5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 (第1课时) 01 复习导入 函数单调性与导数的关系： 函数在某个区间上可导， (1)如果，那么在区间上单调递增； (2)如果，那么在区间上单调递减； (3)如果恒有那么在区间上是常数函数； (4)在区间上单调递增，则在内恒成立； (5)在区间上单调递减，则在内恒成立. 复习导入 02 函数的极值 问题1 ：当时，高台跳水运动员距水面的高度最大.函数在 此点的导数是多少呢? 此点附近的图象有什么特点? 相应地， 导数的符号有什么变化规律? 新知讲解 问题2 ：如图，函数在等点的函数值与 这些点附近的函数值有什么关系? 在这些点的导数 值是多少?在这些点附近，的导数的正负有何规律? 新知讲解 极值点与极值 (1)若满足： 表示在点附近的点的函数值，； 在点的左侧，，函数单调递减； 在点的右侧，，函数单调递增； 则叫做函数的极小值点， 叫做函数的极小值. 新知讲解 极值点与极值 (2)若满足： 表示在点附近的点的函数值，； 在点的左侧，，函数单调递增； 在点的右侧，，函数单调递减； 则叫做函数的极大值点， 叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点； 极小值、极大值统称为极值. 新知讲解 x y O 思考1：导数为的点都是极值点吗? 如图：中，，但不是极值点. 是极值点 是可导函数在处取得极值的必要不充分条件. 新知讲解 思考2：函数的极大值一定大于极小值吗? 不一定，如图：处的极小值大于处的极大值． 思考3：函数在给定区间内一定有极值点吗? 若函数在区间内是单调函数，就没有极值点． 新知讲解 极值 (1)极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，非最值； (2)函数的极值不一定唯一，在整个定义域内可能有多个极值； (3)极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. (4)对于可导函数，若是极值点，则； 反之，若，则不一定是极值点. (5)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点； (6)单调函数一定没有极值． 新知讲解 【例1】判断下列结论是否正确. (1)是函数的极值点． ( ) (2)可导函数一定存在极值． ( ) (3)若，则是函数的极值点． ( ) (4)若是函数的极值点，则 ． ( ) 例题剖析 【练习】已知函数的定义域为，导函数在上的图象 如图所示，则函数在上的极大值点的个数为( ) A. B. C. D. 举一反三 03 不含参极值问题 【例2】求函数的极值. 例题剖析 求可导函数极值的步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数； (3)用导数的零点将的定义域分成若干区间， 列表给出在各区间的正负； (4)确定函数的极值. 如果左正右负(左增右减)，那么在这个根处取得极大值； 如果左负右正(左减右增)，那么在这个根处取得极小值. 规律方法 【练习】求函数的极值. 举一反三 04 含参极值问题 【例3】已知函数，求函数的极值. 例题剖析 【练习】已知函数在处有极值0， 则 . 举一反三 05 课堂小结 课堂小结 函数的极值 $