精品解析：河北邯郸市第十一中学2025-2026学年第一学期初三年级期末质量监测数学试卷

2025-2026学年第一学期初三年级期末质量监测 数学试卷 试卷总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 7. 点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍 9. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 10. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①c≥−2 ； ②当x>0时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD为平行四边形时，a=． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 二.填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 14. 如果sinα =，那么锐角α =_____. 15. 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______． 16. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是S＝26t－t2，则飞机着陆滑行到停止，最后6 s滑行的路程___________m 三.解答题（共8小题，满分72分） 17. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 18. 如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 19. 如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图，已知台灯灯管长40，灯杆长50，台灯灯管、灯杆的夹角即，灯杆与写字台的夹角即． （1）求台灯灯管与水平线的夹角（锐角）？ （2）求灯管顶端E到写字台的距离，即的长？（台灯底座的宽度、高度都忽略不计，A，F，C，B在同一条直线上，参考数据：，，；结果精确到0.1） 20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，． 求的长； 过点作，交轴于点，求点的坐标； 在的条件下，如果、分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 21. 如图，一次函数y1＝﹣x+4与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A，B两点． （1）点A的坐标是______，点B的坐标是______： （2）点P是直线AB上一点，设点P的横坐标为m． ①当y1＜y2时，m的取值范围是______； ②点P在线段AB上，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP．若△POD的面积最小时，求m的值． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 23. 如图，是的外接圆，，点D是的中点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点E，连接并延长与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 24. 已知二次函数（的实数） （1）二次函数图象的对称轴是______． （2）当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期初三年级期末质量监测 数学试卷 试卷总分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 古典园林中的花窗通常利用对称构图，体现对称美．下面四个花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形定义，关键是掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：该几何体为： ． 3. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”． 4. 一元二次方程配方后可化为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1 ；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：A． 5. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＝180°−∠BCD＝60°， 由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ） A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，则，再利用根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程的解． 7. 点均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有 A．若，则，原说法错误； B．若，则，原说法错误； C．若，则，原说法错误； D．若，则，原说法正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质． 8. 节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若x减小，则y也减小 D. 若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵， ∴当时，x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 9. 在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（ ） A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处 【答案】B 【解析】 【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可． 【详解】帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为；  “车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ，  ∵ ∴马应该落在②的位置， 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大． 10. 某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设年平均增长率为x， 可得方程， 解得或（舍去负值）， 所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B 11. 如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象交x轴于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，有下列结论：①；②；③关于x的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； 根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴，即得，进而可判断，即可判断结论①；当时，，即，可判断结论②；根据二次函数与x轴的交点结合二次函数的对称性即可判断结论③④，可得答案. 【详解】解：根据图象可得：抛物线的开口向下，交y轴于正半轴， ∴， 又∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 由函数的图象可得：当时，，即， 即，故结论②错误； ∵二次函数的图象交x轴于A，B两点，点A，点B， ∴关于x的方程的解是，，，故结论③④正确； 综上，结论正确的有3个， 故选：C. 12. 已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论： ①c≥−2 ； ②当x>0时，一定有y随x的增大而增大； ③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3； ④当四边形ABCD为平行四边形时，a=． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，可判断①；根据二次函数的增减性判断②；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断④． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为(-3，-2)和(1，-2)， ∴线段AB与y轴的交点坐标为(0，-2)， 又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0，c) ， ∴C≥-2，(顶点在y轴上时取“=”)，故①正确； ∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上， ∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误； 若点D的横坐标最小值为-5，则此时对称轴为直线x=-3， 根据二次函数的对称性，点C的横坐标最大值为1+2=3，故③正确； 令y=0，则ax2+bx+c=0， 设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=， ∴CD2=( x1-x2) 2=( x1+x2) 2-4x1x2， 根据顶点坐标公式，， ∴，即， ∵四边形ACDB为平行四边形， ∴CD=AB=1-（-3)=4， ∴=42=16，解得a=，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：D． ． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，要注意顶点在y轴上的情况． 二.填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数，进行解答即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两个点，横、纵坐标互为相反数． 14. 如果sinα =，那么锐角α =_____. 【答案】30°##30度 【解析】 【分析】根据三角函数的值，求角的度数. 【详解】∵sin30°= ， ∴α=30°， 故答案为：30°. 【点睛】本题考查三角函数.确定所求的角是锐角是解题的关键. 15. 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 16. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是S＝26t－t2，则飞机着陆滑行到停止，最后6 s滑行的路程___________m 【答案】18 【解析】 【分析】将S＝26t－t2,化为顶点式,即可求得s的最大值,从而可以解答本题. 【详解】S＝26t－t2= ,  则当t=26时,s取得最大值,此时s=338,  故飞机着陆后滑行到停下来滑行的距离为:338m. 所以t的取值范围是0≤t≤26;即当t=20时，y=320, 所以338-320=18m.故答案为18. 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能把二次函数解析式配成顶点式. 三.解答题（共8小题，满分72分） 17. 关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【答案】，此时方程的根为 【解析】 【分析】直接利用根的判别式≥0得出m的取值范围进而解方程得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根， ∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0， 解得：m≤1， ∵m为正整数， ∴m=1， ∴此时二次方程为：x2-2x+1=0， 则（x-1）2=0， 解得：x1=x2=1． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键． 18. 如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． （1）求的长； （2）若大圆半径为，求小圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）如图：作，垂足为E，由垂径定理可得，，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到的值，即可解答． 【小问1详解】 解：如图：作，垂足为， 由垂径定理知，点是的中点，也是的中点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图：连接， 在中，，， ． 在中， ，， ,即小圆的半径为． 19. 如图是在写字台上放置一个折叠式台灯时的截面示意图，已知台灯灯管长40，灯杆长50，台灯灯管、灯杆的夹角即，灯杆与写字台的夹角即． （1）求台灯灯管与水平线的夹角（锐角）？ （2）求灯管顶端E到写字台的距离，即的长？（台灯底座的宽度、高度都忽略不计，A，F，C，B在同一条直线上，参考数据：，，；结果精确到0.1） 【答案】（1）30°；（2）68.5． 【解析】 【分析】（1）如图：过点D作，交于点H，则，再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再根据角的和差关系即可求出结果； （2）如图：作于点G，由题意可得，四边形是矩形，再根据解直角三角形的知识即可求出点E到AB的距离． 【详解】（1）如图：过点D作，交于点H， 则， ∵ ∴； ∵ ∴； 答：台灯灯管与水平线的夹角为30°； （2）如图：作于点G， 由题意可得，四边形是矩形，∴ 在中，∵ ∴ ∴ 在中，∵ ∴ ∴ 答：灯管顶端E到写字台的距离为68.5． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线的性质，矩形的性质，三角函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 20. 已知：如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为，． 求的长； 过点作，交轴于点，求点的坐标； 在的条件下，如果、分别是和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】的长为；的坐标为；存在，的值为或． 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标分别为A（-4，0），B（0，3）可知OB=3，AO=4，利用勾股定理即可求出AB． （2）根据BC⊥AB，BO⊥AC，利用射影定理即可求出OC，然后可知C点的坐标． （3）假设△APQ与∽△ABC，利用其对应边成比例即可求出x的值． 【详解】(1)∵点A.B的坐标分别为A(−4,0),B(0,3)， ∴OB=3，AO=4， ∴ (2)∵BC⊥AB，BO⊥AC， ∴ 即 ∴C点的坐标是(2.25,0)； (3) 当△APQ与∽△ABC时,PQ∥BC， ∴ ∵AP=CQ=x， ∴ 解得 当△APQ与∽△ACB时, 即 解得：. 答：(1)AB的长为5;(2)C的坐标为(2.25,0);(3)存在,x的值为或． 【点睛】考查相似三角形的判定与性质, 坐标与图形性质, 勾股定理, 射影定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 21. 如图，一次函数y1＝﹣x+4与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于A，B两点． （1）点A的坐标是______，点B的坐标是______： （2）点P是直线AB上一点，设点P的横坐标为m． ①当y1＜y2时，m的取值范围是______； ②点P在线段AB上，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP．若△POD的面积最小时，求m的值． 【答案】（1）（1，3）；（3，1） （2）①0＜m＜1或m＞3；②若△POD的面积最小时，m的值为1或3 【解析】 【分析】（1）将y1＝﹣x+4代入y2＝中可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，再利用一次的数图象上点的坐标特征，即可求出点A，B的坐标； （2）①观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，可得出当y1<y2时，m的取值范围是0<m<1或m>3； ②由原P的横坐标可得出点P的坐标，利用三角形的面积公式可得出S△POD关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：（1）将y1＝﹣x+4代入y2＝得：-x+4=， 整理得：x2-4x+3=0， 解得：x1=1，x2=3， 经检验，x1=1，x2=3是原方程的解，且符合题意． 当x=1时，y1=-1+4=3， ∴点A的坐标为（1，3）； 当x=3时，y1=-3+4=1， ∴点B的坐标为（3，1）． 故答案为：（1，3）；（3，1）． 【小问2详解】 ①观察两函数图象的上下位置关系，可知： 当0<m<1或m>3时，一次函数y1＝﹣x+4的图象在反比例函数y2＝的图象的下方， ∴当y1<y2时，m的取值范围是0<m<1或m>3． 故答案为：0＜m＜1或m＞3． ②∵点P在线段AB上， ∴1≤m≤3，点P的坐标为（m，﹣m+4）． ∵PD⊥x轴于点D， ∴PD＝﹣m+4，OD＝m， ∴S△POD＝PD•OD＝（﹣m+4）•m＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2． ∵﹣＜0， ∴当1≤m≤2时，S△POD随m的增大而增大； 当2≤m≤3时，S△POD随m的增大而减小． 当m＝1时，S△POD＝﹣（1﹣2）2+2＝； 当m＝3时，S△POD＝﹣（3﹣2）2+2＝． ∵＝， ∴若△POD的面积最小时，则m的值为1或3． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，通过解方程求出两点的横坐标；（2）①利用数形结合，解决问题；②利用三角形的面积计算公式，找出S△POD关于m的函数关系式． 22. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 23. 如图，是的外接圆，，点D是的中点，连接，过点A作的垂线交的延长线于点E，连接并延长与的延长线交于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接 ， ∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）如图：连接：，先说明垂直平分得到，再证得到，即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质得到，再根据是的切线可得，进而得到即是等边三角形，进而得到即可解答； （3）由是等边三角形可得，然后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 由（1）知，是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即⊙O的半径为． 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、求扇形的面积及家长及解直角三角形等知识点，综合运用所学知识成为解答本题的关键． 24. 已知二次函数（的实数） （1）二次函数图象的对称轴是______． （2）当时， ①若将平面内一点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合，求的值． ②如果点在抛物线上，且到轴的距离小于等于，那么我们称点是轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式代入可得； （2）①根据平移可得，，关于对称轴对称，可得，求出的值，再代入当时的二次函数的解析式求出的值即可； ②根据点到轴的距离小于等于，确定的最小值和最大值，即可得出所有“亲密点”的的取值范围； （3）二次函数图象的对称轴直线为且开口向上，当时随值增大而减小，可知的最小值，然后分类讨论即可； 【小问1详解】 解：∵二次函数（的实数）， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； 【小问2详解】 ①当时，二次函数为， ∵点向右平移个单位，则与抛物线上的点重合；向左平移个单位，则与抛物线上的点重合， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵点在抛物线上，且到轴的距离小于等于， ∴抛物线的图象开口向上，， ∴顶点处有最小值：当时，， 顶点处有最大值：当时，， 当时，， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 当，时，需满足，则， ∵点，是二次函数图象上的两点， ∴， ∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，当时，随值增大而减小， 又∵， ∴当时，有最小值是， ∴， ∴，即， ∴或， ∴解得， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， ∴综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质，函数的最值问题，不等式（组）的应用等知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $