23.3 一次函数与方程（组）、不等式（讲义）2025-2026学年数学人教版（2024）八年级下册

23.3 一次函数与方程（组）、不等式 目录 题型01 一次函数与一元一次方程 4 题型02 一次函数与一元一次不等式 6 题型03 一次函数与二元一次方程（组） 9 建体系 新知廊 知识点1：一次函数与一元一次方程的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y=kx+b中，当y=0时，求x的值 数的角度 解方程kx+b=0 直线y=kx+b与x轴交点的横坐标 形的角度 方程的解 （2）利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 ①转化：将一元一次方程转化为kx+b=0（k≠0）的形式． ②画图象：画出一次函数y=kx+b的图象． ③找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解． 知识点2：一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数y=kx+b中，当y>0（<0）时，求x的取值范围 数的角度 解一元一次不等式kx+b>0（<0） 直线y=kx+b在x轴上方（下方）的部分对应的x的取值范围 形的角度 不等式的解集 知识点3：一次函数与二元一次方程（组）的关系 （1） 一次函数y=kx+b 相互转化 二元一次方程 一次函数y=kx+b图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程的解 （2） 一次函数， 相互转化 二元一次方程组 两个一次函数图象的交点坐标 一一对应 方程组的解 （3）用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 ①变函数：把方程组中的方程化为一次函数． ②画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． ③找交点：由图象确定两直线交点的坐标． ④写结果：依据点的坐标写出方程组的解． 求甚解 1．二元一次方程与一次函数的区别 二元一次方程 一次函数 字母表示的意义不同． 字母表示未知数． 字母表示变量． 表示方法不同． 只能用等式表示． 可以用解析式、表格和图象表示． 2．两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系 两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 3．数形结合法求不等式解集的步骤 （1）找交点，即找两直线的交点． （2）画直线，即过两直线的交点画与y轴平行的直线． （3）定左右，根据所求目标，确定自变量的取值范围． 4．斜置于平面直角坐标系中的三角形面积的求法求斜置于平面直角坐标系中的三角形面积的方法是，把所求三角形通过分割，转化为两个以落在坐标轴上的线段为公共底边的三角形面积的和或差． 练题型 题型01 一次函数与一元一次方程 典型例题 　（2025秋•莱州市期末）如图，直线y＝mx+n过点A，B，则关于x的方程mx+n＝0的解是（　　）典例 01 A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【答案】C 【分析】由直线y＝mx+n过点B（﹣4，0）即可得解． 【解答】解：由条件可知关于x的方程mx+n＝0的解是x＝﹣4， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•安福县期末）函数y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，1），则方程ax＝kx+b的解为 　　 ． 【答案】x＝﹣2． 【分析】根据交点坐标结合图象直接写出方程的解即可． 【解答】解：y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，1）， 由图象得：方程ax＝kx+b的解为x＝﹣2． 故答案为x＝﹣2． 【变式练2】　（2025秋•七里河区校级期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝3的解为 　　 ． 【答案】x＝2 【分析】首先利用待定系数法把（2，3）（0，1）代入y＝kx+b，可得关于k、b的方程组，再解方程组可得k、b的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b＝0的解即可． 【解答】解：∵y＝kx+b经过（2，3）（0，1）， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+1， x+1＝3， 解得：x＝2， 故答案为：x＝2． 【变式练3】　（2025秋•郫都区校级期末）如图，一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，那么关于x的方程x+2＝ax+6的解为　　 ． 【答案】x＝2． 【分析】根据一次函数图象的交点坐标即可求解． 【解答】解：∵一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，P的横坐标为2， ∴关于x的方程x+2＝ax+6的解是x＝2． 故答案为：x＝2． 题型02 一次函数与一元一次不等式 典型例题 　（2025秋•长沙期末）如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　）典例 02 A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【答案】D 【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：因为一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4）， 所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•槐荫区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，2），关于x的不等式kx+b＞2的解集为（　　） A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0 【答案】B 【分析】根据函数的图象判断，写出函数值大于2所对应的自变量的取值范围即可． 【解答】解：由图象可得：当x＞1时，kx+b＞2， 所以关于x的不等式kx+b＞2的解集是x＞1， 故选：B． 【变式练2】　（2025秋•兴庆区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示．则关于x的一元一次不等式kx＜mx+n的解集是 　　 ． 【答案】x＞﹣1． 【分析】写出直线y＝kx在直线y＝mx+n下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：根据图象可知：两函数的交点为（﹣1，2）， 所以关于x的一元一次不等式kx＜mx+n的解集是x＞﹣1， 故答案为：x＞﹣1． 【变式练3】　（2025春•青岛期中）已知不等式kx+b≥0的解集是x≤3，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的数学思想，得出函数y＝kx+b在x轴上方的部分所对应的自变量取值范围是x＜3，据此可解决问题． 【解答】解：因为不等式kx+b≥0的解集是x≤3， 所以函数y＝kx+b的图象在x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围是x＜3， 显然只有A选项符合题意． 故选：A． 题型03 一次函数与二元一次方程（组） 典型例题 　（2025秋•禅城区期末）如图，直线y＝﹣3x+b与直线y＝kx﹣2相交于点A（2，1），则方程组的解是（　　）典例 03 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”求解． 【解答】解：∵直线y＝﹣3x+b与直线y＝kx﹣2相交于点A（2，1）， ∴方程组的解是， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•沭阳县期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数y1＝k1x与y2＝k2x+b的图象，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”求解． 【解答】解：∵一次函数y1＝k1x与y2＝k2x+b的图象的交点坐标为（1，3）， 即（1，3）满足解析式y1＝k1x和y2＝k2x+b， ∴二元一次方程组的解是． 故选：B． 【变式练2】　（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知一次函数与y＝kx+m（k≠0，且k，m为常数）的交点坐标为P（1，a），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用解析式yx确定P点坐标，然后根据“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”求解． 【解答】解：把P（1，a）代入yx得a1， ∴P（1，1）， ∴一次函数与y＝kx+m的交点坐标为P（1，1）， ∴关于x，y的方程组的解． 故选：C． 【变式练3】　（2025秋•金寨县期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1．与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象交于点（﹣4，﹣2），即可确定二元一次方程组的解． 【解答】解：由图象可知，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象交于点（﹣4，﹣2）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 目录 题型01 一次函数与一元一次方程 4 题型02 一次函数与一元一次不等式 6 题型03 一次函数与二元一次方程（组） 7 建体系 新知廊 知识点1：一次函数与一元一次方程的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y=kx+b中，当y=0时，求x的值 数的角度 解方程kx+b=0 直线y=kx+b与x轴交点的横坐标 形的角度 方程的解 （2）利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 ①转化：将一元一次方程转化为kx+b=0（k≠0）的形式． ②画图象：画出一次函数y=kx+b的图象． ③找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，交点的横坐标即为一元一次方程的解． 知识点2：一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数y=kx+b中，当y>0（<0）时，求x的取值范围 数的角度 解一元一次不等式kx+b>0（<0） 直线y=kx+b在x轴上方（下方）的部分对应的x的取值范围 形的角度 不等式的解集 知识点3：一次函数与二元一次方程（组）的关系 （1） 一次函数y=kx+b 相互转化 二元一次方程 一次函数y=kx+b图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程的解 （2） 一次函数， 相互转化 二元一次方程组 两个一次函数图象的交点坐标 一一对应 方程组的解 （3）用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 ①变函数：把方程组中的方程化为一次函数． ②画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． ③找交点：由图象确定两直线交点的坐标． ④写结果：依据点的坐标写出方程组的解． 求甚解 1．二元一次方程与一次函数的区别 二元一次方程 一次函数 字母表示的意义不同． 字母表示未知数． 字母表示变量． 表示方法不同． 只能用等式表示． 可以用解析式、表格和图象表示． 2．两直线的位置关系与对应的二元一次方程组解的情况的关系 两直线的位置关系 对应的二元一次方程组解的情况 相交 有唯一解 平行 无解 重合 有无数组解 3．数形结合法求不等式解集的步骤 （1）找交点，即找两直线的交点． （2）画直线，即过两直线的交点画与y轴平行的直线． （3）定左右，根据所求目标，确定自变量的取值范围． 4．斜置于平面直角坐标系中的三角形面积的求法求斜置于平面直角坐标系中的三角形面积的方法是，把所求三角形通过分割，转化为两个以落在坐标轴上的线段为公共底边的三角形面积的和或差． 练题型 题型01 一次函数与一元一次方程 典型例题 　（2025秋•莱州市期末）如图，直线y＝mx+n过点A，B，则关于x的方程mx+n＝0的解是（　　）典例 01 A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【答案】C 【分析】由直线y＝mx+n过点B（﹣4，0）即可得解． 【解答】解：由条件可知关于x的方程mx+n＝0的解是x＝﹣4， 故选：C． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•安福县期末）函数y＝ax和y＝kx+b的图象相交于点A（﹣2，1），则方程ax＝kx+b的解为 　　 ． 【变式练2】　（2025秋•七里河区校级期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b＝3的解为 　　 ． 【变式练3】　（2025秋•郫都区校级期末）如图，一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，那么关于x的方程x+2＝ax+6的解为　　 ． 题型02 一次函数与一元一次不等式 典型例题 　（2025秋•长沙期末）如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（　　）典例 02 A．x≥4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1 【答案】D 【分析】看两函数交点坐标左边的图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：因为一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4）， 所以不等式x+3≤ax+b的解集是x≤1， 故选：D． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•槐荫区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，2），关于x的不等式kx+b＞2的解集为（　　） A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0 【变式练2】　（2025秋•兴庆区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx和y＝mx+n的图象如图所示．则关于x的一元一次不等式kx＜mx+n的解集是 　　 ． 【变式练3】　（2025春•青岛期中）已知不等式kx+b≥0的解集是x≤3，则一次函数y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型03 一次函数与二元一次方程（组） 典型例题 　（2025秋•禅城区期末）如图，直线y＝﹣3x+b与直线y＝kx﹣2相交于点A（2，1），则方程组的解是（　　）典例 03 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”求解． 【解答】解：∵直线y＝﹣3x+b与直线y＝kx﹣2相交于点A（2，1）， ∴方程组的解是， 故选：A． 即学即练 【变式练1】　（2025秋•沭阳县期末）如图，在同一平面直角坐标系中作出一次函数y1＝k1x与y2＝k2x+b的图象，则二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【变式练2】　（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知一次函数与y＝kx+m（k≠0，且k，m为常数）的交点坐标为P（1，a），则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【变式练3】　（2025秋•金寨县期末）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1．与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $