专题23.3.1矩形的性质及判定 优等生讲义 (14大考点精讲+压轴题+课后巩固)2025-2026学年 沪教版（五四制）八年级数学下册

本讲义聚焦初中数学矩形的性质及判定核心知识点，以平行四边形为基础，系统梳理矩形的定义、性质（四个角为直角、对角线相等且互相平分、轴对称与中心对称）和判定方法（一个直角的平行四边形、对角线相等的平行四边形、三个直角的四边形），构建从基础概念到综合应用（折叠、旋转、动点问题）的学习支架，融合勾股定理、全等三角形及方程思想的运用。 资料通过思维导图总览课程内容，14大考点分类精讲，涵盖性质理解、角度线段计算、证明、坐标系应用等，结合典型例题培养学生几何直观与空间观念（数学眼光）。压轴题涉及创新题型如垂美四边形、旋转问题，锻炼推理能力与模型意识（数学思维与语言），课中辅助教师系统授课，课后通过随堂检测和巩固作业帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题23.3.1矩形的性质及判定 优等生讲义 (14大考点精讲+压轴题+课后巩固) 思维导图·课程内容总览 课程目标 · 理解并掌握 矩形的定义、性质与判定方法 · 熟练运用 矩形的边、角、对角线性质解决几何问题 · 掌握 矩形与折叠、旋转、动点问题的综合应用 · 灵活运用 勾股定理、全等三角形、方程思想求解线段长度 · 体会 分类讨论、转化思想在矩形综合题中的应用 ✨ 核心思想：矩形的对角线相等且互相平分，四个角都是直角，是特殊的平行四边形 知识梳理 · 核心概念与定理 ☆矩形定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 ☆矩形性质 · 具有平行四边形的所有性质 · 四个角都是直角（90°） · 对角线相等且互相平分 · 矩形是轴对称图形（两条对称轴），也是中心对称图形 ☆矩形判定 · 有一个角是直角的平行四边形 · 对角线相等的平行四边形 · 有三个角是直角的四边形 ☆常用结论与公式 · 矩形面积 = 长 × 宽 · 矩形对角线长 = · 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 · 矩形内任意一点到两对角线端点的距离关系 核心考点 · 14类题型精讲 【考点1】矩形性质理解 ❤知识点/方法 · 对角线性质：对角线相等且互相平分，可构造等腰三角形。 · 角性质：四个角都是90°，常用于证明垂直或计算角度。 · 对称性：矩形既是轴对称又是中心对称图形。 · 与其他四边形关系：矩形是特殊的平行四边形，也是特殊的菱形（当邻边相等时成为正方形）。 1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 2．（24-25八年级下·上海·期中）如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是 ． 3．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ． 【考点2】利用矩形的性质求角度 ❤知识点/方法 · 等腰三角形性质：由对角线相等可得△AOB、△BOC等为等腰三角形。 · 等边对等角：结合三角形内角和定理求角度。 · 角平分线+矩形：角平分线可构造等腰直角三角形。 · 外角定理：利用三角形外角等于不相邻内角和。 4．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是 ． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（18-19九年级上·安徽·月考）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 8．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 【考点3】根据矩形的性质求线段长 ❤知识点/方法 · 勾股定理：在Rt△中利用两边求第三边。 · 等面积法：利用三角形面积相等列方程求垂线段长。 · 中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半。 · 全等三角形：证明线段相等后转化求解。 · 方程思想：设未知数，利用勾股或面积列方程。 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 11．（23-24八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 13．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【考点4】根据矩形的性质求面积 ❤知识点/方法 · 直接公式：S = 长 × 宽。 · 面积和差：矩形内三角形面积关系（等底等高）。 · 中点性质：中点连线构造平行四边形，面积递推。 · 规律探究：通过前几项找出一般规律（如面积每次减半）。 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 15．（20-21八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 17．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 18．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点5】利用矩形的性质证明 ❤知识点/方法 · 证明线段相等：利用对角线相等、全等三角形。 · 证明垂直：利用矩形四个直角或勾股逆定理。 · 证明平行四边形：由矩形性质推出对边平行且相等。 · 证明菱形/正方形：结合邻边相等或对角线垂直。 19．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 20．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 21．（23-24八年级下·上海·期末）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 22．（2024·上海闵行·二模）在矩形中，，点E在边上，点F在边上，联结、、，，以下两个结论：①；②．其中判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误； C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 23．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，矩形中，对角线相交于点O，分别过点A，C作于点E，于点F，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 24．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【考点6】求矩形在坐标系中的坐标 ❤知识点/方法 · 中点坐标公式：矩形对角线中点坐标相同。 · 两点间距离公式：利用对角线相等列方程。 · 平行于坐标轴：AD∥x轴则纵坐标相等，AB∥y轴则横坐标相等。 · 旋转坐标变换：旋转90°后坐标互换并考虑符号。 25．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 27．（2024·河南驻马店·一模）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【考点7】矩形与折叠问题 ❤知识点/方法 · 折叠性质：对应边相等，对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 · 勾股定理：在Rt△中列方程求折痕或线段长。 · 等腰三角形：折叠常产生等腰三角形（如△ABF）。 · 全等三角形：折叠前后图形全等，可证三角形全等。 29．（25-26七年级上·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 30．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，在长方形纸片中，点，分别在边和上，将该长方形纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为点，．若点恰好落在边上，且，则点之间的距离为 ． 31．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下求的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 32．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为 ． 33．（24-25八年级下·上海·月考）下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点8】矩形的判定定理理解 ❤知识点/方法 · 判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 判定2：对角线相等的平行四边形是矩形。 · 判定3：有三个角是直角的四边形是矩形。 · 易错点：对角线相等的四边形不一定是矩形（需平行四边形）。 34．（2025·云南·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，， 交于点，过作 ，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，的面积为．求的长． 35．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，点M为的中点，过点D作，延长到点E使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 36．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形成为矩形？ (2)当为何值时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 37．（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，已知平行四边形的对角线、相交于点O，，，两动点E、F同时分别以的速度从点A、C出发在线段上运动，    (1)求证：当E、F运动过程中不与点O重合，四边形一定为平行四边形； (2)设E、F的运动时间为，则当t为何值时，四边形为矩形． 38．（2022·云南曲靖·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【考点9】证明四边形是矩形 ❤知识点/方法 · 步骤：先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等。 · 常见辅助线：连接对角线，利用中点构造平行四边形。 · 全等三角形：通过证全等得到边等或角等。 · 平行线性质：利用平行线证直角。 39．如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 40．如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 41．已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 【考点10】添一条件使四边形是矩形 ❤知识点/方法 · 从角的角度：添加一个直角（如∠ABC=90°）。 · 从对角线的角度：添加对角线相等（如AC=BD）。 · 从边的角度：添加一组对边平行且相等+一个直角。 · 常见错误：只加对角线相等而忽略平行四边形前提。 42．如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 43．如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)线段与有何数量关系，为什么？ (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【考点11】根据矩形的性质与判定求角度 ❤ 知识点/方法 · 旋转性质：旋转前后对应角相等，旋转角即对应点与中心连线夹角。 · 多边形内角和：四边形内角和360°，可列方程。 · 对顶角相等：用于角度转换。 · 等腰三角形：由矩形对角线相等可得等腰三角形，进而求角度。 44．如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 45．如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 46．如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 47．小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为且，连杆，的长度均为，且，与始终在同一平面上． (1)如图2，转动连杆，，使点，，在同一直线上，且，求的度数； (2)如图3，为了让光线更佳，继续转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．（结果保留根号） 【考点12】根据矩形的性质与判定求线段长 ❤知识点/方法 · 勾股定理：在直角三角形中求解。 · 30°角性质：30°所对直角边等于斜边一半。 · 垂线段最短：求最值时考虑垂线段。 · 方程思想：设未知数，利用勾股或相似列方程。 · 矩形对角线性质：对角线互相平分且相等，可构造平行四边形。 48．如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折，点B落在点E处，如果，那么的长是 ． 49．如图，在四边形中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；②分别以点G，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为 ． 50．如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是 ． 51．如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为 ． 52．已知：正方形的边长为厘米，对角线上的两个动点，，点从点、点从点同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过作交的直角边于；过作交的直角边于，连接，．设，，，围成的图形面积为，，，围成的图形面积为（这里规定：线段的面积为0）．到达，到达停止．若的运动时间为秒，在范围内， 时，．    【考点13】根据矩形的性质与判定求面积 ❤知识点/方法 · 菱形面积：菱形面积=对角线乘积的一半。 · 矩形内三角形面积：等底等高三角形面积相等。 · 面积和差：用整体减部分求阴影面积。 · 中点性质：中点连线将矩形分成面积相等的部分。 53．如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 54．已知矩形，点在边上，，连接，点在边上，连接，平分，若，，，则的面积是 ． 55．如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积S． 56．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积． 【考点14】创新及压轴题 ❤知识点/方法 · 旋转+全等：通过旋转构造全等三角形，转移线段。 · 垂美四边形：对角线互相垂直的四边形的性质应用。 · 最值问题：利用垂线段最短、三角形三边关系求最值。 · 存在性问题：分类讨论，列方程求解。 · 新定义问题：理解新定义，转化为熟悉模型。 1．平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． (1)当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 2．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：①如图1，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由； (3)问题解决：如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、，，已知，．求的长度． 3．在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 4．将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 矩形性质求角度（等腰三角形、外角） · 练习2 矩形纸条交叉成菱形，求边长范围 · 练习3 矩形内三角形面积关系（等积变形） · 练习4 矩形旋转+勾股求线段长 · 练习5 矩形折叠求角度（等腰直角三角形） 1．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，连接AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为 ． 2．两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉摆放，使得重叠部分是一个菱形（如图），那么该菱形的边长m的取值范围是 ． 3．如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 4．如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将ADE绕点A顺时针旋转得到，使得点D的对应点落在AE上，如果的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于 ． 5．如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于 度． 课后巩固 · 核心作业 · 作业1-2 矩形性质求角度、求线段长 · 作业3 矩形面积规律探究（递推） · 作业4 矩形对角线夹角+勾股求边长 · 作业5 矩形折叠+勾股求线段长 · 作业6 矩形+垂直平分线+勾股求边长 · 作业7 平行四边形对角线中点+矩形判定 · 作业8 平行四边形中点+矩形判定 · 作业9 平行四边形+高线交点求线段长（构造矩形） · 作业10 矩形+垂线+平行四边形面积 · 作业11 矩形+高线+正方形判定+矩形判定 ※复习建议 熟练掌握矩形的性质与判定，灵活运用勾股定理和全等三角形，折叠问题注意找等量关系，动点问题设未知数列方程，压轴题需构造辅助线。 1．如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为 ． 2．如图，矩形中，，垂足为E，且，，则 ． 3．如图，矩形的对角线与相交于点，以，为邻边作平行四边形，交于点；以，为邻边作平行四边形…，若，则 ． 4．如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是 ． 5．如图，在矩形中，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处．如果，那么的长为 ． 6．如图，矩形（长方形）中，对角线的垂直平分线分别交于点O，E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 7．如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 8．如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交的延长线于点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结，如果，求证：四边形是矩形． 9．如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 10．已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． (1)连接DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； (2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 11．已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 第 1 页 共 104 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.3.1矩形的性质及判定 优等生讲义 (14大考点精讲+压轴题+课后巩固) 思维导图·课程内容总览 课程目标 · 理解并掌握 矩形的定义、性质与判定方法 · 熟练运用 矩形的边、角、对角线性质解决几何问题 · 掌握 矩形与折叠、旋转、动点问题的综合应用 · 灵活运用 勾股定理、全等三角形、方程思想求解线段长度 · 体会 分类讨论、转化思想在矩形综合题中的应用 ✨ 核心思想：矩形的对角线相等且互相平分，四个角都是直角，是特殊的平行四边形 知识梳理 · 核心概念与定理 ☆矩形定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 ☆矩形性质 · 具有平行四边形的所有性质 · 四个角都是直角（90°） · 对角线相等且互相平分 · 矩形是轴对称图形（两条对称轴），也是中心对称图形 ☆矩形判定 · 有一个角是直角的平行四边形 · 对角线相等的平行四边形 · 有三个角是直角的四边形 ☆常用结论与公式 · 矩形面积 = 长 × 宽 · 矩形对角线长 = · 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 · 矩形内任意一点到两对角线端点的距离关系 核心考点 · 14类题型精讲 【考点1】矩形性质理解 ❤知识点/方法 · 对角线性质：对角线相等且互相平分，可构造等腰三角形。 · 角性质：四个角都是90°，常用于证明垂直或计算角度。 · 对称性：矩形既是轴对称又是中心对称图形。 · 与其他四边形关系：矩形是特殊的平行四边形，也是特殊的菱形（当邻边相等时成为正方形）。 1．（24-25八年级下·上海闵行·月考）下列命题中，假命题的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解、判断命题真假、利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解 【分析】此题考查了命题与定理的知识，掌握平行四边形的性质、菱形、正方形的判定及矩形的性质是解答本题的关键． 根据平行四边形的性质，菱形的性质及正方形的性质，矩形的判定定理，结合选项即可得出答案． 【详解】解；A、平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形的判定定理，是真命题，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，根据矩形的性质定理，是真命题，故此选项不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，是假命题，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级下·上海·期中）如图矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成，如果为等腰直角三角形，矩形的长宽恰好是的两个实数根，则矩形纸片的面积是 ． 【答案】8 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、矩形性质理解、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系等知识，先根据矩形的性质，等腰直角三角形的性质等得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得出，，化简可，解方程即可求解． 【详解】解：∵矩形纸片，为中点，将纸片沿着直线剪成两部分，这两部分纸片重新拼成， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵矩形的长宽恰好是的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， 解得或（负值舍去）， ∴， ∴矩形纸片的面积是， 故答案为∶ 8． 3．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为 ． 【答案】+1 【知识点】三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、矩形性质理解 【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边中线定理可得OE＝AE＝AB＝1，利用勾股定理求出DE，根据三角形任意两边之和大于第三边可知当OD过点E时，点D到点O的距离最大． 【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE， ∵∠MON＝90°，AB＝2 ∴OE＝AE＝AB＝1， ∵BC＝1，四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝1， ∴DE＝， 根据三角形的三边关系，OD≤OE+DE， ∴当OD过点E时，等号成立，DO的值最大，最大值为+1． 故答案为： +1． 【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形斜边中线定理、三角形三边关系，勾股定理的应用，确定OD过点E时，点D到点O的距离最大． 【考点2】利用矩形的性质求角度 ❤知识点/方法 · 等腰三角形性质：由对角线相等可得△AOB、△BOC等为等腰三角形。 · 等边对等角：结合三角形内角和定理求角度。 · 角平分线+矩形：角平分线可构造等腰直角三角形。 · 外角定理：利用三角形外角等于不相邻内角和。 4．（24-25八年级下·上海徐汇·月考）在矩形中，点为对角线的交点，，平分交于点E，则的度数是 ． 【答案】/30度 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用矩形的性质求角度、角平分线的有关计算、等边对等角 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出为等边三角形，得到，，角平分线求出，得到，进而得到，等边对等角结合角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故选：C． 6．（18-19九年级上·安徽·月考）如图，平行四边形中，P是边上的一点（不与点A，B重合），，过点P作，交于点Q，连接． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质求角度、证明四边形是矩形 【分析】本题考查矩形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理等． （1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案； （2）利用矩形性质可知，再判定，利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长是． 7．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质求角度、等边对等角 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 8．（2022八年级下·上海·专题练习）如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 【答案】∠DCE＝22.5° 【知识点】利用矩形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定 【分析】由已知条件可先求得∠DOC，在Rt△OCE中可求得∠ECO，再由矩形的性质可知OC＝OD，则可求得∠DCE． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°，OC＝OD， ∴△OCD是等腰三角形， ∴∠DCO＝∠ODC， ∵CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE， ∴∠DOC＝∠ECO＝45°， ∴∠DCO＝＝67.5°， ∴∠DCE＝∠DCO﹣∠OCE＝22.5°． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，利用矩形的性质求得∠DOC是解题的关键，注意OC＝OD的应用． 【考点3】根据矩形的性质求线段长 ❤知识点/方法 · 勾股定理：在Rt△中利用两边求第三边。 · 等面积法：利用三角形面积相等列方程求垂线段长。 · 中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半。 · 全等三角形：证明线段相等后转化求解。 · 方程思想：设未知数，利用勾股或面积列方程。 9．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 10．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·内蒙古通辽·月考）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，即，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，根据矩形的判定得出即可； （2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，即， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）∵四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 12．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据等角对等边证明边相等、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等面积法，余角定理，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出直角和相等的边，然后利用勾股定理和等面积法求出线段的长度即可； （2）过F作于点M，过F作于点N，利用勾股定理和等面积法求出相关线段的长度，得出，，然后利用等角的余角相等得出，最后利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴由等面积得，， ∴； （2）证明：过F作于点M，过F作于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由等面积可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 同理：， ∴， ∴． 13．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【考点4】根据矩形的性质求面积 ❤知识点/方法 · 直接公式：S = 长 × 宽。 · 面积和差：矩形内三角形面积关系（等底等高）。 · 中点性质：中点连线构造平行四边形，面积递推。 · 规律探究：通过前几项找出一般规律（如面积每次减半）。 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】整式加减的应用、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键是利用中点性质和三角形面积关系进行推导． 通过连接，分析三角形面积之间的关系，从而得出阴影部分面积． 【详解】解：连接．    在长方形中，和等底等高， ， 同理可证，， 是的中点， ， 是的中点， ， ， ． 故选：B． 15．（20-21八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 16．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 17．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 【答案】探究规律：，理由见详解；解决问题：； 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查平行四边形性质，矩形的性质： （1）过作并延长交于F，根据平行四边形得到，，结合平行线间距离处处相等得到即可得到答案； （2）过作并延长交于T，过作并延长交于N， 结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案； 【详解】解：探究规律：过作并延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 解决问题：过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接：，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 18．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·月考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、两直线平行内错角相等、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，即可证明； （2）先根据勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵，， 故， 故在中，， ∵的面积为， 即， ∴． 【考点5】利用矩形的性质证明 ❤知识点/方法 · 证明线段相等：利用对角线相等、全等三角形。 · 证明垂直：利用矩形四个直角或勾股逆定理。 · 证明平行四边形：由矩形性质推出对边平行且相等。 · 证明菱形/正方形：结合邻边相等或对角线垂直。 19．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，矩形的对角线和相交于点O，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)延长交于点，联结，请先按要求完善图形，再判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由； (3)填空：联结，如，，则的长为_______．（直接给出结果） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，四边形是等腰梯形，理由见解析 (3) 【知识点】利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长、二次根式的乘法、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰梯形的判定，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）可证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （2）由菱形和矩形的性质分别得到，，则可证明，进而证明四边形是平行四边形，得到，则四边形是等腰梯形； （3）过点E作交延长线于H，由矩形的性质可得，，证明是等边三角形，得到，则，由勾股定理可得；证明是等边三角形，得到，则，可得，，求出，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：四边形是等腰梯形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵与不平行， ∴四边形是等腰梯形； （3）解：如图所示，过点E作交延长线于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（21-22八年级下·广西南宁·期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理的逆定理得为直角三角形，，然后由面积法求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ，即， 四边形是平行四边形， ∴，， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ，， ，，， ， 为直角三角形，， ， ，即，解得， ． 21．（23-24八年级下·上海·期末）已知，如图，是矩形的对角线的垂直平分线，与对角线及边、分别交于点O，E，F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、利用矩形的性质证明、证明四边形是菱形 【分析】此题考查了矩形的性质、菱形的判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定是解题的关键． （1）证明，则，又由得到四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∵是矩形的对角线的垂直平分线， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； （2）∵四边形是菱形 ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 22．（2024·上海闵行·二模）在矩形中，，点E在边上，点F在边上，联结、、，，以下两个结论：①；②．其中判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误； C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】先证明，则，再证明是等腰直角三角形，则，进一步得到，则，利用完全平方公式进行计算即可证明①正确，由得到，根据即可证明②正确． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故②正确， 故选：A 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质、二次根式的运算等知识，证明是解题的关键． 23．（22-23八年级下·湖南怀化·期末）如图，矩形中，对角线相交于点O，分别过点A，C作于点E，于点F，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、利用矩形的性质证明 【分析】（1）由，，可得，，由四边形是矩形，可得，，证明，则，进而结论得证； （2）由（1）知， ，则，证明为线段的垂直平分线，则，为等边三角形，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵ ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知， ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴为线段的垂直平分线， ∴，   ∴为等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）已知矩形中，，矩形的周长为12，取的中点为坐标原点，与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，坐标与图形；根据题意求得点，根据旋转的性质可得分别对应，进而可得点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形中，，矩形的周长为12， ∴， ∴，， ∵的中点为坐标原点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形(点分别对应点)，则点逆时针旋转后与点重合， 将绕着点逆时针旋转得到， 又∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 【考点6】求矩形在坐标系中的坐标 ❤知识点/方法 · 中点坐标公式：矩形对角线中点坐标相同。 · 两点间距离公式：利用对角线相等列方程。 · 平行于坐标轴：AD∥x轴则纵坐标相等，AB∥y轴则横坐标相等。 · 旋转坐标变换：旋转90°后坐标互换并考虑符号。 25．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 26．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 27．（2024·河南驻马店·一模）如图所示，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第二象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点的对应坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点的变化特点，利用数形结合的思想解答，每秒旋转，则8次一个循环，，第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上，由此可得到点的坐标． 【详解】解：四边形是矩形， ， 每秒旋转，8次一个循环，， 第2025秒时，点的对应点落在轴正半轴上， 点的坐标为． 故选：B． 28．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、折叠问题、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练运用这些性质和定理是解答本题的关键． （1）利用折叠的性质得到，结合矩形的性质，在直角三角形中通过勾股定理建立方程求解的长度； （2）先根据折叠和矩形的性质证明三角形全等，得到，再在直角三角形中利用勾股定理求出的长度，最后结合三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得， 四边形是长方形， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ； （2）解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得， 又， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， ． 【考点7】矩形与折叠问题 ❤知识点/方法 · 折叠性质：对应边相等，对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。 · 勾股定理：在Rt△中列方程求折痕或线段长。 · 等腰三角形：折叠常产生等腰三角形（如△ABF）。 · 全等三角形：折叠前后图形全等，可证三角形全等。 29．（25-26七年级上·广东深圳·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使到，到，且点恰好在同一条直线上．均为折痕．若，则的度数为 °． 【答案】 【知识点】折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟知图形折叠前后对应角相等是解题的关键.，根据折叠的性质可得，结合平角的定义即可得出，即可得出，由此即可求解. 【详解】解：∵由折叠的性质可得， ∴点恰好在同一条直线上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：. 30．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，在长方形纸片中，点，分别在边和上，将该长方形纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为点，．若点恰好落在边上，且，则点之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，由折叠，得，继而由勾股定理求出，得到，再由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，如图 由长方形与折叠，得 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）如图，在长方形中，，，，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下求的值； ②连接，直接写出周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①AF；②周长的最小值为12 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，灵活运用相关的性质是解题的关键． （1）通过矩形的性质得到，，再根据已知条件求出，即可得证； （2）根据矩形的性质和折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，计算即可得解；连接，，当点恰好位于对角线上时，最小，根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得，， 的周长， 连接，， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 32．（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，将沿对角线BD折叠得，FB和AD相交于点E，将沿BE折叠得．若，则的度数为 ． 【答案】/22度 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题的关键． 设，根据折叠可得，，依据， 进而求解． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， ∴解得， ∴． 故答案为： ． 33．（24-25八年级下·上海·月考）下列事件中，是确定事件的个数是（   ） （1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； （4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正方形的判定定理理解、判断能否构成平行四边形、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定和确定事件的概念的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识逐一判断每句话的是否是确定事件，然后即可求解； 【详解】解：（1）不是确定事件，不符合题意，一组对边平行且相等才是平行四边形，仅一组对边平行且另一组对边相等可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； （2）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等，则符合矩形的判定定理，故该命题成立； （3）是确定事件，符合题意，平行四边形的对角线平分一组对角时，邻边相等，四条边均相等，故为菱形； （4）不是确定事件，不符合题意，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，若其不是平行四边形（如对角线不互相平分），则无法保证是正方形； 综上，是确定事件的有（2）和（3），共2个， 故选：B； 【考点8】矩形的判定定理理解 ❤知识点/方法 · 判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 判定2：对角线相等的平行四边形是矩形。 · 判定3：有三个角是直角的四边形是矩形。 · 易错点：对角线相等的四边形不一定是矩形（需平行四边形）。 34．（2025·云南·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，， 交于点，过作 ，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，的面积为．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【知识点】利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先利用平行四边形性质得、，结合、证四边形是平行四边形，再由推出，进而证其为矩形． （2）根据平行四边形对边相等得，由面积求出，进而得，最后在中用勾股定理求 ． 本题主要考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定、勾股定理以及三角形面积的应用，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 35．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在中，点M为的中点，过点D作，延长到点E使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可证明结论； （2）先求出，再在中，利用勾股定理可得，然后根据矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵M是的中点，， ∴． 36．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形成为矩形？ (2)当为何值时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)时，四边形成为矩形 (2)或或 (3)四边形不能成为菱形，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、利用平行四边形的性质求解、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键； （1）由，，由矩形的判定可知当时，四边形成为矩形； （2）由（1）可求得点、与点、为顶点的四边形为平行四边形；然后由当时，是平行四边形，求得t的值； （3）假设能成为菱形由，得出：，当时，，在中，，，勾股定理求得，即可得出结论 【详解】（1）∵，， ∴当时，四边形成为矩形， 由运动知，，， ∴， ∴， 解得． ∴当时，四边形成为矩形； 当时，四边形成为矩形； （2）当时，， 此时，四边形是平行四边形； 当时，， 此时，四边形是平行四边形时； 当时，， 此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． （3）四边形不能成为菱形．理由如下： ，当时，四边形能成为菱形． 由，得，解得：， 当时，，，． 在中，，， 根据勾股定理得，， 四边形不能成为菱形． 37．（23-24九年级上·安徽宿州·月考）如图，已知平行四边形的对角线、相交于点O，，，两动点E、F同时分别以的速度从点A、C出发在线段上运动，    (1)求证：当E、F运动过程中不与点O重合，四边形一定为平行四边形； (2)设E、F的运动时间为，则当t为何值时，四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)当或时，四边形为矩形 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形性质和判定证明、矩形的判定定理理解 【分析】（1）证明，根据对角线互相平分，即可得证； （2）根据矩形的性质，可得，进而分类讨论，即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：， 四边形是平行四边形， ，， 或， 即， 四边形一定是平行四边形； （2）解：由（1）知：四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， 运动时间为， ， 当、没重合时， ， ， 解得：， 当、重合后时， ， ， 解得：， 当或时，四边形为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的性质是解题的关键． 38．（2022·云南曲靖·一模）如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求面积、证明四边形是矩形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 【考点9】证明四边形是矩形 ❤知识点/方法 · 步骤：先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等。 · 常见辅助线：连接对角线，利用中点构造平行四边形。 · 全等三角形：通过证全等得到边等或角等。 · 平行线性质：利用平行线证直角。 39．（24-25八年级下·上海宝山·月考）如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，即可得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义，以及平行线的性质得出，进而可得，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，结合已知条件得出，则四边形是平行四边形，根据菱形的性质得出，即，根据已知，等量代换得出，即，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 40．（24-25八年级下·上海·期中）如图，平行四边形中，为对角线上任一点． (1)连接、，若，求证：四边形是菱形； (2)若在上，连接、，若，，判断四边形的形状并证明． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【知识点】证明四边形是矩形、证明四边形是菱形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点，利用平行四边形的性质求得，再证明和全等，得到，说明点、点和点重合，据此即可证明四边形是菱形； （2）利用平行四边形的性质求得，由已知得到，由三角形的外角性质和三角形的内角和定理求得，，结合求得，据此即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：分别过点和作的垂线，垂足分别为和，连接交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴点、点和点重合，即于点， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及三角形的外角性质． 41．（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知：如图，矩形中，，将沿直线翻折，点落在点处，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，与的交点为，过作交于，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是矩形、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由矩形的性质可得，．由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，由全等三角形的性质可得，从而得出，再结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由折叠的性质结合平行线的性质可得，由同角的余角相等可得，从而证明出，证明得出，即可得证． 【详解】（1）证明：矩形， ∴，． ∴， ∵沿直线翻折 ． ． ， ∴． ∵， ∴， ∴． ． ． 在中，． 在中，． 又， ， ． ． （2）证明：如图： 沿直线翻折， ． ， ， ， ，， ， ∴． ． 又． ． ， ，． 又， ． ， ∴四边形是平行四边形． 平行四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【考点10】添一条件使四边形是矩形 ❤知识点/方法 · 从角的角度：添加一个直角（如∠ABC=90°）。 · 从对角线的角度：添加对角线相等（如AC=BD）。 · 从边的角度：添加一组对边平行且相等+一个直角。 · 常见错误：只加对角线相等而忽略平行四边形前提。 42．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，在菱形中，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 【知识点】证明四边形是矩形、利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、添一条件使四边形是矩形 【分析】本题主要考查矩形判定、菱形的性质，掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）由菱形的性质可知，可证得，结合E为的中点，可利用证得结论； （2）证明时，四边形是矩形（根据对角线相等的平行四边形是矩形）即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形，证明如下： 由（1）知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵菱形，E为中点， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形． 43．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． (1)线段与有何数量关系，为什么？ (2)当满足什么条件时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当满足时，四边形是矩形，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、添一条件使四边形是矩形、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先证明得到，再结合，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，由（1）得，当满足时，利用三线合一性质得到，再根据矩形的判定即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：当满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）得，， 当时，则， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【考点11】根据矩形的性质与判定求角度 ❤ 知识点/方法 · 旋转性质：旋转前后对应角相等，旋转角即对应点与中心连线夹角。 · 多边形内角和：四边形内角和360°，可列方程。 · 对顶角相等：用于角度转换。 · 等腰三角形：由矩形对角线相等可得等腰三角形，进而求角度。 44．（25-26九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【知识点】证明四边形是正方形、根据旋转的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，再结合矩形的判定和性质，正方形的判定进行分析判断，即可解题． 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 45．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解、多边形内角和问题 【分析】本题考查了旋转的性质，多边形的内角和，矩形的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键． 根据对顶角相等求出，再根据四边形的内角和等于求出，然后求出，最后根据旋转的性质可得即为旋转角． 【详解】解：∵矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵矩形中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：D． 46．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是矩形、三角形内角和定理的应用、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，接着证明四边形是平行四边形，然后结合，得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道，那么，再根据三角形内角和算得，从而得出答案． 【详解】（1）证明： 是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 47．（24-25八年级下·山东济南·期末）小颖爸爸买了一盏新台灯，如图1放置在水平桌面上，底座的高为且，连杆，的长度均为，且，与始终在同一平面上． (1)如图2，转动连杆，，使点，，在同一直线上，且，求的度数； (2)如图3，为了让光线更佳，继续转动连杆，，使成平角，，求连杆端点离桌面的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)155° (2)连杆端点离桌面的高度为 【知识点】等边对等角、根据矩形的性质与判定求角度、三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和，矩形的判定与性质，勾股定理的应用． （1）先求出，再根据，可得，即可解答； （2）过点B作于点O，证明四边形是矩形，可得，继而求出，根据勾股定理，得到，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）过点B作于点O，如图， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即连杆端点离桌面的高度为． 【考点12】根据矩形的性质与判定求线段长 ❤知识点/方法 · 勾股定理：在直角三角形中求解。 · 30°角性质：30°所对直角边等于斜边一半。 · 垂线段最短：求最值时考虑垂线段。 · 方程思想：设未知数，利用勾股或相似列方程。 · 矩形对角线性质：对角线互相平分且相等，可构造平行四边形。 48．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折，点B落在点E处，如果，那么的长是 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理．作于点，证明四边形是矩形，利用勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质知，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴的长是， 故答案为：． 49．（25-26九年级上·上海·月考）如图，在四边形中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，的长为半径作弧，交于点；②分别以点G，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线．若点在射线上，则线段的长度为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．过点D作的垂线，交的延长线于点H，先根据勾股定理求出的长，再证明，证明四边形是矩形得，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作的垂线，交的延长线于点H，如图， 在中，， 由勾股定理可知． 由作图过程可知射线平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 故答案为：． 50．（24-25八年级下·吉林·期末）如图所示，在中，，，，为上一动点（不与、重合），作于点，于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、垂线段最短 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用矩形的性质得出．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得＝，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得．即则的最小值是． 故答案为：． 51．（18-19九年级上·全国·期末）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】2.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 52．（22-23八年级下·上海徐汇·月考）已知：正方形的边长为厘米，对角线上的两个动点，，点从点、点从点同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过作交的直角边于；过作交的直角边于，连接，．设，，，围成的图形面积为，，，围成的图形面积为（这里规定：线段的面积为0）．到达，到达停止．若的运动时间为秒，在范围内， 时，．    【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】首先根据动点、的运动速度与运动时间均相同得出，再由正方形的性质及已知，得出与都是等腰直角三角形，然后证明四边形是矩形，勾股定理求出正方形的对角线长为．再连接交于，则．然后用含的代数式分别表示，，当时得出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】、运动时间相同， ， ， ， ， 为正方形， ， ， ， 又 ， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 正方形边长为， ． ，过作于，则．   ， ，， ． 当时，． 解得（舍去），． 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，一元二次方程的应用，分别表示出，是解题的关键． 【考点13】根据矩形的性质与判定求面积 ❤知识点/方法 · 菱形面积：菱形面积=对角线乘积的一半。 · 矩形内三角形面积：等底等高三角形面积相等。 · 面积和差：用整体减部分求阴影面积。 · 中点性质：中点连线将矩形分成面积相等的部分。 53．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）如图，菱形 的面积为，O为对角线 ，的交点，点E，F，G分别为 ，，的中点，连接 ，，则四边形 的面积为 ． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质的运用，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直平分． 连接，依据菱形的性质以及等腰三角形的性质，即可得到都是直角，即可得到四边形是矩形；再根据菱形的面积即可得到矩形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又 ∵是的中点， ∴， 又 ∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵菱形的面积为， ∴，即， ∴四边形的面积． 故答案为：3． 54．（2022·黑龙江哈尔滨·二模）已知矩形，点在边上，，连接，点在边上，连接，平分，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】过点作于，设，则，，证明，得到，再求出，则，，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 设，则，， 平分， ， ， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， （负值舍去）， ，，，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，利用勾股定理求出的长是解题的关键． 55．（22-23九年级下·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，，．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积S． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 即， ，， 为线段的中点， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 56．（21-22八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数； (3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)详见解析； (2)75°； (3)． 【知识点】等边三角形的判定和性质、证明四边形是矩形、根据矩形的性质与判定求角度、根据矩形的性质与判定求面积 【分析】（1）由平行线的性质易证∠BAD＝90°，得出∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，即可得出结论； （2）由矩形和角平分线的性质得出∠CDE＝∠CED＝45°，则EC＝DC，推出∠CDO＝60°，证明△OCD是等边三角形，求出∠OCB＝30°，得出∠COE＝75°，即可得出结果； （3）作OF⊥BC于F．求出EC、OF的长即可． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴EC＝DC， 又∵∠BDE＝15°， ∴∠CDO＝60°， 又∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴OD＝OC， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠DOC＝∠OCD＝60°， ∴∠OCB＝90°﹣∠DCO＝30°， ∵CO＝CE， ∴∠COE＝（180°﹣30°）÷2＝75°； （3）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，∠BCA＝90°， 由（1）可知，∠OCB＝30°， ∴AC=2AB=4， ∴， ∴矩形OEC的面积． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点14】创新及压轴题 ❤知识点/方法 · 旋转+全等：通过旋转构造全等三角形，转移线段。 · 垂美四边形：对角线互相垂直的四边形的性质应用。 · 最值问题：利用垂线段最短、三角形三边关系求最值。 · 存在性问题：分类讨论，列方程求解。 · 新定义问题：理解新定义，转化为熟悉模型。 1．（24-25九年级上·黑龙江·期末）平面内有一等腰直角三角板，直线过点．过点作于点，过点作于点．当点与点重合时（如图①），易证：． (1)当三角板绕点顺时针旋转至图②的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (2)当三角板绕点顺时针旋转至图③的位置时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要说明理由． 【答案】(1)成立，见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过B作于点H，可证，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作，交的延长线于点G，，通过线段的等量代换可得答案． 【详解】（1）解：仍成立， 证明：如图，过B作于点H， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，，， ∴； （2）解：不成立，线段、、之间的数量关系为：， 证明：如图，过点B作，交的延长线于点G， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， 又∵在中，， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴． 2．（18-19八年级下·江西南昌·期末）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图2，在四边形中，，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． (2)性质探究：①如图1，垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在中，点为斜边的中点，分别以，为底边，在外部作等腰三角形和等腰三角形，连接，，分别交，于点，．试猜想四边形的形状，并说明理由； (3)问题解决：如图4，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、，，已知，．求的长度． 【答案】(1)四边形是垂美四边形，见解析 (2)①，见解析；②四边形是矩形，见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在中，点为斜边的中点，可得，再根据和是等腰三角形，可得，，再由（1）可得，，，从而判定四边形是矩形； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：四边形是垂美四边形， 连接、，如图所示： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是垂美四边形； （2）①，理由如下， 如图，已知四边形中，，垂足为， ∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴； ②四边形是矩形，理由如下， 如图，连接AF， ∵在中，点为斜边的中点， ∴， ∵和是等腰三角形， ∴，， 由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （3）连接、，如图所示： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得， ∵，， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂美四边形的问题，掌握垂直平分线的判定定理、垂直的定义、勾股定理、垂美四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 3．（22-23八年级下·上海徐汇·期末）在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．    (1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； (2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 【答案】(1)或 (2)①；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②连接，由①同理得，，由①知，则，可证明，则，同理可证，得到四边形是平行四边形，由四边形的面积是矩形面积的得到，则，即，求得，得到． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接，    ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）①由（1）知：， 如图2，连接，    ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接，    由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 4．（25-26八年级上·上海·期末）将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形，点A，B，D的对应点分别为点，，，设直线与直线交于点E． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)如图②，在旋转的过程中，当点恰好落在矩形的对角线上时，点恰好落在的延长线上（即点与点E重合），连接，求证：四边形是平行四边形； (3)在矩形绕点C顺时针旋转的过程中，若，，当，，D三点在同一条直线上时，请求出的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，根据矩形的性质得出，推得，根据旋转的性质得出，根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）连接，根据旋转的性质得出，根据矩形的性质得出，，，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据平行四边形的判定定理即可证明； （3）分为：点，在的同一侧时和点，在的异侧时，两种情况分别求解，根据勾股定理求出，结合图形求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 四边形与四边形都是矩形，如图①，连接， ， ， 即， 将矩形绕点C顺时针旋转，当旋转到如图①所示的位置时，得到矩形， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：如图2：连接， 根据旋转的性质可得：， 四边形是矩形， ，，， 即， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （3）解：如图3，当点，在的同一侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 如图4：当点，在的异侧时， 根据旋转的性质可得：，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1 矩形性质求角度（等腰三角形、外角） · 练习2 矩形纸条交叉成菱形，求边长范围 · 练习3 矩形内三角形面积关系（等积变形） · 练习4 矩形旋转+勾股求线段长 · 练习5 矩形折叠求角度（等腰直角三角形） 1．（19-20八年级下·上海松江·期末）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，连接AE交BD于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为 ． 【答案】45° 【知识点】利用矩形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接AC交BD于点O，根据矩形的性质可得OB＝OC，∠OBC＝∠OCB，CE＝BD=AC，从而可求∠CAE＝∠E＝15°，∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°，进而根据外角可求． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵CE＝BD， ∴AC＝CE， ∴∠CAE＝∠E＝15°， ∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°， ∴∠AFB＝∠OBC+∠E＝30°+15°＝45°； 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（22-23八年级下·上海嘉定·期末）两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉摆放，使得重叠部分是一个菱形（如图），那么该菱形的边长m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，当菱形是正方形时，m的最小值是2，由勾股定理得到，求出m的最大值是，即可得到m的取值范围． 【详解】解：当两矩形纸条垂直时，菱形是正方形，菱形的边长最小，， 当两纸条如图摆放时，菱形的边长最大， ∵矩形长是8，宽是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是能正确作出辅助线， 连接，可得，再根据面积的和差可得，同理可得，即可解答 【详解】解：连接，      ， 又，， 同理     ， 又，， ， 故答案为：40 4．（21-22九年级上·上海松江·期末）如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将ADE绕点A顺时针旋转得到，使得点D的对应点落在AE上，如果的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】如图，连接BE、BE′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，利用勾股定理可得BD′＝4，再运用等面积法可得：AB•AD＝AE•BD′，求出AE＝，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接BE、BE′， ∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5， ∴∠D＝90°， 由旋转知，△AD′E′≌△ADE， ∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°， ∵D′E′的延长线恰好经过点B， ∴∠AD′B＝90°， 在Rt△ABD′中，BD′＝＝＝4， ∵S△ABE=AB•AD＝AE•BD′， ∴AE＝＝＝， 在Rt△ADE中，DE＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、旋转性质、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握矩形性质和旋转性质，会利用等面积法求解是解答的关键． 5．（24-25八年级下·上海闵行·月考）如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于 度． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了翻折问题，解决本题的关键是由翻折得到． 由翻折得到，先根据勾股定理求出，得到为等腰直角三角形，所以，进而求出，再根据为等腰三角形，得到，进而求出． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 课后巩固 · 核心作业 · 作业1-2 矩形性质求角度、求线段长 · 作业3 矩形面积规律探究（递推） · 作业4 矩形对角线夹角+勾股求边长 · 作业5 矩形折叠+勾股求线段长 · 作业6 矩形+垂直平分线+勾股求边长 · 作业7 平行四边形对角线中点+矩形判定 · 作业8 平行四边形中点+矩形判定 · 作业9 平行四边形+高线交点求线段长（构造矩形） · 作业10 矩形+垂线+平行四边形面积 · 作业11 矩形+高线+正方形判定+矩形判定 ※复习建议 熟练掌握矩形的性质与判定，灵活运用勾股定理和全等三角形，折叠问题注意找等量关系，动点问题设未知数列方程，压轴题需构造辅助线。 1．（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为 ． 【答案】60°/60度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、利用矩形的性质求角度 【分析】连接AC，交BD于点O，由矩形的对角线相等且互相平分可得∠CAE=∠E=20°，由三角形外角的性质可得∠ACB，由等边对等角可得∠OBC，进而求得∠BOC，△AOF中由三角形内角和定理可得∠AFO． 【详解】解：如图，连接AC，交BD于点O， ABCD是矩形，则BD=AC， CE=BD，则CE=AC， ∠E=20°，则∠CAE=20°， ∴∠ACB=∠CAE+∠E=40°， ∵OB=BD，OC=AC， ∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=40°， ∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=100°， ∴∠AOF=∠BOC=100°， ∵∠OAF=20°， ∴∠AFO=180°-∠OAF-∠AOF=60°， ∴∠AFB=60°， 故答案为：60°； 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握矩形的性质是解题关键． 2．（24-25八年级下·上海·期末）如图，矩形中，，垂足为E，且，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，由矩形的性质得，由，得，则垂直平分，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（20-21八年级下·上海杨浦·期中）如图，矩形的对角线与相交于点，以，为邻边作平行四边形，交于点；以，为邻边作平行四边形…，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、利用平行四边形的性质求解、图形类规律探索 【分析】先求出平行四边形ABC1O，平行四边形ABC2O1，的面积，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 同理可得：平行四边形的面积， 平行四边形的面积， …， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般探究规律，利用规律解决问题． 4．（21-22八年级下·上海·期末）如图，矩形的两条对角线相交于点，，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明 【分析】首先证明是等边三角形，可以求得的长，然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 则． 故答案是：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定的应用和勾股定理的应用，解决本题的关键是：矩形的对角线相等且互相平分，属于基础题． 5．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）如图，在矩形中，，点在边上，折叠矩形使落在射线上，折痕为，点分别落在点处．如果，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题． 首先求出，由矩形的性质得出，，由平行线的性质得出，由翻折不变性可知，，证出，由等腰三角形的判定定理得出，再由勾股定理求出，可得，再利用翻折不变性，可知，由此即可解决问题． 【详解】解：， ， 由矩形的性质可得， ∵将纸片折叠，使落在射线上， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（21-22八年级上·上海黄浦·期末）如图，矩形（长方形）中，对角线的垂直平分线分别交于点O，E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查矩形的性质，线段的中垂线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）证明，即可； （2）连接，中垂线的性质，得到，勾股定理求的长即可． 掌握相关性质，证明，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）连接，则：， ∵矩形， ∴， ∵， ∴． 7．（24-25八年级下·上海浦东新·月考）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形是矩形． 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （）由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得证； （）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当时，四边形是矩形，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由： ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 8．（24-25八年级下·上海松江·期末）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交的延长线于点，联结． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)联结，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明四边形是矩形、等边对等角 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，等腰三角形的性质的性质等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据证明，得出，结合线段中点定义可得，然后根据“一组对边平行且相等是四边形是平行四边形”即可得证； （2）根据等边对等角可得出，，结合三角形内角和定理可求出，最后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 9．（24-25八年级下·上海·期中）如图，中，与，于，是三条高的交点，已知，，，求的长度（用含，，的代数式表示） 【答案】 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 过点C作于点M，连结，，构造平行四边形，矩形，平行四边形，利用平行四边形的性质推知，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连结，过点C作于点M，连结，， ∵，， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵H是三条高的交点， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 10．（20-21八年级下·上海普陀·期末）已知：如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，点E、F是垂足． (1)连接DE、FB，求证：四边形DFBE是平行四边形； (2)如果AF＝EF＝2，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、证明四边形是平行四边形 【分析】（1）先根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，再证明BE∥DF，接着证明△ABE≌△CDF，从而得到BE＝DF，然后根据平行四边形的判定方法得到结论； （2）矩形面积ABCD的面积=AC∙DF，求出DF，AC即可求得矩形面积． 【详解】（1）证明：如图： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠EAB＝∠FCD， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴BE∥DF，∠AEB＝∠DFC＝90°， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DAC＝∠BCA， 又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠DAF＝∠BCE， 在△DAF和△BCE中， ， ∴△DAF≌△BCE（AAS）， ∴AF＝CE， 连接BD交AC于点O， ∵AF＝FE＝2， ∴AC＝BD＝6， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝DO＝3， 在△ODF中，OD＝3，OF＝1，∠OFD＝90°， ∴DF＝＝＝2， ∴矩形ABCD的面积＝AC×DF＝6×2＝12． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 11．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在中，，是边上的高．H为线段上的点，以为邻边作矩形，连结交于点E，联结交于点F．    (1)如果，求证：四边形为正方形； (2)联结，如果，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、证明四边形是平行四边形、矩形性质理解、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过矩形的性质得出证明，得出，再结合矩形的性质，即可作答． （2）经过角的等量代换得出，结合，得出，证明，得出，得出四边形是平行四边形，结合，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴ ∵是边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 第 1 页 共 104 页 学科网（北京）股份有限公司 $