专项提升01：因数和倍数的认识（4大考点）（考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册第二单元：因数和倍数 专项提升01：因数和倍数的认识 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：找一个数的因数 考点02：根据因数的特征解决问题 考点03：找一个数的倍数 考点04：根据倍数的特征解决问题 知识点01：因数和倍数的概念 1.在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 2.又如整数a能被b整除（a÷b=c），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 知识点02：找一个数的因数的方法 1.列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 2.列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 知识点03：找一个数的倍数的方法 1.列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 2.除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 考点01：找一个数的因数 【典型例题】在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现代数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（     ）也是完全数。 A．10 B．12 C．28 D．36 【答案】C 【分析】求一个数的因数的方法：用这个数分别除以自然数1，2，3，4，5，6……一直除到商和除数互换位置结束，把能整除的商和除数按从小到大顺序写出来，就是这个数的因数，重复的只写一个，据此写出10、12、28、36的因数，然后根据题中的方法分析找出，即可得出答案。 【详解】A．10的因数有：1、2、5、10，1＋2＋5＝8，所以本选项不符合题意； B．12的因数：1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6＝16，所以本选项不符合题意； C．28的因数：1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，所以本选项符合题意； D．36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55，所以本选项不符合题意； 故答案为：C。 【变式训练1】30的因数有（ ）个，其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 【答案】 8 1 30 【分析】找一个数的因数时，可以通过成对列举乘积等于该数的整数对，再统计个数，并确定最小和最大的因数。 【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数：1，2，3，5，6，10，15，30；共8个。 30的因数有（8）个，其中最小的因数是（1），最大的因数是（30）。 【变式训练2】第24届冬奥会于2022年2月4日在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队在21时24分出场。“24”诉说着我国独有的文化魅力，那么24有（     ）个因数。 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，一共有8个。 故答案为：C 考点02：根据因数的特征解决问题 【典型例题】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【答案】一共有3种装法。一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【分析】根据题意，把20枚阅兵式纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，要解决这个问题，我们需要找到20的所有因数，题目要求盒子个数大于3且小于11，筛选出符合条件的因数，再计算出每盒要装多少枚即可。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 其中大于3小于11的有：4，5，10； 当盒子数为4时，每个盒子装20÷4＝5（枚） 当盒子数为5时，每个盒子装20÷5＝4（枚） 当盒子数为10时，每个盒子装20÷10＝2（枚） 答：一共有3种装法，一种是一盒装5枚，需要4个盒子；一种是一盒装4枚，需要5个盒子；一种是一盒装2枚，需要10个盒子。 【变式训练1】水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（     ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。先列举出36的所有因数，再看三个选项中的3个数是否都是36的因数，据此解答。 【详解】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 A．1、13、18中，13不是36的因数，所以1、13、18不可能是获奖作品编码。 B．2、6、12都是36的因数，所以2、6、12可能是获奖作品的编码。 C．4、9、16中，16不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 D．3、15、18中，15不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 故答案为：B 【变式训练2】为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【答案】1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种 【分析】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。 【详解】32＝32×1＝16×2＝8×4 32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。 答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。 考点03：找一个数的倍数 【典型例题】一个数既是36的因数，又是2和3的倍数，而且比15小。这个数最大是（ ）。 【答案】12 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出36的因数，15以内2的倍数和15以内3的倍数，最后从这些数中找出符合条件的最大数，据此解答。 【详解】36÷1＝36 36÷2＝18 36÷3＝12 36÷4＝9 36÷6＝6 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 2×1＝2 2×2＝4 2×3＝6 2×4＝8 2×5＝10 2×6＝12 2×7＝14 15以内2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14。 3×1＝3 3×2＝6 3×3＝9 3×4＝12 15以内3的倍数有：3，6，9，12。 由上可知，一个数既是36的因数，又是2和3的倍数，而且比15小，这个数可能是6，12，所以这个数最大是12。 【变式训练1】在下面的圈里填合适的数。 30的因数 4的倍数 50以内7的倍数 【答案】见详解 【分析】求一个数的因数，用这个数分别除以非零的自然数，如果所得的商是整数且没有余数，那么这些除数和商都是这个数的因数。需要注意不重复、不遗漏，并且从1开始，一直除到被除数的商与除数重复出现即可，据此求出30的因数。找一个数的倍数，从它本身开始去乘1、2、3、…，就可以得到这个数的1倍、2倍、3倍……据此解答即可。 【详解】30÷1＝30  30÷2＝15  30÷3＝10  30÷5＝6  30÷6＝5  30÷10＝3  30÷15＝2  30÷30＝1 所以30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30 4×1＝4  4×2＝8  4×3＝12 …… 7×1＝7  7×2＝14  7×3＝21  7×4＝28  7×5＝35  7×6＝42  7×7＝49 【变式训练2】一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，这个数最小是（ ）。 【答案】18 【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；求一个数的倍数时，用这个数乘1、2、3…所得的积就是这个数的倍数，据此求出54的所有因数和54以内9的倍数，最后从这些数中找出符合条件的最小数，据此解答。 【详解】54÷1＝54 54÷2＝27 54÷3＝18 54÷6＝9 54的因数有：1，2，3，6，9，18，27，54。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54 54以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54。 由上可知，一个数既是54的因数，又是9的倍数，这个数可能是9，18，27，54，同时有因数2和3，这个数最小是18。 考点04：根据倍数的特征解决问题 【典型例题】小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 【答案】3个月 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。据此求出48的所有因数和48以内6的倍数，找到15到25之间的即可得文具盒的钱数。再用24除以8即可得解。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 6×1＝6、6×2＝12、6×3＝18、6×4＝24、6×5＝30、6×6＝36、6×7＝42、6×8＝48 48以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48 既是48的因数，又是6的倍数有：6、12、24、48 在15到25之间的是24 （个） 答：3个月后他存的钱够买这个文具盒。 【变式训练1】五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（     ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是13人，那么全班总人数一定是13的倍数。据此解答。 【详解】A．45除以13有余数，则45不是13的倍数，此选项不符合题意； B．52÷13＝4，则52是13的倍数，五年级可能有52人； C．55除以13有余数，则55不是13的倍数，此选项不符合题意； D．64除以13有余数，则64不是13的倍数，此选项不符合题意。 故答案为：B 【变式训练2】一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 【答案】28米；理由见详解 【分析】根据题意可知，这根绳子的长度是20~30之间的4的倍数。可以列乘法算式找一个数的倍数，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】4×5＝20 4×6＝24 4×7＝28 4×8＝32 所以在20~30之间4的倍数有24、28。 24＜28 即这根绳子最多有28米。 答：这根绳子最多有28米。 一、选择题 1．下列说法正确的是（     ）。 A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数 B．42既是6的倍数，也是7的倍数 C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 【答案】B 【分析】根据倍数和因数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，倍数和因数是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。据此对比选项，做出选择。 【详解】A.仅说“10是倍数，2是因数”，未明确10是谁的倍数，2是谁的因数，不符合倍数和因数相互依存的关系，选项错误； B.，商是整数且没有余数，所以42是6的倍数；，商是整数且没有余数，所以42是7的倍数。因此42既是6的倍数，也是7的倍数，选项正确； C.倍数和因数的研究范围是整数，除数和被除数都必须是整数，不能是小数，题目中0.5为小数，选项错误。 故答案为：B 2．下列各数中，（     ）不是12的因数。 A．12 B．6 C．5 【答案】C 【分析】根据因数的定义，若一个数能整除12，则这个数是12的因数，对比选项进行判断。 【详解】A.，结果没有余数，则12是12的因数，不符合； B.，结果没有余数，则6是12的因数，不符合； C.，计算结果有余数2，所以5不是12的因数，符合。 故答案为：C 3．军军家的客厅长3.6m，宽3.3m。要给客厅铺地砖，下面的地砖规格中，可以不用切割，正好铺满的是（     ）。 A．40cm×40cm B．110cm×60cm C．80cm×80cm 【答案】B 【分析】客厅长3.6m，宽3.3m，1m＝100cm，所以3.6m为3.6×100＝360cm。3.3m为3.3×100＝330cm。要不用切割正好铺满，地砖的长是360的因数，宽是330因数。据此分析计算各选项，进而确定答案。 【详解】A．40cm×40cm，360÷40＝9，但330÷40＝8.25，说明40不是330的因数，不符合。 B．110cm×60cm，360÷60＝6，330÷110＝3，说明60是360的因数，110是330的因数，符合“不用切割，正好铺满”。 C．80cm×80cm，360÷80＝4.5，330÷80＝4.125，80既不是360的因数，也不是330的因数，不符合。 所以不用切割，正好铺满的规格是110cm×60cm。 故答案为：B 4．梧州特产六堡茶每盒装24包，现有若干盒，数量不可能是（     ）包。 A．72 B．96 C．108 【答案】C 【分析】分别用各选项的数除以24，是24的倍数的数就是可能的包数，不是24的倍数的数是不可能的包数。据此解答。 【详解】A．72÷24＝3，没有余数，72是24的倍数，则数量可能是72包； B．96÷24＝4，没有余数，96是24的倍数，则数量可能是96包； C．108÷24＝4……12，有余数，108不是24的倍数，则数量不可能是108包。 故答案为：C 5．下面关于倍数和因数的说法，正确的有（     ）个。 ①因为24÷4＝6，所以4是24的因数。 ②9的倍数只有18，27，36，45，54，63，72，81。 ③一个数最小因数是1，最大因数是它本身。 ④一个数的最大倍数是它本身，没有最小倍数。 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】①根据若整数a能够被整数b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，4是24的因数，原题说法正确。 ②一个数的倍数有无限多个，所以原题说法错误。 ③一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，所以原题说法正确。 ④一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数，所以原题说法错误。 【详解】据分析可知，原题关于倍数和因数的说法，正确的有①③，共2个。 故答案为：A 6．小丽有相同的5元和1元纸币各a张，总钱数可能是（     ）元。 A．38 B．36 C．26 【答案】B 【分析】小丽有张数相同的5元和1元纸币，可知小丽的总钱数是（5＋1）的倍数，在选项中找出6的倍数即可。 【详解】5＋1＝6 A．38÷6所得商不是整数，因此38不是6的倍数，不符合题意； B．36÷6＝6，因此36是6的倍数，符合题意； C．26÷6所得商不是整数，因此26不是6的倍数，不符合题意。 因此小丽的总钱数可能是36元。 故答案为：B 7．6的因数有1、2、3、6共4个，并且：1＋2＋3＝6，数学上把像6这样的数叫完美数。下列数中（     ）是完美数。 A．14 B．28 C．36 【答案】B 【分析】根据完美数的定义，先找出各数的因数，再把它本身以外的因数相加，和如果等于它本身的，就是完美数。 【详解】A．14的因数：1，2，7，14； 1＋2＋7＝10 10≠14，所以14不是完美数； B．28的因数：1，2，4，7，14，28； 1＋2＋4＋7＋14＝28，所以28是完美数； C．36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36； 1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55 55≠36，所以36不是完美数。 故答案为：B 8．在学习《因数与倍数》这一单元的内容时，三位同学关于因数和倍数的相关知识有以下不同的想法： 王宁：因为12.5×8＝100，所以12.5和8是100的因数。100是8的倍数，100也是12.5的倍数。 李晓明：因为45÷5＝9，所以45是5的倍数，45也是9的倍数，9也是45的因数。 孙莉：因为29÷4＝7……1，所以29不是7的倍数，也不是4的倍数。 以上3位同学的想法，有两位是正确的，他们是谁？下面选项中全部正确的是（     ）。 A．王宁和李晓明 B．王宁和孙莉 C．李晓明和孙莉 【答案】C 【分析】若整数a能够被整数b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。 【详解】王宁：12.5×8＝100，因为12.6是小数，不能研究因数和倍数的意义，说法错误； 李晓明：因为45÷5＝9，所以45是4的倍数；5是45的因数，说法正确； 孙莉：因为29÷4＝7……1，29没有被4整除，也不是8的倍数，说法正确。 故答案为：C 9．体育课上，有40名同学面向老师站成一排，按老师命令，从左到右报数：1、2、3…然后老师让所报数是4的倍数的同学向后转，接着再让所报数是5的倍数的同学向后转，有（     ）名同学转了2次。 A．1 B．2 C．4 【答案】B 【分析】根据题意，所报数是4的倍数、5的倍数的同学向后转，分别列举出40以内4、5的倍数，从中找出既是4的倍数，又是5的倍数的数，报这些数的同学转了2次，据此解答。 【详解】40以内4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40； 40以内5的倍数有：5，10，15，20，25，30，35，40； 40以内既是4的倍数又是5的倍数的数是：20，40；共2个； 所以有2名同学转了2次。 故答案为：B 10．智能工厂里，机械臂可以通过输入设定值，将相同个数的零件装箱打包。一批零件有24个，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完成，那么一共可以有（     ）种不同的设定值。 A．8 B．7 C．6 【答案】C 【分析】由题意可知，该设定值应是24的因数，又因为不能每次单个打包，也不能一次全部打包，则除去1和24本身两个因数，其它的因数即为设定值。据此解答即可。 【详解】24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，所以设定值可以是2、3、4、6、8、12共6种。 故答案为：C 二、填空题 11．12的因数有（ ）。 【答案】1、2、3、4、6、12 【分析】因数是指整数a除以整数b（b不等于0）的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数。求解12的因数，可通过列举法：从1开始，依次用12除以各个整数，若商是整数且没有余数，则该整数就是12的因数。 【详解】12÷1＝12，商是整数且无余数，所以1是12的因数。 12÷2＝6，商是整数且无余数，所以2是12的因数。 12÷3＝4，商是整数且无余数，所以3是12的因数。 12÷4＝3，商是整数且无余数，所以4是12的因数。 12÷6＝2，商是整数且无余数，所以6是12的因数。 12÷12＝1，商是整数且无余数，所以12是12的因数。 所以12的因数有1、2、3、4、6、12。 12．20÷1＝（     ），20÷2＝（     ），20÷4＝（     ）。20的因数有（                ），其中最大的因数是（     ），最小的因数是（     ）。 【答案】20；10；5；1、2、4、5、10、20；20；1 有限；1；它本身 【分析】本题主要考查因数的相关概念及求因数的方法。因数是指整数a除以整数b的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数。根据因数的概念，我们通过除法来找出20的所有因数。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。据此解答。 【详解】，，。20的因数有1、2、4、5、10、20，其中最大的因数是20，最小的因数是1。 根据上述分析，我知道：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 13．20的因数有（ ）个，7的倍数有（ ）个。 【答案】 6 无数 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 【详解】20的因数：1，2，4，5，10，20；共有6个； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49…；有无数个。 填空如下： 20的因数有（6）个，7的倍数有（无数）个。 14．12的因数有（ ）个，其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）；13的最小倍数是（ ）。 【答案】 6 1 12 13 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此列举出12的所有因数，数出因数的个数，并得出它的最小因数和最大因数。 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。据此得出13的最小倍数。 【详解】12的因数：1，2，3，4，6，12；共有6个； 12的因数有（6）个，其中最小的因数是（1），最大的因数是（12）；13的最小倍数是（13）。 15．一个数的最大因数是8，这个数是（ ）；一个数的最小倍数是2，这个数是（ ）。 【答案】 8 2 【分析】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数也是它本身。据此解答。 【详解】一个数的最大因数是8，这个数是8；一个数的最小倍数是2，这个数是2。 16．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 【答案】 32 4 【分析】求一个数的所有的因数的方法：有序地写出以这个数为积的所有整数乘法算式，算式中的每个因数都是该数的因数。 求一个数的倍数的方法：列乘法算式找，用这个数依次与正整数1，2，3，…相乘，所得的积就是这个数的倍数。 【详解】32的因数：1、2、4、8、16、32； 4的倍数：4、8、12、16、20、24、28、32… 其中既是32的因数，又是4的倍数的数有：4、8、16、32。 所以这个数最大是32，最小是4。 17．一个数最大因数和最小倍数都是48，这个数是（ ），它的因数包括（ ）。 【答案】 48 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 【分析】根据因数和倍数的定义，一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。当题目指出最大因数和最小倍数都是48时，这个数就是48。接着通过列举乘法算式，找出48的所有因数。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 即一个数最大因数和最小倍数都是48，这个数是48，它的因数包括1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 18．《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是（ ），最小倍数是（ ）。 【答案】 1 72 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。进而求出72的最小因数；一个数的最小倍数是它本身，据此求出72的最小倍数，据此解答。 【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72；最小因数是1。 72的最小倍数是72。 《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是1，最小倍数是72。 19．把18个球平均装在几个相同的盒子里（盒子数大于1），刚好装完，有（ ）种装法。 【答案】5 【分析】题目要求将18个球平均装在多于1个的相同盒子里，刚好装完。这需要找出18的所有大于1的因数，每个因数对应一种装法。 【详解】18的因数有1、2、3、6、9、18； 18的因数大于1的有：2、3、6、9、18，共5个。 把18个球平均装在几个相同的盒子里（盒子数大于1），刚好装完，有5种装法。 20．用30个1平方厘米的小正方形拼成长方形，一共有（ ）种不同的拼法，其中周长最短是（ ）厘米。 【答案】 4 22 【分析】先找所有两个乘数的积是30的算式，有几个算式就有几种拼法；用30个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变，根据拼成图形的长和宽，结合长方形的周长＝（长＋宽）×2分别求出它们的周长，再进行比较，据此解答。 【详解】30×1＝30（平方厘米） 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 用30个1平方厘米的小正方形拼成长方形，一共有4种不同的拼法； （1）长30厘米，宽1厘米的长方形：（30＋1）×2＝31×2＝62（厘米） （2）长15厘米，宽2厘米的长方形：（15＋2）×2＝17×2＝34（厘米） （3）长10厘米，宽3厘米的长方形：（10＋3）×2＝13×2＝26（厘米） （4）长6厘米，宽5厘米的长方形：（6＋5）×2＝11×2＝22（厘米） 62＞34＞26＞22，周长最短是22厘米。 用30个1平方厘米的小正方形拼成长方形，一共有4种不同的拼法，其中周长最短是22厘米。 21．淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数。店家每次可能发放（ ）张优惠券。 【答案】9，18，27，36，45 【分析】根据题意，每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数，列举出50以内9的倍数，即是店家每次可能发放优惠券的张数。 【详解】50以内9的倍数：9，18，27，36，45； 即店家每次可能发放9，18，27，36，45张优惠券。 22．五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是（ ）人。 【答案】4 【分析】将36名同学排成每列人数相等的队列，那么每列的人数一定是36的因数，所以我们需要找出36的所有因数，据此解答。（答案不唯一） 【详解】36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6 所以36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36 所以每列可以是1，2，3，4，6，9，12，18，36人。 23．亮亮和点点玩猜数游戏，亮亮说：“我的这个数是个两位数，是一个奇数，且只有3个因数。”点点说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是201”。亮亮说的这个数是（ ）。点点说的这个数是（ ）。 【答案】 25或49 134 【分析】根据因数一般是成对出现的，而亮亮说的数只有3个因数可知，亮亮说的数可以写成两个相同的数相乘的形式，且这两个相同的数是质数，故两位数中只有5×5＝25和7×7＝49满足条件，即亮亮说的数是25或49。因为一个数最大的因数是它本身，且也是第二大的因数的倍数，201＝3×67＝67＋2×67，所以点点说的这个数是2×67＝134。 【详解】亮亮和点点玩猜数游戏，亮亮说：“我的这个数是个两位数，是一个奇数，且只有3个因数。”点点说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是201”。亮亮说的这个数是25或49。点点说的这个数是134。 24．彤彤和小伙伴们玩一个游戏，用边长1cm的小正方形拼一个大长方形（要求所选小正方形全部用完，中间没有空格），谁拼出的大长方形多，谁就获胜。现在可选的小正方形有三堆，分别有45，24，27个；彤彤想赢这场比赛，于是展开了探究活动。 （1）她以“45”为例，画图思考，拼成的大长方形如果每排摆9个小正方形，正好可以摆（ ）排；如果每排摆15个小正方形，可以摆（ ）排，这样就拼成两个不同的大长方形。 （2）发现：拼成大长方形每排用小正方形的个数和排数都是45的（ ）。 （3）要想赢比赛，应该选有（ ）个小正方形的那一堆；因为（ ）。 【答案】（1） 5 3 （2）因数 （3） 24 24的因数对最多，能拼出4种不同的长方形 【分析】（1）每个小正方形都是边长为1cm的正方形，所以每个小正方形的面积是1cm2。当拼成大长方形时，长方形的面积就是所用小正方形的个数，而长和宽就是每排摆的数量和排数。所以，拼成的大长方形的面积等于小正方形的数量，即长×宽＝数量。根据长方形的面积＝长×宽，所以排数＝总数÷每排的数量。如果每排摆9个，排数就是（45÷9）；如果每排摆15个，排数就是（45÷15）。 （2）由（1）可知，9和5都是45的因数，15和3都是45的因数，因此每排的个数和排数都是45的因数。 （3）问彤彤应该选哪一堆小正方形才能赢比赛，也就是判断哪一堆小正方形能拼出更多不同的大长方形，所以需要比较三堆的数量45、24、27；列举出它们所有可能的因数，找出哪个数的因数对最多，也就是因数个数最多，这样能拼出的不同长宽组合就越多，就能赢得比赛。 【详解】（1）每排摆9个小正方形时，排数为： 45÷9＝5（排） 每排摆15个小正方形时，排数为： 45÷15＝3（排） 因此拼成的大长方形如果每排摆9个小正方形，正好可以摆5排。如果每排摆15个小正方形，可以摆3排，这样就拼成两个不同的大长方形。 （2）拼大长方形时，每排的个数和排数都是45的因数。 因此可以发现：拼成大长方形每排用小正方形的个数和排数都是45的因数。 （3）45的因数对有3种：1×45、3×15、5×9。 24的因数对有4种：1×24、2×12、3×8、4×6。 27的因数对有2种：1×27、3×9。 其中24的因数对最多，因此要想赢比赛，应该选有24个小正方形的那一堆。理由是：24的因数对最多，能拼出4种不同的长方形。 25．李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过（ ）天，李师傅能在周六周日休息。 【答案】36 【分析】根据题意可知，李师傅每9天里面休息2天，一周7天，所以用9的倍数除以7，当余数为1时，说明这个9的倍数天数为星期天，这天李师傅休息，前一天星期六也休息，据此即可解答。 【详解】9的倍数有9、18、27、36、45…； 9÷7＝1（个）……2（天），星期六往后数2天是星期一，说明是星期天、星期一休息； 18÷7＝2（个）……4（天），星期六往后数4天是星期三，说明是星期二、星期三休息； 27÷7＝3（个）……6（天），星期六往后数6天是星期五，说明是星期四、星期五休息； 36÷7＝5（个）……1（天），星期六往后数1天是星期天，说明是星期六、星期天休息； 所以至少再过36天，李师傅能在周六周日休息。 三、解答题 26．五年级有36名同学一起做游戏，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10，可以分成几组？ 【答案】3组、4组、6组、9组 【分析】由题意可知，分成的组数是学生人数的因数，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出36的所有因数，最后找出大于2并且小于10的符合条件的因数，据此解答。 【详解】36÷1＝36 36÷2＝18 36÷3＝12 36÷4＝9 36÷6＝6 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 分析可知，可以分成3组、4组、6组、9组。 答：可以分成3组、4组、6组、9组。 27．在探究4的倍数特征时，小明同学在百格表中圈一圈，找出了4、8、12、16、20、24…他得出结论：个位是0、2、4、6、8的数都是4的倍数。小丽同学不同意小明同学的结论，她说14个位是4，但不是4的倍数。张老师让两位同学在千格表中多圈一圈4的倍数，他们发现104、108、112、116、120、124…204、208、212、216、220…都是4的倍数，所以他们猜想：只需看末尾两位数，如果它是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。张老师总结到，一个大的整数A，可以写成A＝100m＋n，m是某个整数，n是A的最后两位数字组成的数，由于100m是4的倍数，所以只需确认n，即最后两位数字组成的数是否是4的倍数。 根据以上信息，判断674259138是不是4的倍数？请写出怎么判断的？ 【答案】不是；判断方法见详解 【分析】依据4的倍数特征来解答，一个数是否为4的倍数，只需看其最后两位数字组成的数是否为4的倍数，通过对给定数取最后两位并判断来求解。 674259138最后两位数字组成的数是38。计算38÷4＝9……2，结果不是整数，说明38不是4的倍数。 【详解】674259138最后两位数字组成的数是38。 38÷4＝9……2 答：674259138不是4的倍数。看该数最后两位组成的38是否为4的倍数，因38不是4的倍数，所以674259138不是4的倍数。 28．学校举行课间操比赛，要求同学们排成每行人数相同的队伍，五（2）班有51名同学，如果你是老师，怎么排列？（排成多少行，每行多少人） 【答案】排成3行，每行17人或排成17行，每行3人 【分析】行数×每行的人数＝班级总人数，所以行数和每行的人数都是班级总人数的因数。利用等式先找出51的因数，再对队伍进行排列。 【详解】51＝1×51＝3×17 所以，51的因数有1、3、17和51。 答：可以排成3行，每行17人或排成17行，每行3人。 29．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。王阿姨制作了24个月饼装在袋子里，每个袋子装的一样多，不少于5个，且不超过15个。有几种装法？每种装法各需要几个袋子？ 【答案】3种；6个装需要4个袋子，8个装需要3个袋子，12个装需要2个袋子 【分析】先找出24的所有因数，再筛选符合条件的因数，最后根据月饼个数÷每个袋子装的个数＝袋子数，计算对应的袋子数量。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 大于等于5且小于等于15的有：6、8、12。 24÷6＝4（个） 24÷8＝3（个） 24÷12＝2（个） 答：有3种装法，6个装需要4个袋子，8个装需要3个袋子，12个装需要2个袋子。 30．五年级（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人，不包括3人） 【答案】第一种方案：每行4人，每列12人；第二种方案：每行6人，每列8人 【分析】总人数等于每行人数乘每列人数，即“每行人数×每列人数＝48”。同时，题目要求每行每列不少于3人且不包括3人，也就是每行和每列的人数都必须大于3人（即大于等于4人）。因此，需要找出48的所有因数，再从因数中筛选出大于3的因数，然后将这些因数两两组合，使得它们的乘积为48，每一组组合就对应一种长方形队列的排列方案。 【详解】48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。根据要求，排除1、2、3，剩下的有效因数为：4、6、8、12、16、24、48。 从有效因数中挑选两两相乘等于48的组合： 第一种方案：每行4人，每列12人（因为4×12＝48，且4和12都大于3）。 第二种方案：每行6人，每列8人（因为6×8＝48，且6和8都大于3）。 答：第一种方案：每行4人，每列12人；第二种方案：每行6人，每列8人。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版五年级数学下册第二单元：因数和倍数 专项提升01：因数和倍数的认识 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 考点01：找一个数的因数 考点02：根据因数的特征解决问题 考点03：找一个数的倍数 考点04：根据倍数的特征解决问题 知识点01：因数和倍数的概念 1.在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 2.又如整数a能被b整除（a÷b=c），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 知识点02：找一个数的因数的方法 1.列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 2.列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 知识点03：找一个数的倍数的方法 1.列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 2.除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 考点01：找一个数的因数 【典型例题】在中国传统文化中，常用到数字“6”，如六谷、六畜、六常，甚至秦朝“数以六为纪”。在现代数学上，数字“6”也非常特别，是一个完全数：当一个数恰好等于除它以外的所有因数的和，这个数是完全数。例如6的因数有1，2，3，6，且1＋2＋3＝6，下面各数中，（     ）也是完全数。 A．10 B．12 C．28 D．36 【变式训练1】30的因数有（ ）个，其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）。 【变式训练2】第24届冬奥会于2022年2月4日在北京开幕，以24节气开启倒计时，再辅之以诗词民谚，24秒，24种惊艳，中国队在21时24分出场。“24”诉说着我国独有的文化魅力，那么24有（     ）个因数。 A．4 B．6 C．8 D．10 考点02：根据因数的特征解决问题 【典型例题】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于2025年9月3日在北京天安门广场举行了盛大的阅兵式。张老师买了20枚阅兵式纪念章准备送给同学们，现在要把这些纪念章全部装进盒子里（盒子个数大于3，小于11），且每个盒子里装得同样多，有多少种不同的装法？请一一列举出来。 【变式训练1】水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（     ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 【变式训练2】为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 考点03：找一个数的倍数 【典型例题】一个数既是36的因数，又是2和3的倍数，而且比15小。这个数最大是（ ）。 【变式训练1】在下面的圈里填合适的数。 30的因数 4的倍数 50以内7的倍数 【变式训练2】一个数既是54的因数，又是9的倍数，同时有因数2和3，这个数最小是（ ）。 考点04：根据倍数的特征解决问题 【典型例题】小月在文具店看到了一个特别喜欢的文具盒，文具盒的钱数既是48的因数，又是6的倍数，并且在15到25之间。若小月计划每月存8元，几个月后他存的钱够买这个文具盒？ 【变式训练1】五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（     ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【变式训练2】一根绳子比20米长，比30米短，剪成4米一段的短绳，正好剪成整数段。这根绳子最多有多少米？（请写出理由） 一、选择题 1．下列说法正确的是（     ）。 A．10÷2＝5，10是倍数，2是因数 B．42既是6的倍数，也是7的倍数 C．因为4÷0.5＝8，所以4是0.5的倍数，0.5是4的因数 2．下列各数中，（     ）不是12的因数。 A．12 B．6 C．5 3．军军家的客厅长3.6m，宽3.3m。要给客厅铺地砖，下面的地砖规格中，可以不用切割，正好铺满的是（     ）。 A．40cm×40cm B．110cm×60cm C．80cm×80cm 4．梧州特产六堡茶每盒装24包，现有若干盒，数量不可能是（     ）包。 A．72 B．96 C．108 5．下面关于倍数和因数的说法，正确的有（     ）个。 ①因为24÷4＝6，所以4是24的因数。 ②9的倍数只有18，27，36，45，54，63，72，81。 ③一个数最小因数是1，最大因数是它本身。 ④一个数的最大倍数是它本身，没有最小倍数。 A．2 B．3 C．4 6．小丽有相同的5元和1元纸币各a张，总钱数可能是（     ）元。 A．38 B．36 C．26 7．6的因数有1、2、3、6共4个，并且：1＋2＋3＝6，数学上把像6这样的数叫完美数。下列数中（     ）是完美数。 A．14 B．28 C．36 8．在学习《因数与倍数》这一单元的内容时，三位同学关于因数和倍数的相关知识有以下不同的想法： 王宁：因为12.5×8＝100，所以12.5和8是100的因数。100是8的倍数，100也是12.5的倍数。 李晓明：因为45÷5＝9，所以45是5的倍数，45也是9的倍数，9也是45的因数。 孙莉：因为29÷4＝7……1，所以29不是7的倍数，也不是4的倍数。 以上3位同学的想法，有两位是正确的，他们是谁？下面选项中全部正确的是（     ）。 A．王宁和李晓明 B．王宁和孙莉 C．李晓明和孙莉 9．体育课上，有40名同学面向老师站成一排，按老师命令，从左到右报数：1、2、3…然后老师让所报数是4的倍数的同学向后转，接着再让所报数是5的倍数的同学向后转，有（     ）名同学转了2次。 A．1 B．2 C．4 10．智能工厂里，机械臂可以通过输入设定值，将相同个数的零件装箱打包。一批零件有24个，如果不能每次单个打包，也不能一次全部打包，且最后正好打包完成，那么一共可以有（     ）种不同的设定值。 A．8 B．7 C．6 二、填空题 11．12的因数有（ ）。 12．20÷1＝（     ），20÷2＝（     ），20÷4＝（     ）。20的因数有（                ），其中最大的因数是（     ），最小的因数是（     ）。 13．20的因数有（ ）个，7的倍数有（ ）个。 14．12的因数有（ ）个，其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ）；13的最小倍数是（ ）。 15．一个数的最大因数是8，这个数是（ ）；一个数的最小倍数是2，这个数是（ ）。 16．一个数既是4的倍数，又是32的因数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 17．一个数最大因数和最小倍数都是48，这个数是（ ），它的因数包括（ ）。 18．《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是（ ），最小倍数是（ ）。 19．把18个球平均装在几个相同的盒子里（盒子数大于1），刚好装完，有（ ）种装法。 20．用30个1平方厘米的小正方形拼成长方形，一共有（ ）种不同的拼法，其中周长最短是（ ）厘米。 21．淘宝某店“双十一”前开展整时抢三折优惠券活动。每次发放的优惠券不超过50张，且张数是9的倍数。店家每次可能发放（ ）张优惠券。 22．五（3）班36名同学参加广播操表演，排成每列人数相等的队列，每列可以是（ ）人。 23．亮亮和点点玩猜数游戏，亮亮说：“我的这个数是个两位数，是一个奇数，且只有3个因数。”点点说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是201”。亮亮说的这个数是（ ）。点点说的这个数是（ ）。 24．彤彤和小伙伴们玩一个游戏，用边长1cm的小正方形拼一个大长方形（要求所选小正方形全部用完，中间没有空格），谁拼出的大长方形多，谁就获胜。现在可选的小正方形有三堆，分别有45，24，27个；彤彤想赢这场比赛，于是展开了探究活动。 （1）她以“45”为例，画图思考，拼成的大长方形如果每排摆9个小正方形，正好可以摆（ ）排；如果每排摆15个小正方形，可以摆（ ）排，这样就拼成两个不同的大长方形。 （2）发现：拼成大长方形每排用小正方形的个数和排数都是45的（ ）。 （3）要想赢比赛，应该选有（ ）个小正方形的那一堆；因为（ ）。 25．李师傅每工作7天休息2天，本次轮休时间是周五和周六，至少再过（ ）天，李师傅能在周六周日休息。 三、解答题 26．五年级有36名同学一起做游戏，老师让他们自己分成人数相等的若干小组，要求组数大于2，小于10，可以分成几组？ 27．在探究4的倍数特征时，小明同学在百格表中圈一圈，找出了4、8、12、16、20、24…他得出结论：个位是0、2、4、6、8的数都是4的倍数。小丽同学不同意小明同学的结论，她说14个位是4，但不是4的倍数。张老师让两位同学在千格表中多圈一圈4的倍数，他们发现104、108、112、116、120、124…204、208、212、216、220…都是4的倍数，所以他们猜想：只需看末尾两位数，如果它是4的倍数，那么这个数就是4的倍数。张老师总结到，一个大的整数A，可以写成A＝100m＋n，m是某个整数，n是A的最后两位数字组成的数，由于100m是4的倍数，所以只需确认n，即最后两位数字组成的数是否是4的倍数。 根据以上信息，判断674259138是不是4的倍数？请写出怎么判断的？ 28．学校举行课间操比赛，要求同学们排成每行人数相同的队伍，五（2）班有51名同学，如果你是老师，怎么排列？（排成多少行，每行多少人） 29．月饼是一种传统美食，寓意团团圆圆。王阿姨制作了24个月饼装在袋子里，每个袋子装的一样多，不少于5个，且不超过15个。有几种装法？每种装法各需要几个袋子？ 30．五年级（1）班48名同学进行队列表演，表演时要排成长方形队列。可以怎样排？请聪明的你写出两种方案。（要求每行每列不少于3人，不包括3人） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $