精品解析：安徽合肥市第四十五中学芙蓉分校2025-2026学年九年级上学期第四次学情自测数学试题

2025-2026学年九年级上学期第四次月考数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线的顶点式中，的符号决定抛物线开口方向，为抛物线的顶点坐标．先根据的符号判断开口方向，排除不符合的选项，再根据顶点式确定顶点坐标，最终选出正确选项． 【详解】解：对于二次函数的顶点式： ①当时抛物线开口向上，当时抛物线开口向下． 在抛物线中，， ∴抛物线开口向下，因此选项B、D错误； ②顶点式的顶点坐标为． 在抛物线中，，， ∴顶点坐标为，因此选项C错误，选项A正确． 2. 下列汉字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、图形既是轴对称图形，又是中心对图形，故符合题意； B、图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意； C、图形既不是轴对称图形，又不是中心对图形，故不符合题意； D、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．根据题意可设，则，代入中求值即可． 【详解】解：∵， 故可设，则， ∴． 故选B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大到原来的倍，则点的对应点的坐标是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．根据位似变换的性质，给点的坐标分别乘以即可． 【详解】解：由题可知，为位似中心，且相似比为，且， 点的对应点坐标为或，即或． 故选：D． 5. 下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据一次函数的性质：时y的值随x值的增大而增大；反比例函数性质：时在与上y的值随x值的增大而增大；二次函数的性质：当时y的值随x值的增大而增大；直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵中， ∴时y的值随x值的增大而增大，故A不符合题意， ∵中， ∴在与上y的值随x值的增大而增大，故B不符合题意， ∵中，， ∴y的值随x值的增大而增大，故C符合题意， ∵中，， ∴y的值随x值的增大而减小，故D不符合题意， 故选：C． 6. 《周髀算经》记载的“方圆圆方图”是一种建筑构造的法则，其核心为东方美学的瑰宝——白银比．为探究其比值，淇淇用尺规作图进行如下操作：如图，已知线段，①分别以点、为圆心，大于长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点、；②作直线交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，在线段上方交直线于点；③连接，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则，为白银比的比值，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰直角三角形的性质．由步骤①知，，结合步骤②得是等腰直角三角形，故，再根据步骤③即可得出结果． 【详解】解：由步骤①知， 由步骤②知， 是等腰直角三角形 由步骤③知， ． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边的中点D横坐标为，反比例函数的图象经过点A、D．若，则k的值为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，反比例函数解析式是解题的关键． 设，，则，，由题意知，，则，即，由反比例函数的图象经过点A、D，可得，可求，，进而可求． 【详解】解：设，，则，， 由题意知，， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点A、D， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，的半径弦于点，联结并延长交于点，联结．已知．则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设半径为r，根据勾股定理列方程求出半径r，由勾股定理依次求和的长． 【详解】解：连接， 设半径为r，则， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， 由勾股定理得：， 在中，． 故选：B． 【点睛】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 9. 如图，在6×7网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形面积的计算及锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理求线段长度、利用面积法求三角形的高是解题的关键． 通过割补法求的面积，用勾股定理求、的长度，结合三角形面积公式求边上的高，最后根据正弦定义计算． 【详解】解：设每个小方格边长为1， ， 由勾股定理得，， ∵ ∴， 解得， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（ ） A. 6 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是______． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴有两个交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．直接利用根的判别式列不等式解答，再结合，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， 又∵， ∴k的取值范围是且； 故答案为：且． 12. 是的黄金分割点，，若，则________．（结果精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长一部分与全长之比等于另一部分与较长这部分之比．依据黄金分割点的定义列出比例式，然后变形成只含、的方程式，解关于的二次方程即可． 【详解】解：如图所示， 是的黄金分割点，， ，即， ， ，即， ，其中负值舍去， 故答案为：6.2． 13. 如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查等边对等角，三角形外角的性质、弧和圆心角之间的关系等知识．证明，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴与相等的弧是， 故答案为： 14. 函数的图象如图所示，则图象与轴交点的坐标为__________；若方程恰好有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二元一次方程组，画出函数的图象是解题的关键． 将代入中，即可图象与轴交点的坐标为；方程有两个不相等的实数根，可看成函数的图象与直线的图象有两个交点，令求解，可得函数与轴的交点坐标为，，当直线经过点时，；直线经过点时，，联立，令，求得，根据函数与直线的图象之间的位置关系即可求出的取值范围． 【详解】解：将代入，即， ∴图象与轴交点的坐标为， 依题意得：方程有两个不相等的实数根， 即函数的图象与直线的图象有两个交点， ∵ ∴直线的图象为下降的直线， 令，即， 解得：，， 函数与轴的交点坐标为，， 故函数的图象与直线的图象相交时，有如下图三种情况： 当直线经过点时与函数的图象只有一个交点， 将代入，得； 当直线经过点时与函数的图象有三个交点， 将代入，得； 联立， 消去后可得：， 令，可得， 解得：， 即时，直线与函数的图象只有个交点； 观察图象，当或时，直线与函数的图象有2个交点． 故答案为：；或． 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，再计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 16. 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】设出二次函数的一般式，然后将三个已知点的坐标分别代入一般式，得到关于、、的三元一次方程组，再解方程组求出、、的值，最后确定二次函数的表达式． 【详解】解：由题知，设这个二次函数的表达式为， 将，，代入，得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为． 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 17. 如图，在中，已知，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】是通过作辅助线将斜三角形转化为两个可解的直角三角形，先利用三角形内角和求出的度数，再分别在两个直角三角形中计算和的长度，最后求和得到的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴． 过点作于点，如图． 在中，，， ∴， ∴， ∴． 在中，，， ∴． ∴． 18. 如图，已知的直径为，点在圆周上(异于，)，，是的平分线， （1）求证：直线是切线． （2）若，，求的直径． 【答案】（1）证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）要证明是圆的切线，根据切线判定定理，需证半径与直线垂直，因此先连接，利用得出，结合是角平分线得到，进而推出，再由得到，结合是圆的半径，即可证明是切线； （2）求圆的直径，先设半径为，过点作于，结合、的条件判定四边形为矩形，得出、，进而表示出，再在中运用勾股定理列出关于的方程，求解出半径后，即可得到圆的直径． 【小问1详解】 解：连接，如图， ， ， 是的平分线， ， ， ， 又， ， 是的半径， 直线是的切线． 【小问2详解】 解：过点作于点，如图， ，， 四边形是矩形， ，， 设的半径为，则， ，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， 直径． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是线段上的一点，过点B作轴，交反比例函数的图象于点C，过点A作的垂线交x轴于点D，点E在线段上，且，连接，设点B的横坐标为． （1）求点B的纵坐标（用含t的代数式表示）； （2）若时，求点E的坐标； （3）若的面积为5，点E在反比例函数的图象上，求k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，相似三角形的性质与判定． （1）根据题意，先求出直线的表达式，即可得出点的纵坐标代数式； （2）添加适当的辅助线，见解析，通过角度关系，证明出，结合比例，可得出、的长度，故可得点的坐标； （3）由的面积为5，可用表示出点的坐标表达式，结合（2）中点所在图象的表达式，可解出的取值，再得出的值． 【小问1详解】 解：因为直线的所表示的函数为正比例函数， 假设其表达式为， ∵，故，解得， ∴直线的表达式为， ∵点B在直线上，点B横坐标为t， ∴点B的纵坐标为． 【小问2详解】 如图，延长交x轴于点N，过A作轴于点M，过点E作于点F． ∵， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，得． 【小问3详解】 ∵的面积为5， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵点C，E在反比例函数图像上， 故， 整理可得：， 解得：或（舍去）， ∴当时，， 故的值为． 20. 如图，已知，点是劣弧上任一点，过点作，交的延长线于点，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，等腰三角形性质和圆周角定理，先由得，根据，推得，再根据，经过等量代换可得结论． 【详解】略 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 21. 如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．(参考数据：，，，，，≈) （1）求驿站与驿站之间的距离(结果精确到)； （2）购物节期间，派送员从物流中心出发，以/的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 【答案】（1）驿站与驿站之间的距离约为 （2）派送员能在内到达驿站 【解析】 【分析】（1）过点作、，结合矩形的判定与性质得到，根据方向角确定和中的对应锐角，先在中利用余弦函数求出的长度，进而计算出的长度，再在中依据余弦函数的定义求出的长度； （2）计算出的总路程，根据“时间=路程÷速度”求出行驶时间，再加上、两个驿站的停留总时间得到全程总耗时，将总耗时与作比较，判断派送员能否按时到达． 【小问1详解】 解：过点作于，于， 由题意得，，，， 在中，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：驿站与驿站之间的距离约为． 【小问2详解】 解：派送员能在内到达驿站；理由如下： ∵//， ∴， ∵＜， ∴派送员能在内到达驿站． 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 22. 综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 （1）在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． （2）如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 【答案】（1）图象见解析，， （2） 【解析】 【分析】（1）以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系；利用待定系数法求出抛物线解析式，从而得出P点坐标及； （2）把代入函数解析式，求解x，然后计算宽度即可． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是用待定系数法求解和熟练运用二次函数的图象性质． 【小问1详解】 解：平面直角坐标系如下： ， 抛物线顶点在y轴， ∴设抛物线解析式为， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O， 由题可知 将A，C代入抛物线解析式，得， 解得， 函数解析式为： ∴顶点为 故； 【小问2详解】 解：当时，代入抛物线表达式 解得 最大宽度为 他们能站的最大宽度为才不会被水淋到． 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分） 23. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且A、C、D三点共线，，连接，G是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时， ； ； 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度，请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将绕点A逆时针旋转β度，当时，请直接写出旋转角β的度数为 ． 【答案】（1），； （2）依然成立； 证明：如图2，延长至F，使，分别连接、、，过B作，交于M，交于N，与交于Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴且； （3）或 【解析】 【分析】（1）过B作交的延长线于F，依题意，，由勾股定理求得，证明四边形是正方形，在中，勾股定理求得，即可得解； （2）根据模型的方法，作出辅助线，延长至F，使，分别连接、、，过B作，交于M，交于N，与交于Q，证明，，得出，根据等腰三角形的性质，即可得出且； （3）取的中点O，连接，则是的中位线，连接，根据题意，得出当时，垂直平分，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图1，过B作交的延长线于F， 由小颖得证明思路得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中：， 故答案为：，； （2）略 （3）取的中点O，连接，则是的中位线，连接， ∴，， 分以下两种情况： 当时，且点G在的上方，如图3所示， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图4所示，当G点在的下方时，此时E点在的下方， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第四次月考数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 2. 下列汉字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将放大到原来的倍，则点的对应点的坐标是( ) A. B. C. 或 D. 或 5. 下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 6. 《周髀算经》记载的“方圆圆方图”是一种建筑构造的法则，其核心为东方美学的瑰宝——白银比．为探究其比值，淇淇用尺规作图进行如下操作：如图，已知线段，①分别以点、为圆心，大于长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点、；②作直线交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，在线段上方交直线于点；③连接，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则，为白银比的比值，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边的中点D横坐标为，反比例函数的图象经过点A、D．若，则k的值为（ ） A. B. 9 C. D. 8. 如图，的半径弦于点，联结并延长交于点，联结．已知．则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9. 如图，在6×7网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（ ） A. 6 B. 6 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是______． 12. 是的黄金分割点，，若，则________．（结果精确到0.1） 13. 如图，是的直径，点，依次在上，连接．若，则图中与相等的弧是______． 14. 函数的图象如图所示，则图象与轴交点的坐标为__________；若方程恰好有两个不相等的实数根，那么的取值范围是__________． 三．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 15. 计算：． 16. 已知一个二次函数的图象经过，，三点，求这个二次函数的表达式． 四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分） 17. 如图，在中，已知，，，求的长． 18. 如图，已知的直径为，点在圆周上(异于，)，，是的平分线， （1）求证：直线是的切线． （2）若，，求的直径． 五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是线段上的一点，过点B作轴，交反比例函数的图象于点C，过点A作的垂线交x轴于点D，点E在线段上，且，连接，设点B的横坐标为． （1）求点B的纵坐标（用含t的代数式表示）； （2）若时，求点E的坐标； （3）若的面积为5，点E在反比例函数的图象上，求k的值． 20. 如图，已知，点是劣弧上任一点，过点作，交的延长线于点，连接，．求证：． 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 21. 如图，为某物流中心，，，为三个驿站，在的正南方向处，在的正东方向，在的南偏西方向处，在南偏西方向．(参考数据：，，，，，≈) （1）求驿站与驿站之间的距离(结果精确到)； （2）购物节期间，派送员从物流中心出发，以/的速度沿着的路线派送快递到各个驿站，派送员途经，两个驿站时各停留存放快递，请通过计算说明派送员能否在内到达驿站． 七．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 22. 综合与实践 【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分．某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离． 【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点即为抛物线水流的最高点与地面的距离．小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿，竖直地放在线段上当水流刚好经过竹竿顶部点时，测得竹竿底部点到点的距离为． 【问题解决】 （1）在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和的长． （2）如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段上拍照．，结果保留整数 八．解答题（共1小题，满分14分，每小题14分） 23. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且A、C、D三点共线，，连接，G是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时， ； ； 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度，请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将绕点A逆时针旋转β度，当时，请直接写出旋转角β的度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $