1.2 常用逻辑用语-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 +/思维升华/++++++++++++++ 即学即练4(2025·长沙模拟)给定数集M,若 集合新定义问题的“三定” 对于任意a,b∈M,有a十b∈M,且a-b∈M,则 (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利 称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是 用列举法写出所有元素 ( (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求 t A.集合M={-4,-2,0,2,4}为闭集合 解集合的运算问题转化为集合的交集、并集 B.正整数集是闭集合 或补集的基本运算问题，或转化为数的有关 C.集合M={nn=3k,k∈Z}为闭集合 运算问题. D.若集合A1,A2为闭集合，则A1UA2为闭 (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列 集合 举法或描述法写出所求集合中的所有元素. 温馨提示 请做课时分层检测（一） §1.2常用逻辑用语 【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要 条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定 口必备知识·整合 夯实基础回归教材> 【知识梳理】 【常用结论】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.会区别A是B的充分不必要条件(A→B且B 若p→g,则p是g的 条件，g是p的 条件 A),与A的充分不必要条件是B(B→>A且AP B)两者的不同 p是g的 条件 p→g且g中p 2.p是q的充分不必要条件，等价于一q是一p的 p是g的 条件 p中q且g→p 充分不必要条件 p是q的 条件 peq 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否 p是g的 条件 p中g且g力p 结论” 2.全称量词与存在量词 4.命题饣和？p的真假性相反，若判断一个命题的 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑 真假有困难，可判断此命题否定的真假， 中通常叫做全称量词，并用符号“ 【课前自测】 表示 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在 1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ 或“X”) 表示 (1)“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量 3.全称量词命题和存在量词命题 词命题 () 名称 全称量词命题 存在量词命题 (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存 对M中任意一个x, 存在M中的元素x,p(x) 在量词 结构 p(x)成立 成立 (3)当p是g的充分条件时，g是p的必要条件. 简记 (4)若已知p:x>1和q:x≥1，则p是q的充分 否定 3x∈M,p(x） 不必要条件 精品教辅·智慧人生 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 2.(必修第一册P30[例4](1)改编)（多选）已知命：3.（必修一P22习题1.4T2改编）命题“三角形是等边 题p:Hx∈R,x十2≤0，则下列说法正确的是 三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的() A.充分不必要条件 A.p是真命题 B.必要不充分条件 C.充要条件 B.p:Vx∈R,x+2>0 D.既不充分也不必要条件 C.一p是真命题 4.若“x>m”是“x>3”的充分不必要条件，则m的 D.p:3x∈R,x+2>0 取值范围是 正关键能力·突破 分类讲练以例求法》 考点一充分、必要条件的判定 C.充分必要条件 [例1](1)(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3” D.既不充分又不必要条件 是“3a=36”的 (2)当命题“若p,则g”为真命题，则“由p可以推 A.充分不必要条件 出q”,即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充 B.必要不充分条件 分条件.也可以这样说，若q不成立，那么p一定 C.充要条件 不成立，q对p成立也是很必要的.王安石在《游 D.既不充分也不必要条件 褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非 (2)(2024·北京卷)设a,b是向量，则“(a十b)· 常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志 (a-b)=0”是“a=-b或a=b”的 者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是 “能至”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 [听课记录 考点二充分、必要条件的应用 [例2]已知集合A={x|x2一8.x-20≤0}，非空集 合B={x|1-m≤x≤1+m.若x∈A是x∈B 的必要条件，求m的取值范围。 +/思维升华/+++++++ 听课记录] 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据p→q,q→p是否成立进行 判断. (2)集合法：根据p,q成立对应的集合之间 的包含关系进行判断· (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一 系列的等价转化，直到转化成容易判断充 分、必要条件是否成立为止， 即学即练1(1)“a2=b2”是“a2+b=2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 5 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 【微拓展】 听课记录] 充分不必要条件的等价形式 p是q的充分不必要条件，等价于一q是一p的 充分不必要条件。 [典例]已知命题p:lx|≤1，q:x<a,若q是 p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 +/思维升华/+ 角度3含量词的命题的应用 求参数问题的解题策略 [例5](1)若命题“3x∈(-1,3)，x2-2x-a≤0” (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化 为真命题，则实数a可取的最小整数值是() 为集合之间的关系，然后根据集合之间的关 A.-1 B.0 C.1 D.3 系列出关于参数的不等式（或不等式组） (2)(多选)命题p:3x∈R,x2+2x十2-m<0为 求解。 假命题，则实数m的取值可以是 (2)要注意区间端点值的检验. A.-1 B.0 C.1 D.2 即学即练2(2025·驻马店模拟)已知p:x2 听课记录] x-12≤0，q:(x+m)[x-(1+2m)]≤0(m>0). 若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范 围是 考点三全称量词与存在量词 角度1含量词的命题的否定 [例3](1)(2025·西安模拟)若命题p:Hx∈R,e ≥x+1,则p是 ( +/思维升华/++++++ A.Hx∈R,er≤x+1 B.Hx∈R,er<x+1 含量词命题的解题策略 C.3x∈R,e≤x+1 D.3x∈R,e<x+1 (1)判定全称量词命题是真命题，需证明都 (2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式： 成立：要判定存在量词命题是真命题，只要 找到一个成立即可.当一个命题的真假不易 听课记录】 判定时，可以先判断其否定的真假 (2)由命题真假求参数的范围，一是直接由 命题的真假求参数的范围；二是可利用等价 命题求参数的范围 即学即练3(1)下列命题为真命题的是() A.任意两个等腰三角形都相似 B.所有的梯形都是等腰梯形 角度2含量词的命题的真假判断 C.Hx∈R,x+|xl≥0 [例4幻下列命题为真命题的是 D.3x∈R,x2-x+1=0 A.3x∈R,ln(x2+1)<0 (2)已知命题“3x∈{x|一2<x<3},使得等式 B.Yr>2,2>x2 2x一m=0成立”是假命题，则实数m的取值范 围是 C.3a,β∈R,sin(a-β)=sina-sin3 D.Hx∈(0，π)，sinx>cosx 温馨提示 请做课时分层检测（二） 精品教辅·智慧人生 6学习讲义参考答案与 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 ②当n>一2时，B={xm一1<x<2m+ 1}≠0， §1.1集合 周光要使BCA,则需{C 必备知识·整合 解得一1n2. 【知识梳理】 综上所述，n的取值范围是 1.(1)确定性互异性无序性(2)属于 {mn-2或一1≤n2}.] 不属于∈在(3)列举法 描述法图·[例3](1)解析由交集的运算求解即可： 示法(4)NZQR 由题意可得A∩B={0,1}.故选C. 2.(1)任意一个元素A二B(2)A至B 答案C (3)B二A(4)任何集合任何非空集合 (2)解析N∩(CRM)=☑，.N二M, 3.{xx∈A,或x∈B}AUB{x|x∈A,且 如图，若N是M的真子集， x∈B}A∩B{xx∈U,且xEA} 则M∩(RN)≠⑦，故A错误： N) CA 由N三M可得MU(CRN)=R, 【课前自测】 故B正确； 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 由V二M可得CRN2CRM,故C错误，D 2.A[因为U={0,1,2,4,6,8},M={0,4,1 正确。 6},N={0,1,6},所以CN=《2,4,8},所以1 答案BD MU CoN={0,2,4,6,8}.故选A.] !「例4门(1)解析由题意知A={x|x2十x一 3.{2,4}[易知CB={2,4,6},故A∩(CB)= 6=0}, {2,4}.] 由x2十x-6=0,解得x=2或x=-3, 4.[2,+∞)[因为B二A, 所以A={2,一3}， 所以利用数轴分析法（如 。A 0 因为AUB=A,所以B二A, 图)，可知a≥2. 关键能力·突破 当B=时，n=0,满足题意； [例1](1)解析由集合相等可知0∈！ 当B≠必时，B-{品} {知，合1}且a≠0，则台-0 -=2或-=-3， 所以b=0,所以a2=1,解得a=1或a= -1. 郎得m-一子或m一 根据集合中元素的互异性可知a=1应 舍去， 综上m=0或-合我号 因此a=一1， 答案BCD 所以a2024+b2024=(-1)2024+02024=1. (2)解析由M∩N=N,.M2N.当N= 答案C (2)解析因为集合A={0,m,n2一3n十 ⑦时，即a≤号成立：当N≠⑦时，借助数轴 2},且2∈A, 则m=2或m2-3m十2=2，解得n∈{0,2， 易知子<a≤4.综上a<4 3}. 答案C 当n=0时，集合A中的元素不满足互即学即练3(1)A[M={…,一2,1,4,7， 异性： 10,…},V={…,一1,2,5,8,11，…}，所以 当n=2时，m2-3n十2=0，集合A中的元1 MUN={,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10, 素不满足互异性： 11,…},所以C(MUN)={…,-3,0,3, 当m=3时，A={0,3,2},符合题意. 6,9,…},其元素都是3的倍数，即Cv(MU 综上所述，=3. N)={xx=3k,k∈Z},故选A.] 答案B (2)B[因为集合A,B满足A=《x|x>1}, 即学即练1(1)B[因为集合A={1,2,3},: B={x|x<a-1},且A∩B=☑， B=(4,5,C={x+yx∈A,y∈B,所以 则a一11，解得a2.] C=《5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.] :[例5]解析对于A,若G={-1,0,1},则 (2)C[由题意知a≠0，因为{1，a十b,a}= 对所有的a,b∈G,有a·b∈{1,0，一1} {和，台，}所以a+b=0则合-1，所以 =G, 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e 4=-1,b=1.故a2024+b2025=2.] 为1， [例2](1)解析因为集合A={xx>5}, 但当a=0时，不存在b∈G,使得a·b=b· 集合B={x1-log2x<0}={xx>2}, a=e=1,即③不成立，故A错误； 所以A二B. 答案A 对于B,因为a=∈G,且6=3∈G,但a (2)解析依题意，有a一2=0或2a-2= 0.当a2=0时，解得a=2,此时A={0,! 6-子X3=号gG,散B错误： -2},B={1,0,2},不满足A二B:当2a-2=01 对于C,若G=R,则对所有的a,b∈R,有 时，解得a=1,此时A={0,一1}，B={一1,0，！ a十b∈R, 1},满足A二B.所以a=1,故选B. 满足加法结合律，即①成立，满足②的e 答案B 为0， 即学即练2(1)A[因为N=《xx(x-2): Ha∈R,3b=-a∈R,使a+b=b+a=0, 1og2x=0}={1,2},M={0,1,2},所以V是 即③成立，故C正确； M的真子集.故进A.] 对于D,若G={m十√2nm,n∈Z}, (2)254{mm-2或-1≤m2}[易 则对所有的a=n1十√21，b=2十√22∈G, 得A={x一2x5}. 若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},1 有a+b=(m1+m2)十V2(m+2)∈G, 即A中含有8个元素， Ha,b,c∈G,(a+b)+c=a+(b+c)成立， .A的非空真子集的个数为28一2=254. 即①成立， ①当m-1≥2n十1，即m≤-2时，B=必，1 当a=b=0时，a十√2b=0,满足②的e=0, BCA; 即②成立， 373 详解 Ha=n十√2n∈G,3b=-m-√2n∈G,使 a十b=b十a=0,即③成立，故D正确. 答案CD 即学即练4C[选项A:当集合M={一4， -2,0,2,4}时，2,4∈M,而2+4=6M,所 以集合M不为闭集合，A进项错误；选项B: 设a,b是任意的两个正整数，则a十b∈M,当a <b时，a一b是负数，不属于正整数集，所以正 整数集不为闭集合，B选项错误：选项C:当 M={nn=3k,k∈Z}时，设a=3k1,b=3k2, k1,k2∈Z,则a+b=3(k1+k2)∈M,a-b=3 (k1一k2)∈M,所以集合M是闭集合，C进 项正确；选项D:设A1={nn=3k,k∈Z}, A2={nn=2k,k∈Z},由C可知，集合A1, A2为闭集合，2,3∈(A1UA2),而(2十3)年 (A1UA2),故A1UA2不为闭集合，D选项 错误.门 §1.2常用逻辑用语 必备知识·整合 【知识梳理】 1.充分必要充分不必要必要不充分 充要既不充分也不必要 2.(1)(2)3 3.Hx∈M,p(x)3x∈M,p(x)Hx∈M, 7D(x 【课前自测】 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2.CD[当x=0时，x十2≤0不成立，故力是假 命题，故A错误：由含量词命题的否定可知， p:Hx∈R,x十2≤0的否定为p:3x∈R, x十2>0，故D正确，B错误：一p是真命题，故 C正确. 3.A[由“三角形是等边三角形”可得到“该 三角形一定是等腰三角形”，但反之不 成立，门 4.(3,十∞)[因为“x>m”是“x>3”的充分 不必要条件，所以(m,十∞)是(3，十∞)的 真子集，由图可知m>3.] 关键能力·突破 [例1](1)解析充分、必要条件（数学探 索)由函数y=x3单调递增可知，若a3= b3,则a=b:由函数y=3r单调递增可知， 若3a=3的，则a=b.故“a3=”是“3a=3b” 的充要条件，故选C.] 答案C (2)解析充分条件与必要条件十向量的数 量积（理性思雏、数学探索）由(a十b)·(a b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-b2=0.所 以a=b,当a=(1,1),b=(-1,1)时， a=b,但a≠b且a≠一b,故充分性不成 立：当a=一b或a=b时，(a十b)·(a-b) 0,故必要性成立，所以“(a十b)·(a一b)= 0”是“a=一b或a=b”的必要不充分条件. 答案B 即学即练1(1)B[若a2=b2,则当a=一b≠ 0时， 有a2+=2a2,2ab=-2a2,即a2+2≠2ab. 所以a2=b2羚a2+2=2ab: 若a2+2=2ab,则有a2+2-2ab=0, 即(a-b)2-0,所以a=b, 则有a2=b2,即a2+}=2ab→a2=b2, 所以“a2=2”是“a2+b2=2ab”的必要不充 分条件.门 (2)B[因为“非有志者不能至也”即“有 志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能 至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至” 的必要条件，] [例2]解由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10， ∴.A={x-2x10}. 由x∈A是x∈B的必要条件，知B二A (1一n≤1+n, i3.M>N[M-N=x2+y2+1-2.x-2y+i 对于C,.a-b>0,a十b=-c>0, 则{1-m≥-2，.0≤m≤3. 2=(x-1)2+(y-1)2+1>0.故M>N.1 ∴.a2-b2=(a+b)(a-b)>0, 1+m10, 4.(-7,12)[-3<b5,.-6<2b<10,1 即a2>2,C正确； 即所求m的取值范围是[0,3]， 又-1<a<2,∴.-7<a+2b<12.] 对于D,ab+bc=b(a+c)=-b2≤0， 【微拓展】解析由|x|≤1，即一1≤x≤ 关键能力·突破 D错误. 1,由题意知p是9的充分不必要条件，所以 :[例1](1)解析 x2-2x+3=(x-1)2+ 答案BC a>1. 答案(1，+∞) 2≥2>0， :即学即练2(1)B[由a<b不能推出a一 c<b-d,如a=2,b=3,c=0,d=1, 即学即练2[3，十∞)[由不等式x2一x x2一2x>-3,故A正确： 满足a<b,但是a一c=b一d,故充分性不 120,解得一3x4, a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+2(b-a) 成立； 设p对应的集合为A,则A=[一3,4]. =(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b) 当a一c<b-d时，又c<d,可得a一c十c< 由不等式(x+m)[x-(1+2m)]0(m>0), ,(a一b)2≥0，a十b的符号不确定， b一l十d,即a<b,故必要性成立， 解得一n≤x≤2m十1(n>0), ,∴.a3十b3与a2b十a2的大小不确定，故B! 所以“ab”是“a一c<b一d”的必要不充分 设q对应的集合为B, 错误： 条件.7 则B=[-m,2+1](m>0). ,a2+2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0， 因为p是g的充分不必要条件， ∴.a2+b2≥2(a-b-1),故C错误： (2)BD[对于A,由b>a>0可得1> a 所以A是B的真子集， 1 则{2”（不同时取学子）.解得m≥3 a2-2- 11 =(a-b)(a+b)--4 方>0，A错误；对于B,由a>b>0可得 a b ab 所以实数m的取值范国是[3，十∞).门] =(a-b)a+b+ >0,故选项D正确. 方>>0，B正确：对于C,由6<0<a可 [例3](1)解析Hx∈R,e≥x十1的否定： ab 是]x∈R,er<x十1，故选D. 答案AD 得1>0>1 ,C错误；对于D,由b<a<0 答案D 2)解析因为2c一2b=e一2√E+1= (2)至少有一个实数是无理数 (√e-1)2>0. 可得0>>日，D正确.故选B.D.] [例4]解析.x2+1≥1，.1n(x2+1)≥ 所以2c>2b,即c>b: 例3](1)解析因为一1<y<1,所以一2< 0,故A是假命题；当x=3时，232，故B 又因为(2b)4-(2a)4=16e2-e3=e2(16-e)! -2y2, 是假命题；当a=3=0时，sin(a-3)=sina 又0<x<5,所以-2<x-2y<7. 0， >0, 答案D 一sinB,故C是真命题；当x= 所以(2b)4>(2a)4, 延伸探究解设x一2y=n(x十y)十n(x 又a,b均为正数， 时，sinx-是，cosr=9, -y), ,sinr<cosx,故 所以2b>2a, ..x-2y=(m+n)x+(m-n)y, D是假命题，故选C 即b>a,所以a<bc. 1 答案C 答案A .m十=1, 2 解得 [例5](1)解析由题意，3x∈(-1,3)，：即学即练1(1)B[p-g= a 6-a-b= n-n=-2 a≥x2-2x,令h(x)=x2-2x,因为函数 h(x)=x2一2x在（一1,1）上单调递减，在1 +。-w-(台） x-2y=-2 (x+y)+ 之(x-y), (1,3)上单调递增，所以h(x)mm=h(1)- a b ,-1≤x+y≤2，-2≤x-y≤1， 1一2=一1，所以a≥一1.所以实数a可取 -a3)b=a-b-a)2+e,:a<0, 的最小整数值是一1. ab ab 。-1一 答案A b<0,∴.a十b<0,ab>0.若a=b,则p-q= 3 (2)解析若命题p:3x∈R,x2十2x十2 0,故p=q:若a≠b,则p一q<0,故p<q.综 立 m<0为真命题， 上，p≤g.故选B.] 则△=2-4(2-m)=4n-4>0,解得n>1, e2023+1 一4≤ (2)MD>N[方法一.M-N 2 (x++(x-y2, 所以当命题p:3x∈R,x2十2x十2-m<0 e224+1 即一4x-2y2 为假命题时，m1, e2024+1 (2)解析由于a>b>c,且a十b十c=0, 符合条件的为A,B,C选项， e2025+1 所以a>0,c<0,b=一a-c,-a-ca, 答案ABC (e2023+1)(e2023+1)-(e2024+1)2 即学即练3(1)C[对于A,任意两个等腰 (e2024+1)(e2025+1) 2a7-ca >-2，-a-c>c 三角形不一定相似，故A错误；对于B,所有 2023+e2025-2e2024 -a>2…÷<- 1 的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误： (e224+1)(e225+1 对于C,因为Hx∈R,x≥-x,即x十x≥ e2023(e-1)2 所以-2<<- 1 0,故C正确：对于D,因为Hx∈R,x2一 (e22+1)(e2a+i>0, +1-(-)》 1 十 子≥是>0，故D ∴，M>N. 答案 （-2,- 错误，] 方法二令f(x)= er+1 :即学即练3(1)AC[因为1≤a2,3b (2)(-o∞，-4]U[6,十∞)[若原命题为 ex+1+1 5. 真命题，则3x∈{x一2<x<3},使得m= L(e+1+1)+1-马 所以4a十b≤7，-2≤-a≤-1,1b-a 2x成立，则一4<m<6;故若原命题为假 ≤4， 命题， ex+1+1 e er+1+' 所以a十b的取值范围为[4,7]，b-a的取值 则实数m的取值范国为（一∞，一4]U[6,: 显然f(x)是R上的减函数， 范国为[1,4]，故A正确，B错误； 十∞).] ,∴.f(2023)>f(2024),即M>N.] 因为1a2,3b5, 例2](1)解析由ab<0,可得a十b0, §1.3等式性质与不等式性质 故A错误； 所以3≤ab≤10，方≤方≤3，方≤ 必备知识·整合 由a<b<0,可得a一b<0,故B正确： 2 【知识梳理】 由a<b<0,可得-a>-b>0,所以|a|>|bl, 1.> 故C错误： =b 由a<b<0,可得|a|>|b>0, 所以b的取值范国为3,10]，分的取值范 2.b=aa=c 3.(3)>(4)>< 所以<引 a 故D错误 国为[，号]故C正确，D错误.] 【课前自测】 答案B 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ (2)解析对于A,a>b>c,.a-c>b 2(-2-) [-3<a<-2, 2.D[对于A,当a<b<0时，不等式无意义， c0, 1 1 11 故A错误；对于B,当a<0<b时，a 。<A错误： 2 a 3 ,故 3 a 21 b 故B错误：对于C,当a<b<0时，a2>b2, 对于B,,a>b>c,a十b+c=0, 文：2<号<-合<2 a 故C错误；对于D,当a<b时，a3<b3成立， .a>0,c<0,a-b>0,∴.b+c=-a<0, 故D正确，门 ∴，a-b>b十c,即a一c>2b,B正确： 则-2<<- 374