1.6 一元二次方程、不等式-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 (2)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足 +/思维升华/++++++++++++++ BD1=BC,点E为线段AD上任意一点，若 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数 列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几 实数x,y满足BE=xBA+yBC,则」十2的最 何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点 交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最 小值为 值问题. A.2√2 B.4√5 C.4+23 D.9+4√2 即学即练3双线影--1o>0>0)的 a2- [听课记录] 条渐近线的倾斜角为答，离心率为c,则十的 b 最小值为 ( ) A.26 3 B.6 3 C.2√6 D.6 温馨提示 请做课时分层检测（五） §1.6一元二次方程、不等式 【课标要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的 根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法 口必备知识·整合 夯实基础回归教材>> 【知识梳理】 :2.分式不等式与整式不等式 1.二次函数y=a.x2+bx十c(a>0)与一元二次方程 1)/>0(<0)台 g(z) ax2+bx+c=0(a>0),不等式a.x2+bx+c>0 - (2)f>≥0（≤0）日 (a>0)的解的对应关系 g(x) 3.简单的绝对值不等式 方程的判别 |x|>a(a>0)的解集为 式4=b2 △>0 4=0 △<0 |x<a(a>0)的解集为 -4ac 【常用结论】 1.一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，x∈R恒成立 二次函数 台a>0且△<0： 的图象 (2)不等式a.x2+bx十c<0(a≠0)，x∈R恒成立 台a<0且△<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑 有两个不相等 有两个相等的 方程的根 的实数根 实数根1= a=0的情形. 没有实数根 2.对于不等式a.x2+bx十c>0,求解时不要忘记 r2(x1<x2） x2= 2a a=0时的情形， 【课前自测】 不等式 ! 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 的解集 ≠-品} {x 或“×”) (1)a.x2+bx十c<0为一元二次不等式.() 13 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 (2)若不等式a.x2十b.x十c<0的解集为(x1,x2),:3.(必修第一册P58T6改编)若不等式2k.x2十kx 则必有a>0. ) (3)若方程a.x2+bx十c=0(a<0)没有实数根，则不 <0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 8 等式a.x2+bx+c>0(a<0)的解集为R. ( 2.(必修一P53练习T1改编)不等式-2x2十x≤ 4.(2024·上海卷，4分)不等式x2-2x-3<0的 一3的解集为 解集为 )关键能力·突破 分类讲练以例求法>> 考点一求解一元二次不等式 +/思维升华/++++++++++++++ 角度1不含参的不等式 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论， [例1](2025·北京海淀区模拟)不等式一1>0 常见的分类有 、 x+2 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. 的解集为 (2)根据判别式△与0的关系判断根的 个数. [听课记录] (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小 进行讨论。 即学即练1解不等式12.x2-ax>a2(a∈R). 角度2含参的不等式 [例2]已知函数f(x)=a.x2+(b-2)x十3. (1)若不等式f(x)>0的解集为{x一1<x<3},求 a,b的值； (2)若b=-a,求不等式f(x)≤1的解集， [听课记录 精品教辅·智慧人生 14 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 考点二三个二次之间的关系 汇典例]已知关于x的一元二次方程x2十2m.x十 [例3](1)（多选）已知关于x的不等式a.x2+bx+ 2m+1=0. c>0的解集为（一1,3），则下列说法正确的是 (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在 ( 区间（一1,0）内，另一根在区间(1,2)内，求实数 A.a>0 m的取值范围； B一>0的解集是{红>} (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0， 1)内，求实数m的取值范围. C.cx2+ar- b>0的解集是{xx<- D.a+b<c (2)若方程x2一4x十a=0的两根都在区间 (1,十∞)内，则实数a的取值范围是 听课记录」 +/思维升华/++++++++++++++ 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相 应的一元二次方程的两根，由根与系数的关 系，可以求出相应的系数.注意结合不等式 解集的形式判断二次项系数的正负 【微拓展】 即学即练2(1)已知函数y=x2十a.x十b(a,b∈ 一元二次方程根的分布 R)的最小值为0，若关于x的不等式x2十a.x十 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方 b<c的解集为{xm<x<m十4}，则实数c的 程中系数的取值范国问题，主要从以下三个方面 值为 建立关于系数的不等式（组）进行求解. A.9 B.8 C.6 D.4 (1)判别式△的符号， (2)已知二次函数f(x)=a.x2+bx+c,且f(x)< (2)对称轴x= 与所给区间的位置关系。 2a 0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解 (3)区间端点处函数值的符号 析式为f(x)= 15 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 考点三一元二次不等式恒成立问题 提醒当不等式ax2十b.x十c>0未说明为一元 [例4]若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实： 二次不等式时，要对a分a=0或a≠0进行 数x恒成立，求实数a的取值范围， 讨论 即学即练3已知函数f(x)=x2-3.x十a. [听课记录 (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取 值范围； (2)若f(x)<0在x∈(-1,2)上恒成立，求实数 a的取值范围. +/思维升华/+++ (1)a.x2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条 件是a>0, 1b2-4ac<0: (2)a.x2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条 件是<0， 162 -4ac<0. 温馨提示 请做课时分层检测（六） 培优点1 柯西不等式与权方和不等式 考点一柯西不等式 (2Wa2+b2·√e2+d2≥|acl+|bd|(a,b,c,d∈ 1.二维形式的柯西不等式 R,当且仅当ad=bc时，等号成立). (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈R,当 (3)(a+b)(c+d)≥(ac+√ba)2(a,b,c,d≥0， 且仅当ad=bc时，等号成立). 当且仅当ad=bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 :3.二维形式的柯西不等式的向量形式 (1)Wa2+b·e2+d2≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R, a·B1≤|aB(当且仅当B是零向量，或存在 当且仅当ad=bc时，等号成立). 实数k,使a=时，等号成立) 精品教辅·智慧人生 16·5+-65,其最小值不是2，不符合题 因为x∈(-∞，0)，则一x∈(0，十∞)， 55 1 2红+4y≥9+28-9+4E, 所以x十 = (+) ：对于D=+=十≥ 当且仅当2= ·-2,当且仅当=0时取等号， ≤ 1 2-x·x =一2， 「2√2-1 x= 当且仅当一x=,即x=一1时取等号， 7 即 时取等号， 故y=4十4x的最小值为2，符合题意.] 4-√2 (2)BCD[对于A,因为ab+a+b-8≥ 所以m>-2.] y=14 2)B[依题意得，当x>0时，2a十1≥ 答案D ab+2 vab, 2x y2 即(ab)2+2ab-80,解得-4≤√ab =2 x2+4 恒成立，又因为工士≥4，即学即练3A[因为双曲线 2, x+ 又因为a>0,b>0,所以0<√ab2, 2 当且仅当x=2时取等号，所以 (a>0,b>0)的一条断近线的领斜角为号， 则ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号，故A 错误； 所以名=tan-， 对于B,ab+a+h=8≤a+b》2+(a+b), 大值为号，所以2a十1>号，解得实数a的 1 所以b=√3a,c=√a2+b2=2a 即(a+b)2+4(a十b)-32≥0，解得a十b≤ 1 一8（舍）或a十b≥4，当且仅当a=b=2时取 取值范国为[-子十∞）故选B.] 所以2十e= b 等号，故B正确： 例2]解析任取其中两次加油，假设第一次 √3a √3√3a 对于C,由题意可得b(a+1)=8-a, 的油价为n元/升，第二次的油价为n元/升， ·三=26，当且权当二=，即 所以6-8号>0，解释0<a<8, 第一种方案的均价.30m十30”=m十！≥ 60 2 a=√2时等号成立.] atT-a+18 所以a+2b-a+2X8=9 +1-2 √n:第二种方案的均价： 400 2001200 §1.6一元二次方程、不等式 =a+1+18 -3 m n a+1 :必备知识·整合 18 2m”≤Vm,所以无论油价知何变化，第【知识梳理】 n十n ≥2/a+1) -3=6√2-3， 二种都更划算.故选B. !1.{xx<x1或x>x2} a+1 答案B 2.（0fzg>0to) (2)f(x)g(x)≥0 当且仅当a+1=兴，即a=3疗-1时取 (≤0)且g(x)≠0 即学即练2B[由题意得，N= 1000u 等号，故C正确； 13.(-o∞，-a)U(a,+∞)(-a,a) 1「 1 1000 .7+0.32+d:【课前自测】 1000 对于Dab+十方 8a(b+1) 30 ≈1.(1)×(2)/(3)× 0.7+0.3+ 0.7+2√/0.3×30 云]a6+D+- 1 b 12.(-∞， [由-2.x2+ 8 2十a(b+1) 149,当且仅当0.30= 30,即v=10时取 x≤-3可得2.x2-x-3≥0， a1D]≥g×(2+2)=, “=”,所以该道路一小时“道路容量”的最大 即(2x-3)(x十1)>≥0，得x≤-1或≥立， 3 值约为149.故选B.] 当且仅当a(b十D b a6十D,即b=4,a=[例3])解析 法一 由题意，知a≠0， b b≠0，则方程 故不等式的解集为-，一1U[号十）门 号时取等号，故D正确] (x-a)(x-b)(x-2a-b)=0的根为a,b,3.（-3,0][当k=0时，满足题意； 2a+b. k0, §1.5基本不等式的综合应用 ①a,b,2a十b均为不同的根，则不等式可标 当k≠0时， [例1](1)解析因为两个正实数x,y满足 根为图(1)， -2-4x2张×(-)0， 1a0, +号-1所以+-(+)（日 解得-3<k<0, 此时应满足b<0, 可得a<0,b<0. x 所以一3<k≤0.] 2a+b0, :4.(一1,3)[一元二次不等式的解集由 Ax.义=4， +)2+华+≥2+√停· y 4x x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1 x<3.] 当且仅当g-,即x=2y=8时取等 y 4r (1) (2) 关键能力·突破 号，因为不等式x+￥<m2-3m有解，所 [例1]解析不等式二>0等价于(x-1) x+2 40￥ (x+2)>0, 以m2-3m大于x十子的最小值，即m2 3) 解得x>1或x<一2， 3n>4,解得n<-1或n>4,即实数n的取 ②a,b,2a十b中有两个根为相等的根，则 值范围是(-∞，一1)U(4,十∞)，故选C. (i)a=2a十b>0,即b=-a<0, 所以不等式>0的解集为x>1,或 答案C 此时(x-a)2(x十a)≥0，符合图(2). x<-2}. (2)解析令f(x)=2+3x+1 (i)a=b<0,此时(x-a)2(x-3a)≥0，符 答案{xx>1,或x<-2} 合图(3). :[例2]解(1)由题意得，一1和3是方程 由题意可得a≤f(x)min, 综合①②，可知b0符合题意.故选C. ax2十(b-2)x十3=0的两个根，且a<0, .1+3=5, f)=x++3≥2√ 法二（特殊值法）当b=一1，a=1时，(x-1) (x十1)(x-1)≥0在x≥0时恒成立；当b= 3=(-1)X3, 当且权当=上即上-1时等号成立， 1,a=-1时，(x+1)(x十1)(x十3)≥0在 -2=(-1D+3 解得{a=-1, b=4. x0时恒成立；当b=1,a=一1时，(x十1)i a≤f(x)mim=5, (x一1)(x十1)≥0在x≥0时不一定成立.故1 (2)当b=-a时，不等式f(x)≤1， 所以实数a的取值范国为（一∞，5]. 选C 即ax2-(a+2)x+20,即(ax-2)(x-1) 答案C 答案C 0. 即学即练1(1)C[因为对任意的x∈（一o0,0), (2)解析因为1B方1-十1BC. ①当a=0时，一2x十2≤0，解得x≥1； x2-nx十1>0恒成立， 即n.x<x2+1对任意的x∈（一∞，0）恒 所以BE=xBA+yBC=xBA十4yBD, ②当a<0时，不等式可化为(x-1)x 成立， 由A,E,D三，点共线可得x十4y=1,且x> 即m>2中=十1对任意的x（一0,0) 0,y>0, ）≥0 x 恒成立， 所以+号-（+号）+)=9+ 解得r≤2或x≥1： 376 ③当a>0时，不等式可化为(x一1)x 解一<mK一 培优点1柯西不等式与权方和不等式 故实数m的取值范国为 [例1]解方法一由柯西不等式得 2 若1<2 ,即0<a<2,解得1≤x≤2 (2)依题意知，函数f(x) y 2+≤[2+'[()+ =x2+2m.x+2m+1的图 若1=2，即a=2,解得=1: 象与x轴的交点落在区 (] 间(0,1)内，画出示意图， 若1>2，即a>2,解得2≤r≤1， f(0)0, =(3r+2y)(号+）≤1山， 综上所述，当Q=0时，解集为{xx≥1}： 受 f(1)>0, △>0， 当a<0时，解集为{≤子或x≥} 当且仅当5x· 0<-m<1, ·后 2 1 吉0<a2时，郎条为{1≤≤号}： m>一 411 4√I 2， 即 111 11 时等号 当a=2时，解集为{xx=1}: 1 当。>2时解系为{≤≤} 2 y 3√/11 3√11 11 11 m>1+√2或m<1-√2， 成立， 即学即练1解 原不等式可化为12x2一a.x -1<m0, 于是2x十y的最大值为W√11，最小值为 -a2>0. 即(4x十a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a) 解得-<m<1-厄 -/11 =0, 方法二 由柯西不等式得|2x十y|≤ 解得x1= 故实数m的取值范国为(-之1-） √(W3x)+(W2y ()+() -∞，-4} 即学即练2(1)D 当a>0时，不等式的解集为 [由题意得4b一a =0, 4 4 /(3.x2+2y2) (+)≤m U(号+∞） ,又不等式x2+ax十b<c的解集 为{xn<x<n十4}，，.方程x2十ax十 当且仅当尽x· 1 当a=0时，不等式的解集为(-∞，0)U(0, a2 +∞)： 4 一c=0的根为，m十4，即m十m十4= 411 4w11 当a<0时，不等式的解集为(-∞，号)U 111 11 时等号 一。.解得m=一02，·m十之一一2，又 2 y= 3红 3√11 11 y= 11 [例3](1)解析不等式a.x2十bx十c>0的 +am+号-(=0c=m十m十 a2 成立， 于是2x十y的最大值为√11，最小值为 [a<o, 6 (m+)=4.故选D] -/11. 解集为（一1,3），则 a =一1十3，即 (2)x2一4x(答案不唯一)[因为f(x)<0 即学即练14√5[，a=(1,-2),b=(x,y), =-3, 恰有3个整数解， .a·b=x-2y. a 所以设三个整数解分别为1,2,3， 由柯西不等式的向量形式可得 a0, b=-2a,bx-c>0,即-2a.x+3a>0,所1 则f(x)<0的解集可以为(0,4)， [12+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y)2, (c=-3a, 故c1=0,x2=4是ax2十bx十c=0的两 即5X16≥(x-2y)2,.-4√5≤x-2y 以x>立.cx+a-b>0,即-3ar2+ax十 3 个根， 45, () 2a>0,即3x2-x-2>0,解集是1 故0十4= 0×4-台 当且仅当b=ka, 4√5 { 号或>1.因为=1 所以c=0,b=一4a, r= 5 时，()式中右边等号成立， {xx<- 或>}听以-6>0 令a=1,则b=-4, 8W5 故f(x)=x2-4x.(答策不唯一)] 5 即a+b<c.故进BC、D.] [例4幻解原不等式可化为x2-2x十a2一 4W5 答案BCD 3a-3≥0， 学 5 时，(*)式中左边等号 (2)解析设方程x2一4x十a=0的两根为 ,该不等式对任意实数x恒成立，△≤0， -85 x1,x2, 即4-4(a2-3a-3)≤0，即a2-3a-4≥0， y= 5 则x1>1,x2>1, 解得a≤-1或a≥4， 成立， 所以△=(-4)2-4a≥0， ∴.实数a的取值范国是{aa≤一1或a≥ 4}. ,当x= 45 x1+x2>2,(x-1)(x2-1)>0, 5,y=一8尘时，a·b的最大值 5 由△=(-4)2-4a≥0，解得a≤4： 即学即练3解(1)f(x)=x2-3x十a 由x1十x>2,得4>2显然成立； 为4√5.] 3 由(x1-1)(x2-1)>0, [例2](1)解析 得x1x2-(x1+x2)+1>0, 2x十yx十y2x+y 即a-4十1>0，解得a>3, 12 12 则fm-f(）-a-号 4(x+ 25≥1+25 综上可得，3<a4, 2r+y 4x+y 6x+5y 所以实数a的取值范围是(3,4]. 答案(3,4] f(x)>0在x∈R上恒成立，即f(x)min 13+4√ ,即2≥13+4V5 6x+5y 6x+5y 【微拓展】解 (1)依 题意知，函数f(x)=x -号>0，故a> 周为>0y>0,则6x+5y≥号+25 +2m.x+2n+1的图象 1 与x轴的交点分别在区 故实数a的取值范国是(，十∞） 2√3 -102 间（一1,0）和(1,2)内，画 当且仅当2x十)4(x+ 出示意图， ②=-3+a-(-)）+a-。 9 即x=3y-55时取等号. 4 2 f(.x)在[-1,2]上的最大值为f(x)max= f(0)=2n+10. 答案 号+2g 得 f(-1)=2>0, n∈R, 1 f(1)=4m+20, --(-1-号)）+a-号-4+a, (2)解析 f(2)=6m+5>0, 2 故f(x)在x∈(-1,2)上满足f(x)<4+a, y+2x +2r x+2y m>- 故4十a≤0，解得a≤-4. (x+y+e)2 1 6 故实数a的取值范国是（一∞，一4]. y+2++2x+x+2y3 377