集 (+)m 为{xm<x<m+4},.方程x2+ax+! 当且仅当5x· =y· 2 a2 一c=0的根为m,m十4，即m十m十4= 411 411 111 即 11 或 时等号 a,解得m三二a21,十今=一2，又1 2 3√11 3W11 y 11 y= 11 -c=0,c=m2+an+ 成立， 4 于是2x十y的最大值为√I,最小值为 (m十受）=4，故选D] -/11. (2)x2一4x(答案不唯一) [因为f(x)<0 即学即练14V5[a=(1,-2),b=(x,y), 恰有3个整数解， ,.a·b=x-2y. 所以设三个整数解分别为1,2,3， 由柯西不等式的向量形式可得 则f(x)<0的解集可以为(0,4)， [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2, 故x1=0,x2=4是ax2十b.x十c=0的两 即5X16≥(x-2y)2,∴.-4√5≤x-2y 个根， 45, () 故0叶4=-0X4-台 当且仅当b=ka a 4√5 所以c=0,b=一4a, 即 5 令a=1,则b=-4, 时，(*)式中右边等号成立， 8W5 故f(x)=x2-4x.(答案不唯一)] y= 5 [例4]解原不等式可化为x2-2x十a2- 4W5 3a-3≥0， 5 该不等式对任意实数x恒成立，△≤0， 或 时，(*)式中左边等号 即4-4(a2-3a-3)≤0，即a2-3a-4>0, 8√5 y= 5 解得a一1或a≥4， 成立， ∴.实数a的取值范围是{aa≤一1或a≥ 4}. …当x=45 5,y=一85时，a·b的最大值 5 即学即练3解(1)f(x)=x2-3.x+a 为4√5.] [例2](1)解析 3 2.x+y十x+y2x+y 12 12 则f)m=f(受)=a-是， .9 4(x+ 25≥+2 2x++ 6.x+5y fx)>0在x∈R上恒成立，即f(x)mim 13+45,即2≥13+43 6.x+5y 6x+5y a- 因为>0>0，则6r十5≥号+2， 故实：口的取值范国是（是，十∞ 23 当且仅当2x+4(x+ 1 (2)=2-3+a=(-2）+a 9 , 即=3y5时取等号. f(.x)在[-1,2]上的最大值为f(x)max= 答案 -1=(-1-)）+a-号=4+a 9 号+25 故f(x)在x∈(-1,2)上满足f(x)<4十a, (2)解析 y2+十2z x+2y 故4十a≤0，解得a≤一4. (x+y+x)2 1 故实数a的取值范国是（一∞，一4]. y+2+x+2x十x+2y3' 377 当且仅当 y (1+2+3)2 y+2x z+2x x+2y (2)解析 x+y十 -36,当且仅当1=2=3 y 由题意可得{0：0.解得≤ 即工=y=之=子时取等号. 1 日=合时取等号 1 1且x≠0，所以函数f(x)的定义域为 3 即x= 6,y= (-∞，0)U(0,1]. 答率 2、(a+b)2 答案（一∞，0）U(0,1] 6.86-iTa-a+6 即学即练1(1)C[对于A,f(x)=√的 即学即练2(1)27 「 1 813,23 r?h 令a十b-2=1, 则a十b)2_(u+2)2 定义域为R,g(x)=(WE)2的定义域为 =t十 [0,十o),不是同一个函数：对于B,f(x)的 (1+2)3 (x+y)2 27,当且仅当1 2,即工一 a+b-2 t 十4≥8， t 定义域为{xx≠0}，g(x)的定义域为{x|x b ≠1}，不是同一个函数：对于C,两个函数的 一子时取等号] 1 当且仅当气一。气'即4=b=2时取 定义域、对应关系均相同，是同一个函数：对 (a+b-2=2, 于D,f(x)=x+1的定义域为R,g(x)= (2)D[.a+b+c=1, 等号， a2 62 所以十。气的最小值为8.] 的定义城为{xx≠1，不是同一个 x2-1 函数.] (品+片+) 第二章 函数 (2)(0,十∞)[要使函数有意义，需满 足/x+10, 2×(1+1+1)2 §2.1 函数的概念及其表示 lx>0, ≥a千b+b+c+a+ =9, 即x>0且x≠一1.所以函数的定义域为 当且仅当a=b=c= 子时等号成立，] 必备知识·整合 (0,+∞). 【知识梳理】 [例2] 解 (1)(换元法)设1一sinx= 能力提升 1.唯一 t,t∈[0,2]， 1.A[:实数x,y满足3x2+4y2-12, 2.(1)定义域对应关系 值域(2)定义域 则sinx=1-t, 对应关系 .f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, :3.解析法列表法 3 ∴.f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. 【课前自测】 即f(x)=2x-x2(0≤x2). (+苦)16+9≥2x+2, 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.A[因为-1≤1，所以f(-1)=(-1)2 (2(配凑法)f(2+)-+-（ 即-5≤2x+√3y5,当且仅当3√3x=8y, (-1)=2,因为f(-1)=2>1,所以 x= 5 ff-1)=f2)=12-1.] +)-2 即 时，左边取等号， y 3 3.BCD[对于A选项，y= √于3的定义城 又+ =2, 5 √3-x 8 x= 是[-3,3)， 当 3时，右边取等号， 5 当且仅当2-脚工-士1时等号成立 +区的定义域是[-3,3)， yλN3一 设1=x2+ 2, 并且V+3」 /x+3 ∴.之=2x十√3y的最小值是一5.] 所以两个函数的定 则t≥2，∴.f(t)=t2-2(t≥2)， N3-I 2.B[根据柯西不等式得 V3-x ∴.f(x)=x2-2(x≥2). 义域相同，对应关系相同，所以是同一个 (.x2+y2+2)(1+4+9)≥(x+2y+3z)2 (3)(待定系数法)f(x)是一次函数，可设 函数： f(x)=ax十b(a≠0)， =1, 对于B选项，两个函数的对应关系不相同， ∴.3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]= 即2++≥品 所以不是同一个函数： 2x+17, 即a.x+(5a+b)=2.x+17, 1 1 对于C选项，y=√-|x,所以两函数的 当且仅当x= 14,y= 7,2 3 14 时等号 对应关系不同，所以不是同一个函数： 8a。-1.解得8： 对于D选项，y=1的定义域是R,y=x0的 1b=7. 成立.] ∴.f(x)=2x+7(x∈R). 3.B[因为a,b,x,y>0, 定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不 (4)(解方程组法)，fx)-2f(-x)=9x十2 +号≥a 同，所以不是同一个函数.] ① x+y 1 -,1≠0， ∴.f(-x)-2f(x)=9(-x)+2, ② 当且仅当g一么时，等号成立， 4f代)=千行x0,-1D[令= 由①+2×②得-3f(x)=-9x十6 1 1 -1.则有x= ,∴.f(x)=3x-2(x∈R). t ,所以f()= 又0<x<2: 1十 即学即练2(1)C[法一（换元法）令t= √x+1,t≥1，则t2=(x+1)2=x+2√E+ 即1-2x>0, 十1≠0，-1，所以f(x) 22 32 x十1x≠0， 1,由f(Wx+1)=x+2Vx得，f(t)=2-1, 于是得f(x)= (2+3)2 2+2≥2x十2m -1.] t≥1，即f(x)=x2一1，.x≥1.故选C.] =25,当且仅当么12即-号时，等 2 3 关键能力·突破 法二（配凑法）f(√x十1)=x十2√x [例1](1)解析对于A,函数f(x)= x (F)2+2√F+1-1=(√E+1)2-1,故 号成立， f(x)=x2-1,x≥1.] 的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，函数 所以函数f(x)=2 9 (2)2x+3或-2x一9[因为f(x)为一次 +1-2x 0<x<2 一{的定又线为风两西数的 函数， 的最小值为25.] 所以设f(x)=kx+b(k≠0)， 定义域不同，所以不是同一个函数，故A错 1 5 8 所以f(f(x)=f(kx+b)=k(kx+b)+b= 4.37 [f(x)= 2sin2x+3 5cos2r+6 误：对于B,由题意，在f(x)=√x十1 1 k2x+b(k+1), 42 因为f(f(x))=4x十9， 5(2sin2x+3)2(5cos2x+6 中，了x十10'解得x≥一1且x≠0，故B 所以k2x十b(k十1)=4x十9恒成立， (5+4)2 81 正确：对于C,函数f(x)=x2一2x十1与 所以2=4， ≥10(imx+c0s2x)+2737' 1b(k+1)=9, g(t)=12一21十1的定义域与对应关系都相 当且仅当 5 同，所以两函数是同一个函数，故C正确： 解得伦”么： (2sin2x+3)2(5cos2x+6) 对于D,由f(x)=|x-1|-x,可得！ 所以f(x)=2x+3或f(x)=-2x-9.] 即sinr=士 号，c0s1=士号时取等号.] (号)-0所以f((合)月-f0)=1.汇例)解折画数了(2)- 5.36[1+4+9-12 +22 32 故D错误 {x2,-2≤x<1,的定义域是[-2，十∞)， (-x+2,x≥1 y y 答案BC 故A错误： 378