1.1 集合-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

学习讲义参考答案与 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 ②当n>一2时，B={xm一1<x<2m+ 1}≠0， §1.1集合 周光要使BCA,则需{C 必备知识·整合 解得一1n2. 【知识梳理】 综上所述，n的取值范围是 1.(1)确定性互异性无序性(2)属于 {mn-2或一1≤n2}.] 不属于∈在(3)列举法 描述法图·[例3](1)解析由交集的运算求解即可： 示法(4)NZQR 由题意可得A∩B={0,1}.故选C. 2.(1)任意一个元素A二B(2)A至B 答案C (3)B二A(4)任何集合任何非空集合 (2)解析N∩(CRM)=☑，.N二M, 3.{xx∈A,或x∈B}AUB{x|x∈A,且 如图，若N是M的真子集， x∈B}A∩B{xx∈U,且xEA} 则M∩(RN)≠⑦，故A错误： N) CA 由N三M可得MU(CRN)=R, 【课前自测】 故B正确； 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 由V二M可得CRN2CRM,故C错误，D 2.A[因为U={0,1,2,4,6,8},M={0,4,1 正确。 6},N={0,1,6},所以CN=《2,4,8},所以1 答案BD MU CoN={0,2,4,6,8}.故选A.] !「例4门(1)解析由题意知A={x|x2十x一 3.{2,4}[易知CB={2,4,6},故A∩(CB)= 6=0}, {2,4}.] 由x2十x-6=0,解得x=2或x=-3, 4.[2,+∞)[因为B二A, 所以A={2,一3}， 所以利用数轴分析法（如 。A 0 因为AUB=A,所以B二A, 图)，可知a≥2. 关键能力·突破 当B=时，n=0,满足题意； [例1](1)解析由集合相等可知0∈！ 当B≠必时，B-{品} {知，合1}且a≠0，则台-0 -=2或-=-3， 所以b=0,所以a2=1,解得a=1或a= -1. 郎得m-一子或m一 根据集合中元素的互异性可知a=1应 舍去， 综上m=0或-合我号 因此a=一1， 答案BCD 所以a2024+b2024=(-1)2024+02024=1. (2)解析由M∩N=N,.M2N.当N= 答案C (2)解析因为集合A={0,m,n2一3n十 ⑦时，即a≤号成立：当N≠⑦时，借助数轴 2},且2∈A, 则m=2或m2-3m十2=2，解得n∈{0,2， 易知子<a≤4.综上a<4 3}. 答案C 当n=0时，集合A中的元素不满足互即学即练3(1)A[M={…,一2,1,4,7， 异性： 10,…},V={…,一1,2,5,8,11，…}，所以 当n=2时，m2-3n十2=0，集合A中的元1 MUN={,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10, 素不满足互异性： 11,…},所以C(MUN)={…,-3,0,3, 当m=3时，A={0,3,2},符合题意. 6,9,…},其元素都是3的倍数，即Cv(MU 综上所述，=3. N)={xx=3k,k∈Z},故选A.] 答案B (2)B[因为集合A,B满足A=《x|x>1}, 即学即练1(1)B[因为集合A={1,2,3},: B={x|x<a-1},且A∩B=☑， B=(4,5,C={x+yx∈A,y∈B,所以 则a一11，解得a2.] C=《5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.] :[例5]解析对于A,若G={-1,0,1},则 (2)C[由题意知a≠0，因为{1，a十b,a}= 对所有的a,b∈G,有a·b∈{1,0，一1} {和，台，}所以a+b=0则合-1，所以 =G, 满足乘法结合律，即①成立，满足②的e 4=-1,b=1.故a2024+b2025=2.] 为1， [例2](1)解析因为集合A={xx>5}, 但当a=0时，不存在b∈G,使得a·b=b· 集合B={x1-log2x<0}={xx>2}, a=e=1,即③不成立，故A错误； 所以A二B. 答案A 对于B,因为a=∈G,且6=3∈G,但a (2)解析依题意，有a一2=0或2a-2= 0.当a2=0时，解得a=2,此时A={0,! 6-子X3=号gG,散B错误： -2},B={1,0,2},不满足A二B:当2a-2=01 对于C,若G=R,则对所有的a,b∈R,有 时，解得a=1,此时A={0,一1}，B={一1,0，！ a十b∈R, 1},满足A二B.所以a=1,故选B. 满足加法结合律，即①成立，满足②的e 答案B 为0， 即学即练2(1)A[因为N=《xx(x-2): Ha∈R,3b=-a∈R,使a+b=b+a=0, 1og2x=0}={1,2},M={0,1,2},所以V是 即③成立，故C正确； M的真子集.故进A.] 对于D,若G={m十√2nm,n∈Z}, (2)254{mm-2或-1≤m2}[易 则对所有的a=n1十√21，b=2十√22∈G, 得A={x一2x5}. 若x∈Z,则A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},1 有a+b=(m1+m2)十V2(m+2)∈G, 即A中含有8个元素， Ha,b,c∈G,(a+b)+c=a+(b+c)成立， .A的非空真子集的个数为28一2=254. 即①成立， ①当m-1≥2n十1，即m≤-2时，B=必，1 当a=b=0时，a十√2b=0,满足②的e=0, BCA; 即②成立， 373 详解 Ha=n十√2n∈G,3b=-m-√2n∈G,使 a十b=b十a=0,即③成立，故D正确. 答案CD 即学即练4C[选项A:当集合M={一4， -2,0,2,4}时，2,4∈M,而2+4=6M,所 以集合M不为闭集合，A进项错误；选项B: 设a,b是任意的两个正整数，则a十b∈M,当a <b时，a一b是负数，不属于正整数集，所以正 整数集不为闭集合，B选项错误：选项C:当 M={nn=3k,k∈Z}时，设a=3k1,b=3k2, k1,k2∈Z,则a+b=3(k1+k2)∈M,a-b=3 (k1一k2)∈M,所以集合M是闭集合，C进 项正确；选项D:设A1={nn=3k,k∈Z}, A2={nn=2k,k∈Z},由C可知，集合A1, A2为闭集合，2,3∈(A1UA2),而(2十3)年 (A1UA2),故A1UA2不为闭集合，D选项 错误.门 §1.2常用逻辑用语 必备知识·整合 【知识梳理】 1.充分必要充分不必要必要不充分 充要既不充分也不必要 2.(1)(2)3 3.Hx∈M,p(x)3x∈M,p(x)Hx∈M, 7D(x 【课前自测】 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2.CD[当x=0时，x十2≤0不成立，故力是假 命题，故A错误：由含量词命题的否定可知， p:Hx∈R,x十2≤0的否定为p:3x∈R, x十2>0，故D正确，B错误：一p是真命题，故 C正确. 3.A[由“三角形是等边三角形”可得到“该 三角形一定是等腰三角形”，但反之不 成立，门 4.(3,十∞)[因为“x>m”是“x>3”的充分 不必要条件，所以(m,十∞)是(3，十∞)的 真子集，由图可知m>3.] 关键能力·突破 [例1](1)解析充分、必要条件（数学探 索)由函数y=x3单调递增可知，若a3= b3,则a=b:由函数y=3r单调递增可知， 若3a=3的，则a=b.故“a3=”是“3a=3b” 的充要条件，故选C.] 答案C (2)解析充分条件与必要条件十向量的数 量积（理性思雏、数学探索）由(a十b)·(a b)=0,得a2-b2=0,即|a|2-b2=0.所 以a=b,当a=(1,1),b=(-1,1)时， a=b,但a≠b且a≠一b,故充分性不成 立：当a=一b或a=b时，(a十b)·(a-b) 0,故必要性成立，所以“(a十b)·(a一b)= 0”是“a=一b或a=b”的必要不充分条件. 答案B 即学即练1(1)B[若a2=b2,则当a=一b≠ 0时， 有a2+=2a2,2ab=-2a2,即a2+2≠2ab. 所以a2=b2羚a2+2=2ab: 若a2+2=2ab,则有a2+2-2ab=0, 即(a-b)2-0,所以a=b, 则有a2=b2,即a2+}=2ab→a2=b2, 所以“a2=2”是“a2+b2=2ab”的必要不充 分条件.门 (2)B[因为“非有志者不能至也”即“有 志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能 至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至” 的必要条件，] [例2]解由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10， ∴.A={x-2x10}. 由x∈A是x∈B的必要条件，知B二A第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.1集 合 【课标要求】1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能在自然语言 和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合：在具体情境中，了解全集与空集的含义.2.理解集合之间包 含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与 交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用Venn图表达集合的基本 关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 D必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 【知识梳理】 :3.集合的基本运算 1.集合与元素 表 (1)集合中元素的三个特性： 运 集合语言 图形语言 记法 算 (2)元素与集合的关系是 或 并 B 用符号 或 表示 集 (3)集合的表示法： 交 B 集 (4)常见数集的记法 补 集 A 非负整数 正整 有理 集合 集（或自 整数集 4.集合的运算性质 实数集 数集 数集 然数集) (1)A∩A=A,A∩心=0，A∩B=B∩A. (2)AUA=A,AUO=A.AUB=BUA. 符号 N(或N+) (3)A(CA)=.AU(A)=U.(GA)=A. 2.集合的基本关系 【常用结论】 (1)子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合 1.若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2m个 A中 子集，2”一1个真子集. 都是集合B中的元素，就称 2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 集合A为集合B的子集，记作 (或 子集。 B2A). 3.A∩B=A台A二B,AUB=A台BCA. (2)真子集：如果集合ACB,但存在元素xEB,4.Cu(AnB)=(CA)U(CuB),u(AUB)= 且xEA,就称集合A是集合B的真子集，记作 (CA)∩(CuB). (或B星A). 【课前自测】 (3)相等：若A二B,且 ,则A=B. 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/” (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 或“X”) 心.空集是 的子集，是 的真 (1)集合{x∈Nx3=x,用列举法表示为{-1， 子集. 0,1. () 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 (2){xly=x2+1}={yly=x2+1)={(x,y)ly= A.{0,2,4,6,8 B.{0,1,4,6,8y x2+1. C.{1,2,4,6,8 D.U (3)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1.( )3.(必修一P13T1改编)已知U={1,2,3,4,5,6, (4)对任意集合A,B,都有(A∩B)二(AUB). 7},A={2,4,5),B={1,3,5,7},则A∩(CUB) ( 2.(2023·全国乙卷2题)设全集U={0,1,2,4,6,8},4.(必修第一册P9T5改编)已知集合A={x0< 集合M={0,4,6},N={0,1,6},则MUCN= x<a},B={x|0<x<2},若B三A,则实数a的 取值范围为 。关键能力·突破 分类讲练以例求法>> 考点一集合的含义与表示 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a), [例1](1)(2025·邵阳质检)已知a,b∈R,若 B={1,a-2,2a-2},若A二B,则a=() {,台，1}=a2a+b,0则a2o2+0的值为 A.2 B.1 c D.-1 ) [听课记录] A.-1 B.0 C.1 D.士1 (2)已知集合A={0,m,m2-3m十2}，且2∈A, 则实数m的值为 A.2 B.3 C.0 D.-2 [听课记录] /思维升华/++ 判断集合间关系的常用方法 (1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素 中寻求关系； 4/思维升华/+++++ (2)化筒集合法：用描述法表示的集合，若代 解决集合含义问题的关键点 表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达 (1)一是确定构成集合的元素. 式，再寻求两个集合的关系： (2)确定元素的限制条件. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图直观判I (3)根据元素的特征（满足的条件）构造关系 断 式解决相应问题 即学即练1(1)设集合A={1,2,3},B={4,5},C= 即学即练2(1)设全集U=R,则集合M={0,1, {x十yx∈A,y∈B},则C中元素的个数为( 2}和N={xx(x一2)log2x=0}的关系可表示为 A.3 B.4 C.5 D.6 (2)设a,b∈R,集合{1，a十b,a}= {0,b},则 a a2024+b2025 A.0 B.1 C.2 D.4 考点二集合间的基本关系 (2)设集合A={x|-1≤x十1≤6}，B={x|m-1< [例2](1)已知集合A={x|x>5},B={x|1 1og2x<0},则 ( x<2十1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的 A.A二B B.BCA 个数为 ;当B二A时，实数m的取值范 C.A∩B= D.AUB=R 围是 精品教辅·智慧人生 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 考点三集合的基本运算 +/思维升华/++++++++++++++ 角度1集合的运算 对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元 [例3](1)(2025·八省联考河南卷)已知集合A= 素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中 {-1,0,1},B={0,1,4},则A∩B= ( 的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注 A.{0} B.{1) 意端点的情况. C.{0,1 D.{-1,0,1,4》 即学即练3(1)(2023·全国甲卷·理)设全集 (2)(多选)已知M,N均为实数集R的子集，且 U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z,N={x|x= N∩(CRM)=必，则下列结论中正确的是( () A.M∩(CRN)=☑ 3k+2,k∈Z},则Cu(MUN)= B.MU(CR N)=R A.{x|x=3k,k∈Z)B.{xlx=3k-1,k∈Z C.{x|x=3k-2,k∈Z}D.☑ C.CRM)U(CRN)=CRM D.(CRMD∩(CRN)=CRM (2)已知集合A,B满足A={xx>1},B={x|x< a一1}，若A∩B=心，则实数a的取值范围为 [听课记录] ( A.(-∞，1] B.(-∞，2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 考点四集合的新定义问题 [例5]（多选）群论是代数学的分支学科，在抽象代 数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象 代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以 上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群 角度2利用集合的运算求参数的值（范围） 的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如 [例4](1)（多选）已知A={x|x2+x一6=0}，B= 下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代 {x|mx十1=0}，且AUB=A,则m的值可能为 数运算，即对所有的a,b∈G,有a·b∈G,如果G ( 的运算还满足：①Ha,b,c∈G,有(a·b)·c= A- C.0 D.- a·(b·c):②3e∈G,使得Ha∈G,有e·a=a· 2 e=a;③Ha∈G,3b∈G,使a·b=b·a=e,则称 (2)(2021·全国甲卷改编)设集合M={x|0< G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有 K4N={<<},且MnN=N,则a () 的取值范围为 A.G={一1,0,1}关于数的乘法构成群 Aa≤号 B.a>4 B.G={=∈Zk≠0}U{xx=m,m∈ Z,m≠0}关于数的乘法构成群 C.a≤4 na>时 C.实数集关于数的加法构成群 [听课记录 D.G={m十√2nm,n∈Z}关于数的加法构成群 听课记录] 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 +/思维升华/++++++++++++++ 即学即练4(2025·长沙模拟)给定数集M,若 集合新定义问题的“三定” 对于任意a,b∈M,有a十b∈M,且a-b∈M,则 (1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利 称集合M为闭集合，则下列说法中正确的是 用列举法写出所有元素 ( (2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求 t A.集合M={-4,-2,0,2,4}为闭集合 解集合的运算问题转化为集合的交集、并集 B.正整数集是闭集合 或补集的基本运算问题，或转化为数的有关 C.集合M={nn=3k,k∈Z}为闭集合 运算问题. D.若集合A1,A2为闭集合，则A1UA2为闭 (3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列 集合 举法或描述法写出所求集合中的所有元素. 温馨提示 请做课时分层检测（一） §1.2常用逻辑用语 【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要 条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定 口必备知识·整合 夯实基础回归教材> 【知识梳理】 【常用结论】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 1.会区别A是B的充分不必要条件(A→B且B 若p→g,则p是g的 条件，g是p的 条件 A),与A的充分不必要条件是B(B→>A且AP B)两者的不同 p是g的 条件 p→g且g中p 2.p是q的充分不必要条件，等价于一q是一p的 p是g的 条件 p中q且g→p 充分不必要条件 p是q的 条件 peq 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否 p是g的 条件 p中g且g力p 结论” 2.全称量词与存在量词 4.命题饣和？p的真假性相反，若判断一个命题的 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑 真假有困难，可判断此命题否定的真假， 中通常叫做全称量词，并用符号“ 【课前自测】 表示 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在 1,判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√” 逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ 或“X”) 表示 (1)“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量 3.全称量词命题和存在量词命题 词命题 () 名称 全称量词命题 存在量词命题 (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存 对M中任意一个x, 存在M中的元素x,p(x) 在量词 结构 p(x)成立 成立 (3)当p是g的充分条件时，g是p的必要条件. 简记 (4)若已知p:x>1和q:x≥1，则p是q的充分 否定 3x∈M,p(x） 不必要条件 精品教辅·智慧人生