1.5 基本不等式的综合应用-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 §1.5基本不等式的综合应用 【课标要求】1.会求与基本不等式有关的恒成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握 基本不等式在其他知识中的应用. 考点一与基本不等式有关的恒（能）成立问题：考点二基本不等式的实际应用 [例1](1)(2025·绍兴质检)若两个正实数x,y满[例2]港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地 足是+4=1，且不等式x十义<m2-3m有解，则 的刘先生采用自驾出行.由于燃油的价格有升也 y 有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每 实数m的取值范围是 次均加30升的燃油；第二种方案：每次加200元 A.(-1,4) 的燃油，则下列说法正确的是 () B.(-4,1) A.第一种方案划算 B.第二种方案划算 C.(-o∞，-1)U(4,+∞) C.两种方案一样 D.无法确定 D.(-∞，0)U(3,+∞) （2)若对于任意的x>0,不等式2+3x+1≥a恒 听课记录] 成立，则实数a的取值范围为 ( A.[5,+∞) B.(5,+∞) C.(-∞，5] D.(-o∞，5) [听课记录 +/思维升华/++++++++++++++ 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实 际问题设出变量，注意变量应满足实际意 义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模 型，再利用基本不等式求得函数的最值， 即学即练2单位时间内通过道路上指定断面的车 +/思维升华/+++ 辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环 ]x∈M,使得f(x)≥a,等价于f(x)max≥a; 境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通 ].x∈M,使得f(x)≤a,等价于f(x)mn≤a. 过的车辆数N满足关系N= 1000w ++-++++++++++十++++十+十…十+十 0.7w+0.3+d山 ,其 即学即练1(1)对任意的x∈(-∞，0)，x2一 中d为安全距离，v为车速(m/s).当安全距离do mx十1>0恒成立，则m的取值范围为 ( 取30m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为 A.{m|-2<m<2} B.{mm>2} C.{mm>-2} D.{mm≤-2 A.135 B.149 C.165 D.195 ②若对任意正数，不等式恒成 考点三基本不等式与其他知识交汇的最值 x 问题 立，则实数a的取值范围为 [例3](1)(2020·浙江卷)已知a,b∈R且ab≠0， A.[0,+o∞) B[-子+∞) 对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥ 0,则 ( c[片+) D.[2+∞) A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0 精品教辅·智慧人生 12 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 (2)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足 +/思维升华/++++++++++++++ BD1=BC,点E为线段AD上任意一点，若 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数 列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几 实数x,y满足BE=xBA+yBC,则」十2的最 何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点 交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最 小值为 值问题. A.2√2 B.4√5 C.4+23 D.9+4√2 即学即练3双线影--1o>0>0)的 a2- [听课记录] 条渐近线的倾斜角为答，离心率为c,则十的 b 最小值为 ( ) A.26 3 B.6 3 C.2√6 D.6 温馨提示 请做课时分层检测（五） §1.6一元二次方程、不等式 【课标要求】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的 根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法 口必备知识·整合 夯实基础回归教材>> 【知识梳理】 :2.分式不等式与整式不等式 1.二次函数y=a.x2+bx十c(a>0)与一元二次方程 1)/>0(<0)台 g(z) ax2+bx+c=0(a>0),不等式a.x2+bx+c>0 - (2)f>≥0（≤0）日 (a>0)的解的对应关系 g(x) 3.简单的绝对值不等式 方程的判别 |x|>a(a>0)的解集为 式4=b2 △>0 4=0 △<0 |x<a(a>0)的解集为 -4ac 【常用结论】 1.一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，x∈R恒成立 二次函数 台a>0且△<0： 的图象 (2)不等式a.x2+bx十c<0(a≠0)，x∈R恒成立 台a<0且△<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑 有两个不相等 有两个相等的 方程的根 的实数根 实数根1= a=0的情形. 没有实数根 2.对于不等式a.x2+bx十c>0,求解时不要忘记 r2(x1<x2） x2= 2a a=0时的情形， 【课前自测】 不等式 ! 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 的解集 ≠-品} {x 或“×”) (1)a.x2+bx十c<0为一元二次不等式.() 13 精品教辅·智慧人生5+-65,其最小值不是2，不符合题 因为x∈(-∞，0)，则一x∈(0，十∞)， 55 1 2红+4y≥9+28-9+4E, 所以x十 = (+) ：对于D=+=十≥ 当且仅当2= ·-2,当且仅当=0时取等号， ≤ 1 2-x·x =一2， 「2√2-1 x= 当且仅当一x=,即x=一1时取等号， 7 即 时取等号， 故y=4十4x的最小值为2，符合题意.] 4-√2 (2)BCD[对于A,因为ab+a+b-8≥ 所以m>-2.] y=14 2)B[依题意得，当x>0时，2a十1≥ 答案D ab+2 vab, 2x y2 即(ab)2+2ab-80,解得-4≤√ab =2 x2+4 恒成立，又因为工士≥4，即学即练3A[因为双曲线 2, x+ 又因为a>0,b>0,所以0<√ab2, 2 当且仅当x=2时取等号，所以 (a>0,b>0)的一条断近线的领斜角为号， 则ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号，故A 错误； 所以名=tan-， 对于B,ab+a+h=8≤a+b》2+(a+b), 大值为号，所以2a十1>号，解得实数a的 1 所以b=√3a,c=√a2+b2=2a 即(a+b)2+4(a十b)-32≥0，解得a十b≤ 1 一8（舍）或a十b≥4，当且仅当a=b=2时取 取值范国为[-子十∞）故选B.] 所以2十e= b 等号，故B正确： 例2]解析任取其中两次加油，假设第一次 √3a √3√3a 对于C,由题意可得b(a+1)=8-a, 的油价为n元/升，第二次的油价为n元/升， ·三=26，当且权当二=，即 所以6-8号>0，解释0<a<8, 第一种方案的均价.30m十30”=m十！≥ 60 2 a=√2时等号成立.] atT-a+18 所以a+2b-a+2X8=9 +1-2 √n:第二种方案的均价： 400 2001200 §1.6一元二次方程、不等式 =a+1+18 -3 m n a+1 :必备知识·整合 18 2m”≤Vm,所以无论油价知何变化，第【知识梳理】 n十n ≥2/a+1) -3=6√2-3， 二种都更划算.故选B. !1.{xx<x1或x>x2} a+1 答案B 2.（0fzg>0to) (2)f(x)g(x)≥0 当且仅当a+1=兴，即a=3疗-1时取 (≤0)且g(x)≠0 即学即练2B[由题意得，N= 1000u 等号，故C正确； 13.(-o∞，-a)U(a,+∞)(-a,a) 1「 1 1000 .7+0.32+d:【课前自测】 1000 对于Dab+十方 8a(b+1) 30 ≈1.(1)×(2)/(3)× 0.7+0.3+ 0.7+2√/0.3×30 云]a6+D+- 1 b 12.(-∞， [由-2.x2+ 8 2十a(b+1) 149,当且仅当0.30= 30,即v=10时取 x≤-3可得2.x2-x-3≥0， a1D]≥g×(2+2)=, “=”,所以该道路一小时“道路容量”的最大 即(2x-3)(x十1)>≥0，得x≤-1或≥立， 3 值约为149.故选B.] 当且仅当a(b十D b a6十D,即b=4,a=[例3])解析 法一 由题意，知a≠0， b b≠0，则方程 故不等式的解集为-，一1U[号十）门 号时取等号，故D正确] (x-a)(x-b)(x-2a-b)=0的根为a,b,3.（-3,0][当k=0时，满足题意； 2a+b. k0, §1.5基本不等式的综合应用 ①a,b,2a十b均为不同的根，则不等式可标 当k≠0时， [例1](1)解析因为两个正实数x,y满足 根为图(1)， -2-4x2张×(-)0， 1a0, +号-1所以+-(+)（日 解得-3<k<0, 此时应满足b<0, 可得a<0,b<0. x 所以一3<k≤0.] 2a+b0, :4.(一1,3)[一元二次不等式的解集由 Ax.义=4， +)2+华+≥2+√停· y 4x x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1 x<3.] 当且仅当g-,即x=2y=8时取等 y 4r (1) (2) 关键能力·突破 号，因为不等式x+￥<m2-3m有解，所 [例1]解析不等式二>0等价于(x-1) x+2 40￥ (x+2)>0, 以m2-3m大于x十子的最小值，即m2 3) 解得x>1或x<一2， 3n>4,解得n<-1或n>4,即实数n的取 ②a,b,2a十b中有两个根为相等的根，则 值范围是(-∞，一1)U(4,十∞)，故选C. (i)a=2a十b>0,即b=-a<0, 所以不等式>0的解集为x>1,或 答案C 此时(x-a)2(x十a)≥0，符合图(2). x<-2}. (2)解析令f(x)=2+3x+1 (i)a=b<0,此时(x-a)2(x-3a)≥0，符 答案{xx>1,或x<-2} 合图(3). :[例2]解(1)由题意得，一1和3是方程 由题意可得a≤f(x)min, 综合①②，可知b0符合题意.故选C. ax2十(b-2)x十3=0的两个根，且a<0, .1+3=5, f)=x++3≥2√ 法二（特殊值法）当b=一1，a=1时，(x-1) (x十1)(x-1)≥0在x≥0时恒成立；当b= 3=(-1)X3, 当且权当=上即上-1时等号成立， 1,a=-1时，(x+1)(x十1)(x十3)≥0在 -2=(-1D+3 解得{a=-1, b=4. x0时恒成立；当b=1,a=一1时，(x十1)i a≤f(x)mim=5, (x一1)(x十1)≥0在x≥0时不一定成立.故1 (2)当b=-a时，不等式f(x)≤1， 所以实数a的取值范国为（一∞，5]. 选C 即ax2-(a+2)x+20,即(ax-2)(x-1) 答案C 答案C 0. 即学即练1(1)C[因为对任意的x∈（一o0,0), (2)解析因为1B方1-十1BC. ①当a=0时，一2x十2≤0，解得x≥1； x2-nx十1>0恒成立， 即n.x<x2+1对任意的x∈（一∞，0）恒 所以BE=xBA+yBC=xBA十4yBD, ②当a<0时，不等式可化为(x-1)x 成立， 由A,E,D三，点共线可得x十4y=1,且x> 即m>2中=十1对任意的x（一0,0) 0,y>0, ）≥0 x 恒成立， 所以+号-（+号）+)=9+ 解得r≤2或x≥1： 376