第三单元 除法的应用（举一反三讲义）知识梳理+六大考点讲练+真题演练+难度分层练 共43题-2025-2026学年北师大版数学二年级下册重难点讲义（新教材）

该小学数学讲义通过导图指引与知识梳理系统构建“有余数的除法”单元体系，以思维导图呈现有余数除法的认识、竖式计算、解决问题三大知识点，突出余数小于除数、周期问题等重难点，清晰展现知识内在逻辑与联系。 讲义亮点在于“考点讲练+分层训练”设计，精选近两年名校易错题、压轴题，如周期问题中彩灯颜色判断、租车问题中商加1的实际应用，培养运算能力与应用意识。20题难度分层训练满足不同学生需求，5道期中期末真题助力检验掌握水平，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第三单元 除法的应用 【导图+知识精讲+考点讲练+真题演练+难度分层练 共43题】 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材二年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 有余数的除法的认识 1. 平均分时，当有剩余且不够再分，剩余的部分就是余数。 2. 在有余数的除法中，余数一*定要小于除数。 知识点二 用竖式计算有余数的除法 1. 用竖式计算除法的方法： （1）先写一个"÷”表示除号，再在除号里面写被除数，除号外面左侧写除数。 （2）把商写在被除数上面，商要和被除数的个位对齐；把除数和商的积写在被除数的下面，注意相同数位要对齐；在积下面画一条横线；被除数减去除数与商的积，得数写在横线下面。 （3）如果有余数，余数一定要比除数小。 2. 有余数的除法的试商方法：利用乘法口诀，求出除数与哪个数相乘的积最接近被除数，且又比被除数小，那么这个数就是商。 知识点三 解决问题 1. 运用有余数的除法的知识解决搭帐篷、租车等问题时，商加1才是最后的结果。 2. 在实际生活中，有些事物按照一定的规律循环出现，这样的问题称为周期问题。 3. 利用有余数的除法的知识解决周期问题时，先确定题目中循环出现的一个周期里物体的个数是多少，再用总数除以一个周期里物体的个数就可以了。关键是看余数，余数是1，就表示是一个周期里的第1个；余数是2，表示是一个周期里的第2个……没有余数则表示是一个周期里的最后一个。 高频考点一：有余数除法的认识 【典例精讲】（24-25二年级下·江苏泰州·期中）把21个气球，平均分给6个同学。21÷6＝3（个）……3（个），对于算式说法正确的是（    ）。 A．商是3，表示还余3个 B．余数3，表示还余3个 C．除数是6，表示每人分得6个气球 【变式训练1】（23-24二年级下·江苏淮安·期末）看图写两道除法算式。 17÷( )＝( )（盘）……( )（个）     17÷( )＝( )（个）……( )（个） 【变式训练2】（25-26二年级下·辽宁·周测）将3，6，9，33这四个数分别填入下面的括号里，使算式成立。 ( )÷( )＝( )……( ) 高频考点二：余数与除数的关系 【典例精讲】（25-26二年级下·辽宁·周测）一个两位数除以8，所得的商和余数相同，这样的算式有几道？分别是什么？ 【变式训练1】（25-26二年级下·全国·课后作业）把几袋平均分给4个小朋友。 (1)如果有剩余，那么可能剩下( )袋。 (2)可能剩下4袋吗？（在□里画“√”，并说明理由） 可能□    不可能□    因为___________________________________________________________________ 【变式训练2】（25-26二年级下·全国·课后作业）8根小棒搭1条，41根小棒可以搭几条？还剩几根？在正确的“□”里画“√”，错误的“□”里画“×”并选出错因（填序号）。 ①余数比除数大    ②单位写错 41÷8＝4（条）……9（根）□（    ） 41÷8＝5（条）……1（根）□（    ） 高频考点三：100以内有余数的除法计算 【典例精讲】．（25-26二年级下·全国·课后作业）下面解答分别错在哪里？圈一圈，并改正。 用25根小棒可以搭几个，还剩几根？ 25÷6＝3（个）……7（根）    25÷6＝4（个）……1（个） 改正：________________________________ 【变式训练1】（25-26二年级下·辽宁·周测）一种饼干有大袋和小袋两种包装。一天，这种饼干共卖了74元，这种饼干最少卖了多少袋？ 【变式训练2】有一些糖，比50块多，比60块少，平均分给9个小朋友还多4块。一共有( )块糖，平均每个人分得( )块。 高频考点四：有余数除法的试商 【典例精讲】用竖式计算。                 【变式训练1】括号里最大能填几？ 4×( )＜26             ( )×5＜34 85－( )＞38               27＋( )＜72 ( )－18＜34               ( )＋9＜46 【变式训练2】丁丁在做这道题时遇到了困难，请你帮他想一想应该怎样解答。 高频考点五：有余数除法的实际应用 【典例精讲】（25-26二年级下·辽宁·课后作业）乐乐星期六带38元到文具店买文具。 (1)如果只买钢笔，那么最多可以买几支？ 钢笔 每支8元 笔记本 每本6元 文具盒 每个9元 (2)请你再提出一个数学问题，并尝试解答。 【变式训练1】（25-26二年级下·全国·课后作业）涛涛和同学们去坐缆车，共有25人排队坐缆车，每辆缆车限乘4人。 (1)至少需要( )辆缆车。 (2)同学们排队坐缆车，前面每辆缆车均坐了4人，涛涛排在第15位，他应该坐在第几辆缆车上？ 【变式训练2】老师买了1包巧克力，不到40粒。平均分给3个小朋友或平均分给5个小朋友都会剩1粒，这包巧克力最少有多少粒？ 高频考点六：周期问题 【典例精讲】（25-26二年级下·全国·课后作业）森林联欢会，设计师小猴准备在长长的花带上挂彩灯（如下图）。照这样挂下去，第30个彩灯应该是什么颜色？ 【变式训练1】（25-26二年级上·江苏·周测）将1~8这8个数字按如图排成一圈，小慧从其中一个数开始，按顺时针方向数了50个数正好是数字8，小慧是从数字几开始数的？ 【变式训练2】（25-26二年级下·全国·课后作业）运动会开幕式上有一个放飞气球的环节，同学们按照下面的颜色顺序手拿气球。 (1)如果按照从左往右的顺序数，第24位同学手拿什么颜色的气球？ (2)如果按照从右往左的顺序数，第27位同学手拿什么颜色的气球？ 【演练1】（24-25二年级下·山西吕梁·期中）王老师把40多本书平均分给5个小朋友，每人分得8本，还剩下3本。 （1）把竖式补充完整。 （2）5个小朋友一共分得（    ）本书。 （3）再添上（    ）本书，每个小朋友就能分到9本书了。 【演练2】（24-25二年级下·山东滨州·期中）图书角有46本书，至少拿出( )本，正好可以平均分给7名同学；最少再加上( )本，也正好可以平均分给7名同学。 【演练3】（25-26二年级下·全国·期末）顺昌县的芦柑成熟了，客户订购了48千克芦柑。 (1)要求用统一的纸箱进行包装，每箱最多装5千克，至少要多少个纸箱才能全部装完？ (2)如果每千克芦柑7元，那么50元最多可以买几千克？ 【演练4】（24-25二年级下·山东德州·期末）母亲节到了，花店里准备了48枝康乃馨和16枝百合花，每8枝康乃馨和3枝百合花扎成一束，最多可以扎成多少束花？ 【演练5】（24-25二年级下·四川南充·期末）一共有36棵树苗，老山羊一次能运5棵，小山羊一次能运4棵。 （1）如果都由老山羊来运，它至少要运多少次？ 口答：它至少要运（    ）次。 （2）如果老山羊和小山羊一起运，它们要运多少次？ 口答：它们要运（    ）次。 （3）根据算式讲一个数学故事（可以写一写，也可以画一画）。 基础夯实 能力提升 1．（23-24二年级下·江苏·课后作业）在一个算式中，如果除数是5，那么它的余数不可能是（    ）。 A．5 B．4 C．3 2．（23-24二年级下·浙江嘉兴·期末）有13根小棒，每4根分一组，结果怎样？如图竖式中的12表示（    ）。 A．还剩12根小棒 B．可以分成12组 C．分掉的12根小棒 3．（25-26二年级下·全国·课后作业）27里面最多有（    ）个5。 A．3 B．4 C．5 4．（25-26二年级下·全国·期末）把17块糖平均分给5人，至少应拿掉（    ）块才能正好分完。 A．1 B．2 C．3 5．（25-26二年级上·山东聊城·期末）乐乐买了一些书，正好可以平均放到3个书架上，她可能买了（    ）本书。 A．27 B．28 C．26 6．（25-26二年级下·全国·期末）腊月廿七，文文和弟弟一起挂彩灯，按下面的顺序挂一串彩灯，第16个灯是( )色的，第24个灯是( )色的。 7．（25-26二年级下·全国·课后作业）摆一摆，填一填。 23个，每5个摆成1个。 23÷5＝4（个）……3（个） 4表示( )，3表示( )。 8．（25-26二年级下·全国·期末）在我国北方，春节有贴挂钱的习俗，妈妈买了一些挂钱，平均贴到5扇窗户上，每扇窗户上贴了4张，还剩了一些不够每扇窗户再贴一张，最多剩了( )张，此时妈妈一共买了( )张。 9．（25-26二年级下·辽宁·单元测试）看图列式计算。 （盘）……（个） （个）……（个） 10．（25-26二年级下·全国·课后作业）星期六，乐乐和同学们一起去游乐园玩耍。 项目 载人数 每人价格 过山车 4人 7元 海盗船 6人 5元 碰碰车 2人 9元 (1)乐乐带了42元，可以玩几次海盗船？ (2)35名同学一起玩过山车，至少需要几辆车？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26二年级下·全国·课后作业）有38本书，平均分给7位小朋友，至少拿出（    ）本就能正好分完。 A．3 B．4 C．5 2．（25-26二年级上·河南周口·期末）☐÷7＝3……△，被除数可能是（    ）。 A．27 B．28 C．29 3．（25-26二年级下·辽宁·课前预习）奇奇用摆若干个相同的独立图形，摆到最后还剩下5根，且不能再摆成一个完整的图形，则他摆的图形可能是（    ）。 A． B． C． 4．“4/4拍”歌曲的强弱规律如下图，第31拍是（    ）拍。 A．强 B．弱 C．次强 5．（25-26二年级下·全国·课后作业）每只分3个，16个可以分给几只？还剩几个？（填序号） ①单位名称错误    ②余数比除数大    ③列式错误 小可：16÷3＝5（个）……1（只）    错误类型：( ) 小艾：16÷3＝4（只）……4（个）    错误类型：( ) 小田：16－3＝13（个）        错误类型：( ) 6．（25-26二年级下·全国·课后作业）在算式★÷＝6……3中，余数是( )，最小是( )。 7．（25-26二年级下·全国·课后作业）÷4＝5……，余数可能是( )，被除数最大是( )。 8．（24-25二年级下·山西阳泉·期末）用竖式计算。     24÷5＝    66÷9＝    45÷8＝ 9．（25-26二年级下·辽宁·周测）一个两位数除以5，所得的商和余数相同，这样的两位数可能是多少？把它们都写出来。 10．（25-26二年级下·全国·课后作业）汉代张骞出使西域，开辟了丝绸之路，促进了东西方经济文化的交流。有一支商队要装44只青瓷花瓶。 (1)如果全部用大箱装，至少需要多少个大箱？ (2)如果两种箱子搭配使用，请你设计一个装箱方案。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 除法的应用 【导图+知识精讲+考点讲练+真题演练+难度分层练 共43题】 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材二年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道期中期末真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点一 有余数的除法的认识 1. 平均分时，当有剩余且不够再分，剩余的部分就是余数。 2. 在有余数的除法中，余数一*定要小于除数。 知识点二 用竖式计算有余数的除法 1. 用竖式计算除法的方法： （1）先写一个"÷”表示除号，再在除号里面写被除数，除号外面左侧写除数。 （2）把商写在被除数上面，商要和被除数的个位对齐；把除数和商的积写在被除数的下面，注意相同数位要对齐；在积下面画一条横线；被除数减去除数与商的积，得数写在横线下面。 （3）如果有余数，余数一定要比除数小。 2. 有余数的除法的试商方法：利用乘法口诀，求出除数与哪个数相乘的积最接近被除数，且又比被除数小，那么这个数就是商。 知识点三 解决问题 1. 运用有余数的除法的知识解决搭帐篷、租车等问题时，商加1才是最后的结果。 2. 在实际生活中，有些事物按照一定的规律循环出现，这样的问题称为周期问题。 3. 利用有余数的除法的知识解决周期问题时，先确定题目中循环出现的一个周期里物体的个数是多少，再用总数除以一个周期里物体的个数就可以了。关键是看余数，余数是1，就表示是一个周期里的第1个；余数是2，表示是一个周期里的第2个……没有余数则表示是一个周期里的最后一个。 高频考点一：有余数除法的认识 【典例精讲】（24-25二年级下·江苏泰州·期中）把21个气球，平均分给6个同学。21÷6＝3（个）……3（个），对于算式说法正确的是（    ）。 A．商是3，表示还余3个 B．余数3，表示还余3个 C．除数是6，表示每人分得6个气球 【答案】B 【思路引导】在有余数的除法中，被除数÷除数＝商……余数。本题中，21是被除数，6是除数，商是3，余数是3。商表示每个同学分到3个气球，余数表示分完后剩余3个气球。 【规范解答】A．商是3，表示每个同学分到3个气球，但“还余3个”是余数的意思，此选项错误； B．余数3表示分完21个气球后剩余3个，此选项正确； C．除数是6，表示分给6个同学，而非每人分得6个气球（每人分得的是3个），此选项错误。 故答案为：B 【变式训练1】（23-24二年级下·江苏淮安·期末）看图写两道除法算式。 17÷( )＝( )（盘）……( )（个）     17÷( )＝( )（个）……( )（个） 【答案】 5 3 2 3 5 2 【思路引导】根据题意分析，总共有17个桃子每5个为盘，可以分成3盘，还剩2个；总共有17个桃子平均分成3盘，每盘有5个，还剩2个；据此列除法算式即可。 【规范解答】17÷5＝3（盘）……2（个）； 17÷3＝5（个）……2（个） 【变式训练2】（25-26二年级下·辽宁·周测）将3，6，9，33这四个数分别填入下面的括号里，使算式成立。 ( )÷( )＝( )……( ) 【答案】 33 9 3 6 【思路引导】首先确定被除数，被除数是最大的数（即33），然后根据除法各部分的关系：被除数＝除数×商＋余数，试着用3、6、9去组成除数×商＋余数＝33的形式 【规范解答】根据分析，被除数是33，那么3、6、9去组成除数×商＋余数＝33的形式为：3×9＋6＝33； 即33÷9＝3⋯⋯6 高频考点二：余数与除数的关系 【典例精讲】（25-26二年级下·辽宁·周测）一个两位数除以8，所得的商和余数相同，这样的算式有几道？分别是什么？ 【答案】6道；63÷8＝7……7，54÷8＝6……6，45÷8＝5……5，36÷8＝4……4，27÷8＝3……3，18÷8＝2……2。 【思路引导】余数要比除数小，所以除数是8，余数可能是1、2、3、4、5、6、7。 但当余数是1时，被除数是1×8＋1＝9，不是两位数。所以这样的两位数有6个。 用2×8＋2，3×8＋3.4×8＋4，5×8＋5，6×8＋6，7×8＋7，算出这个两位数，再写出算式。即可解答。 【规范解答】据分析可知： 当商和余数都是2时， 2×8＋2 ＝16＋2 ＝18 算式是18÷8＝2……2。 当商和余数都是3时， 3×8＋3 ＝24＋3 ＝27 算式是27÷8＝3……3。 当商和余数都是4时， 4×8＋4 ＝32＋4 ＝36 算式是36÷8＝4……4。 当商和余数都是5时， 5×8＋5 ＝40＋5 ＝45 算式是45÷8＝5……5。 当商和余数都是6时， 6×8＋6 ＝48＋6 ＝54 算式是54÷8＝6……6。 当商和余数都是7时， 7×8＋7 ＝56＋7 ＝63 算式是63÷8＝7……7。 答：这样的算式有6道；分别是63÷8＝7……7，54÷8＝6……6，45÷8＝5……5，36÷8＝4……4，27÷8＝3……3，18÷8＝2……2。 【变式训练1】（25-26二年级下·全国·课后作业）把几袋平均分给4个小朋友。 (1)如果有剩余，那么可能剩下( )袋。 (2)可能剩下4袋吗？（在□里画“√”，并说明理由） 可能□    不可能□    因为___________________________________________________________________ 【答案】(1)1（2；3） (2)不可能 ；如果剩下4袋，那么每个小朋友又能再分1袋。 【思路引导】（1）根据在有余数的除法算式中余数要比除数小。把几袋平均分给4个小朋友，那么除数就是4，所以余数要小于4； （2）除数是4，余数小于4，所以不可能剩下4袋；如果剩下4袋说明商小了，那么每个小朋友又能再分1袋。 【规范解答】（1）根据分析得：如果有剩余，那么可能剩下1、2、3袋。 （2）根据分析得： 可能□ 不可能     因为如果剩下4袋，那么每个小朋友又能再分1袋。 【变式训练2】（25-26二年级下·全国·课后作业）8根小棒搭1条，41根小棒可以搭几条？还剩几根？在正确的“□”里画“√”，错误的“□”里画“×”并选出错因（填序号）。 ①余数比除数大    ②单位写错 41÷8＝4（条）……9（根）□（    ） 41÷8＝5（条）……1（根）□（    ） 【答案】（①）；（    ） 【思路引导】已知8根小棒搭1条，要求41根小棒可以搭几条，还剩几根，只要用41除以8，商表示可以搭几条，余数表示还剩几根小棒；在有余数的除法中，余数要比除数小；单位不要写错。据此解答。 【规范解答】根据分析得： （条）（根）（   ①   ） （条）（根）（        ） 高频考点三：100以内有余数的除法计算 【典例精讲】．（25-26二年级下·全国·课后作业）下面解答分别错在哪里？圈一圈，并改正。 用25根小棒可以搭几个，还剩几根？ 25÷6＝3（个）……7（根）    25÷6＝4（个）……1（个） 改正：________________________________ 【答案】（个）（根） （个）（） （个）（根） 【思路引导】由题意可知：一个有6根小棒，一共有25根小棒，用25除以6即可求出用25根小棒可以搭几个，还剩几根；据此解答。 【规范解答】（个）（根） 所以，（个）（根），商和余数不对，圈起3和7； （个）（个），余数单位不对，应改为“根”。 【变式训练1】（25-26二年级下·辽宁·周测）一种饼干有大袋和小袋两种包装。一天，这种饼干共卖了74元，这种饼干最少卖了多少袋？ 【答案】10袋 【思路引导】根据题意，因为要求这种饼干最少卖了多少袋。所以先卖出的尽量都是大袋饼干。用卖出的价钱除以大袋饼干每袋的价格，算出卖了几袋大袋饼干，还余几元。余下的几元不够一袋小袋饼干的价格。那么就减少大袋饼干的袋数，再用大袋饼干的价格乘袋数，算出大袋饼干的价钱。小袋饼干的价格乘袋数，算出小袋饼干的价钱。相加是74元即可。最后用大袋的袋数加上小袋的袋数即可。 【规范解答】74÷8＝9（袋）……2（元） 2＜6 2元不够1小袋。 买8大袋和1小袋 8×8＋6 ＝64＋6 ＝70（元） 70＜74 买8大袋和2小袋 8×8＝64（元） 6×2＝12（元） 64＋12＝76（元） 76＞74 买7大袋和3小袋 7×8＝56（元） 3×6＝18（元） 56＋18＝74（元） 74＝74 7＋3＝10（袋） 答：这种饼干最少卖了10袋。 【变式训练2】有一些糖，比50块多，比60块少，平均分给9个小朋友还多4块。一共有( )块糖，平均每个人分得( )块。 【答案】 58 6 【思路引导】糖的总数除以9，余数是4，所用糖的总数减4再除以9就是每人分得的块数。用50、60分别减4求出糖的总数的范围，然后用9的乘法口诀解答。 【规范解答】50－4＝46（块） 60－4＝56（块） 糖的数量在46块到56块之间。 六九五十四 54＋4＝58（块） 58÷9＝6（块）……4（块） 一共有58块糖，平均每个人分得6块。 【考点剖析】解答此题需要先算出糖的数量的取值范围，用总数减去余下糖的数量，再结合乘法口诀解答。 高频考点四：有余数除法的试商 【典例精讲】用竖式计算。                 【答案】9；8……2；8……4； 【思路引导】两位数除以一位数，十位比除数小，商写在个位，再把商与除数的积写在被除数下方，最后用被除数减商与除数的积，得出余数。 【规范解答】   8⋯⋯2     8⋯⋯4 【考点剖析】此题考查列竖式计算两位数除以一位数的计算方法，注意数位对齐。 【变式训练1】括号里最大能填几？ 4×( )＜26             ( )×5＜34 85－( )＞38               27＋( )＜72 ( )－18＜34               ( )＋9＜46 【答案】 6 6 46 44 51 36 【变式训练2】丁丁在做这道题时遇到了困难，请你帮他想一想应该怎样解答。 【答案】除数是8、商是1，或除数是4、商是2。有2种填法。 【思路引导】根据“除数×商＋余数＝被除数”，可以得出“除数×商＝被除数－余数”，“被除数－余数”即11－3＝8，得数为8的乘法口诀有“一八得八”和“二四得八”。因为余数是3，所以除数一定是大于3的数，在这两句乘法口诀中，大于3的数有8和4，由此可以列出算式……3和……3。所以有2种填法，即除数是8、商是l，或除数是4，商是2。 【规范解答】     ……3      ……3 口答：除数是8、商是1，或除数是4、商是2。有2种填法。 高频考点五：有余数除法的实际应用 【典例精讲】（25-26二年级下·辽宁·课后作业）乐乐星期六带38元到文具店买文具。 (1)如果只买钢笔，那么最多可以买几支？ 钢笔 每支8元 笔记本 每本6元 文具盒 每个9元 (2)请你再提出一个数学问题，并尝试解答。 【答案】(1)4支 (2)示例：如果只买笔记本，那么最多可以买几本？ 6本 （本题答案不唯一） 【思路引导】（1）要求38元最多能买多少支钢笔，根据除法的意义，用38÷8进行解答即可，得出的商是可以买的钢笔数量，若有余数，余数就是剩余的钱数。 （2）根据题干的数学信息，结合学过的数学知识，提出问题并解答即可。本题答案不唯一，例如：如果只买笔记本，那么最多可以买几本？ 【规范解答】（1）38÷8＝4（支）……6（元） 答：最多可以买4支。 （2）如果只买笔记本，那么最多可以买几本？ 38÷6＝6（本）……2（元） 答：最多可以买6本。 （本题答案不唯一） 【变式训练1】（25-26二年级下·全国·课后作业）涛涛和同学们去坐缆车，共有25人排队坐缆车，每辆缆车限乘4人。 (1)至少需要( )辆缆车。 (2)同学们排队坐缆车，前面每辆缆车均坐了4人，涛涛排在第15位，他应该坐在第几辆缆车上？ 【答案】(1)7 (2) 4辆 【思路引导】（1）求至少需要多少辆缆车，就是求25里面有几个4，用除法计算，即25除以4。若有余数，则缆车的数量为25除以4的商加上1； （2）由题意知，每辆缆车均坐了4人，涛涛排在第15位。将这些数值代入除法计算公式即可求出涛涛应该坐在第几辆缆车上。（辆）……3（人）这表明15人坐满3辆缆车后，还剩下3人。因为剩下的3人也要坐1辆缆车，所以涛涛应该坐在第 辆缆车上。据此解答。 【规范解答】（1）（辆）1（人） （辆） 至少需要7辆缆车。 （2）（辆）3（人） （辆） 答：他应该坐在第4辆缆车上。 【变式训练2】老师买了1包巧克力，不到40粒。平均分给3个小朋友或平均分给5个小朋友都会剩1粒，这包巧克力最少有多少粒？ 【答案】3×5＋1＝16（粒） 高频考点六：周期问题 【典例精讲】（25-26二年级下·全国·课后作业）森林联欢会，设计师小猴准备在长长的花带上挂彩灯（如下图）。照这样挂下去，第30个彩灯应该是什么颜色？ 【答案】 蓝色 【思路引导】从图中可知：彩灯按红、蓝、黄、绿，4盏为一个周期，用30除以4，商表示几个周期，如果没有余数，则表示最后一盏是一个周期中最后一盏，如果有余数，余数是几，就表示是一个周期中第几盏灯。 【规范解答】（个）（个） 一个周期中第2盏是蓝色。 答：第30个彩灯应该是蓝色。 【变式训练1】（25-26二年级上·江苏·周测）将1~8这8个数字按如图排成一圈，小慧从其中一个数开始，按顺时针方向数了50个数正好是数字8，小慧是从数字几开始数的？ 【答案】从数字7开始数的。 【思路引导】因为一圈是8个数字，先求出数50个数一共是数几圈还余几个数，用除法计算，列式为50÷8＝6（圈）……2（个），由算式可知第50个数是6圈后的第2个数，所以要想第50个数是数字8，则要从8前面一个数开始数，因为是按顺时针方向数，所以是从数字7开始数的。 【规范解答】50÷8＝6（圈）……2（个） 答：小慧是从数字7开始数的。 【变式训练2】（25-26二年级下·全国·课后作业）运动会开幕式上有一个放飞气球的环节，同学们按照下面的颜色顺序手拿气球。 (1)如果按照从左往右的顺序数，第24位同学手拿什么颜色的气球？ (2)如果按照从右往左的顺序数，第27位同学手拿什么颜色的气球？ 【答案】(1)黄色 (2)黄色 【思路引导】（1）按照从左往右的顺序数，就是从蓝色气球开始数，通过观察这组颜色气球，可以发现是以“蓝、绿、红、黄、紫”这五个颜色的气球为一组的规律重复出现，用图形的位置数除以5，看余数是几，就是一组中的第几个图形，没有余数就是一组中的最后一个。据此即可解答。 （2）按照从右往左的顺序数，就是从紫色气球开始数，通过观察这组颜色气球，可以发现是以“紫、黄、红、绿、蓝”这五个颜色的气球为一组的规律重复出现，用图形的位置数除以5，看余数是几，就是一组中的第几个图形，没有余数就是一组中的最后一个。据此即可解答。 【规范解答】（1）24÷5＝4（组）……4（个） 说明第24个颜色气球应该是第5组中的第4个，即是黄色气球。 答：第24位同学手拿黄色的气球。 （2）27÷5＝5（组）……2（个） 说明第27个颜色气球应该是第6组中的第2个，即是黄色气球。 答：第27位同学手拿黄色的气球。 【演练1】（24-25二年级下·山西吕梁·期中）王老师把40多本书平均分给5个小朋友，每人分得8本，还剩下3本。 （1）把竖式补充完整。 （2）5个小朋友一共分得（    ）本书。 （3）再添上（    ）本书，每个小朋友就能分到9本书了。 【答案】（1）见详解 （2）40 （3）2 【思路引导】（1）除数5乘商8积为40，写在第三行，余数3加积40，可得被除数，由此确定被除数的个位数字。 （2）除数乘商的积，即为5个小朋友一共分得的本数。 （3）用除数减余数，即可得出再添上几本书，每个小朋友就可以分到9本。 【规范解答】（1） （2）8×5＝40（本） 5个小朋友一共分得40本书。 （3）5－3＝2（本） 再添上2本书，每个小朋友就能分到9本书了。 【演练2】（24-25二年级下·山东滨州·期中）图书角有46本书，至少拿出( )本，正好可以平均分给7名同学；最少再加上( )本，也正好可以平均分给7名同学。 【答案】 4 3 【思路引导】由题意可知：用图书角书的本数除以同学数，算出的余数即是至少拿出的本数；用平均分给的同学数减去余数，即是最少加上的本数；据此解答。 【规范解答】由分析可得： 46÷7＝6（本）……4（本） 7－4＝3（本） 图书角有46本书，至少拿出4本，正好可以平均分给7名同学；最少再加上3本，也正好可以平均分给7名同学。 【演练3】（25-26二年级下·全国·期末）顺昌县的芦柑成熟了，客户订购了48千克芦柑。 (1)要求用统一的纸箱进行包装，每箱最多装5千克，至少要多少个纸箱才能全部装完？ (2)如果每千克芦柑7元，那么50元最多可以买几千克？ 【答案】(1)10个 (2)7千克 【思路引导】（1）先计算48千克里有几个5千克，得到商和余数，余数部分需额外1个纸箱，用商加1得到结果； （2）先计算50元里有几个7元，得到商和余数，余数部分不够买1千克，直接取商作为结果。据此解答。 【规范解答】（1）（个）（千克） （个） 答：至少要10个纸箱才能全部装完。 （2）（千克）（元） 答：50元最多可以买7千克。 【演练4】（24-25二年级下·山东德州·期末）母亲节到了，花店里准备了48枝康乃馨和16枝百合花，每8枝康乃馨和3枝百合花扎成一束，最多可以扎成多少束花？ 【答案】 5束 【思路引导】根据题意，用康乃馨的总枝数÷扎成一束花用康乃馨的枝数，求出的商是可以扎成的束数；用百合花的总枝数÷扎成一束花用百合花的枝数，求出的商是可以扎成的束数，再比较可以扎成的束数，取较小的值就是最多可以扎成的束数。 【规范解答】48÷8＝6（束） 16÷3＝5（束）……1（枝） 6＞5 答：最多可以扎成5束花。 【演练5】（24-25二年级下·四川南充·期末）一共有36棵树苗，老山羊一次能运5棵，小山羊一次能运4棵。 （1）如果都由老山羊来运，它至少要运多少次？ 口答：它至少要运（    ）次。 （2）如果老山羊和小山羊一起运，它们要运多少次？ 口答：它们要运（    ）次。 （3）根据算式讲一个数学故事（可以写一写，也可以画一画）。 【答案】（1）8；8次 （2）4；4次 （3）示例：如果36棵树苗都由小山羊来运，它至少要运9次。（故事不唯一） 【思路引导】由题意可知： （1）用共有树苗的棵数除以老山羊一次运的棵数，求出的商是运满的次数，余数是剩余的棵数，还需再运一次，才能全部运完，故至少需商＋1次； （2）用共有树苗的棵数除以老山羊和小山羊一次运的棵数和，求出的商是要运的次数； （3）分析算式：36是树苗的总棵数，4是小山羊一次运的棵数，9是都由小山羊来运，至少要运的次数。据此解答。 【规范解答】由分析可得： （1）36÷5＝7（次）……1（棵） 7＋1＝8（次） 答：它至少要运8次。 （2）36÷（5＋4） ＝36÷9 ＝4（次） 答：它们要运4次。 （3）根据算式讲数学故事：如果36棵树苗都由小山羊来运，它至少要运9次。（故事不唯一） 基础夯实 能力提升 1．（23-24二年级下·江苏·课后作业）在一个算式中，如果除数是5，那么它的余数不可能是（    ）。 A．5 B．4 C．3 【答案】A 【思路引导】余数必须小于除数，除数是5，余数就应该是小于5的数。 【规范解答】A．5等于5，不可能； B．4小于5，有可能； C．3小于5，有可能。 它的余数不可能是5。 故答案为：A 2．（23-24二年级下·浙江嘉兴·期末）有13根小棒，每4根分一组，结果怎样？如图竖式中的12表示（    ）。 A．还剩12根小棒 B．可以分成12组 C．分掉的12根小棒 【答案】C 【思路引导】根据除法竖式的意义，竖式中的13是一共有13根小棒，4是除数，即每4根分一组，3是商，即可以分3组，12是3和4的积，表示的是分掉的12根小棒，1是余数，表示还剩下小棒的根数，据此解答。 【规范解答】A．还剩12根小棒，是错误的，应该还剩下1根小棒； B．可以分成12组，是错误的，应该可以分3组； C．分掉的12根小棒，是正确的。 故答案为：C 3．（25-26二年级下·全国·课后作业）27里面最多有（    ）个5。 A．3 B．4 C．5 【答案】C 【思路引导】求27里面最多有几个5，则用27除以5，所得的商是几，就是有几个5，据此解答。 【规范解答】 因此，27里面最多有5个5。 故答案为：C 4．（25-26二年级下·全国·期末）把17块糖平均分给5人，至少应拿掉（    ）块才能正好分完。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】用糖的总块数除以人数，所得的余数是几，则至少应拿掉几块糖才能正好分完，据此解答。 【规范解答】（块）（块） 因此，把17块糖平均分给5人，至少应拿掉2块才能正好分完。 故答案为：B 5．（25-26二年级上·山东聊城·期末）乐乐买了一些书，正好可以平均放到3个书架上，她可能买了（    ）本书。 A．27 B．28 C．26 【答案】A 【思路引导】已知乐乐买了一些书，正好可以平均放到3个书架上，即书的总数除以3后没有余数。据此逐项分析。 【规范解答】A．27÷3＝9，没有余数，即27本书可以平均放到3个书架上。 B．28÷3＝9……1，有余数，即28本书无法平均放到3个书架上。 C．26÷3＝8……2，有余数，即26本书无法平均放到3个书架上。 所以，她可能买了27本书。 故答案为：A 6．（25-26二年级下·全国·期末）腊月廿七，文文和弟弟一起挂彩灯，按下面的顺序挂一串彩灯，第16个灯是( )色的，第24个灯是( )色的。 【答案】 红 黄 【思路引导】观察彩灯排列顺序“红红红黄蓝”，可知每5个灯为一个循环周期，循环节为“红红红黄蓝”。要确定第16个和第24个灯的颜色，需用灯的序号除以周期数5，根据余数判断位置，若无余数则为周期最后一个颜色。 【规范解答】循环周期：5个（红红红黄蓝） 第16个灯：（组）（个），余数为1，对应周期第1个颜色，即红色。 第24个灯：（组）（个），余数为4，对应周期第4个颜色，即黄色。 所以第16个灯是红色的，第24个灯是黄色的。 7．（25-26二年级下·全国·课后作业）摆一摆，填一填。 23个，每5个摆成1个。 23÷5＝4（个）……3（个） 4表示( )，3表示( )。 【答案】 可以摆成4个 还剩3个 【思路引导】用总数除以每份的个数，得到商就是份数，余数是剩余几个。据此解答。 【规范解答】 4表示可以摆成4个，3表示还剩3个。 8．（25-26二年级下·全国·期末）在我国北方，春节有贴挂钱的习俗，妈妈买了一些挂钱，平均贴到5扇窗户上，每扇窗户上贴了4张，还剩了一些不够每扇窗户再贴一张，最多剩了( )张，此时妈妈一共买了( )张。 【答案】 4 24 【思路引导】在有余数的除法中，余数一定小于除数。这里是平均分到5扇窗户上，除数是5，所以余数最大是4；已知每扇窗户贴4张，共5扇窗户，那么贴在窗户上的总数为张，再加上最多剩余的4张，就是妈妈一共买的张数。据此解答。 【规范解答】（张） 在我国北方，春节有贴挂钱的习俗，妈妈买了一些挂钱，平均贴到5扇窗户上，每扇窗户上贴了4张，还剩了一些不够每扇窗户再贴一张，最多剩了4张，此时妈妈一共买了24张。 9．（25-26二年级下·辽宁·单元测试）看图列式计算。 （盘）……（个） （个）……（个） 【答案】20；3；6；2； 20；6；3；2 【思路引导】根据题图可知，共有20个苹果，每个盘子中有3个苹果，用苹果的数量除以每个盘子中苹果的数量，即可求得需要几个盘子，还剩几个苹果；有6个盘子，用苹果的数量除以盘子的个数，即可求得每个盘子中有几个苹果，还剩几个苹果；据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 20÷3＝6（盘）……2（个） 20÷6＝3（个）……2（个） 10．（25-26二年级下·全国·课后作业）星期六，乐乐和同学们一起去游乐园玩耍。 项目 载人数 每人价格 过山车 4人 7元 海盗船 6人 5元 碰碰车 2人 9元 (1)乐乐带了42元，可以玩几次海盗船？ (2)35名同学一起玩过山车，至少需要几辆车？ 【答案】(1)8次。 (2)9辆。 【思路引导】（1）求42元里包含多少个5元，用除法计算，商即为次数，余数不足一次舍去。 （2）“进一法”应用题，35名同学坐过山车，每辆载4人，计算后若有余数，剩余同学也需1辆车，因此结果为商加1。 【规范解答】（1）（次）（元） 答：可以玩 8 次海盗船。 （2）（辆）（元） （辆） 答：至少需要 9 辆车。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26二年级下·全国·课后作业）有38本书，平均分给7位小朋友，至少拿出（    ）本就能正好分完。 A．3 B．4 C．5 【答案】A 【思路引导】用书的总本数除以人数，所得的余数是几，那么至少拿出几本书就能正好分完，据此解答。 【规范解答】（本）（本） 因此，至少拿出3本就能正好分完。 故答案为：A 2．（25-26二年级上·河南周口·期末）☐÷7＝3……△，被除数可能是（    ）。 A．27 B．28 C．29 【答案】A 【思路引导】在有余数的除法中，余数必须小于除数。本题除数为7，余数△应满足0＜△＜7。据此把各选项中的数代入☐÷7＝3……△计算，看是否符合条件。 【规范解答】0＜△＜7 A．27÷7＝3……6，6＜7，符合。 B．28÷7＝4，没有余数，不符合。 C．29÷7＝4……1，商4余1，不符合。 所以被除数可能是27。 故答案为：A 3．（25-26二年级下·辽宁·课前预习）奇奇用摆若干个相同的独立图形，摆到最后还剩下5根，且不能再摆成一个完整的图形，则他摆的图形可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】用总数除以每个图形需要的根数，余下的根数一定小于每个图形需要的根数。 【规范解答】A．每个图形4根，4＜5，不可能； B．每个图形需要6根，6＞5，可能； C．每个图形需要5根，不可能。 故答案为：B 4．“4/4拍”歌曲的强弱规律如下图，第31拍是（    ）拍。 A．强 B．弱 C．次强 【答案】C 【规范解答】观察题图可知，“4/4拍”的强弱规律是“强、弱、次强、弱”，4拍为一组。求第31拍是什么拍，就看31里面有几个4，用除法计算，31÷4＝7（组）……3（拍）。余数是3，说明第31拍是第8组的第3拍，即次强拍。 5．（25-26二年级下·全国·课后作业）每只分3个，16个可以分给几只？还剩几个？（填序号） ①单位名称错误    ②余数比除数大    ③列式错误 小可：16÷3＝5（个）……1（只）    错误类型：( ) 小艾：16÷3＝4（只）……4（个）    错误类型：( ) 小田：16－3＝13（个）        错误类型：( ) 【答案】 ① ② ③ 【思路引导】根据题意可知：用松果总数16除以每只松鼠分到的松果个数3即可求出可以分给几只松鼠，还剩几个松果，据此解答。 【规范解答】（只）（个） 所以，小可同学的单位名称错误；小艾同学的余数比除数大；小田同学的列式错误； 故答案为：①、②、③ 6．（25-26二年级下·全国·课后作业）在算式★÷＝6……3中，余数是( )，最小是( )。 【答案】 3 4 【思路引导】由题目可知，余数是3，又因余数小于除数，所以除数最小为4。据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 在算式★÷＝6……3中，余数是（3），最小是（4）。 7．（25-26二年级下·全国·课后作业）÷4＝5……，余数可能是( )，被除数最大是( )。 【答案】 3，2，1 23 【思路引导】在有余数的除法中，余数必须小于除数，本题中除数是4，所以余数可能是1，2，3； 当余数最大时，被除数最大，因为余数最大为3，根据“被除数＝商×除数＋余数”，商是5，除数是4，余数是3，则被除数最大为23。 【规范解答】 所以余数可能是1、2、3，被除数最大是23。 8．（24-25二年级下·山西阳泉·期末）用竖式计算。     24÷5＝    66÷9＝    45÷8＝ 【答案】4……4；7……3；5……5 【思路引导】除法用竖式计算时，从最高位开始除起，若除不了，就用最高位和下一位合成一个数来除，直到能除以除数为止。若有余数，则余数一定比除数小。 【规范解答】24÷5＝4……4 66÷9＝7……3 45÷8＝5……5                   9．（25-26二年级下·辽宁·周测）一个两位数除以5，所得的商和余数相同，这样的两位数可能是多少？把它们都写出来。 【答案】12；18；24 【思路引导】余数要比除数小，所以除数是5，余数可能是1、2、3、4。 但当余数是1时，被除数是1×5＋1＝6，不是两位数，所以这样的两位数有3个。 用2×5＋2、3×5＋3、4×5＋4，算出这几种情况的两位数即可。 【规范解答】据分析可知： 当商和余数都是2时， 2×5＋2 ＝10＋2 ＝12 当商和余数都是3时， 3×5＋3 ＝15＋3 ＝18 当商和余数都是4时， 4×5＋4 ＝20＋4 ＝24 答：这样的两位数可能是12、18、24。 10．（25-26二年级下·全国·课后作业）汉代张骞出使西域，开辟了丝绸之路，促进了东西方经济文化的交流。有一支商队要装44只青瓷花瓶。 (1)如果全部用大箱装，至少需要多少个大箱？ (2)如果两种箱子搭配使用，请你设计一个装箱方案。 【答案】(1)至少需要5个大箱。 (2)5×7＋9×1＝44（只） 可以用7个小箱和1个大箱装。 【思路引导】（1）青瓷花瓶的总数除以大箱装青瓷花瓶的个数，所得的商是能装满青瓷花瓶箱子的个数，余数是剩余青瓷花瓶的个数，也需要1个箱子装，最终大箱子的总数量等于商加1，据此解答。 （2）通过计算不同箱子的组合，使其刚好能装满44只青瓷花瓶，据此解答。 【规范解答】（1）（个）（只） （个） 答：至少需要5个大箱。 （2） （只） 答：可以用7个小箱和1个大箱装。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $