5.3.2 函数的极值与最大（小）值（讲义）高二数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 知识点一 极值与极值点概念 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 即学即练 1． （25-26高二上·广东·期末）函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】对求导，通过分析的符号即可判断单调性，从而可求极值点. 【详解】根据题意知，则， 令，则可得或， 当或时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以当时取极大值，当时，取极小值，则有两个极值点. 故选： 知识点二 导数与函数的最值 1、求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴ 求函数在内的极值； ⑵ 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2、“最值”与“极值”的区别和联系 （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 即学即练 1． （25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则 【答案】 【分析】利用导数分析函数的单调性，求出函数的极小值（亦即最小值），根据极小值点满足，可得出，可求出的值，进而可得出实数的值. 【详解】易知的定义域为，， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在区间上单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一，使得，，即， 所以当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的最小值为， 因为函数在上为增函数，由得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 题型01 求函数的极值或极值点（不含参） / ⑴确定函数定义域 ⑵求导数； ⑶求方程的根； ⑷检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值 【注意】①使无意义的点也要讨论.即可先求出的根和使无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断. ②极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值. 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数，则的极小值点为 . 【答案】 【分析】先求，根据导数的正负判断函数的单调性，进而确定函数的极值点. 【详解】定义域为， ， 令，解得：或， 当，， 在区间单调递增； 当，， 在区间单调递减； 是的极大值点， 当，， 在区间单调递增； 是的极小值点. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质及极大值点的意义判断即可. 【详解】函数 ， 由，得函数的极大值点， 当时，，不存在整数使得，，，A是；BCD不是. 故选：A 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.判断函数在区间上极值点的个数并证明. 【答案】有两个极值点，证明见解析 【分析】求函数在给定区间上的导数，以分子整式构造函数，再次求导，研究该导数在给定区间上与零的大小关系，以判断构造函数的单调性和变号零点的性质，根据极值的定义，可得答案. 【详解】因为，， 设，则， 当时，，可得， 可知在上单调递减，则， 所以在内无零点； 当时，，可得， 可知在上单调递增，且，， 所以在上有唯一零点； 当时，，可得， 可知在上单调递减，且，， 所以在上有唯一零点. 综上所述：函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变， 故函数在区间内恰有两个极值点. 3．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 【答案】 【分析】利用即可求解. 【详解】由，且是的极值点， 所以， 整理得. 故答案为：. 题型02 讨论含参函数的极值 / 1、 根据求极值的方法求导数，令 2、 根据极值点的个数跟情况，对方程进行参数的讨论。 注意需要验证极值的存在，因为是为极值点的不充分条件。 典｜例｜精｜析 1．（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分和两种情况讨论函数的单调性，进而求解极值. 【详解】因为函数，， 则， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，函数取极小值，无极大值， 综上：当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取极小值，无极大值. 变｜式｜巩｜固 1．（2026高三·北京·专题练习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 【答案】(1). (2)当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 【分析】（1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点. 【详解】（1）由题意得，， 则， ，即切线的斜率为， 又， 所以切线方程为，即. （2），， 时，定义域为，，无极小值； 当时，定义域为. 令，即，则， 所以， 解得或， 当时，，解得或， 在区间和上， 单调递增； ，解得且， 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为. 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. 2．（2026·云南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明：函数存在唯一极值点，且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合导数的意义根据切点和斜率求得切线方程. （2）求导构造函数，分析其单调性，结合区间端点的函数值符号，利用零点存在定理确定唯一零点，再通过导数符号变化确定极值点及所在区间. 【详解】（1）当时，，则，故切点为， 又，则，故切线的斜率为，则 所以在处的切线方程为； （2）因为，所以函数的定义域为，则， 令，则， 因此，在上单调递增， 因为，而，故，所以， 又因为， 令，则， 所以在上单调递减，又， 所以，故， 所以，故，而在上单调递增， 所以存在唯一的，且，使得. 在区间上，，即，函数在上单调递减， 在区间上，，即，函数在上单调递增， 因此，是函数唯一的极小值点，且. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用极值的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即切线的斜率为， 又，所以所求的切线方程为， 即； （2）由，得，， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ①当，即时，对恒成立， 此时在单调递增，故没有极值点； ②当，即时，方程有两个不等正数解， ， 不妨设，则当时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增； 所以分别为极大值点和极小值点，有两个极值点． 综上所述，当时，没有极值点；当时，有两个极值点． 题型03 根据极值或极值点求参 / 1、求导找点（必要条件）：对原函数求导，得到导函数。 2、解参回代：解出参数后，务必将参数代回原函数。 3、验证充分性：检查该点两侧的导数是否变号（即是否为真正的极值点）。若不变号（如拐点），需舍去。 注意： 1、忘记验证（最易错）：导数等于0的点只是驻点，不一定是极值点（例如 y=x3y=x3 在 x=0x=0 处）。求出参数后，一定要检验该点左右函数单调性是否改变。 2、定义域陷阱：极值点必须在定义域内。如果求出的参数导致极值点不在定义域中（例如分母为0、对数真数≤0），该答案需舍去。 3、混淆极值点与极值 4、隐含的多解情况：若方程解出多个参数，需分别代入验证，看谁能使该点成为真正的极值点。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【答案】B 【分析】根据为的极值点，可得，求得的值，并检验是否是极小值点. 【详解】函数，定义域为. 所以. 由题可知，，即，所以或. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 当时，. 令，则或；令，则. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得极大值. 综上，实数的值为. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 1．（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，根据导数极值列不等式组计算即可. 【详解】，则， 当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意； 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 所以，在，上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：C. 2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先求出导函数，再根据极值点导函数为0求参数，最后代入检验即可. 【详解】因为函数，所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 当时，，所以单调递减，单调递增， 所以在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，，所以单调递增，单调递减， 所以在处取得极大值，符合题意； 则. 故选：B. 3．（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求导，通过讨论和0的大小，确定函数的单调性，进而可求解. 【详解】由，求导可得 令，可得：或， 当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极小值，不符合题意； 当时，因为，所以， 由，得，由，得或， 即在和单调递减，在单调递增， 即函数在处取得极大值，符合题意； 综上实数的取值范围为， 故答案为： 题型04 求函数的最值 / 导数求函数的最值的方法与求极值的方法类似： 1、 先确定函数的定义域； 2、 求导数，求的根 3、 确定函数的极值 4、 函数的最值在函数的极值点、端点处取得 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而可求得的最大值. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出的极小值，再求出区间端点处的函数值，比较即可得答案. 【详解】由题意，令，解得， ， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以极小值为， 又，所以的最小值为． 故选：D 2．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数是函数的极值点，求函数在上的最大值和最小值． 【答案】最大值为15，最小值为． 【分析】由题意可得，可解得的值，进而得到，由导数分析的单调性，可得在上是减函数，在上是增函数，故，所以最大值要么是，要么是，分别求值后取较大的即可. 【详解】根据题意，，是函数的极值点， 得，即，得．所以． 令，得或（舍去）． 当时，，函数在上是减函数； 当时，，函数在上是增函数． 由此得到当时，函数有极小值，也就是函数在上的最小值； 又因为，即函数在上的最大值为． 综上，函数在上的最大值为15，最小值为． 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导函数，利用极值点、极值列方程组求解可得，根据在区间上的单调性列表求值域即可. 【详解】由，所以， 因为函数在处取得极大值3， 所以， 所以，， 令，解得或， 当变化时，在的变化情况如表所示， 0 12 极小值 所以根据上表可知，在上的值域为， 故选：D 题型05 根据最值求参 / 利用导数研究函数的单调性及极值，结合函数的值域，然后根据参数来讨论值域、最值、是否有最值。 1、明确区间类型 闭区间：连续函数必有最值，通常转化为求极值和端点值比较。 开区间或半开区间：最值可能不存在（函数趋于无穷或渐近线）。 2、分析临界点与端点 求出区间内的极值点（导数为0的点）和不可导点。 明确区间端点（对于闭区间必须考虑；对于开区间，端点取不到，需考虑单侧极限）。 3、讨论单调性与趋势 若函数单调，最值在端点处（但开区间则可能取不到，导致无最值）。 若函数有垂直渐近线或水平渐近线，可能会导致最值不存在（如函数值趋近于无穷或趋近于一个数但取不到）。 4、根据“存在性”列条件 有最值：要求最值点落在区间内（对于开区间，极值点必须在内部）且函数在该点取值不比趋势值差。 无最值：通常是开区间上单调（端点极限即为最值但取不到），或函数趋近于无穷大。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，再结合函数在给定区间既有最大值又有最小值，建立不等式，求解. 【详解】，令，即， 解得或， 要使函数在上既有最大值，又有最小值， 则必须满足两个极值点都在内，且极值点处的函数值必须为区间内的最大值和最小值； 若，此时，则需要，解得； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即， 解得， 所以； 若，此时，则需要，解得； 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以，，，， 则需满足，即，无解； 若，则恒成立，所以函数在上单调递增， 无最大值和最小值， 综上所述：的取值范围为. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1．（2026·重庆·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导判断函数单调性，找到极值点，根据区间内存在最大值确定的范围. 【详解】， 令，得或. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 因此， 是极大值点， 是极小值点. 要使上存在最大值，需， 又因为，且， 若，函数在递增，会超过，因此需. 综上：. 故选：D. 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可. 【详解】，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 题型06 导函数图像与函数的性质 / 根据导函数与原函数的关系，通过导函数图像解决函数的极值、单调性问题。而导函数的图像主要研究正负性、导函数零点，而不是导函数的单调性。 注意： 1、混淆原函数与导函数图像 题目给的是的图像，讨论单调性时直接看它的正负即可，不要试图去分析它本身的增减来判定原函数的增减。 2、误判极值点 导数为零的点不一定是极值点（例如导图像与 xx 轴相切时）。必须验证零点两侧导数是否变号。 3、忽略不可导点 导图像上的间断点或尖点（不可导）也可能是原函数的极值点。此时需观察该点左右两侧导数的符号。 4、混淆原函数与导函数的对称性 若导函数是奇函数，原函数（+常数）是偶函数；反之亦然。但这一性质往往容易被忽略，涉及对称性时可辅助推导。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，分析的单调性、极值、最值、零点即可. 【详解】根据的图象，可得： 当时，恒成立，所以在上单调递增，所以A正确； 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以不是函数的最小值，所以B不正确； 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，恒成立，所以在上单调递增. 所以函数仅在处有极大值，所以C正确. 由函数的单调性，知函数图象与直线最多有三个交点，所以至多有3个零点，所以D正确. 故选：ACD. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高二上·陕西西安·期末）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 【答案】BD 【分析】由导函数图象和极值的定义逐项判断. 【详解】选项A，由图象可知，在，，单调递减， 在，，单调递增，所以选项A错误. 选项B，由图象可知，在内，单调递减，所以选项B正确. 选项C，由图象可知，两侧均为正，始终递增，所以选项C错误. 选项D，当时，，左侧，右侧，导数由负变正，是极小值点， 所以取得极小值，所以选项D正确. 故选：BD 2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 【答案】D 【分析】根据图象先判断的单调性，然后逐项判断即可. 【详解】由图像可知，当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，A错误； 当时，，所以. 所以，所以在上为增函数， 当时，，所以. 所以，所以在上为减函数，所以的最小值为或，B错误； 因为在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数， 所以的极大值为，极小值为，极大值点为1，极小值点为0，所以C错误D正确； 故选：D. 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 【答案】AC 【分析】根据图像的符号确定函数的单调性，根据单调性比较大小，判断极值、最值即可逐项判断． 【详解】由图可知，当时，， 所以函数在上单调递增， ，故A正确； 由函数在上单调递增，， 则不是函数的最大值，故B错误； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以1是函数的极小值点，故C正确； 由图可知的左右两侧， 所以3不是函数的极值点，故D错误． 故选：AC． 题型07不等式恒成立/能成立问题求参 / 1、恒成立问题（任意）  恒成立，只需（大于最大的最小值）。  恒成立 ,只需（小于最小的大值）。 技巧：优先考虑参变分离，若分离后函数复杂，再直接求导讨论。 2、能成立/存在性问题（存在 ） 存在 使 成立 →→ 只需（存在大于，找最大的）。 存在  使 成立 →→ 只需 （存在小于，找最小的）。 口诀：恒成立是“所有都满足”，能成立是“有一个就行”。 核心：分清任意与存在，对应的是“最值对最值”。 注意问题： 1、端点取舍（是否取等） 若题中是 > 或 <（不带等号），检查端点值时，若恰好相等，需验证能否取到（开区间取不到则恒成立不成立；闭区间能取到则不等式不成立）。 2、分离参数后的定义域 分离为时，要注意 的取值范围（特别是分母不能为零）。若区间是开的，的最大值可能取不到，此时 只能取该极限值（但需结合等号验证）。 3、混淆“恒成立”与“能成立” 求出的参数范围正好相反。记反会导致答案全错。 4、忽略参数在函数中的位置 若参数不能彻底分离，需根据函数类型分类讨论（如二次函数开口、判别式、对称轴）。此时画草图辅助最稳妥。 典｜例｜精｜析 1．（2026·四川巴中·一模）若不等式 恒成立，则 的取值范围 . 【答案】 【分析】将原不等式变形为，构造函数，得到在R上单调递增，从而将问题转化为恒成立，令，，利用导数求出的最小值即可求解. 【详解】左右两边同时加，并将移项得 ， 整理得， 设，，故在R上单调递增， 则原不等式可化为， 所以， 整理得， 令，，设，， 则，令，则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 对方程，，故存在实数使成立， 所以，即. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖南永州·一模）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）对函数求导后先分析的取值范围，若易得单调递减，若，则令，求得极值点后即可根据导数的正负判断函数的单调性； （2）由题意得，分类讨论与1的位置关系，由此确定，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得， ①当时，恒成立，即恒成立，在上单调递减； ②当时，令，， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，则有， ①若，即时，则在上单调递减，则， 由得，此时前后矛盾，故舍； ②若，即，则在上单调递减，在上单调递增， 则， 由得，解得， 综上所述，的取值范围是. 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将给定不等式分离参数得，令并探讨单调性确定值域，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】不等式， 令，而函数在上都为增函数， 则在上单调递增，其值域为R， 令函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 依题意，不等式有解，因此，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】 【分析】分析可得，利用导数分析函数在区间上的单调性，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求出，可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围 【详解】对任意的，总存在，使得，则， 因为， 则对任意的恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 则. 因为， 所以当时，，不满足，故； 当时，在上单调递增， 所以， 即，解得； 当时，在上单调递减， 当x趋于时，趋于, 由,解得,与矛盾，故舍去； 综上，的取值范围为.. 题型08 利用导数证明不等式 / 一、利用导数证明不等式恒成立，核心是 “构造函数，找最值”。 1、移项构造：将所有项移到一边，化为（或）的形式。目标是证明 的最值满足条件。 2、求导定单调：对F(x) 求导，分析导数正负，判断函数在给定区间上的单调性。 3、比较端点或极限 若 单调递增，则最小值在左端点，证明左端点值 ≥0（注意端点是否能取等）。 若 单调递减，则最大值在左端点，证明左端点值 ≤0。 若先减后增（有极小值），求出极小值点，证明极小值 ≥0。 二、当直接构造复杂时 1、放缩法：将复杂函数替换为更简单的中间函数（如 ，），但需注意放缩方向要一致。 2、拆分法：将不等式拆成两个函数，分别求最值，证明一个的最小值大于另一个的最大值。 3、分段讨论：当导数符号复杂时，可分割区间分别证明。 典｜例｜精｜析 1．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用导数可证得当时，，则有，对原不等式进行放缩，得，所以证明即可证明原不等式，令，利用导数可求得，由此证得原不等式成立. 【详解】设，则， 即在上单调递增，所以， 即，； 要证，即证， 因为，则有， 所以若，则一定有， 只需证， 即证， 令，则，令，则有， 则当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增，， 即，， 因此，即， 则，即得证. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明不等式恒成立． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求导并因式分解，再根据参数的正负分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间； （2）先求出时函数的最小值，将不等式转化为关于的形式，再通过构造辅助函数，利用函数单调性和最值完成证明. 【详解】（1）函数的定义域为    ①当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． ②当时，令，得，令，得， 所以在上单调递增，上单调递减，        综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，上单调递减． （2）证明：时，由（1）知在上单调递增，上单调递减， 所以，            要证，即证，即证， 因为，即证            ①当时，成立，符合题意；         ②当时，设，则，所以在上单调递增，要证，即证，即证， 即证，即证，             设在上单调递增，上单调递减．又，所以恒成立，得证． 综上所述，时，． 2．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2)证明见解析 【分析】(1)求出，，可得答案； (2)将问题转化为证明函数恒成立，结合导数研究的最小值即可求解. 【详解】（1）定义域为，， 易知在上单调递增，所以的零点为1，列表如下： x 1 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为，无极大值. （2）设，， ，令，得，列表如下： x - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， 所以，即， 即，所以. 3．（2025·广东·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)当时，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导数得切线斜率，点斜式可求切线方程； （2）移项构造新函数，求导判断单调性可求最值，进而可证不等式； （3）移项作差，构造新函数，利用导数判断单调性，求出最值可证结论. 【详解】（1）依题意，，则， 而， 故， 故所求切线方程为. （2）证明：要证，即证， 设，则， 令，则， 因为，所以，因此单调递减， 又，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， 即，即得证. （3）证明：依题意，,即， 即，即. 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，故， 令，则， 令，则， 令，解得，， 所以当和时，，则单调递增，当时，，则单调递减， 且，， 因此当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即； 故当时，，即得证. 题型09 利用导数研究零点问题 / 利用导数研究函数零点（或方程根）问题，核心是 “看单调性，算端点值，数形结合找交点” 1、单调性分割：求导确定函数的单调区间。函数在每一个单调区间内至多存在一个零点。 2、找端点符号： 计算每个单调区间两端的函数值（或极限值，如 x→+∞）。 异号（一正一负）该区间内有且仅有 1个 零点。 同号（同正或同负）该区间内 无 零点。 有一端为0 该端点即为零点，需注意区间开闭。 3、含参讨论（难点） 若函数含参数，参数的取值会改变图象的高低或单调性。 临界状态：找到“恰好相切”的情况（即极值点刚好在 x 轴上，此时零点个数变化）。通常令极值 =0 解出参数临界值。 按参数分类：以临界值为分界，分别讨论不同区间内零点个数。 典｜例｜精｜析 1．（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，根据导数极值列不等式组计算即可. 【详解】，则， 当时，则恒 成立，函数单调递增，至多一个零点，不合题意； 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，，当，， 所以，在，上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解. 【详解】因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根， 令，则， 由得；得； 则在单调递增，在上单调递减，则， 因为时；时，且时， 所以的函数图象如图： 因为不是的根， 所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是， 但方程的两根的乘积为， 所以一个根位于，另一根位于， 则，得， 故的取值范围是. 故选：C 2．（2026高三·天津·专题练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，．讨论在内的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程即可. （2）对函数两次求导，根据三种情况分别讨论函数的零点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以切线斜率为， 由，则曲线在处的切线方程为， 即． （2）因为， 所以, 令，则, 当时，因为， 所以，，所以恒成立， 此时，在内无零点， 当时，因为， 所以，则单调递增， 因为， 所以单调递增， ， 此时，在内无零点． 当时，因为， 所以，则单调递增， 因为，， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 因为，所以， 因为，所以在区间内有1个零点， 所以当时，在内的零点个数为0， 当时，在内的零点个数为1． 3．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数. (1)求的单调区间与极值点； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的正负性与函数单调性的关系，结合极值定义分类讨论进行求解即可； （2）根据函数的零点定义，运用转化法，把函数零点问题转化为函数与函数图象的交点问题，结合数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，在恒成立， 所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值； 当时，令得，所以的单调增区间是， 得，单调减区间是， 的极大值点是，无极小值点； （2）令，即，得，令， 即讨论直线与函数的图象的交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 而当时，恒有， 在同一坐标系内作出直线与函数的 图象，如图所示： 所以 当时，直线与函数的图象有1个交点，即有1个零点； 当时，直线与函数的图象有2个交点，即有2个零点； 当时，直线与函数的图象有1个交点，即有1个零点； 当时，直线与函数的图象无交点，即有0个零点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 知识点一 极值与极值点概念 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 即学即练 1． （25-26高二上·广东·期末）函数的极值点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点二 导数与函数的最值 1、求函数在上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴ 求函数在内的极值； ⑵ 将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 2、“最值”与“极值”的区别和联系 （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 即学即练 1． （25-26高三上·广东汕尾·月考）若函数的最小值为，则 题型01 求函数的极值或极值点（不含参） / ⑴确定函数定义域 ⑵求导数； ⑶求方程的根； ⑷检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值 【注意】①使无意义的点也要讨论.即可先求出的根和使无意义的点，这些点都称为可疑点，再用定义去判断. ②极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值. 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知函数，则的极小值点为 . 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·甘肃嘉峪关·期末）若函数，则下列选项中，为函数的极大值点的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知函数.判断函数在区间上极值点的个数并证明. 3．（25-26高二上·上海·期末）若是函数的极值点，则 . 题型02 讨论含参函数的极值 / 1、 根据求极值的方法求导数，令 2、 根据极值点的个数跟情况，对方程进行参数的讨论。 注意需要验证极值的存在，因为是为极值点的不充分条件。 典｜例｜精｜析 1．（2026高三·天津·专题练习）已知函数，，求函数的单调区间和极值. 变｜式｜巩｜固 1．（2026高三·北京·专题练习）已知函数（）. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极小值点； 2．（2026·云南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明：函数存在唯一极值点，且. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的极值点个数. 题型03 根据极值或极值点求参 / 1、求导找点（必要条件）：对原函数求导，得到导函数。 2、解参回代：解出参数后，务必将参数代回原函数。 3、验证充分性：检查该点两侧的导数是否变号（即是否为真正的极值点）。若不变号（如拐点），需舍去。 注意： 1、忘记验证（最易错）：导数等于0的点只是驻点，不一定是极值点（例如 y=x3y=x3 在 x=0x=0 处）。求出参数后，一定要检验该点左右函数单调性是否改变。 2、定义域陷阱：极值点必须在定义域内。如果求出的参数导致极值点不在定义域中（例如分母为0、对数真数≤0），该答案需舍去。 3、混淆极值点与极值 4、隐含的多解情况：若方程解出多个参数，需分别代入验证，看谁能使该点成为真正的极值点。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知函数，若为的极小值点，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 变｜式｜巩｜固 1．（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数在处取得极大值，则（   ） A．9或1 B．3 C．2 D．1 3．（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ． 题型04 求函数的最值 / 导数求函数的最值的方法与求极值的方法类似： 1、 先确定函数的定义域； 2、 求导数，求的根 3、 确定函数的极值 4、 函数的最值在函数的极值点、端点处取得 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知函数，则当时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在上的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数是函数的极值点，求函数在上的最大值和最小值． 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）若函数在处取得极大值3，则在上的值域为（   ） A． B． C． D． 题型05 根据最值求参 / 利用导数研究函数的单调性及极值，结合函数的值域，然后根据参数来讨论值域、最值、是否有最值。 1、明确区间类型 闭区间：连续函数必有最值，通常转化为求极值和端点值比较。 开区间或半开区间：最值可能不存在（函数趋于无穷或渐近线）。 2、分析临界点与端点 求出区间内的极值点（导数为0的点）和不可导点。 明确区间端点（对于闭区间必须考虑；对于开区间，端点取不到，需考虑单侧极限）。 3、讨论单调性与趋势 若函数单调，最值在端点处（但开区间则可能取不到，导致无最值）。 若函数有垂直渐近线或水平渐近线，可能会导致最值不存在（如函数值趋近于无穷或趋近于一个数但取不到）。 4、根据“存在性”列条件 有最值：要求最值点落在区间内（对于开区间，极值点必须在内部）且函数在该点取值不比趋势值差。 无最值：通常是开区间上单调（端点极限即为最值但取不到），或函数趋近于无穷大。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数在上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围为 ． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·重庆·模拟预测）函数在上存在最大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东深圳·期末）若函数在区间存在最大值，则可以取的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 题型06 导函数图像与函数的性质 / 根据导函数与原函数的关系，通过导函数图像解决函数的极值、单调性问题。而导函数的图像主要研究正负性、导函数零点，而不是导函数的单调性。 注意： 1、混淆原函数与导函数图像 题目给的是的图像，讨论单调性时直接看它的正负即可，不要试图去分析它本身的增减来判定原函数的增减。 2、误判极值点 导数为零的点不一定是极值点（例如导图像与 xx 轴相切时）。必须验证零点两侧导数是否变号。 3、忽略不可导点 导图像上的间断点或尖点（不可导）也可能是原函数的极值点。此时需观察该点左右两侧导数的符号。 4、混淆原函数与导函数的对称性 若导函数是奇函数，原函数（+常数）是偶函数；反之亦然。但这一性质往往容易被忽略，涉及对称性时可辅助推导。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·期末）已知定义在区间上的函数的导函数为的图象如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．有且仅有一个极大值 D．至多有3个零点 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高二上·陕西西安·期末）如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 2．（25-26高三上·四川成都·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则（    ） A．在上为增函数 B．的最小值为 C．的极大值为，极小值为 D．的极小值点为0，极大值点为1 3．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 题型07不等式恒成立/能成立问题求参 / 1、恒成立问题（任意）  恒成立，只需（大于最大的最小值）。  恒成立 ,只需（小于最小的大值）。 技巧：优先考虑参变分离，若分离后函数复杂，再直接求导讨论。 2、能成立/存在性问题（存在 ） 存在 使 成立 →→ 只需（存在大于，找最大的）。 存在  使 成立 →→ 只需 （存在小于，找最小的）。 口诀：恒成立是“所有都满足”，能成立是“有一个就行”。 核心：分清任意与存在，对应的是“最值对最值”。 注意问题： 1、端点取舍（是否取等） 若题中是 > 或 <（不带等号），检查端点值时，若恰好相等，需验证能否取到（开区间取不到则恒成立不成立；闭区间能取到则不等式不成立）。 2、分离参数后的定义域 分离为时，要注意 的取值范围（特别是分母不能为零）。若区间是开的，的最大值可能取不到，此时 只能取该极限值（但需结合等号验证）。 3、混淆“恒成立”与“能成立” 求出的参数范围正好相反。记反会导致答案全错。 4、忽略参数在函数中的位置 若参数不能彻底分离，需根据函数类型分类讨论（如二次函数开口、判别式、对称轴）。此时画草图辅助最稳妥。 典｜例｜精｜析 1．（2026·四川巴中·一模）若不等式 恒成立，则 的取值范围 . 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖南永州·一模）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若，且当时，恒成立，求的取值范围． 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）若关于的不等式有解，则的取值范围是 . 3．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，其中为自然对数的底数，,若对任意的..，总存在，使得，求的取值范围. 题型08 利用导数证明不等式 / 一、利用导数证明不等式恒成立，核心是 “构造函数，找最值”。 1、移项构造：将所有项移到一边，化为（或）的形式。目标是证明 的最值满足条件。 2、求导定单调：对F(x) 求导，分析导数正负，判断函数在给定区间上的单调性。 3、比较端点或极限 若 单调递增，则最小值在左端点，证明左端点值 ≥0（注意端点是否能取等）。 若 单调递减，则最大值在左端点，证明左端点值 ≤0。 若先减后增（有极小值），求出极小值点，证明极小值 ≥0。 二、当直接构造复杂时 1、放缩法：将复杂函数替换为更简单的中间函数（如 ，），但需注意放缩方向要一致。 2、拆分法：将不等式拆成两个函数，分别求最值，证明一个的最小值大于另一个的最大值。 3、分段讨论：当导数符号复杂时，可分割区间分别证明。 典｜例｜精｜析 1．（2026高三·上海·专题练习）已知函数，，证明：. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，证明不等式恒成立． 2．（25-26高二上·江苏徐州·期末）已知函数. (1)求的极值； (2)证明：. 3．（2025·广东·模拟预测）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，证明：； (3)当时，证明：. 题型09 利用导数研究零点问题 / 利用导数研究函数零点（或方程根）问题，核心是 “看单调性，算端点值，数形结合找交点” 1、单调性分割：求导确定函数的单调区间。函数在每一个单调区间内至多存在一个零点。 2、找端点符号： 计算每个单调区间两端的函数值（或极限值，如 x→+∞）。 异号（一正一负）该区间内有且仅有 1个 零点。 同号（同正或同负）该区间内 无 零点。 有一端为0 该端点即为零点，需注意区间开闭。 3、含参讨论（难点） 若函数含参数，参数的取值会改变图象的高低或单调性。 临界状态：找到“恰好相切”的情况（即极值点刚好在 x 轴上，此时零点个数变化）。通常令极值 =0 解出参数临界值。 按参数分类：以临界值为分界，分别讨论不同区间内零点个数。 典｜例｜精｜析 1．（26-27高二上·云南·期末）函数存在3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽合肥·一模）已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高三·天津·专题练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，．讨论在内的零点个数． 3．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数. (1)求的单调区间与极值点； (2)讨论的零点个数. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $