1.4 基本不等式-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 +/思维升华/++++++++++++++ 即学即练3(1)（多选）已知1≤a≤2,3≤b≤5， 利用不等式的性质求代数式的取值范围的 则 () 注意点 A.a十b的取值范围为[4,7] (1)必须严格运用不等式的性质. B.b一a的取值范围为[2,3] C.ab的取值范围为[3,10] (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩 大变量的取值范围，解决途径是先建立所 D号的取值范围为[行，】 求范围的整体与已知范围的整体的等量关 (2)已知-3<a<-2,2<b<4,则2的取值范围 系，然后通过“一次性”不等关系的运算求 是 解范围 温馨提示 请做课时分层检测（三） §1.4 基本不等式 【课标要求】1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 。必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 【知识梳理】 【课前自测】 1.基本不等式：wab≤a十b 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/” 2 或“×”) (1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等 ; (1)不等式ab≤ 与a<a十中等号成立 2 号成立. 的条件是相同的。 (3)其中 叫做正数a,b的算术平均数， 叫做正数a,b的几何平均数 (2)y=x十1的最小值是2. ( 2.利用基本不等式求最值 (3)若x>0,y>0且x十y=xy,则xy的最小值 (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P, 为4. () 那么当x=y时，和x十y有最小值 (2)已知x,y都是正数，如果和x十y等于定值 (④函数y=sinx十4x∈(0，)的最小值为4 sinz S,那么当x=y时，积xy有最大值 注意： 利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、：2.设a>0,则9a十二的最小值为 a 二定、三相等” A.4 B.5 【常用结论】 C.6 D.7 儿个重要的不等式 3.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为() (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2)2+g≥2(a,b同号). A. R吉 a b (3ab≤（生）'a,6∈R. c D.1 (a,b∈R). 4.(必修一P48T1改编)已知x>1,则x十己的 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 最小值为 9 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 考点一基本不等式的理解及常见变形 即学即练1(1)已知p:a>b>0,q: 2+b2 [例1](1)若0<a<b,则下列不等式一定成立 2 的是 ( (士.则p是g成立的 A>生单a>品 A.充分不必要条件 B.bvab>atb B.必要不充分条件 2>a C.充要条件 C.b>atb>/ab-a D.既不充分也不必要条件 2 (2)(多选)已知a,b∈R,则下列不等式成立的是 D.b>a>atb>√ad 2 (2)《几何原本》中的几何代 A.at≥a B.a+6 a2+b2 2 2 2 数法研究代数问题，这种方 法是后西方数学家处理问 C.2ab≤a+b 'a+b 2 D.aba2+b2 2 题的重要依据，通过这一原 考点二利用基本不等式求最值 理，很多的代数公理或定理都能够通过图形证 、 角度1直接法 明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C为线 [例2](1)（多选）下列代数式中最小值为2的是 段AB上的点，且AC=a,BC=b,O为AB的中 () 点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线 交半圆于点D,连接OD,AD,BD,过点C作OD A.x- B.2x+22 的垂线，垂足为点E,则该图形可以完成的无字 D.√x2+2+ 1 证明为 x2+2 A生≤vaa>0.6>0) (2)已知x,y为正实数，且满足4x+3y=12,则 xy的最大值为 B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) 听课记录] C.ab≥ 2 -(a>0,b>0) 1+ D.22≥a寸a>0,b>0) 222 [听课记录] 角度2配凑法 [倒3】1已知0<<号则x-2的最大值 为 (2)(2025·邵阳联考)若a>0,b>0,a十b=9,则 +/思维升华/++ 6+:的最小值为 a b 基本不等式的常见变形 ab≤(< 听课记录] 2 a2+8 (2) 1 2 2 (a0,b>0) 1 精品教辅·智慧人生 10 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 【微拓展】 角度4消元法 与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 [例5]（必修第一册第58页5题改编）已知a>0, 如图，对于函数∫(x)=x十 b>0,ab=a十b十3，则a十b的最小值为 1"4 ,k>0,x∈[a,b],[a,b]日 听课记录] 2 (0,十∞). -2k (1)当√E∈[a,b]时，f(x) x+>≥2顶，f(x)m=f顶)=E+在=2E; 角度5构造不等式法 (2)当E<a时，f(x)=x+在区间[a,b]上单 [例6]若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则ab的最 小值为 调递增，f(x)min=f(a)=a十 A.9 B.6 C.3 D.12 [听课记录 (3)当及>b时，f(x)=x+在区间[a,b]上单 调递减，f(.x)mi=f(b)=b+ b 因此，只有当√F∈[a,b们时，才能使用基本不等式 求最值，而当√E氏[a,b]时只能利用对勾函数的 +/思维升华/+++++++ 单调性求最值， (1)前提：“一正”“二定”“三相等” (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、 典例] 函数f(.x)=x2+ 3 x2+2 的最小值是 和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是 配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1” 角度3 代换法 代换的方法；三是消元法 [例4]1)已知正数4，b满足8+4=1，则8a十b 即学即练2(1)（多选）下列四个函数中，最小值 b a 为2的是 () 的最小值为 ( A.54 B.56 C.72 D.81 A.y=sin + 0<≤) sin x\ 听课记录] B.y=2-x- (x<0) C.y=2+6 √x2+5 D.y=42+4 (2)(多选)已知正实数a,b满足ab十a十b=8,下 延伸探究 已知正数a,b满足8a十4b=ab,则 列说法正确的是 8a十b的最小值为 A.ab的最大值为2 (2)(2025·烟台质检)当x>0时，十4 3x的最大 B.a十b的最小值为4 值为 C.a十2b的最小值为62-3 [听课记录 D. (b+1) 云的最小值为号 温馨提示 请做课时分层检测（四） 11 精品教辅·智慧人生§1.4基本不等式 必备知识·整合 【知识梳理】 1.(1)a>0,b>0(2)a=b(3)a+b 2 √ab 2.(1)2p(2)1s 4 【课前自测】 1.(1)×(2)×(3)/(4)× 2.C[因为a>0,所以9a+>≥2√加×石 6,当且仅当9a-,即a-专时等号成立， 所以9a十二的最小值为6.故选C.] 3.A[因为0<x<1,所以1-x>0, 所以1-≤()= 2 1 当且仅当x=1一x,即x=时，等号成立， 故r1-)的最大值为子] 1 4.3[x+ =x-1++1≥ 2√c-舌+1-3，当且仪当-1 白，即x=2时等号成立.] 关键能力·突破 「例11(1)解析，0a<b. .∴.2b>a+b, 6>生瓜 b>a>0,.ab>a2, ,∴./ab>a. 故b>a+b>√ab>a. 2 答案C (2)解析根据图形，利用射影定理得 CD2=DE·OD, xOD-AB-(a+).CD:-AC.CB =ab, ab 所以DE=OD。. 2 由于OD≥CD, 所以士v瓜(a>0,b>0. 由于CD≥DE, 所以vab≥ab 2 1(a>0,b>0). 答案C 即学即练1(1)A[,a>b>0,则a2+b2> 2ab, ∴.2(a2+b2)>a2+b2+2ab, .2(a2+b2)>(a+b)2, （学 .由p可推出g: 当a<0,b<0时，g也成立， 如a=-1,b--3时，。22=5> 2 (a+b 2 2 =4, ∴.由q推不出p, ·p是q成立的充分不必要条件.门 (2)BD[A选项，由进项可知a与b同号，当 4>0且>0时，由基本不等式可知≥ 2 V成立，当a<0且b<0时，生<0， √/ab>0,该不等式不成立，故A选项错误； B选项当a+60时，安>0则（安） 2 /厘+)2=2+P+2ab-2a2-28 4 a-b≤0恒成立，即士<√“ +恒 4 2 成立，当a十b0时，原不等式恒成立，故B 选项正确： C选项，当a十b>0时，2ab-a十b)2 2 -(a-b)2 2 ≤0，即2ab≤a+b2,2≤ 2 "a+b 恒成主，当a+b<0时，2ab-a+ 2 =二(a-b)2 2 ≤0，即2ab≤（a十b）,2a≥」 2 ,故C选项错误； D选项，由重要不等式可知，a,b∈R,ab≤ 2十心恒成立，故D选项正确门 2 [例2](1)解析选项A中，当x<0时，函 数)一1一士单调递增，无最小值，不符合 题意： 选项B中，2x十2x≥2√22·2工=2，当 且仅当x=0时，等号成立，满足题意； 选项C中2+≥2,2·-2，且 仅当x=士1时，等号成立，满足题意： 选项D中，√/x2十2十 1 W2+2 2· =2,当且仅当 √x2+2 √x+2- 1 时，等号成立，但此方 √/x2+2 程无实数解，不符合题意 答案BC (2)解析由已知，得12=4x+3y≥ 2√/4x·3y, 即12≥2√4x·3y, 解得xy≤3（当且仅当4x=3y时取等号）. 答案3 [酬8】1解析0<r<号1-22> 0.x-2z-5.2京-2平≤ 2 .22+1-2x-E.当且仅当22 2 2 1-22,即一时学号成立。 答率9 (2)解析由a>0,b>0,a+b=9,得36+ -4u+ù+=4++≥4+ b a b a 2巴·-8（当且仅当兽-号，即 6,b=3时等号成立)，故十合的最小值 为8. 答案8 【微拓展】解析由f(x)=x2十 3 x2+2 3 +2++22, 令x2+2=≥2)，则有f(0=1十3-2. 由对勾函数的性质知，f(t)在[2，十∞)上单 3 调递增，所以当1=2时，f()mm=2, 即当r=0时，f(x)min=之 3 答案号 375 [创)a解析+b-(+b(号+) -64+也+40≥2/ 64a.4亚+40=72， 当且仅当兴-台，即a=6,6=21时取 a 等号. 答案C 延伸探究解析，8a十4h=ab,a>0,b>0, 8a+=(8a+b(受+) -64+业+40≥26·a 64e.4地+40=72. 当且仅当64-也，即a=6,b=24时取 b 等号 答案72 3x (2)解析当x>0时·2十4= 3 4 x十 3 -子，当且仅当x=1,即x=2 时等号成立，即3千的最大值为子 x2+4 答案是 例5]解析法-：a>0,b>0,ab=a十 什3a告且-1>0.ia+6告+ b=1+点+6=+6-1+2≥ 2片·0-D+2=6当且仅当 4 b-1,即a=b=3时取得最小值. 法二由ab=a十b+3,可得(a一1)(b-1)= 4,又a>0,b>0,所以a>1,b>1,所以a十 b=(a-1)+(b-1)+2≥2√(a-1)(b-1)+ 2=6,当且仅当a=b=3时取得最小值. 法三 因为ab=a十6+3≤}a+bP,故 可得(a+b)2-4(a+b)-12≥0，即(a+b 6)(a+b+2)≥0，解得a+b≥6或a+b≤ 一2，又因为a>0,b>0,故a十b≥6（当且仅 当a=b=3时取得最小值). 答案6 例6]解析因为a>0,b>0,所以a十b≥ 2√ab,当且仅当a=b时，等号成立， 又ab=a十b+3,所以ab=a+b+3≥2√ab十 3,整理可得ab-2√ab-3≥0， 解得√ab≥3或ab≤-1（舍去）. 所以√ab≥3，所以ab≥9.所以当a=b=3 时，ab的最小值为9. 答案A 即学即练2(1)AD[对于A,因为0<x≤ 至，所以0<n≤1，则y一mr+≥2， 1 当且仅当inr一n立，即血x=1时取等号， 符合题意；对于B,因为x<0,所以一x>0, +()≥2-0×()=. 当且仅当一x= -4,即x=一2时等号成 x 立，所以y=2-x-4≥2+4=6，即y= 2-x- 4(x<0)的最小值为6，不符合题 意；对于C,y= x2+6 =/x2+5+ Wx2+5 1 ，设t=√x2+5,则t≥5，则y≥ W/x2+5 5+=65,其最小值不是2，不符合题 因为x∈(-∞，0)，则一x∈(0，十∞)， 55 2+4y≥9+28=9+42， 1 所以x十 = ：时于Dy=十=华十≥ (+) 当且仅当2=y √·不-2，当且仅当=0时取等号， ≤ 1 2-x·x =一2， 2√2-1 x= 当且仅当一x=1 7 ,即x=一1时取等号， 即 时取等号. 故y=42十4x的最小值为2，符合题意.] x 4-√2 (2)BCD[对于A,因为ab十a+b=8≥i 所以m>-2.] y=14 2)B[依题意得，当x>0时，2a+1≥ 答案D ab+2 vab, 2x y2 即(ab)2+2ab-8≤0，解得-4≤√ab =2 x2+4 。4见日1 2, 又因为a>0,b>0,所以0<√ab2, 2 当且仅当x=2时取等号，所以 则ab≤4，当且仅当a=b=2时取等号，故A 的最 (a>0,b>0)的一条断近线的领斜角为受， 错误； x十 所以名=tan-， 对于B,ab+a+h=8≤a+b》2+(a+b), 大值为号，所以2a十1>号，解得实数a的 1 所以b=√3a,c=√a2+b2=2a 即(a十b)2+4(a十b)-32≥0，解得a十b≤ 一8（舍）或a十b≥4，当且仅当a=b=2时取 取值范国为[-子十∞）故选B.] 1 所以2十e= b 等号，故B正确： 例2]解析任取其中两次加油，假设第一次 √3a √3√3a 对于C,由题意可得b(a+1)=8-a, 的油价为n元/升，第二次的油价为n元/升，· 二·-26，当且仅当=2,即 所以6-8号>0，解将0<a<8 第一种方案的均价.30m十30”=m十！≥ 5√5a 60 2 a=√2时等号成立.] aFi-a+18 所以a+2b=a+2×8-9 a+1-2 √n:第二种方案的均价： 400 2001200 §1.6一元二次方程、不等式 =a+1+18 m n a+1 -3 :必备知识·整合 2m”≤√m,所以无论油价如何变化，第【知识梳理】 n十n ≥2/a+1)· 18 i1.{x|xx1或x>x2} a+1 -3=6√2-3， 二种都更划算.故选B. 当且仅当a+1=片，即a=3厄-1时取 答案B 2.（0fzg>00) (2)f(x)g(x)≥0 即学即练2B[由题意得，N= 1000u (≤0)且g(x)≠0 等号，故C正确； ;3.(-o∞，-a)U(a,+∞)(-a,a) 1000 .7+0.32+d:【课前自测】 1000 对于D,ab+十方 1「 1 8a(b+1) 30 ≈1.(1)×(2)/(3)× 0.7+0.3+ 0.7+2√/0.3×30 ]+D+ 1 b 12.(-∞，- 1U[号，+∞）】 [由-2x2+ 8 2十a(b+1) 149,当且仅当0.30= 30,即v=10时取 x≤-3可得2.x2-x-3≥0， a1D]≥g×(2+2)=, “=”,所以该道路一小时“道路容量”的最大！ 即(2x-3)(x十1)≥0，得x≤-1或x立， 3 值约为149.故选B.] 当且仅当a(b十 b a6+D,即b=4,a=[例3]（1)解析 法一 由题意，知a≠0， b b≠0，则方程 故不等式的解集为-，一1U[号十）门 号时取等号，故D正确] (x-a)(x-b)(x-2a-b)=0的根为a,b,!3.(-3,0][当k=0时，满足题意； 2a+b. k<0, §1.5基本不等式的综合应用 ①a,b,2a十b均为不同的根，则不等式可标 当k≠0时， [例1](1)解析因为两个正实数x,y满足 根为图(1)， -2-4x2张×(-)0， 1a0, +号-1所以+宁-(+)（仕 解得-3<k<0, 此时应满足b<0, 可得a<0,b<0. x 所以一3<k≤0.] 2a+b0, :4.(-1,3)[一元二次不等式的解集由 Ax.义=4， +号)++≥+停· y 4x x2-2x-3=(x-3)(x+1)<0,得-1 0 x<3.] 当且仅当号-亡即工=2y=8时取等 关键能力·突破 y (1) (2) 号，因为不等式x+￥<m2-3m有解，所 [例1]解析不等式二>0等价于(x-1) x+2 40￥ (x+2)>0, 以m2-3m大于x十￥的最小值，即m2 3) 解得x>1或x<一2， 3m>4,解得n一1或n>4,即实数m的取 ②a,b,2a十b中有两个根为相等的根，则 值范围是(-∞，一1)U(4,十∞)，故选C. (i)a=2a+b>0,即b=-a<0, 所以不等式>0的解集为xx>1,或 答案C 此时(x一a)2(x十a)≥0，符合图(2). x<-2}. (2)解析令f(r)=+3x+1 (i)a=b<0,此时(x-a)2(x-3a)≥0，符 答案{xx>1,或x<-2} 合图(3). :[例2]解(1)由题意得，一1和3是方程 由题意可得a≤f(x)min, 综合①②，可知b<0符合题意.故选C. ax2十(b-2)xr十3=0的两个根，且a<0, .1+3=5 f)=x++3≥2√r 法二（特殊值法）当b=一1，a=1时，(x-1) (x十1)(x-1)≥0在x≥0时恒成立；当b= 3=(-1)×3, 当且仅当=上即上-1时等号成立， 1,a=-1时，(x+1)(x+1)(x十3)≥0在 -2=(-1D+3, 解得a=-1, 1b=4. x≥0时恒成立；当b=1,a=一1时，(x十1)i a≤f(x）mim=5, (x一1)(x十1)≥0在x≥0时不一定成立.故1 (2)当b=-a时，不等式f(x)≤1， 所以实数a的取值范国为（一∞，5]. 选C 即ax2-(a+2)x+20,即(ax-2)(x-1) 答案C 答案C 0. 即学即练1(1)C[因为对任意的x∈（一o0,0), (2)解析因为BD1-十BC. ①当a=0时，一2x十2≤0，解得x≥1； x2-mr十1>0恒成立， ②当a<0时，不等式可化为(x-1)x 即n.x<x2+1对任意的x∈（一∞，0）恒 所以BE=xBA+yBC=rBA十4yBD 成立， 由A,E,D三点共线可得x+4y=1,且r之 即m心2+1=十1对任意的x（-0,0) 0,y>0, )≥0， x 恒成立， 所以+号-（+号）+)=9+ 解得≤2或x≥1： 376